人教版数学高一作业第二章章末检测(A)
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末检测试卷 新人教A版选修23
第二章 随机变量及其分布章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( ) A.25 B.34 C.12 D.18 考点 条件概率题点 直接利用公式求条件概率 答案 C解析 ∵P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (AB )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝12. 2．10张奖券中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( ) A.310 B.112 C.12 D.1112 考点 排列与组合的应用 题点 排列、组合在概率中的应用 答案 D解析 设事件A 为“无人中奖”，即P (A )＝C 57C 510＝112，则至少有1个人中奖的概率P ＝1－P (A )＝1－112＝1112.3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”，A 1，A 2相互独立， 由已知得：P (A 1)＝0.8，P (A 1A 2)＝0.6，由P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝0.8×P (A 2)＝0.6， 解得P (A 2)＝0.60.8＝0.75.4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y <6)的值为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.1 D ．0.2 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由Y ＝2X －1<6，得X <3.5，∴P (Y <6)＝P (X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3. 5．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <1)的值为( )A.12p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 D解析 由正态曲线的对称性知P (X <1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X <0)＝P (X >2)，所以P (0<X <1)＝P (X <1)－P (X <0)＝P (X <1)－P (X >2)＝12－p .6．已知离散型随机变量X 的分布列如下：则均值E (X )与方差D (X )分别为( ) A ．1.4,0.2 B ．0.44,1.4 C ．1.4,0.44D ．0.44,0.2考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 答案 C解析 由离散型随机变量的性质知a ＋4a ＋5a ＝1，∴a ＝0.1.∴P (X ＝0)＝0.1，P (X ＝1)＝0.4，P (X ＝2)＝0.5，∴均值E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D (X )＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.7．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ≤1)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112.8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为( )A.16B.13C.12D.635考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A解析 设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 9．设随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56B.45C.2021D.3132 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 D解析 ∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴方程x 2＋4x ＋X ＝0存在实数根， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4，∵随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132，故选D.10．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( )A ．0.93B ．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C 35×0.93×0.12.11．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A.49B.1927C.1127D.4081考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1927，故选B.12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的面上的数之积的均值是( ) A.19 B.29 C.13 .D.49 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 D解析 将小正方体抛掷1次，向上的面上可能出现的数有0,1,2，概率分别为12，13，16，将这个小正方体抛掷2次，可以表示为下表：令ξ为小正方体抛掷2次后向上的面上的数之积，则积为0的概率P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋12×13＋12×16＝34.积为1的概率P (ξ＝1)＝13×13＝19.积为2的概率P (ξ＝2)＝13×16＋13×16＝19.积为4的概率P (ξ＝4)＝16×16＝136，所以向上的面上的数之积的均值E (ξ)＝0×34＋1×19＋2×19＋4×136＝49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D (η)＝3.2，则P (ξ＝2)＝________.考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布的分布列求概率 答案32625解析 由已知np ＝4,4np (1－p )＝3.2，∴n ＝5，p ＝0.8，∴P (ξ＝2)＝C 25p 2(1－p )3＝32625.14．某处有水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为110，则3个水龙头同时被打开的概率为________． 考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 0.008 1解析 对5个水龙头的处理可视为做5次独立重复试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C 35×0.13×0.92＝0.008 1.15．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，向量a ＝(1,2)与向量b ＝(ξ，－1)的夹角为锐角的概率是12，则μ＝______.考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 2解析 由向量a ＝(1,2)与向量b ＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a ·b >0，即ξ－2>0，解得ξ>2，则P (ξ>2)＝12.根据正态分布密度曲线的对称性，可知μ＝2.16．一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止．若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X 的均值E (X )＝________. 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 1.89解析 由题意知，X 的可能取值是0,1,2，对应的概率分别为P (X ＝2)＝0.9，P (X ＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P (X ＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01， 由此可得均值E (X )＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响． (1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率． 考点 互斥、对立、独立重复试验的综合应用 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.18．(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值．考点 均值与方差的综合应用题点 离散型随机变量的分布列及均值 解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.P (ξ＝1)＝13， P (ξ＝3)＝13×12＝16， P (ξ＝4)＝13×12＝16，P (ξ＝6)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×1＝13，ξ的分布列为(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.19．(12分)从1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数恰有1个偶数的概率；(2)记X 为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X 的值为2，求随机变量X 的分布列及均值E (X )． 考点 均值与方差的综合应用 题点 离散型随机变量的分布列及均值解 (1)设Y 表示“任取的3个数中偶数的个数”， 则Y 服从N ＝9，M ＝4，n ＝3的超几何分布， ∴P (Y ＝1)＝C 14C 25C 39＝1021.(2)X 的取值为0,1,2，P (X ＝1)＝2×6＋6×5C 39＝12， P (X ＝2)＝7C 39＝112，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝512.∴X 的分布列为∴E(X)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.20．(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：(1)求a的值和ξ的均值；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．考点互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解(1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．则由事件的独立性得P(A1)＝C12P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值．考点 均值与方差的应用题点 离散型随机变量的分布列及均值解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A . P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.22．(12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有(n ＋m )道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量． (1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值．解 以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2. (1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝nm ＋n ·n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14，P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝nn ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14.从而X 的分布列为所以E (X )＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.。
高中数学人教A版必修一优化练习第二章章末检测含解析
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
4
1. e－3 2＝( ) A．e－3
B．3－e
C. 3－e
D．± 3－e
解析：∵e<3，∴e－3<0，
1
1
1
∴4 e－3 2＝[(e－3)2] 4 ＝[(3－e)2] 4 ＝(3－e) 2 4 ＝ 3－e.
A．0
B.1
C．ln(ln 2)
D．2
解析：∵0<ln 2<1，∴f(ln 2)＝eln 2－1＝2－1＝1.
答案：B 4．函数 f(x)＝ x ·ax(a＞1)的图象的大致形状是( )
|x|
解析：当 x＞0 时，f(x)＝ax，
1
当 x＜0 时，f(x)＝－ax，
则 f(x)＝|xx|·ax(a＞1)的图象为 B.
解析：题设等价于 ax＝x＋a 有两个解，即 y＝ax 与直线 y＝x＋a 有两个交点，如
图所示：
答案：a>1 16. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2a－1)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是________． 解析：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f(－ 2)＝f( 2)， ∴f(2|a－1)| >f( 2)，∴2 |a－ 1<| 2＝2 .
