益阳市中考数学试卷附参考答案及评分标准
2022年湖南省益阳市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共8小题，每题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔4分〕〔2022•益阳〕四个实数﹣2，0，﹣，1中，最大的实数是〔〕A．﹣2 B．0C．﹣D．1考点：实数大小比较．分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．解答：解：∵﹣2＜﹣＜0＜1，∴四个实数中，最大的实数是1．应选D．点评：此题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．〔4分〕〔2022•益阳〕以下式子化简后的结果为x6的是〔〕A．x3+x3B．x3•x3C．〔x3〕3D．x12÷x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的运算法那么进行计算即可．解答：解：A、原式=2x3，故本选项错误；B、原式=x6，故本选项错误；C、原式=x9，故本选项错误；D、原式=x12﹣2=x10，故本选项错误．应选B．点评：此题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法那么、合并同类项的法那么、幂的乘方与积的乘方法那么是解答此题的关键．3．〔4分〕〔2022•益阳〕小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是〔〕A．B．C．D．考点：概率公式．分析：由小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，∴她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是：=．应选C．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．〔4分〕〔2022•益阳〕以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．应选C．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5．〔4分〕〔2022•益阳〕一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，那么m应满足的条件是〔〕A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1考点：根的判别式．分析：根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．解答：解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．应选D．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．6．〔4分〕〔2022•益阳〕正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第一、三象限考反比例函数与一次函数的交点问题．点：专题：计算题．分析：根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组即可得到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断．解答：解：解方程组得或，所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点坐标为〔1，6〕，〔﹣1，﹣6〕．应选D．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．7．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，那么添加的条件是〔〕A．A E=CF B．B E=FD C．B F=DE D．∠1=∠2考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．解答：解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔SAS〕，故此选项错误；C、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔SAS〕，故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔ASA〕，故此选项错误；应选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．8．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为〔﹣3，0〕，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，那么平移的距离为〔〕A．1B．1或5 C．3D．5考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．应选B．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上〕9．〔4分〕〔2022•益阳〕假设x2﹣9=〔x﹣3〕〔x+a〕，那么a=3．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接利用平方差公式进行分解得出即可．解答：解：∵x2﹣9=〔x+3〕〔x﹣3〕=〔x﹣3〕〔x+a〕，∴a=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．10．〔4分〕〔2022•益阳〕分式方程=的解为x=﹣9．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x=3x﹣9，解得：x=﹣9，经检验x=﹣9是分式方程的解．故答案为：x=﹣9．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11．〔4分〕〔2022•益阳〕小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下〔单位：米〕：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，那么这组数据的中位数是 2.16米．考点：中位数．分析：根据中位数的概念求解．解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1.96，1.98，2.04，2.16，2.20，2.22，2.32，那么中位数为：2.16．故答案为：2.16．点评：此题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12．〔4分〕〔2022•益阳〕小明放学后步行回家，他离家的路程s〔米〕与步行时间t〔分钟〕的函数图象如下列图，那么他步行回家的平均速度是80米/分钟．考点：函数的图象．分析：他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．解答：解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，那么他步行回家的平均速度是：1600÷20=80〔米/分钟〕，故答案为：80．点评：此题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．13．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC 重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，那么∠EAF的度数是60°．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．解答：解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC 的中点E的对应点为F，∴旋转角为60°，E，F是对应点，那么∠EAF的度数为：60°．故答案为：60°．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．三、解答题〔本大题共2小题，每题6分，共12分〕14．〔6分〕〔2022•益阳〕计算：|﹣3|+30﹣．