信号完整性中的反射问题原理

ωt±βz=const（常数）
(1.3.7)
上式两边对 t 微分，有
Vp
=
m dz dt
=
w β
(1.3.8)
传输线上的波长λ与自由空间的波长λ0 的关系:
λ = 2π = vp = λ0 β f εr
（1.3.9）
对于均匀无耗传输线来说, 由于β与ω成线性关系, 故导行波的相速与频率无关, 也 称为无色散波。当传输线有损耗时, β不再与ω成线性关系, 使相速 Vp 与频率ω有关, 这就称为色散特性。

信号完整性中的反射问题原理
作者：靳冶 2008 年 06 月
摘要：信号完整性，即信号在信号线上的质量，指的是因数字信号的模拟特性而产生的 任何影响信号传输的现象。在如此高的传输速率下，由信号走线的细微疏忽而产生的延 时、接口等问题不仅在一条线上产生影响，还会将串扰加在邻近信号线甚至邻进的电路 板上，严重时将使信号传输发生紊乱，使得整个系统不能正常工作。随着高速信号的迅 速发展，信号完整性的重要性日益突出出来。影响信号完整性的因素通常被归纳为反射、 振荡和环绕振荡、地电平面反弹噪声、串扰四个方面。本文选对其中的“反射”问题， 分别从“场”和“路”的角度对其产生原理进行简要分析。 关键字：信号完整性 反射 均匀传输线方程 反射系数 阻抗匹配 均匀平面波
现在来确定待定系数, 由图 1-1（a）可知, 传输线的边界条件通常有以下三种: 1. 已知终端电压 U l 和终端电流 I l ; 2. 已知始端电压 U i 和始端电流 I I ; 3. 已知信源电动势 Eg 和内阻 Zg 以及负载阻抗 Z l 。
讨论第一种情况
将边界条件 z=0 处 U(0)=Ul、I(0)=Il 代入式（1.2.3）， 得
（1.2.3a）
式中,
I(z) =
I +(z,t)
+ I −(z,t)
=
1 Z0
A1e +γ z
−
A2e −γ z
Z0 = (R + jwL) /(G + jwc)
（1.2.3b）
令γ=α+jβ, 则可得传输线上的电压和电流的瞬时值表达式为
u(z, t)=u+(z, t)+u-(z, t)
（1.2.4）
Zg
~ Eg
zl
Δz
z＋Δ z
z
(a)
i(z＋Δ z,t)
RΔ z LΔ z
＋
Z1 u(z＋Δz,t)
CΔ z GΔ z
－
i(z,t)
＋
u(z,t)
－
0
z
(b)
(d )
(c)
图 1-1 均匀传输线及其等效电路
设在时刻 t, 位置 z 处的电压和电流分别为 u(z, t)和 i(z, t), 而在位置 z+Δz 处的电 压和电流分别为 u(z+Δz, t)和 i(z+Δz, t)。 对很小的Δz, 忽略高阶小量, 有
=A1e+αzcos(ωt+βz)+A2e-αz cos(ωt-βz)
i(z, t)=i+(z, t)+i-(z, t)
（1.2.5）
= 1/Z0 [A1e+αzcos(ωt+βz)+A2e-αz cos(ωt-βz)]
由上式可见, 传输线上电压和电流以波的形式传播, 在任一点的电压或电流均由沿-z 方向传播的行波（称为入射波）和沿+z 方向传播的行波（称为反射波）叠加而成。
对于直径为 d、间距为 D 的平行双导线传输线, 其特性阻抗为
Z0
=
120 εr
ln
2D d
(1.3.3)
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式中,εr 为导线周围填充介质的相对介电常数。

1.3.2 传播常数γ
传播常数γ是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中衰减和相移的参数, 通常为 复数,由前面分析可知
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第一章 从电路角度分析
反射就是在传输线上的回波。信号功率(电压和电流)的一部分传输到线上并达到负载 处，但是有一部分被反射了。源端与负载端阻抗不匹配会引起线上反射，负载将一部分 电压反射回源端。如果负载阻抗小于源阻抗，反射电压为负，反之，如果负载阻抗大于 源阻抗，反射电压为正。布线的几何形状、不正确的线端接、经过连接器的传输及电源 平面的不连续等因素的变化均会导致此类反射。本章从传输线理论的角度，简要介绍因 阻抗不匹配引起线的上反射，并介绍了如何实现阻抗匹配。
u(z, t)+RΔzi(z, t)+LΔzi(z, t)t-u(z+Δz, t)=0
i(z, t)+GΔzu(z+Δz, t)+CΔzu(z+Δz, t)t-i(z+Δz, t)=0 （1.1.2）
将式（1- 1- 1）代入式（1- 1- 2）, 并忽略高阶小量, 可得
u(z, t)z = Ri(z, t) + Li(z, t)t + L ∂i(z,t) ∂t
（1.1.1）
⎪⎧u(z + Δz,t) − u(z,t) ⎨ ⎪ i(z + Δz,t) − i(z,t)
= =
u( z, t ) zΔz i( z, t ) zΔz
∂u(z,t) Δz
∂i(z∂,zt) Δz
⎩
∂z
对图 1- 1（b）， 应用基尔霍夫定律可得
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1.3 传输线的工作特性参数
1.3.1 特性阻抗 Z0
将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的特性阻抗, 用 Z0 来表示, 其倒数 称为特性导纳, 用 Y0 来表示。
特性阻抗一般表达式为
Z0 =
R + jwL C + jwC
对于均匀无耗传输线, R=G=0, 传输线的特性阻抗为
(1.3.1)
i(z, t)z = Gu(z, t) + Cu(z, t)t + c ∂i(z,t) ∂t
这就是均匀传输线方程，也称电报方程。
对于时谐电压和电流, 可用复振幅表示为
u(z, t)=Re［U(z)e jωt］
（1.1.4a）
i(z, t)=Re［I(z)e jωt］
（1.1.4b）
将上式代入（1- 1- 3）式, 即可得时谐传输线方程
1.1均匀传输线方程
由均匀传输线组成的导波系统都可等效为如图1- 1（a）所示的均匀平行双导线系统。 其 中传输线的始端接微波信号源（简称信源）, 终端接负载, 选取传输线的纵向坐标为z, 坐标原点选在终端处, 波沿负z方向传播。 在均匀传输线上任意一点z处, 取一微分线 元Δz（Δzλ）, 该线元可视为集总参数电路, 其上有电阻RΔz、电感LΔz、电容CΔz 和漏电导GΔz(其中R, L, C, G分别为单位长电阻、单位长电感、单位长电容和单位长 漏电导),得到的等效电路如图1- 1（b）所示, 则整个传输线可看作由无限多个上述等 效电路的级联而成。有耗和无耗传输线的等效电路分别如图1- 1（c）、（d）所示。
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1.4 传输线阻抗与状态参量

传输线上任意一点电压与电流之比称为传输线在该点的阻抗, 它与导波系统的状态特 性有关。由于微波阻抗是不能直接测量的, 只能借助于状态参量如反射系数或驻波比的 测量而获得，为此，引入以下三个重要的物理量: 输入阻抗、反射系数和驻波比。
Z0 =
1 C
此时, 特性阻抗 Z0 为实数, 且与频率无关。
当损耗很小, 即满足 R<<ωL、 G<<ωC 时，有
Z0 =
R + jwL ≈ G + jwC
L (1+ 1 R )(1− 1 G ) C 2 jwL 2 jwC
≈
L [1−
j
1 (
R
−
c
)] ≈
L
C 2 wL wc C
(1.3.2)
可见, 损耗很小时的特性阻抗近似为实数。
写成矩阵形式为

(1.2.8a) (1.2.8b)
⎡U z ⎢⎣ I z
⎤ ⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
chγ z
1 z0
shγ
z
Z 0 shγ z chγz
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡U l⎢ ⎣ຫໍສະໝຸດ Il⎤ ⎥ ⎦
(1.2.9)
可见, 只要已知终端负载电压 Ul、电流 Il 及传输线特性参数γ、Z0, 则传输线上任意 一点的电压和电流就可由式（1.2.9）求得。
Ul=A1+A2
(1.2.6a)
I l= 1/Z0(A1-A2)
(1.2.6b)
由此解得
A1=l2 (Ul+I l Z0)
(1.2.7a)
A2=l2 (Ul-I l Z0)
(1.2.7b)
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将上式代入式（1.2.2）， 则有
U(z)=Ul chγz+IlZ0 shγz
I(z)=Il chγz+U1/Z0(shγz)
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
d 2U (z)
dz 2 d 2I(z)
dz 2
− −
ZYU (z) = 0 ZYI(z) = 0
（1.1.5）
（1.1.3）
式中, Z=R+jωL, Y=G+jωC, 分别称为传输线单位长串联阻抗和单位长并联导纳。
1.2 均匀传输线方程的解
将式（1.1.5）第 1 式两边微分并将第 2 式代入, 得
同理可得
d 2U (z) − ZYU (z) = 0 （1.2.1a） dz 2
d 2I (z) − ZYI (z) = 0 dz 2
（1.2.1b）
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