即 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 则 f(－x)＝2－x1－1＋21
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式章末检测新人教A版必修第一册
第二章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B【答案】B 【解析】因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B ．2．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q【答案】C 【解析】因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2m －1·4m －1＋1＝5＝Q ，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立．故选C ． 3．下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．{x |x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}【答案】A 【解析】(方法一)取x ＝－2，知符合x ＜1x＜x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B ，C ，D ．(方法二)由题知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1x＜0，1x －x 2＜0，解得x ＜－1.故选A ．4．已知y ＝3x 2＋12x 2，则y 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[6，＋∞)【答案】D 【解析】因为x 2＞0，所以3x 2＋12x 2≥23x 2·12x2＝6，所以y 的取值范围为[6，＋∞)．故选D ．5．设a ，b 均为正数，且a ＋b ＝3，则2a ＋bab的最小值为( )A ．2 2B ．2＋23C ．1＋223D ．2＋2 2【答案】C 【解析】2a ＋bab ＝2b ＋1a ＝13×(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋1a ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b a ＋3≥13×2×2a b ·b a ＋1＝223＋1，当且仅当2a b ＝ba，且a ＋b ＝3，即a ＝32－3，b ＝6－32时取“＝”，所以2a ＋b ab 的最小值为1＋223.故选C ．6．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3【答案】D 【解析】由题意得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，则A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知－1和2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－a ，－1×2＝b ，故a ＝－1，b ＝－2，故a ＋b ＝－3.7．(2021年长春模拟)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A ．32 B ．3 C ．12D ．1【答案】B 【解析】由题意得y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．8．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值是( )A ．63B ．－233C ．433D ．－433【答案】D 【解析】由题意可知x 1，x 2为方程x 2－4ax ＋3a 2＝0(a <0)的两根，所以x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a .则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .因为a <0，所以－⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥24a ×13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，当且仅当a ＝－36时取等号．故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．(2021年济南期中)已知a ，b ，c ，d 是任意实数，则以下命题中正确的是( ) A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d C ．若a >b ，c >d ，则ac >bdD ．若a >b ，则1a >1b【答案】AB 【解析】A ．由ac 2>bc 2，得c ≠0，则a >b ，A 正确；B ．由不等式的同向可加性可知B 正确；C 错误，当0>c >d 时，不等式不成立；D 错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选AB ．10．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋1＞aB ．a 2＋9＞6aC ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4D ．⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4 【答案】ACD 【解析】设a ＞0，b ＞0，a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，A 成立；a 2＋9－6a＝(a －3)2≥0，B 不成立；(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 成立；a ＋1a≥2，b ＋1b≥2，故D 成立．故选ACD ．11．下列各小题中，最大值是12的是( )A ．y ＝x 2＋116x2 B ．y ＝x 1－x 2，x ∈[0,1] C ．y ＝x 2x 4＋1D ．y ＝x ＋4x ＋2(x ＞－2) 【答案】BC 【解析】选项A ，y 没有最大值；选项B ，y 2＝x 2(1－x 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1－x 222＝14，所以y ≤12，当且仅当x ＝22时等号成立；选项C ，x ＝0时，y ＝0，x ≠0时，y ＝1x 2＋1x2≤12，当且仅当x ＝±1时等号成立；选项D ，y ＝x ＋2＋4x ＋2－2≥2x ＋2·4x ＋2－2＝2，当且仅当x ＝0时等号成立．故选BC ．12．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( ) A ．ab 有最大值14B ．a ＋b 有最小值1C ．1a ＋1b有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值22【答案】AC 【解析】1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以ab 有最大值14，所以A 正确；a ＋b ≥2ab ，2ab ≤2，所以a ＋b 的最小值不是1，所以B 错误；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，所以1a ＋1b有最小值4，所以C 正确；a 2＋b 2≥2ab,2ab ≤12，所以a 2＋b 2的最小值不是22，所以D 错误．故选AC ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．如果a >b ，ab <0，那么1a 与1b的大小关系是________．【答案】1a >1b 【解析】1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b.14．已知a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝1，则3a －1＋2b －1的最小值为________．【答案】2 6 【解析】由题意得1a ＝1－1b ＝b －1b ＞0，所以a －1＝1b －1.所以3a －1＋2b －1＝3(b －1)＋2b －1≥23b －1·2b －1＝26，当且仅当3(b －1)＝2b －1，即b ＝1＋63时，上式等号成立．15．(2021年山东模拟)已知a ＞1，b ＞0，且1a －1＋1b＝1，则a ＋b 的最小值是________． 【答案】5 【解析】∵a ＞1，∴a －1＞0.∵1a －1＋1b＝1，∴a ＋b ＝[(a －1)＋b ]＋1＝[(a －1)＋b ]⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b ＋1＝3＋b a －1＋a －1b ≥3＋2ba －1·a －1b ＝5.当且仅当ba －1＝a －1b，即a ＝3，b ＝2时取等号，∴a ＋b 的最小值为5. 16．(2021年绍兴模拟)设a ，b ，x ，y 均为正数且a ≠b ，则有a 2x ＋b 2y ≥a ＋b2x ＋y，当且仅当a x ＝b y 时，等号成立．利用以上结论，可得当0＜x ＜12时，2x ＋91－2x的最小值为________，此时x 的值为________．【答案】25 15 【解析】根据已知结论， 2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时取得最小值．四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．设a ＞0，b ＞0，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小． 解：因为a ＞0，b ＞0，所以a 2b＋b 2a ＝a b ＋b a .根据均值不等式可得ab＋b ≥2a ，①ba＋a ≥2b ，② 当且仅当a ＝b 时取等号．由①＋②，得a b ＋ba ＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即a 2b＋b 2a≥a ＋b . 18．解关于x 的不等式：x 2＋(1－m )x －m ＞0，其中m ∈R . 解：由x 2＋(1－m )x －m ＞0，可得(x ＋1)(x －m )＞0.当m ＝－1时，解得x ≠－1；当m ＞－1时，解得x ＜－1或x ＞m ；当m ＜－1时，解得x ＜m 或x ＞－1.综上所述，当m ＝－1时，不等式的解集是{x |x ≠－1}；当m ＞－1时，不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞m }；当m ＜－1时，不等式的解集为{x |x ＜m 或x ＞－1}． 19．(2021年南通期末)已知y ＝x ＋2x 2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围；(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)．故1y ＝x 2＋x ＋1x ＋2＝t －22＋t －2＋1t＝t 2－3t ＋3t ＝t ＋3t －3≥23－3.∴1y≥23－3.(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t ，t ＝3，x ＝3－2，y ＝123－3＝23＋33.∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.20．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形无顶虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .因为2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)设每间虎笼长为x m ，宽为y m.(方法一)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 因为2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．(方法二)由xy ＝24，得x ＝24y.所以l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．21．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |α＜x ＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．解：因为不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解为α＜x ＜β，其中β＞α＞0，所以有α＋β＝－ba ，αβ＝c a且a ＜0，c ＜0.设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根为m ，n ，且m ＜n ，则m ＋n ＝－b c ＝α＋βαβ＝1α＋1β，mn＝a c ＝1αβ＝1α·1β，所以n ＝1α，m ＝1β.又因为c ＜0，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1α或x ＜1β. 22．已知关于x 的方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0. (1)m 为何实数时，方程有两正实数根？(2)m 为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？解：方法一：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＝4m ＋22－4m 2－1≥0，x 1＋x 2＝2m ＋2>0，x 1x 2＝m 2－1>0，解得－54≤m <－1或m >1.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2＝m 2－1<0，解得－1<m <1.方法二：(1)设y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1， 因为方程有两正实数根，所以函数图象如图所示，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a ＝m ＋2>0，m 2－1>0，解得－54≤m <－1或m >1.(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图所示． 当x ＝0时，y ＝m 2－1.由题意知m 2－1<0，解得－1<m <1.。