考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=3+1﹣3=1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．15．〔6分〕〔2022•益阳〕如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵EF∥BC，∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，∵AC平分∠BAF，∴∠CAF=∠BAF=50°，∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°．点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．四、解答题〔本大题共3小题，每题8分，共24分〕16．〔8分〕〔2022•益阳〕先化简，再求值：〔+2〕〔x﹣2〕+〔x﹣1〕2，其中x=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘法分配律计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=1+2x﹣4+x2﹣2x+1=x2﹣2，当x=时，原式=3﹣2=1．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．17．〔8分〕〔2022•益阳〕某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想〞读书小组协助老师随机抽取本校的局部学生，调查他们最喜爱的图书类别〔图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类〕，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答以下问题：〔1〕求被调查的学生人数；〔2〕补全条形统计图；〔3〕该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：〔1〕利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；〔2〕利用〔1〕中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；〔3〕首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．解答：解：〔1〕被调查的学生人数为：12÷20%=60〔人〕；〔2〕喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8〔人〕，如下列图：；〔3〕全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×=480〔人〕．点评：此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．18．〔8分〕〔2022•益阳〕“中国﹣益阳〞网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，方案在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长〔精确到0.1米〕．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．考点：解直角三角形的应用．分析：设AD=x米，那么AC=〔x+82〕米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5〔x+82〕，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解答：解：设AD=x米，那么AC=〔x+82〕米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5〔x+82〕．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5〔x+82〕=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈546.7．答：AB的长约为546.7米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的根本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．五、解答题〔本大题共2小题，每题10分，共20分〕19．〔10分〕〔2022•益阳〕某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元〔进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货本钱〕〔1〕求A、B两种型号的电风扇的销售单价；〔2〕假设超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台〔3〕在〔2〕的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标假设能，请给出相应的采购方案；假设不能，请说明理由．考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：〔1〕设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B 型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；〔2〕设采购A种型号电风扇a台，那么采购B种型号电风扇〔30﹣a〕台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；〔3〕设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合〔2〕的条件，可知不能实现目标．解答：解：〔1〕设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；〔2〕设采购A种型号电风扇a台，那么采购B种型号电风扇〔30﹣a〕台．依题意得：200a+170〔30﹣a〕≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；〔3〕依题意有：〔250﹣200〕a+〔210﹣170〕〔30﹣a〕=1400，解得：a=20，∵a＞10，∴在〔2〕的条件下超市不能实现利润1400元的目标．点评：此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答此题的关键是读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．20．〔10分〕〔2022•益阳〕如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a 〔x﹣2〕2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．〔1〕求a，k的值；〔2〕抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；〔3〕在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．考点：二次函数综合题．分析：〔1〕先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a〔x﹣2〕2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；〔2〕设Q点的坐标为〔2，m〕，对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+〔3﹣m〕2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+〔3﹣m〕2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；〔3〕当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P〔2，﹣1〕重合，N点为点P 关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，那么四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．解答：解：〔1〕∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A〔1，0〕，B〔0，3〕．又∵抛物线抛物线y=a〔x﹣2〕2+k经过点A〔1，0〕，B〔0，3〕，∴，解得，故a，k的值分别为1，﹣1；〔2〕设Q点的坐标为〔2，m〕，对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+〔3﹣m〕2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+〔3﹣m〕2，∴m=2，∴Q点的坐标为〔2，2〕；〔3〕当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．又∵对称轴x=2是AC的中垂线，∴M点与顶点P〔2，﹣1〕重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为〔2，1〕．此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，∴四边形AMCN为正方形．在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．六、解答题〔此题总分值12分〕21．〔12分〕〔2022•益阳〕如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．〔1〕求AD的长；〔2〕点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似假设存在，求出x的值；假设不存在，请说明理由；〔3〕设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，假设S=S1+S2，求S的最小值．考点：相似形综合题．分析：〔1〕过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；〔2〕假设以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，那么△PCB 必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP 中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据≠且≠，得出△PCB与△ADP不相似．〔3〕先求出S1=x•，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=〔x﹣1〕，在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根据S1=x•BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，S2=x〔x2﹣x+〕，最后根据S=S1+S2=x〔x﹣〕2+x即可得出S的最小值．解答：解：〔1〕过点C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC•sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．〔2〕存在．假设以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，那么△PCB必有一个角是直角．①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由〔1〕知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，∴∠DPA=60°，∴∠DPA=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．那么≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．〔3〕如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，那么S1=x•〔〕2=x•，①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．那么BM为△PCB外接圆的半径．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=〔10﹣x〕=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=〔x﹣1〕．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x•BM2=x〔x2﹣x+〕．②∵当0＜x≤2时，S2=x〔x2﹣x+〕也成立，∴S=S1+S2=x•+x〔x2﹣x+〕=x〔x﹣〕2+x．∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x．点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．。
益阳市中考数学试题及答案
益阳市2020年普通初中毕业学业考试试卷数 学注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上； 3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效； 4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为150分； 5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试 题 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列实数中，是无理数的为 AB ．13C ．0D ．3-2．下列运算正确的是 A ．236x x x ⋅=B ．325()=x xC ．2336()xy x y =D ．632x x x ÷=3．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是姓名 准考证号图2图 1A ．中位数是4，平均数是3.75B ．众数是4，平均数是3.75C ．中位数是4，平均数是3.8D ．众数是2，平均数是3.84．一个几何体的三视图如图1所示，则这个几何体是 A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．圆柱 D ．长方体5．如图2，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法错误．．的是 A ．90ABC ∠=︒ B ．AC BD =C ．OA OB =D ．OA AD =6．下列等式成立的是 A ．123aba b+=+ B ．212a b a b =++ C ．2ab aab b a b=-- D ．a aa b a b=--++ 7．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为A ．20(1+2x) =80B ．2×20(1+x) =80图 4图3C ．20(1+x 2) =80D ．20(1+x)2 =808．若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第一象限，则m 的取值范围为A ．1m ＞B ．0m ＞C ．1m -＞D ．10m -＜＜二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）928= ．10．已知y 是x 的反比例函数，当x > 0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个．．满足以上条件的函数表达式 ．11．甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．12．如图3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则»AB 的长为 ．13．图4是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n 个图案中有 根小图5图 6 棒．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）14．化简：2(1)(1)x x x +-+．15．如图5，直线AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，165∠=︒，求2∠的度数.四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16．如图6，直线l 上有一点P 1(2，1)，将点P 1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P 2，点 P 2恰好在直线l 上． （1）写出点P 2的坐标；（2）求直线l 所表示的一次函数的表达式；（3）若将点P 2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P 3．请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．17．2020年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，图7表示2020年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题：图8图7（1）2020年益阳市的地区生产总值为多少亿元？ （2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整； （3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数.18．如图8，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB=∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若AB=14，7cos 8CAB ∠=，求线段OE 的长．五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）19．大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3图9-2图9-1图9-3吨，则需补充原材料以保证正常生产．（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？20．已知点P 是线段AB 上与点A 不重合的一点，且AP<PB ．AP 绕点A 逆时针旋转角α(090)α︒<≤︒得到AP 1，BP 绕点B 顺时针也旋转角α得到BP 2，连接PP 1、PP 2．（1）如图9-1，当90α=︒时，求12PPP ∠的度数；（2）如图9-2，当点P 2在AP 1的延长线上时，求证：21P PP △∽2P PA △； （3）如图9-3，过BP 的中点E 作l 1⊥BP ，过BP 2的中点F 作l 2⊥BP 2，l 1与l 2交于点Q ，连接PQ ，求证：P 1P ⊥PQ ．图10-1图10-2六、解答题（本题满分15分）21．已知抛物线E 1：2y x =经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E 2经过点B(2，2)，点A 、B 关于y 轴的对称点分别为点A B ''、． （1）求m 的值及抛物线E 2所表示的二次函数的表达式；（2）如图10-1，在第一象限内，抛物线E 1上是否存在点Q ，使得以点Q 、B 、B '为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图10-2，P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E 2相交于点P '，求PAA '∆与P BB ''∆的面积之比．益阳市2020年普通初中毕业学业考试 数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.9．4；10．1y x =(不唯一)；11．23；12．3π；13．51n +．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）．14．解：原式=2221x x x x ++-- ·················· 6分=1x +. ······················ 8分15．解：∵AB ∥CD ，∴165ABC ∠=∠=︒，180ABD BDC ∠+∠=︒. ········· 4分 ∵BC ABD ∠平分，∴2130ABD ABC ∠=∠=︒， ················ 6分∴18050BDC ABD∠=︒-∠=︒，∴250BDC∠=∠=︒．··················8分四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16．解：（1）P2(3，3)．····················3分（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为(0)y kx b k=+≠，∵点P1(2，1)，P2(3，3)在直线l上，∴2133k bk b+=⎧⎨+=⎩，，解得23kb=⎧⎨=-⎩，.∴直线l所表示的一次函数的表达式为23y x=-. ····7分（3）点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为(6，9)，∴2639⨯-=，∴点P3在直线l上．····························10分17．解:（1）237.519%1250÷=(亿元)；··············3分（2）第二产业的增加值为1250237.5462.5550--=(亿元)，画图如下：·······7分（3）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为550360158.41250⨯︒=︒．10分 18．解：（1）∵CAB ACB ∠=∠，∴AB CB =，∴□ABCD 是菱形．∴AC BD ⊥． ···················· 3分（2）在Rt △AOB 中，7cos 8AO OAB AB ∠==，14AB =， ∴7491484AO =⨯=， 在Rt △ABE 中，7cos 8AB EAB AE ∠==，14AB =， ∴8167AE AB ==， ·················· 9分 ∴49151644OE AE AO =-=-=．············ 10分 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）19．解：（1）设初期购得原材料a 吨，每天所耗费的原材料为b 吨，根据题意得：6361030a b a b -=⎧⎨-=⎩，. ··············· 3分解得451.5a b =⎧⎨=⎩，．答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨． 6分（2）设再生产x 天后必须补充原材料，依题意得：4516 1.5 1.5(120%)3x -⨯-+≤， ········ 9分 解得：10x ≥.答: 最多再生产10天后必须补充原材料． ······ 12分20．解：（1）由旋转的性质得：AP = AP 1，BP = BP 2．∵90α=︒，∴12PAP PBP △和△均为等腰直角三角形, ∴1245APP BPP ∠=∠=︒，∴121218090PPP APP BPP ∠=︒-∠-∠=︒.·········· 3分 （2）由旋转的性质可知12APP BPP △和△均为顶角为α的等腰三角形，∴12902APP BPP α∠=∠=︒-，∴1212180()1802(90)2PPP APP BPP αα∠=︒-∠+∠=︒-︒-=. ··· 5分 在21P PP △和2P PA △中，122PPP PAP α∠=∠=， 又212PP P AP P ∠=∠，∴21P PP △∽2P PA △． ·················· 7分（3）如图，连接QB.∵l 1，l 2分别为PB ，P 2B 的中垂线， ∴12EB BP =，212FB BP =. 又BP=BP 2，∴EB FB =． 在Rt △QBE 和Rt △QBF 中，20题解图EB FB =，QB QB =，∴Rt △QBE ≌Rt △QBF ， ∴2122QBE QBF PBP α∠=∠=∠=． ············· 9分由中垂线性质得:QP QB =， ∴2QPB QBE ∠=∠=α．由（2）知1902APP α∠=︒-,∴11180180(90)9022PPQ APP QPB ∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒αα,即 P 1P ⊥PQ ． ···················· 12分六、解答题（本题满分15分）21．解：（1）∵抛物线E 1经过点A(1，m)，∴m=12=1．∵抛物线E 2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为2y ax =(0a ≠)，又点B(2，2)在抛物线E 2上，∴222a =⨯，解得:12a =，∴抛物线E 2所对应的二次函数表达式为212y x =． ···· 3分（2）假设在第一象限内 ，抛物线E 1上存在点Q ，使得△QB B '为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B 或点Q ．①当点B 为直角顶点时，过B 作BQ B B '⊥交抛物线E 1于Q ， 则点Q 与B 的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x 2得y=4 ， ∴点Q 的坐标为(2，4)． ·············· 5分②当点Q 为直角顶点时，则有222QB QB B B ''+=，过点Q 作QG BB '⊥于G ，设点Q 的坐标为(t ，t 2)( 0t >)，则有()()()()222222222224t t t t ++-+-+-=，整理得：4230t t -=,∵0t >, ∴230t -=，解得13t =，23t =-舍去)，∴点Q 的坐标为33)，综合①②，存在符合条件的点Q 坐标为(2，4)与33)． ·· 9分（3）过点P 作PC ⊥x 轴,垂足为点C ，PC 交直线A A '于点E ，过点P '作P 'D ⊥x轴,垂足为点D ，P 'D 交直线B B '于点F ，依题意可设P(c ，c 2)、P '(d ，212d ) (c >0，1c ≠)，∵tan tan POC P OD '∠=∠，∴ 2212d c c d=，∴d=2c ． ······· 12分 又A A '=2，B B '=4，∴222211211122111422242222PAA P BB AA PE c c S S c BB P F d '∆''∆'⋅⨯⨯--====⨯-''⋅⨯⨯-． ····· 15分21题解图1 21题解图2。
(中考精品卷)湖南省益阳市中考数学真题(解析版)
2022年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.，1，2，13中，比0小的数是（ ）A.﹣ B. 1 C. 2 D.13【答案】A【解析】【分析】利用零大于一切负数来比较即可．＜0，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2. 下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）A. a3﹣aB. a+aC. a•aD. a6÷a3【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．【详解】A、∵a3﹣a不是同类项，不能进行合并运算，∴选项A不符合题意；B、∵a+a＝2a，∴选项B不符合题意；C、∵a•a＝a2，∴选项C符合题意；D、∵a6÷a3＝a3，∴选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂运算及整式的加减运算，熟记同底数幂的运算的运算法则及整式的加减运算法则是解题的关键．3. 若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（）A.11xx<⎧⎨<-⎩B.11xx<⎧⎨>-⎩C.11xx>⎧⎨<-⎩D. 11x x >⎧⎨>-⎩【答案】D【解析】的【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．【详解】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．4. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．5. 已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（ ）x … ﹣1 0 1 2 …y … ﹣2 0 2 4 …A. y＝2xB. y＝x﹣1C. y＝2xD. y＝x2【答案】A【解析】【分析】观察表中x，y的对应值可以看出，y的值恰好是x值的2倍．从而求出y与x的函数表达式．【详解】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍，∴y＝2x．故选：A．【点睛】本题考查了列正比例函数表达式，解题的关键是根据所给的数据找出自变量与因变量之间的关系．6. 在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（ ）A. 23B.14C.16D.124【答案】C【解析】【分析】根据抽到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．【详解】解：总共有24道题，试题A共有4道，P（抽到试题A）41 == 246，故选：C．【点睛】本题考查了概率公式，掌握到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．7. 如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．由题意得，262 620a aa>-⎧⎨->⎩，解得32＜a＜3，所给选项中分别为：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式组的解集，∴a只能取2．故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．8. 1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）A. I到AB，AC边的距离相等B. CI平分∠ACBC. I是△ABC的内心D. I到A，B，C三点的距离相等【答案】D【解析】【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，D.∵I是△ABC的内心，∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．10. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正确；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝12（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝12（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．∴①②④这三个结论正确．故选：B．【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11.13的绝对值是________．【答案】1 3【解析】【分析】根据绝对值的几何意义分析即可求解． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，在数轴上13-这个数到原点的距离为13， 故13-的绝对值是13， 故答案为13． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，绝对值的几何意义是指数轴上的点到原点的距离，本题属于基础题，熟练掌握绝对值的概念是解决本题的关键．12. 计算：21a a -﹣2a 1-＝_____． 【答案】2【解析】【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．根据同分母分式加减法则进行计算即可． 【详解】解：21a a -﹣2a 1- ＝221a a -- ＝2(1)1a a -- ＝2．故答案为：2.【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．13. 已知m ，n 同时满足2m +n ＝3与2m ﹣n ＝1，则4m 2﹣n 2的值是 _____．【答案】3【解析】【分析】观察已知和所求可知，22422m n m n m n +=()(﹣﹣)，将代数式的值代入即可得出结论．【详解】解：∵2m +n ＝3，2m ﹣n ＝1，∴2222341m n m n m n +⨯==())=3﹣(﹣，故答案为：3．【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．14. 反比例函数y＝2kx-的图像分布情况如图所示，则k的值可以是_____（写出一个符合条件的k值即可）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根据反比例函数的图像所处的位置确定k﹣2的符号，从而确定k的范围，可得答案．【详解】由反比例函数y＝2kx-的图像位于第二，四象限可知，k﹣2＜0，∴k＜2，∴k的值可以是1，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】考查了反比例函数的性质及图像，解题的关键是掌握反比例函数的性质．15. 如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34︒，公路PB的走向是南偏东56︒，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．【答案】90【解析】【分析】根据题意可得∠APC＝34︒，∠BPC＝56︒，然后进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：∠APC＝34︒，∠BPC＝56︒，∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90︒，故答案为：90．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．16. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A 种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A 种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A 种候鸟．【答案】800【解析】【分析】在样本中“200只A 种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．【详解】解：设该湿地约有x 只A 种候鸟，则200：10＝x ：40，解得x ＝800．故答案为：800．【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．17. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则cos B ＝_____．【答案】45【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵sin A ＝BC AB ＝45， ∴cos B ＝BC AB ＝45．故答案为：45． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A +∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．18. 如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝13AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 _____．【答案】4【解析】【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝，则AA ′＝13AC，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【详解】解：∵正方形ABCD 边长为3，∴AC ＝，∴AA ′＝13AC， ∴A ′C ＝，由题意可得重叠部分是正方形，， ∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（﹣2022）0+6×（﹣12）．【答案】0【解析】【分析】先利用零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质化简，然后运算即可．的【详解】解：（﹣2022）0+6×（﹣12）＝1+（﹣3）13=-+22=-+＝0【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．20. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，CD ∥AB ，DE ⊥AC 于点E ，且CE ＝AB ．求证：△CED ≌△ABC ．【答案】见解析【解析】【分析】由垂直的定义可知，∠DEC ＝∠B ＝90°，由平行线的性质可得，∠A ＝∠DCE ，进而由ASA 可得结论．【详解】证明：∵DE ⊥AC ，∠B ＝90°，∴∠DEC ＝∠B ＝90°，∵CD ∥AB ，∴∠A ＝∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，DCE A CE AB DEC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CED ≌△ABC （ASA ）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．21. 如图，直线y ＝12x +1与x 轴交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，经过点A ′和y 轴上的点B （0，2）的直线设为y ＝kx +b ．（1）求点A ′的坐标；（2）确定直线A ′B 对应的函数表达式．【答案】（1）A ′（2，0）（2）y ＝﹣x +2【解析】【分析】（1）利用直线解析式求得点A 坐标，利用关于y 轴的对称点的坐标的特征解答即可；（2）利用待定系数法解答即可．【小问1详解】解：令y ＝0，则12x +1＝0，∴x ＝﹣2，∴A （﹣2，0）．∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，∴A ′（2，0）． 小问2详解】解：设直线A ′B 的函数表达式为y ＝kx +b ，∴202k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：12k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线A ′B 对应的函数表达式为y ＝﹣x +2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y 轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．22. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．【（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；统计量平均数众数中位数方差（1）班8 8 c 1.16（2）班 a b 8 1.56（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人（2）a，b，c的值分别为8，9，8（3）（1）班成绩更均匀【解析】【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．【小问1详解】解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；【小问2详解】由题意知：a＝6105028%95022%85024%75014%650⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝8；∵9分占总体的百分比为28%是最大的，∴9分的人数是最多的，∴众数为9分，即b＝9；由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，∴c＝882＝8；答：a，b，c的值分别为8，9，8；【小问3详解】∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．23. 如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【答案】（1）见解析（2）30°（3）2π﹣【解析】【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P 的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝12AB＝2，AC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．【小问1详解】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；【小问2详解】由（1）知∠ACO ