2017最新函数图像的对称问题(小结)
函数的对称技巧
函数的对称技巧
函数的对称技巧指的是一些可以用来判断函数是否具有对称性的方法和技巧。
以下是几种常见的函数对称技巧：
1. 偶函数：如果对于函数f(x)，有f(x) = f(-x)，则函数f(x)是偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
2. 奇函数：如果对于函数f(x)，有f(x) = -f(-x)，则函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
3. 周期函数：如果对于函数f(x)，存在一个正周期T，使得对于任意x，有f(x) = f(x + T)，则函数f(x)是周期函数。
周期函数的图像在每个周期内重复。
4. 对称中心：某些函数可能存在对称中心，即函数图像关于某个点对称。
可以通过绘制函数图像或观察函数表达式的特点来确定对称中心。
5. 对称轴：某些函数图像可能存在对称轴，即函数图像关于某条直线对称。
可以通过绘制函数图像或观察函数表达式的特点来确定对称轴。
这些对称技巧可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质，同时也可以简化问题的解决方法和计算过程。
2017年高一预科第十一讲 函数对称性
第十一讲 函数对称性[知识背景] 1.概念(定义,表示,分类与特征) 2.意义(解题)<一>对称与数学:对称是客观事物存在的一种形式.数学作为客观物体在量及形上的一种表达形式,必然会反映这种关系,如对称点、对称式、对称图、对称运算与对称命题.<二>数学对称:1.定义:对于构成原问题的元素顺序或运算形式或语言表达,通过取原元素中逆顺序或逆运算或具有相反意义的表述,实现对原问题的再改造,称为原问题的对称性问题,简述为数学问题的对称性构造.2.特征:外观结构对称(元素和运算功能,语言表达等),数量成对.3.分类:代数对称有正负对称,和差对称,互余对称,倒数对称,共轭对称; 图形对称有中心对称和轴对称.4.意义:整体转化.间接方法.(摘要自甘肃礼县一中刘国栋老师发表在《中学数学教学参考》1997年第7期39页的文章“数学问题的对称性构造与对称化方法”一文)[知识点] ⑴反函数 ，奇、偶函数 ⑵式对称[例题选讲]1.⑴已知f(x)=244+x x,求和式f(10011)+f(10012)+f(10013)+…+f(10011000)的值. ⑵已知f(x)=221x x +, 求和式f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)+f(4)+f(41)的值. 2.⑴函数f(x)=111122+++-++x x x x 图象关于A.x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D. 直线x=1对称 ⑵函数f(a-x)与f(x-b)图象关于直线l 对称,则直线方程 A.x=2b a - B.x=2b a + C.x=a-b D.x=a+b 3.⑴已知函数f(x)=mx x +-25图象关于直线y=x 对称,求实数m. ⑵若直线y=ax+1与直线y=-2x+b 关于直线y=x 对称,求a,b 值.4.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0) ,如果f(x 1)= f(x 2)(其中x 1≠x 2),则f(x 1+x 2)等于 A.-a b 2 B.-a b C.c D.a b ac 442-[巩固题组]1.⑴已知函数f(x)为奇函数,则F(x)= f(x-a)+b 图象关于点____对称⑵已知函数f(x)为偶函数,则F(x)= f(x-a)图象关于直线_____对称2.⑴设函数f(x)=132-+x x ,y=g(x)图象与y=f 1-(x+1)图象关于直线y=x 对称,求g(3)值. ⑵求证:函数y=2x 图象与函数y=log2x 图象对称.3.⑴设f(x)=2211x x -+,求证: ⑴ f(-x)= f(x) ⑵ f(x 1)= -f(x) ⑵设f(x)=xx +-11, 求值: ⑴ f(a+1) ⑵ f(a)+14.光线从点(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,求反射光线所在直线方程.5.⑴已知点P(2,3),求其关于下列情形下的对称点⑴原点(0,0) ⑵x轴⑶y轴⑷直线y=x ⑸直线y=-x ⑹点(a,b)⑵已知直线3x-4y+5=0,求其在下列情形下的对称直线⑴原点(0,0) ⑵x轴⑶y轴⑷直线y=x ⑸直线y=-x ⑹点(a,b)。
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
两类函数图象对称问题
两类函数图象对称问题函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。
定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2a b x +=对称。
定理2 若函数y=f(x)对定义域中任意x 均有f(x+a)+f(b-x)+c=0，则函数y=f(x)的图象关于点(,)22a b c +-成中心对称图形。
定理3 函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2b a x -=对称。
特别地，当a=-b 时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b 对称。
定理4 函数()y f a x ω=+与函数()y f b x ω=-的图象关于直线2b a x ω-=对称 证明：()[()]a y f a x f x ωωω=+=+ , ()[()]b y f b x f x ωωω=-=-- 所以 ，将函数()y f x ω=的图象向左平移||aω个单位得()y f a x ω=+的图象;将函数()y f x ω=-的图象向右平移||bω个单位得函数()y f b x ω=-的图象,而()y f x ω=与()y f x ω=-的图象关于 y 轴对称，可得两函数图象关于直线 2b a x ω-=对称。
记忆技巧：令 a x b x ωω+=- ，易得2b a x ω-=。
[例1] 函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称解：由定理3知，两函数图象关于3112x -==,即关于直线x=1对称。
[例2] 若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0 有_____个根，两方程的所有的根之和为______解：设12(32),(12)y f x y f x =+=-,由定理知，两函数关于131222x -==-⨯对称。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数是数学中十分重要的概念之一，它描述了两个集合之间的关系。
而在函数的定义中，有一种特殊的性质被广泛研究和应用，那就是对称性。
函数的对称性是指函数图像关于某个中心轴或中心点具有对称性。
在实际问题中，对称性可以帮助我们简化问题、提取信息，以及更好地理解函数的性质。
在本文中，将对函数对称性进行总结和阐述。
函数对称性可以分为水平对称、垂直对称、中心对称以及零对称四种类型。
水平对称是指函数图像关于x轴对称。
具体而言，若函数f(x)满足对于任意x，f(x) = f(-x)，则函数f(x)是水平对称的。
例如，函数y =x^2是一个典型的水平对称函数，其图像关于x轴对称。
水平对称函数在图像上旋转一定角度后，仍然与原图像重合，这种性质可以简化问题的解决过程。
比如在研究汽车的加速度与减速度时，我们可以利用水平对称性简化计算，因为加速度与减速度的变化规律是相似的。
垂直对称是指函数图像关于y轴对称。
具体而言，若函数f(x)满足对于任意x，f(x) = -f(-x)，则函数f(x)是垂直对称的。
例如，函数y =sin(x)是一个典型的垂直对称函数，其图像关于y轴对称。
垂直对称函数在图像上左右移动一定距离后，仍然与原图像重合。
这种性质在处理对称结构时非常有用。
例如，在纺织品设计中，我们可以利用垂直对称性确定图案的左右对称部分，以减少设计成本和提高生产效率。
中心对称是指函数图像关于某个点对称。
具体而言，若函数f(x)满足对于任意x，f(x) = f(-x + a)，其中a为常数，则函数f(x)是中心对称的。
例如，函数y = e^(-x^2)是一个典型的中心对称函数，其图像关于原点对称。
中心对称函数在图像上绕某个点旋转一定角度后，仍然与原图像重合。
这种性质在物理学中十分重要。
例如，在研究电场的分布时，我们可以利用中心对称性确定电场的中心位置和形状。
零对称是指函数图像关于原点对称。
具体而言，若函数f(x)满足对于任意x，f(x) = -f(-x)，则函数f(x)是零对称的。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中的一个重要概念，它描述了函数图像在某些操作下的不变性。
函数对称性有多种形式，包括对称轴对称、点对称和周期性等。
这些对称性不仅仅是数学上的概念，它们在自然界和现实生活中也有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将对函数对称性进行详细的总结和讨论。
首先，我们来谈谈对称轴对称性。
对称轴对称是指函数图像以某一直线为轴对称，即对于函数图像上的任意一点P，它关于对称轴上的另一点P'是关于对称轴对称的。
对称轴对称性在直角坐标系中通常体现为对称轴为y轴的情况，此时函数图像关于y轴对称。
也有一些例外，比如平方函数y = x^2关于x轴对称，开方函数y = √x关于y轴对称。
对称轴对称性常见于各种二次函数、三次函数等。
其次，点对称性是另一种常见的函数对称性。
点对称是指函数图像关于某个点对称，即对于函数图像上的任意一点P，它关于对称中心O的另一点P'是关于对称中心对称的。
对于点对称性来说，对称中心可以是任意点，不一定是坐标轴上的点。
点对称性常见于正弦函数、余弦函数等周期函数中。
接下来，我们来看一下周期性对称性。
周期性是指函数具有固定的周期，即对于函数中的任意一点P，在以周期为基准的一段距离内，P点和P'点的函数值相同。
周期函数是常见的具有周期性对称性的函数。
例如正弦函数y = sin(x)、余弦函数y = cos(x)、正切函数y = tan(x)等都具有周期性对称性。
除了以上三种常见的函数对称性，还有一些特殊的对称性值得关注。
例如，奇函数和偶函数是两种特殊的对称性形态。
奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数，即函数图像关于坐标原点对称。
常见的奇函数有正弦函数和奇次多项式。
偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数，即函数图像关于y轴对称。
常见的偶函数有余弦函数和偶次多项式。
奇函数和偶函数的对称性在函数的定义和求解中有很多实际应用。
最后，函数对称性在数学中起着重要的作用。
函数对称性问题
函数对称性问题函数图象的对称性体现了数学对称美。
函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。
本文从两方面探讨函数的对称性。
命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x?b?a对称。
2特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。
推论1、函数y?f(a??x)与函数y?f(b??x)的图象关于直线x?b?a对称 2?ab证明：?y?f(a??x)?f[?(x?)], y?f(b??x)?f[??(x?)]??所以，将函数y?f(?x)的图象向左平移|数y?f(??x)的图象向右平移|a?|个单位得y?f(a??x)的图象;将函b?|个单位得函数y?f(b??x)的图象,而y?f(?x)与y?f(??x)的图象关于 y轴对称，可得两函数图象关于直线x?b?ab?a对称。
记忆技巧：令 a??x?b，即对称轴方程。
?? x，易得x?2?2?命题2、若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x?a?b对称。
反之亦然。
2推论2、若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)，(m?0)，则函数y=f(x)的图象关于直线x?a?b对称。
反之亦然。
2命题3、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a?bc,)成中心对称图形。
22下面举例说明其应用。
[例1] 函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称解：由命题1知，两函数图象关于x?3?1?1, 即关于直线x=1对称。
2[例2] 若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0 有_____个根，两方程的所有的根之和为______解：设y1?f(3?2x),y2?f(1?2x),由推广1知，两函数图象关于x?1?31??2?22对称，故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为?1?6??3. 2?[例3] 函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)（1）若方程f(x)=0恰有2n(n?N)个根，则这些根的和为多少？1（2）若方程恰2n+1(n?N)个根，则这些根的和为多少？解：由命题2知，y=f(x)图象关于x??a?b对称。
函数的对称问题重点
函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。
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解填空题常用到的几个公式
1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成的角是β，设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos =
2． 在二面角N l M --的面M 内，有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D,且∠ACD=1θ，∠ABD=2θ，二面角为θ，则22
122sin sin sin θθθ+= 3． 设F 1,F 2为椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ
则21MF F S ∆=2tan 2θ
b , 21e a
b -= . 4． 设F 1,F 2为双曲线122
22=-b
y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ∆=2cot 2θ
b , 12-=e a
b . 5．已知椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2
cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122
22=-b
y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0
202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>=
θ2sin 2P
AB =则线段
函数图像的对称问题(小结)
函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点．．．．．．．．．．．．．．．成．中心对称．．．．与函数自身的对称轴或对称中心．．．．．．．．．．．．．
是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。
造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。
一、 同一个函数图象关于直线的对称
结论1：设a,b 均为常数，函数)(x f y = 对一切数学x 都满足)()(x b f x a f -=+，则函数的图象关于直线2
b a x +=对称。
推论1：在直角坐标系中，满足)()(x a f x a f -=+的函数y=f(x)关于直线x=a 对称（其中a 为常数）
推论2：在直角坐标系中，满足)()(a x f x a f -=-的函数 的图象关于直线x=0对称。
例1 已知函数的定义域为R ，且对于一切实数x 满足
),7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+，
，当]7,2[∈x 时， ， f(x)2)2(-=x 当]20,16[∈x 时，求函数)(2)(x f x x g -=的表达式。
解：由 )7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+知，函数)(x f y =的图象关于直线x=2和x=7对称，且有
)10()]3(7[)]3(7[)4()]2(2[]2)2[()(+=++=+-=-=--=+-=x f x f x f x f x f x f x f )()10(x f x f =-∴
当]17,16[∈x 时， ]7,6[10∈-x ，此时2
2)12()210()10()(-=--=-=x x x f x f ； 当x ]20,17(∈时，],7,4[)20(4),0,3(20∈---∈-x x 22)22(]2)20(4[)]20(4[)20()(-=---=--=-=∴x x x f x f x f ，
g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤--)
2017()22(2)1716()12(222x x x x x x π 二、两个函数图象关于直线的对称
结论2：在同一直角坐标系中，函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2
a b x -=对称（其中a ，b 均为常数） 推论1：在直角坐标系中，函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线x=0对称。
推论2：在直角坐标系中，函数)(x a f y -=与函数)(a x f y -=的图象关于直线x=a 对称（其中a 为常数）。
例2 设函数f(x)x x x g -+==112)(,2，则它们的图象（ ）
A ．关于原点中心对称
B ．关于直线x=0对称
C ．关于直线x=1对称
D ．既不成中心对称也不成轴对称
解析：由推论1知，这两个函数图象的对称轴方程为x=0，即y 轴，故应选B 。
三、 同一个函数图象关于点成中心对称
结论3：设a ，b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
例2 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ，求)2002()(11x f x f -+--的值。
解：由已知，在等式b x a f x a f 2)()(=-++中，令a=0，2b=2002，则函数)(x f y =关于点(0,1001)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1x f y -=关于点(1001,0)对称。
0)1001()1001(11=-++∴--x f x f
将上式中的x 用x －1001换，得)2002()(11x f x f -+--=0 。
四、 两个函数图象关于点成中心对称
结论4：设a ，b ，c 均为常数，则函数 )(x a f y += 与)(x b f c y --= 关于点(2,2c a b -)成中心对称图形。
例4 已知函数)(x f y =是定义在实数集R 上的函数，那么)6(x f y -=与)4(+-=x f y 的图象（ ）
A ．关于直线x=5对称
B ．关于直线x=1对称
C ．关于点)0,5(对称
D ．关于点(1,0)对称
解析：由题意，已知式变形为)4(+=-x f y ，)6(x f y --=-，则有a=4，b=6，c=0。
由结论4知，)6(x f y -=与)4(+-=x f y 关于点(
2
0,246-)成中心对称，即关于点 (1,0)对称，故应选择D 。