高中数学人教A版必修二 章末综合测评4 Word版含答案
圆与方程一、选择题1．(2016·葫芦岛高一检测)过点(21)的直线中被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1－2)由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1即3x －y －5＝0故选A 【答案】 A2．已知点M (ab )在圆O ：x 2＋y 2＝1外则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外则a 2＋b 2＞1圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2＜1故直线与圆相交．【答案】 B3．若P (2－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0【解析】 圆心C (10)k PC ＝0－(－1)1－2＝－1则k AB ＝1AB 的方程为y ＋1＝x －2 即x －y －3＝0故选D 【答案】 D4．圆心在x 轴上半径为1且过点(21)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a0)则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1解得a＝2故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1【答案】 A8．(2016·泰安高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()【09960151】A．36 B．18C．6 2 D．5 2【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(22)半径为32圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2【答案】 C9．过点P(－24)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l直线m：ax－3y＝0与直线l平行则直线l与m的距离为()A．4 B．2C 85D125【解析】P为圆上一点则有k OP·k l＝－1而k OP＝4－1－2－2＝－34∴k l＝43∴a＝4∴m：4x－3y＝0l：4x－3y＋20＝0∴l与m的距离为|20|42＋(－3)2＝4【答案】 A10．一个几何体的三视图如图1所示正视图和侧视图都是等边三角形该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(000)(200)(220)(020)则第五个顶点的坐标可能是()图1A ．(111)B ．(112)C ．(113)D ．(223)【解析】 由三视图知该几何体为正四棱锥正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心高为3则第五个顶点的坐标为(113)．故选C【答案】 C11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－22)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (mn )则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3n ＝－3所以圆C 2的圆心坐标为(3－3)所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2故选D【答案】 D12．(2016·台州高二检测)已知圆O ：x 2＋y 2－4＝0圆C ：x 2＋y 2＋2x －15＝0若圆O 的切线l 交圆C 于AB 两点则△OAB 面积的取值范围是( )图2 A．[27215] B．[278] C．[23215] D．[238]【解析】S△OAB ＝12|AB|·2＝|AB|设C到AB的距离为d则|AB|＝242－d2又d∈[13]7≤42－d2≤15所以S△OAB＝|AB|∈[27215]．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上) 13．已知A(123)B(56－7)则线段AB中点D的坐标为________．【解析】设D(xyz)由中点坐标公式可得x＝1＋52＝3y＝2＋62＝4z＝3－72＝－2所以D(34－2)．【答案】(34－2)14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．【解析】原点O到直线的距离d＝1532＋42＝3设圆的半径为r∴r2＝32＋42＝25∴圆的方程是x2＋y2＝25【答案】x2＋y2＝2515．(2015·重庆高考)若点P(12)在以坐标原点为圆心的圆上则该圆在点P处的切线方程为________．【解析】∵以原点O为圆心的圆过点P(12)∴圆的方程为x2＋y2＝5∵k OP＝2∴切线的斜率k＝－1 2由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1) 即x ＋2y －5＝0 【答案】 x ＋2y －5＝016．若xy ∈R 且x ＝1－y 2则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)此方程表示半圆如图设P (xy )是半圆上的点则y ＋2x ＋1表示过点P (xy )Q (－1－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k 则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1解得k ＝34又k BQ＝3∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A (－14)B (32)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2 ∵该圆经过A 、B 两点∴⎩⎨⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝1，r 2＝10. 所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10 法二：线段AB 的中点为(13) k AB ＝2－43－(－1)＝－12∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1) 即y ＝2x ＋1由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(01)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1018．(本小题满分12分)如图3所示BC ＝4原点O 是BC 的中点点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0点D 在平面yOz 上且∠BDC ＝90°∠DCB ＝30°求AD 的长度．图3【解】 由题意得B (0－20)C (020)设D (0yz )在Rt △BDC 中∠DCB ＝30° ∴|BD |＝2|CD |＝23∴z ＝32－y ＝3 ∴y ＝－1∴D (0－13)． 又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0∴|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋()－32＝ 619．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明：不论m 为何值时直线和圆恒相交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程． 【解】 (1)证明：由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0 得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0 解⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 恒过定点A (31)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25 ∴(31)在圆C 的内部故直线l 与圆C 恒有两个公共点．(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时有l⊥AC由k AC＝－12得l的方程为y－1＝2(x－3)即2x－y－5＝020．(本小题满分12分)点A(02)是圆x2＋y2＝16内的定点BC是这个圆上的两个动点若BA⊥CA求BC中点M的轨迹方程并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M(xy)因为M是弦BC的中点故OM⊥BC又∵∠BAC＝90°∴|MA|＝12|BC|＝|MB|∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]化简为x2＋y2－2y－6＝0即x2＋(y－1)2＝7∴所求轨迹为以(01)为圆心以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点定点AC的坐标分别是A(－23)C(21)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2－2)求直线BC截圆E所得的弦长．【解】(1)AC的中点E(02)即为圆心半径r＝12|AC|＝1242＋(－2)2＝ 5所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)2－(－2)＝34其方程为y－1＝34(x－2)即3x－4y－2＝0点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2所以BC截圆E所得的弦长为25－22＝222(本小题满分12分)如图5已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0点A(06)．(1)求圆心在直线y＝x上经过点A且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于PQ两点且圆弧PQ恰为圆C周长的14求直线m的方程．【09960152】图5【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50所以圆C的圆心坐标为C(－5－5)又圆N的圆心在直线y＝x上所以当两圆外切时切点为O设圆N的圆心坐标为(aa) 则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2解得a＝3所以圆N的圆心坐标为(33)半径r＝3 2故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的14所以CP⊥CQ所以点C到直线m的距离为5当直线m的斜率不存在时点C到y轴的距离为5直线m即为y轴所以此时直线m的方程为x＝0当直线m的斜率存在时设直线m的方程为y＝kx＋6即kx－y＋6＝0所以|－5k＋5＋6|1＋k2＝5解得k＝4855所以此时直线m的方程为4855x－y＋6＝0即48x－55y＋330＝0故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0。
高中数学章末过关检测二一元二次函数方程和不等式新人教A版必修第一册
章末过关检测(二) 一元二次函数、方程和不等式一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合A ＝{x |x 2＋2x >0}，B ＝{x |x 2＋2x －3<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3<x <1} B ．{x |－3<x <－2} C ．R D ．{x |－3<x <－2或0<x <1} 2．若x ＜y ＜0，z ∈R ，则( )A ．x 3＜y 3B ．1x ＜1yC ．xz 2＜yz 2D ．x 2＜y 23．已知P ＝a 2＋4a2(a ≠0)，Q ＝b 2－4b ＋7(1＜b ≤3).则P 、Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ≤Q 4．若a ＞1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－15．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则ab 的值为( ) A ．－1 B ．－14 C ．14 D ．－126．[2022·山东菏泽高一期中]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值27．用一段长为16 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙的长大于16 m)，则菜地的最大面积为( )A ．64 m 2B ．48 m 2C ．32 m 2D ．16 m 28．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝ab ，若不等式2a ＋b ≥2m 2－9恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．7二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，则下列选项中一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．1a －1c＞0 C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜010．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－12，3)，以下结论正确的有( )A ．b <0B ．c >0C ．4a ＋2b ＋c <0D ．a 2＋b ＋c ≥－411．解关于x 的不等式：ax 2＋(2－4a )x －8＞0，则下列说法中正确的是( ) A ．当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞4}B ．当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞4或x ＜－2aC ．当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2a ＜x ＜4 D ．当a ＝－12时，不等式的解集为∅12．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则下列说法中正确的是( ) A ．xy 有最大值为14B ．1x ＋4y 有最小值为9C ．x 2＋2y 2有最小值为34 D ．y x ＋1y 有最小值为3三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．不等式2－xx ＋4＞0的解集为________．14．不等式kx 2＋2kx ＋1＞0的解集为R ，则k 的取值范围是________．15．某商品在最近30天内的价格y 1与时间t (单位：天)的关系式是y 1＝t ＋10(0<t ≤30，t ∈N )；销售量y 2与时间t 的关系式是y 2＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额z 不小于500元的t 的取值范围为________________．16．已知定义在R 上的运算“”：x y ＝x (1－y )，关于x 的不等式(x －a )(x ＋a )＞0.(1)当a ＝2时，不等式的解集为________________；(2)若∀x ∈{x |0≤x ≤1}，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________． 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(1)若x ∈R ，试比较3x 2＋6x 与4x 2－2x ＋16的大小； (2)已知－5＜x ＜4，2＜y ＜3.求x －2y 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式(ax ＋1)(x －2a )＜0的解集为M .(1)a ＝－1时，求集合M ；(2)若1∈M ，2∉M ，求实数a 的取值范围．19.(本小题满分12分)正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．20．(本小题满分12分)(1)已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc . (2)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：4a ＋1b≥9.21.(本小题满分12分)某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为200平方米．(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(ax ＋1)(x －1)，a ∈R . (1)若a ＝13，解不等式f (x )≥0；(2)解关于x 的不等式f (x )＜0.章末过关检测(二) 一元二次函数、方程和不等式1．解析：A ＝{x |x 2＋2x >0}＝{x |x <－2或x >0}，B ＝{x |x 2＋2x －3<0}＝{x |－3<x <1}，∴A ∩B ＝{x |－3<x <－2或0<x <1}．答案：D2．解析：由x ＜y ＜0，则x 3＜y 3，A 正确；1x ＞1y，B 错误；x 2＞y 2，D 错误．当z ＝0时，xz 2＝yz 2，C 错误．答案：A3．解析：P ＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当a ＝±2时等号成立，Q ＝b 2－4b ＋7＝(b －2)2＋3≤4，当b ＝3时等号成立，所以P ≥Q . 答案：C4．解析：∵a ＞1， ∴a －1＞0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 答案：A5．解析：由题意可知方程ax 2＋bx ＋1＝0的根为－1，2，由韦达定理得：－1＋2＝－b a，－1×2＝1a ，解得b ＝12，a ＝－12，所以ab ＝－14.答案：B6．解析：方法一：∵x ≥52，∴x －2＞0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x－2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 方法二：令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.答案：D7．解析：根据题意，设篱笆的宽为x m ，则长为(16－2x )m ，所以菜地面积为S ＝x (16－2x )＝12×2x (16－2x )≤12(2x ＋16－2x 2)2＝32，当且仅当2x ＝16－2x ，即x ＝4时等号成立， 所以菜地的最大面积为32 m 2. 答案：C8．解析：因为a ＋2b ＝ab ， 所以1b ＋2a＝1，又a ＞0，b ＞0，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(2a ＋1b )＝4＋1＋2b a ＋2ab≥5＋24＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以2m 2－9≤9，即－3≤m ≤3，m 的最大值为3. 答案：C9．解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0且b 的符号不确定．对于A ，∵b ＞c ，a ＞0，由不等式的基本性质可得ab ＞ac ，故A 一定能成立； 对于B ，∵1a －1c ＝c －a ac ，∵ac ＜0，c －a ＜0，∴c －a ac ＞0，即1a －1c＞0，故B 一定能成立；对于C ，取b ＝0，则cb 2＝ab 2，若b ≠0，有cb 2＜ab 2，故C 不一定成立； 对于D ，∵ac ＜0，a －c ＞0，∴ac (a －c )＜0，故D 一定能成立． 答案：ABD10．解析：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－12，3)，知：－12，3是f (x )＝ax 2＋bx＋c 的两个零点且a ＜0即函数图象开口向下，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝52c a ＝－32，即b ＝－52a ＞0，c ＝－32a ＞0且f (2)＝4a ＋2b ＋c ＞0，∵a 2＋b ＋c ＋4＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0，所以D 正确． 答案：BD11．解析：对于A ：当a ＝0时，不等式为2x －8＞0，解得x ＞4，所以不等式的解集为{x |x ＞4}，故选项A 正确；对于B 、C 、D ：由ax 2＋(2－4a )x －8＞0可得(ax ＋2)(x －4)＞0，对应方程(ax ＋2)(x －4)＝0的两根分别为x 1＝－2a，x 2＝4，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0－2a＜4即a ＜－12时，原不等式解集为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2a ＜x ＜4，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0－2a＞4即－12＜a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪4＜x ＜－2a ， 当a ＝－12时，－2a ＝4，此时(ax ＋2)(x －4)＞0的解集为∅，故选项BC 不正确，选项D 正确． 答案：AD12．解析：由x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，可知x ＋y ≥2xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝14，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，故A 正确；1x ＋4y＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋24＝9，当且仅当y x ＝4x y 即x ＝13，y ＝23时取等号，故B 正确； 由x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，可知0＜x ＜1，故x 2＋2y 2＝x 2＋2(1－x )2＝3x 2－4x ＋2， 当x ＝23∈(0，1)时，x 2＋2y 2＝3x 2－4x ＋2取得最小值为3×49－4×23＋2＝23，故C 错误；y x ＋1y ＝y x ＋x ＋y y ＝y x ＋x y ＋1≥2＋1＝3，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取等号，故D 正确． 答案：ABD13．解析：原不等式可化为(2－x )(x ＋4)＞0，解得－4＜x ＜2. 答案：{x |－4＜x ＜2}14．解析：①当k ＝0时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为R ，符合题意；②当k ≠0时，要使得不等式的解集为R ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝（2k ）2－4k ×1＜0，解得0＜k ＜1；综上可得，实数k 的取值范围是0≤k ＜1.答案：0≤k ＜115．解析：z ＝(t ＋10)(－t ＋35)， 依题意有(t ＋10)·(－t ＋35)≥500，解得10≤t ≤15，t ∈N ，所以解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }． 答案：{t |10≤t ≤15，t ∈N }16．解析：(1)当a ＝2时，不等式(x －a )(x ＋a )＞0为(x －2)(1－x －2)＞0，即(x －2)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜2，解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)不等式(x －a )(x ＋a )＞0为(x －a )(1－x －a )＞0，即－x 2＋x ＋a 2－a ＞0，不等式对∀x ∈{x |0≤x ≤1}恒成立，设y ＝－x 2＋x ＋a 2－a ，则只要∀x ∈{0≤x ≤1}，y min ＞0，y ＝－(x －12)2＋14＋a 2－a ，当x ＝0或x ＝1时，y min ＝a 2－a ，所以y min ＝a 2－a ＞0，解得a ＜0或a ＞1.答案：{x |－1＜x ＜2} a ＜0或a ＞117．解析：(1)由题设，4x 2－2x ＋16－(3x 2＋6x )＝x 2－8x ＋16＝(x －4)2≥0， ∴4x 2－2x ＋16≥3x 2＋6x .(2)由题设，－6＜－2y ＜－4，而－5＜x ＜4， ∴－11＜x －2y ＜0.18．解析：(1)由题设，(x －1)(x ＋2)＞0，解得x ＜－2或x ＞1， ∴M ＝{x |x ＜－2或x ＞1}．(2)由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋1）（1－2a ）＜0（2a ＋1）（2－2a ）≥0，解得12＜a ≤1.19．解析：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )(1x ＋9y )＝19＋2y x ＋9xy≥19＋22y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.20．证明：(1)∵a ，b ，c 是正数，∴b 2＋c 2≥2bc ，a (b 2＋c 2)≥2abc ，当b ＝c 时等号成立； 同理可得，b (c 2＋a 2)≥2abc ，当a ＝c 时等号成立；c (a 2＋b 2)≥2abc ，当a ＝b 时等号成立；又a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc . (2)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴4a ＋1b ＝(4a ＋1b )(a ＋b )＝4＋4b a ＋ab＋1≥24b a ·ab＋5＝9，当且仅当4b a ＝a b 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23b ＝13时取“＝”，故4a ＋1b ≥9.21．解析：(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为200平方米，得y ＝200x，因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以200x≥x ＋10，又x ＞0，所以x 2＋10x －200≤0，解得0＜x ≤10， 所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S 平方米，由题意得，S ＝(2x ＋6)(y ＋4)＝(2x ＋6)(200x ＋4)＝424＋8(x ＋150x)≥424＋806，当且仅当x ＝56米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424＋806)平方米．22．解析：(1)a ＝13，f (x )≥0⇒(13x ＋1)(x －1)≥0⇒(x ＋3)(x －1)≥0；解得不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥1}； (2)由f (x )＜0，得(ax ＋1)(x －1)＜0， ①当a ＝0时，得x ＜1，②当a ＝－1时，(－x ＋1)(x －1)＜0，(x －1)2＞0，得x ≠1 ③当－1＜a ＜0时，－1a ＞1，则x ＜1或x ＞－1a，④当a ＜－1时，－1a ＜1，则x ＜－1a或x ＞1⑤当a ＞0时，－1a＜x ＜1，综上，当a ＝0时，解集为{x |x ＜1}，当a ＝－1时，解集为{x |x ≠1}，当－1＜a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a ，当a ＜－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1a或x ＞1，当a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1a ＜x ＜1.。
第二章 整式的加减 章末检测卷含答案(人教版)
第二章 整式的加减 章末检测卷本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法：①23xy -的系数是2-；②1π不是单项式；③1132x y -是多项式；④225mn 次数是3次；⑤3221x x --的次数是5次；⑥23ab 与29b a 是同类项．正确的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B【分析】根据单项式的定义，单项式的系数、次数的定义，多项式的次数的定义，同类项的定义逐个判断即可．【详解】解：23xy -的系数是23-，故①错误；1π是单项式，故②错误； 1132x y -是多项式，故③正确；225mn 次数是3次，故④正确； 3221x x --的次数是2次，故⑤错误；23ab 与29b a 是同类项，故⑥错误；即正确的个数是3个．故选：B2．代数式：x ﹣3x 2+5x 3﹣7x 4+9x 5+…的第n 项为（ ）A ．（﹣1）n ﹣1（2n ﹣1）x nB ．（﹣1）n （2n ﹣1）x nC ．（﹣1）n ﹣1（2n +1）x nD ．（﹣1）n ﹣1nx n【答案】A【分析】观察前面几项的式子，找到规律，即可求解．【详解】解：x ＝（2×1﹣1）x ；﹣3x 2＝（﹣1）2﹣1（2×2﹣1）x 2；5x 3＝（﹣1）3﹣1（2×3﹣1）x 3；；∴第n 项是：（﹣1）n -1（2n ﹣1）x n ；故选：A ．3．下列计算正确的是（ ） A ．222235a b a b a b += B ．224235a a a += C ．235a b ab+=D ．2223a a a -=-【答案】A【分析】根据合并同类项法则计算即可判断．【详解】解：A 、222235a b a b a b +=，故正确；B 、222235a a a +=，故错误；C 、23a b +不能合并，故错误；D 、22223a a a -=-，故错误；故选A ．4．下列计算正确的是（ ）A ．()x y z x y z --=+-B ．()x y z x y z --+=--+C ．()333x y z x z y +-=-+D ．()()a b c d a c d b -----=-+++【答案】D 【分析】按照去括号的基本法则，仔细去括号求解即可.【详解】∵()x y z x y z --=-+，∴选项A 错误；∵()x y z x y z --+=-+-，∴选项B 错误；∵()333x y z x z y +-=--，∴选项C 错误；∵()()a b c d a c d b -----=-+++，∴选项D 正确.故选D.5．当3x =-时，多项式33ax bx x ++=.那么当3x =时，它的值是（ ）A ．3-B ．5-C ．7D ．17-【答案】A【分析】首先根据3x =-时，多项式33ax bx x ++=，找到a 、b 之间的关系，再代入3x =求值即可.【详解】当3x =-时，33ax bx x ++=327333ax bx x a b ++=---= 2736a b ∴+=- 当3x =时，原式=2733633a b ++=-+=- 故选A.6．如图，直线上的四个点A ，B ，C ，D 分别代表四个小区，其中A 小区和B 小区相距am ，B 小区和C 小区相距200m ，C 小区和D 小区相距am ，某公司的员工在A 小区有30人，B 小区有5人．C 小区有20人，D 小区有6人，现公司计划在A ，B ，C ，D 四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）A ．A 小区B ．B 小区C ．C 小区D ．D 小区【答案】B【分析】分别列出停靠点设在不同小区时，所有员工步行路程总和的代数式，选出其中最小的那个．【详解】解：若停靠点设在A 小区，则所有员工步行路程总和是：()()52020062200375200a a a a ++++=+（米），若停靠点设在B 小区，则所有员工步行路程总和是：()30200206200365200a a a +⨯++=+（米），若停靠点设在C 小区，则所有员工步行路程总和是：()3020020056367000a a a ++⨯+=+（米），若停靠点设在D 小区，则所有员工步行路程总和是：()()302200520020857000a a a a ++++=+（米），其中365200a +是最小的，故停靠点应该设在B 小区．故选：B ．7．如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式．如：x 3+3xy 2+4xz 2+2y 3 是 3 次齐次多项式，若 a x +3b 2﹣6ab 3c 2 是齐次多项式，则 x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】根据齐次多项式的定义一个多项式的各项的次数都相同,得出关于m 的方程x+3+2=6,解方程即可求出x 的值.【解析】由题意,得x+3+2=6,解得x=1.所以C 选项是正确的.数的定义是解题的关键.8．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为32的是（ ）A ．2x =，4y =B ．2x =，4y =-C ．4x =，2y =D ．4x =-，2y =【答案】A【分析】先比较x ，y 的大小，后选择计算途径中的代数式，代入求值即可.【详解】∵x=2，y=4，∴x ＜y ，∴2xy =224⨯=32，故A 符合题意；∵x=2，y= -4，∴x ＞y ，∴22()[2(4)]x y ⋅=⨯-=64，故B 不符合题意；∵x=4，y=2，∴x ＞y ，∴22()(42)x y ⋅=⨯=64，故C 不符合题意；∵x= -4，y=2，∴x ＜y ，∴2xy =242-⨯=-16，故D 不符合题意；故选A.9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成化简代数式，规则是：每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，再将结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如图所示：接力中，自己负责的一步正确的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】根据整式的加减法则去括号、移项、加括号、合并同类项逐一判断即可．【详解】解：由老师到甲，甲接力应为：62(3)623m n m n m n m n +--=+-+，故甲错误；由甲到乙,乙接力应为：623632m n m n m m n n +--=-+-，故乙错误；由乙到丙，丙接力应为：632(63)(2)m m n n m m n n +--=+-+，故丙错误；由丙到丁，丁接力应为: (63)(2)9m m n n m n +--=-，故丁正确；故选D ．10．按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（ ）A ．52根B ．66根C ．70根D ．72根【答案】C 【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，将每行每列的火柴棒数进行总结，可得出：当有n 层时，需要23n +n 根火柴，从而验证选项即可确定正确答案．【详解】解：观察图形可以看出：搭1个正方形，一层，需要21214+=⨯⨯根火柴棒； 搭3个正方形，两层，需要()2221210+⨯⨯+=根火柴棒；搭6个正方形，三层，需要()23212318+++=⨯⨯根火柴棒； 搭10个正方形，四层，需要()242123428+=⨯⨯+++根火柴棒；因此当有n 层时，需要()()2212212322232+n n n+n n =n+n +n=n +n ⨯++++=+⨯ 根火柴棒．当n=7时，2377214970+=+=⨯根火柴棒，因此C 选项正确．故选：C ．11．如图，长为y ，宽为x 的大长方形被分割为5小块，除D 、E 外，其余3块都是正方形，若阴影E 的周长为8，下列说法中正确的是（ ）①x 的值为4；②若阴影D 的周长为6，则正方形A 的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【答案】B 【分析】设正方形A 的边长为a ， 正方形B 的边长为b ，正方形C 的边长为c ，表示出阴影E 的长和宽，阴影D 的长和宽，然后结合图形逐项分析即可．【详解】设正方形A 的边长为a ， 正方形B 的边长为b ，正方形C 的边长为c ，则x =a +b ,y=b +c ，阴影E 的长为c ，宽为a +b -c ，阴影D 的长为a ，宽为b -a ，①∵阴影E 的周长为8，∴2(c +a +b -c )=8，∴a +b =4，即x =4，故①正确；②∵阴影D 的周长为6，∴2(a +b -a )=6，∴b =3，∵a +b =4，∴a =1，∴正方形A 的面积为1，故②正确；③∵大长方形的面积为24，∴x y=24，∵x =4，∴y=6，∴b +c =6，假设三个正方形周长的和为24，则4a +4b +4c =24，∴a +b +c =6，∴a =0，不合题意，故③错误；故选B ．12．定义运算(1)a b a b =-△，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2(2)6-=△；②a b b a =△△；③若0a b +=，则()()2a a b b ab +=；④若0a b =△，则0a =．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】①根据新定义代入计算；②分别计算a b 和b a △，进行判断；③分别计算()()a a b b +和2ab 的值，进行判断；④代入计算0a b =△，判断0a =是否正确．【详解】①2(2)2(12)6-=⨯+=△，所以此选项正确；②(1),(1)a b a b a ab b a b a b ab =-=-=-=-△△，a b b a ∴≠△△，所以此选项不正确； ③0a b += b a ∴=-()()a a b b +2222(1)(1)=a a b b a a b b a b a b =-+-=-+-+--222()2a a a =---=-，2ab 22()2a a a =-=- ∴()()2a a b b ab +=，所以此选项正确； ④(1)0a b a b =-=△，则0a =或1b =，所以此选项不正确；其中正确结论的个数为2个，故选:B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．下列各式：2ab ⋅，2m n ÷；53xy ，113a ，4a b -其符合代数式书写规范的有______个．【答案】2【分析】根据书写规则直接解答即可． 【详解】解：符合代数式书写规范的是；53xy ，4a b -，一共有2个符合书写规则．故答案为：2．14．已知两个单项式3m xy 与23n x y -的和为0，则m n +的值是__________．【答案】3【分析】两个单项式3xy m 与-3x n y 2的和为0则两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得答案．【详解】解：∵两个单项式3xy m 与-3x n y 2的和为0，∴两个单项式是同类项，即m =2，n =1，∴m +n =3．故答案为：3．15．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式()35f x mx nx =++，当3x =时，多项式的值为()32735f m n =++，若()36f =，则()3f -的值为__________．【答案】4【分析】由()36f =得到2731m n +=，整体代入()32735f m n -=--+求出结果．【详解】解：∵()36f =，∴27356m n ++=，即2731m n +=，∴()()327352735154f m n m n -=--+=-++=-+=．故答案是：4．16．已知381P ax x =-+，23Q x ax =--，无论x 取何值时，329P Q -=恒成立，则a 的值为______．【答案】2【分析】根据题意可以得到关于a 的等式，从而可以求得a 的值，本题得以解决．【详解】解：∵P=3ax -8x+1，Q=x -2ax -3，无论x 取何值时，3P -2Q=9恒成立，∴3P -2Q=3（3ax -8x+1）-2（x -2ax -3）=9ax -24x+3-2x+4ax+6=13ax -26x+9=（13a -26）x+9=9，∴13a -26=0，解得，a=2，故答案为：2．17．定义：若a b n +=，则称a 与b 是关于整数n 的“平衡数”比如3与4-是关于1-的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．请回答下列问题：（1）2-与3-是关于________的“平衡数”．（2）现有28614a x kx =-+与()2243b x x k =--+（k 为常数），且a 与b 始终是整数n 的“平衡数”，与x 取值无关，则n =________．【答案】－5 12【分析】（1）利用“平衡数”的定义进行计算即可．（2）利用“平衡数”的定义先求出+a b ，再根据a 与b 始终是整数n 的“平衡数”，与x 取值无关得出关于k 的方程，求解后即可得出n 的值．【详解】解：（1）2-＋（3-）＝－5，∴2-与3-是关于－5的“平衡数”．故答案为：－5． （2）∵28614a x kx =-+与()2243b x x k =--+（k 为常数）始终是数n 的“平衡数”， ∴()222286142438614862(66)142a b x kx x x k x kx x x k k x k n +=-+--+=-+-+-=-+-=即660k -=，解得1k =，∴142112n =-⨯=．故答案为：12 ．18．已知：55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，求b d +的值为 _________．【答案】90【分析】先令x ＝1，即可求出a +b +c +d +e +f ＝243①；再令x ＝﹣1，得到﹣a +b ﹣c +d ﹣e +f ＝1②，①+②可得b +d +f ＝122，最后令x ＝0，可得f ＝32，由此即可求得b +d 的值．【详解】解：令x ＝1，得：a +b +c +d +e +f ＝243①；令x ＝﹣1，得﹣a +b ﹣c +d ﹣e +f ＝1②，①+②得：2b +2d +2f ＝244， 即b +d +f ＝122，令x ＝0，得f ＝32，则b +d ＝b +d +f ﹣f ＝122﹣32＝90，故答案为：90．三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．请将下列代数式先化简，再求值：（1）22123122323a a b a b ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中11,42a b =-=． （2）()()()222222222233x y x y x x y y --+++，其中1,2x y =-=-．【答案】（1）23a b -+，1；（2）22x y -+，3【分析】（1）根据去括号、合并同类项，可化简整式，再将a 和b 值代入计算；（2）根据去括号、合并同类项，可化简整式，再将x 和y 值代入计算；【详解】解：（1）22123122323a a b a b ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22123122323a ab a b -+-+=23a b -+ 将11,42a b =-=代入，原式=211342⎛⎫⎛⎫-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1； （2）()()()222222222233x y x y x x y y --+++ =22222222223333x y x y x x y y ---++=22x y -+ 将1,2x y =-=-代入，原式=()()2212--+-=3．20．对于任意实数a ，b ，定义一种新的运算公式：3a b a b ⊕=-，如()()616319⊕-=-⨯-=．（1）计算()124⎛⎫-⊕- ⎪⎝⎭；（2）已知()15103a b b a ⎛⎫+⊕-=- ⎪⎝⎭，求+a b 的值．【答案】（1）234；（2）-5 【分析】（1）结合题意，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；（2）结合题意，通过合并同类项计算，即可得到答案．【详解】（1）()124⎛⎫-⊕- ⎪⎝⎭()1324=--⨯-164=-+=234； （2）∵()15103a b b a ⎛⎫+⊕-=- ⎪⎝⎭∴153103a b b a ⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭∴2210a b +=-∴5a b +=-．21．老师写出一个整式()()22143ax bx x x +--+（其中a 、b 为常数，且表示为系数），然后让同学给a 、b 赋予不同的数值进行计算，（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2231x x --，则甲同学给出a 、b 的值分别是a =_______，b =_______；（2）乙同学给出了5a =，1b =-，请按照乙同学给出的数值化简整式；（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与x 的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．【答案】（1）6，0；（2）241x x --；（3）-1【分析】（1）整式进行整理后，利用等式的性质求解即可；（2）把5a =，1b =-代入求解即可；（3）计算的最后结果与x 的取值无关，则含x 项的系数为0，据此求解即可．【详解】解：（1）()()22143ax bx x x +--+()()2431a x b x =-+--2231x x =--， ∴42a -=，33b -=-，∴6a =，0b =，故答案为：6，0；（2）当5a =，1b =-时，原式()()2431a x b x =-+--()()254131x x =-+---241x x =--； （3）()()22143ax bx x x +--+()()2431a x b x =-+-- ∵计算的最后结果与x 的取值无关，∴40a -=，30b -=，∴原式1=-．22．某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套，如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套，该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润=每套西服的销售价-每套西服的进价）． （1）按原销售价销售,每天可获利润______元； （2）若每套降低10元销售,每天可获利润______元；（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式：若每套降低10x 元（04,x x ≤≤为正整数）．①则每套的销售价格为_______元（用代数式表示）；②则每天可销售_______套西服（用代数式表示）；③则每天共可以获利润________元（用代数式表示）；④根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案，使每天的获利最大?【答案】（1）8000；（2）9000；（3）①290-10x ；②200+100x ；③（40-10x ）（200+100x ）；④每套比原销售价降低10元销售，可使每天的获利最大．【分析】（1）根据题目中数据可以求得按原销售价销售，每天可获得的利润；（2）根据题目中数据可以求得每套降低10元销售，每天可获得的利润；（3）①根据题意可以用代数式表示出每套的销售价格；②根据题意可以用代数式表示出每天的销售量；③根据题意可以用代数式表示出每天获得的利润；④将x 的取值代入计算，再比较，从而可得结论．【详解】解：（1）按原销售价销售，每天可获利润为：（290-250）×200=8000（元），故答案为：8000；（2）若每套降低10元销售，每天可获利润为：（290-10-250）（200+100）=9000（元），故答案为：9000；（3）①由题意可得，每套的销售价格为：（290-10x ）元，故答案为：（290-10x ）； ②每天可销售：（200+100x ）套，故答案为：（200+100x ）；③每天共可以获利润为：（290-10x -250）（200+100x ）=（40-10x ）（200+100x ）元， 故答案为：（40-10x ）（200+100x ）；④由题意可知0≤x ≤4，x 为正整数，当x =0时，获利=（40-10×0）（200+100×0）=8000（元），当x =1时，获利=（40-10×1）（200+100×1）=9000（元），当x =2时，获利=（40-10×2）（200+100×2）=8000（元），当x =3时，获利=（40-10×3）（200+100×3）=5000（元），当x =4时，获利=（40-10×4）（200+100×4）=0（元），所以每套降低10元销售时获利最多，作为商场的经理应以每套280元的价格销售． 23．已知代数式533ax bx x c +++，当0x =时，该代数式的值为1-．（1）求c 的值；（2）已知当1x =时，该代数式的值为1-，试求a b c ++的值； （3）已知当3x =时，该代数式的值为10-，试求当3x =-时该代数式的值； （4）在第（3）小题的已知条件下，若有53a b =成立，试比较+a b 与c 的大小？【答案】（1）-1；（2）-4；（3）-8；（4）a b c +>【分析】（1）将x =0代入代数式求出c 的值即可；（2）将x =1代入代数式即可求出a +b +c 的值；（3）将x =3代入代数式求出35a +33b 的值，再将x =-3代入代数式，变形后将35a +33b 的值代入计算即可求出值；（4）由35a +33b 的值，变形得到27a +3b =-2，将5a =3b 代入求出a 的值，进而求出b 的值，确定出a +b 的值，与c 的值比较大小即可．【详解】解：（1）把x =0代入代数式，得到c =-1；（2）把x =1代入代数式，得到a +b +3+c =-1，∴a +b +c =-4；（3）把x =3代入代数式，得到35a +33b +9+c =-10，即35a +33b =-10+1-9=-18，当x =-3时，原式=-35a -33b -9-1=-（35a +33b ）-9-1=18-9-1=8；（4）由（3）得35a +33b =-18，即27a +3b =-2，又∵5a =3b ，∴27a +5a =-2，∴a =116-，则b =53a =548-， ∴a +b =151648--=16-＞-1，∴a +b ＞c ． 24．特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：432432106a x a x a x a x a x ++++=，则（1）取0x =时，直接可以得到00a =；（2）取1x =时，可以得到432106a a a a a ++++=； （3）取1x =-时，可以得到432106a a a a a -+-+=-；（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到42a 22a +020+=a ，结合（1）00a =的结论，从而得出420a a +=．请类比上例，解决下面的问题：已知654654(1)(1)(1)a x a x a x -+-+-323210(1)(1)(1)4a x a x a x a x +-+-+-+=． 求：（1）0a 的值；（2）6543210++++++a a a a a a a 的值；（3）642a a a ++的值．【答案】（1）4；（2）8；（3）0．【分析】（1）观察等式可发现只要令x=1即可求出0a ．（2）观察等式可发现只要令x=2即可求出6543210++++++a a a a a a a ．（3）令x=0即可求出等式一，令x=2即可求出等式二，两个式子相加即可求出来．【详解】解：（1）当1x =时，041=4=⨯a（2）当2x =时，可得654321042=8++++++=⨯a a a a a a a（3）当0x =时，可得65432100+-++=--a a a a a a a ①由（2）得654321042=8++++++=⨯a a a a a a a ②②+①得：406282222++=+a a a a ，()64202=828240∴++-=-⨯=a a a a ，6420=∴++a a a ．25．现有一块长方形菜地，长24米，宽20米．菜地中间欲铺设横、纵两条道路（图中空白部分），如图1所示，纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，设横向道路的宽是x 米（x ＞0）．（1）填空：在图1中，纵向道路的宽是 米；（用含x 的代数式表示）（2）试求图1中菜地（阴影部分）的面积；（3）若把横向道路的宽改为原来的2.2倍，纵向道路的宽改为原来的一半，如图2所示，设图1与图2中菜地的面积（阴影部分）分别为12,S S ，试比较12,S S 的大小．【答案】（1）2x ；（2）（2x 2﹣68x+480）平方米；（3）12S S <【分析】（1）根据纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍即可求解；（2）根据题意，由菜地的面积=长方形的面积﹣菜地道路的面积求解即可；（3）根据菜地的面积=长方形的面积﹣菜地道路的面积分别求出S 1、S 2，再比较即可．【详解】解：（1）∵横向道路的宽是x 米，且纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍， ∴纵向道路的宽是2x 米，故答案为：2x ；（2）由题意，图1中菜地的面积为24×20﹣(24×2x+20×x ﹣x·2x)=2x 2﹣68x+480(平方米)， 答：图1中菜地（阴影部分）的面积为（2x 2﹣68x+480）平方米；（3）由题意，图1中菜地的面积S1= 2x2﹣68x+480（平方米）图2中横向道路的宽为2.2x米，纵向道路的宽为x米，∴图2中菜地的面积S2=24×20﹣(24×x+20×2.2x﹣x·2.2x=2.2x2﹣68x+480(平方米)，∵x＞0，∴x2＞0，∴S1﹣S2=(2x2﹣68x+480)﹣（2.2x2﹣68x+480）=﹣0.2x2＜0，∴S1＜S2．n-个三角形，共有多少种不同的分割方26．（问题）用n边形的对角线把n边形分割成（2n≥？案()4（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，f n种．再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有()探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图f=．①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，()42探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用点A ，E 与B 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有()4f 种不同的分割方案，所以，此类共有()4f 种不同的分割方案．第2类：如图④，用点A ，E 与C 连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为()142f 种分割方案． 第3类：如图⑤，用点A ，E 与D 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f （4）种不同的分割方案，所以，此类共有f （4）种不同的分割方案．所以，()()()()()()15105444445224f f f f f f =++=⨯=⨯=（种） 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A ，F 与B 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有()5f 种不同的分割方案，所以，此类共有()5f 种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A ，F 与C 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有()4f 种不同的分割方案．所以，此类共有()4f 种分割方案．第3类：如图⑧，用A ，F 与D 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有()4f 种不同的分割方案．所以，此类共有()4f 种分割方案．第4类：如图，用A ，F 与E 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有()5f 种不同的分割方案．所以，此类共有()5f 种分割方案．所以，()()()()()65445f f f f f =+++()()()()()22145555514555f f f f f =+++=⨯=（种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则()7f 与()6f 的关系为()()()766f f =⨯，共有______种不同的分割方案．……（结论）用n 边形的对角线把n 边形分割成()2n -个三角形，共有多少种不同的分割方案()4n ≥？（直接写出()f n 与()1f n -之间的关系式，不写解答过程）（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）【答案】探究四：18，42；[结论]()()41011n f n f n n -=--；[应用]429种 【分析】[探究]根据探究的结论得到规律计算即可；[结论]根据五边形，六边形，七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律即可得到答案；[应用]利用规律求得八边形及九边形的对角线把图形分割成三角形的方案即可．【详解】所以()()()()()()7 6 524 5 6f f f f f f =++++()()()55226262614145f f f =+⨯+⨯⨯ ()36f ==()1866f =42．故答案为：18，42． [结论]由题意知()()10544f f =，()()14655f f =，()()18766f f =，… ()()41011n f n f n n -=--； [应用]根据结论得：()()481022874213277f f ⨯-=⨯=⨯=．()()4910269813242988f f ⨯-=⨯=⨯=． 则用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有429种不同的分割方案．。
2019版高中数学人教A版必修1：第二章检测(A) 含解析
1.A.1:原式=log 3312+(22)-12=12+12=1.:A2.函数y=log2(3+x)的定义域为( )A.RB.(0,+∞)3,+∞)D.[-3,+∞)3.A.x34.A.f (:一次函数f (x )=x 、幂函数f (x )f (x )=ln x 在各自的定义域内均是增函数,而f (x )=x 、对数函数,在定义域内是减函数.=(12)x 是指数函数:C5.已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2),则f (x )的增区间为( )A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]+∞) D.(1,+∞):根据题意,幂函数f (x )=x α过点(4,2),故2=4α,=22α,即αf (x ),故f (x )的增区间为[0,+∞).=12,则=x 12在第一象限内为增函数6.A .a>b>c7.(+∞)1)∪(1,+∞)1):由于底数3∈(1,+∞),所以函数f (x )=3(2a-1)x+3的单调性与y=(2a-1)x+3的单调性相同.因为函数f (a-1)x+3在R 上是减函数,所以y=(2a-1)x+3在R 上是减函数,所以2a-1<0,即a a 的取值<12,从而实数A .是(-∞,12),选:A8.函数y=lg (21-x -1)的图象关于( )对称.A .原点9.:∵log a 2<0,∴0<a<1,∴f (1)=log a (1+1)=log a 2<0,∴点(1,f (1))在函数f (x )的图象上,且在第四象限,排除A,C,D .故选B .:B10.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x ;当x <4时,f (x )=f (x +1),则f (2+log 23)等于( )1 B .112 C .18 D .38:2+log 23=log 24+log 23=log 212<log 216=4,log 224>log 216=4.由于当x<4时,f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)(log 212)=f (1+log 212)=f (log 224).又当x ≥4时,f (x )f (log 224)=(12)x ,所以f (2+log 23))log 224=2log 2124=124,故=124.11.12.13.已知幂函数f(x)的图象过(22)的:设f(x)=xα,则由已知得(12)α=22,=12,∴f(x)=x12.log4f(2)=log 4212=12log42=14.:1 414.已知函数f(x)=a-log2x的图象经过点A(1,1),则不等式f(x)>1的解集为 . 解析:由已知得a=1,不等式f(x)>1,15.‒16.(1)原式=(94)12‒1‒(278)-23+(32)-2‒1‒(32)-2+(32)-2=12.原式=lg 5+lg 102+lg 23-lg 526+(lg 10)2=lg 5+2+3lg 2-lg 5-3lg 2+1=3.‒12lg 17.(8分)已知函数f (x )=2x +2ax+b ,且f (1)=52,f (2)=174.(1)求a ,b ;判断f (x )的奇偶性.(1)因为f (1)=52,f (2)=174,18.(1)求函数∈[1,2]时,h(t)是减函数;当t∈(2,8]时,h(t)是增函数.)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26.∵f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立,≤f(x)min恒成立.(1)知f(x)min=-10,∴a≤-10.的取值范围为(-∞,-10].19.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)x m+1为偶函数,g(x)=log a[f(x)-ax](a>0,且a≠1).(1)求f(x)的解析式;若g(x)在区间(2,3)内为增函数,求实数a的取值范围.20.(1)判断解要使函数有意义,x的取值需满足|x|>0,解得x≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),-x)=f(x).函数f(x)是偶函数.解由于函数f(x)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将函数y=lg x的图象对称到y轴的左侧与函数的图象合起来得函数f(x)的图象,如图所示.证明设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=lg|x1|-lg|x2|=l g|x1||x2|=lg|x1x2|.。
高中数学 2 章末质量检测(学生版) 新人教A版必修1
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简a 23·b 12·(－3a 12·b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56的结果为( )A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a解析： a 23·b 12·⎝⎛⎭⎪⎫－3a 12·b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56＝－3a 23＋12·b 12＋13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16·b 56＝－9a 23＋12－16·b 12＋13－56＝－9a .答案： C2．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝( ) A.15 B.13 C.125D ．5 解析： 设f (x )＝x α，∵图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13∴9α＝13，∴α＝－12，即f (x )＝x －12f (25)＝25－12＝15，故选A.答案： A3．函数f (x )＝3x21－x＋lg 3x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．[0,1) 解析： 要使函数有意义，只须使⎩⎪⎨⎪⎧1－x >03x ＋1>0lg 3x ＋1≥0∴⎩⎪⎨⎪⎧x <1x >－13x ≥0∴0≤x <1.故选D. 答案： D4．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析： 2a ＝5b＝m∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2∴m ＝10答案： A5．设a ＞1，则log 0.2a,0.2a ，a 0.2的大小关系是( )A ．0.2a ＜log 0.2a ＜a 0.2B ．log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2C ．log 0.2a ＜a 0.2＜0.2aD ．0.2a ＜a 0.2＜log 0.2a 解析： ∵a ＞1，∴log 0.2a ＜00＜0.2a ＜1，a 0.2＞1∴log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2答案： B6．若f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3)解析： 用－x 代入x ，则有：f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x，结合f (x )－g (x )＝e x，可得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e －x ＋e x 2.所以f (x )在R 上为增函数，因此f (0)＝0，g (0)＝－1，f (3)>f (2)>f (0)＝0，所以f (3)>f (2)>g (0)，故选D.答案： D7．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析： ①y ＝x 12在(0,1)上为单调递增函数∴①不符题意，排除A 、D.④y ＝2x ＋1在(0,1)上也为单调递增函数，排除C ，故选B. 答案： B8．函数f (x )＝log a |x |(a >1)的图象可能是下图中的( )解析： 先去掉绝对值符号得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ≥1，－log a x ，0<x <1，可分别画出图象，也可以判断出函数的奇偶性与单调性再选择答案．答案： A9．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝3·a x －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.32解析： 由于函数y ＝a x在[0,1]上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3·2x －1在[0,1]上是单调递增函数，最大值当x ＝1时取到，即为3.答案： C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析： 函数f (x )的图象如图所示： 不妨设a ＜b ＜c ，则10＜c ＜12. ∵f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b . 即lg a ＋lg b ＝0 即lg ab ＝0 ∴ab ＝1又∵10＜c ＜12，∴10＜abc ＜12.故选C. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若函数y ＝(m ＋2)x m －1是幂函数，则m ＝________. 答案： －112．(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)＝________. 解析： 利用换底公式，得原式 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＋log 233⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39 ＝56log 23·52log 32＝2512. 答案： 251213．函数f (x )＝－a 2x －1＋2恒过定点的坐标是________．解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－a 0＋2＝1，∴f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 14．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．再f (2＋log 23)等于________．解析： 因为3＝2＋log 22<2＋log 23<2＋log 24＝4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，又因为3＋log 23>4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 1213＝18×13＝124. 答案： 124三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－2 009)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2；(2)log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23.解析： (1)原式＝32－1－49＋49＝12.(2)原式＝2－3＋12＋12×3＝1.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a 、b ；(2)判断f (x )的奇偶性．解析： (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧52＝2＋2a ＋b，174＝4＋22a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2x＋2－x.任取x ∈R ，则f (－x )＝2－x ＋2－(－x )＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．17．(本小题满分12分)设a >0，f (x )＝e xa ＋aex 在R 上满足f (x )＝f (－x )．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．解析： (1)依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e xa ＋a e x ＝1a e x ＋a e x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立， 由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)在(0，＋∞)上任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋1e x 1－⎝⎛⎭⎪⎫e x 2＋1e x 2＝(e x 2－e x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝(e x 2－e x 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.由x 2>x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－e x 1>0,1－e x 1＋x 2<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝lg(1＋x )＋lg(1－x )． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)求函数f (x )的值域．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)定义域关于原点对称，对于任意的x ∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)，f(－x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)f(x)＝lg[(1＋x)(1－x)]＝lg(1－x2) 令t＝1－x2∵x∈(－1,1)，∴t∈(0,1]又∵y＝lg t，在(0,1]上是增函数．∴y≤lg 1＝0∴函数f(x)的值域为(－∞，0]．。
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第二章 平面向量(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( )A ．(12，32)或(1，3)B ．(32，12) C ．(0,1) D ．(0,1)或(32，12) 2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( )A ．0B ．2＋2 C.2 D ．225．若a 与b 满足|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a ·a ＋a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C.32a －12b D ．－32a ＋12b 7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．38．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非直角三角形B ．等边三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,7)10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫103，＋∞B.⎣⎡⎭⎫103，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－∞，103D.⎝⎛⎦⎤－∞，103 11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( )A ．2B ．－2C ．|AB →|cos AD ．与菱形的边长有关12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→1P 2→·P 1P 6→题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.15．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．16.如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ；(2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d.19．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．21．(12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .22．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1.求证：△P 1P 2P 3是正三角形．第二章 平面向量(A )答案1．D 2.C3．D4．D5．B6．B7．C8．C9．B10．A11．B12．A13．－1解析 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0.∴m ＝－1.14．3解析 a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2·3·cos30°＝3.15．6解析 由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＝2k －12＝0，∴k ＝6.16．－12解析 因为点O 是A ，B 的中点，所以P A →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)．所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x )＝2(x －12)2－12. ∴当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →取到最小值－12. 17．解 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. 18．解 由题意得a·b ＝|a||b |cos60°＝2×3×12＝3. (1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95. (2)当c ⊥d 时，c·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0.∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a·b ＝0，∴k ＝－2914. 19．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝1－|b |2＝12，∴|b |2＝12，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22.∴θ＝45°. (2)∵|a |＝1，|b |＝22， ∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12.∴|a －b |＝22， 又|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52.∴|a ＋b |＝102， 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55.即a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值为55. 20．解 (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小．由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210，由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2.(2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115. 21．证明如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85.∴AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2， ∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .22．证明 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，∴OP 1→·OP 2→＝－12， cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12， ∴∠P 1OP 2＝120°.同理，∠P 1OP 3＝∠P 2OP 3＝120°，即OP 1→、OP 2→、OP 3→中任意两个向量的夹角为120°，故△P 1P 2P 3是正三角形．。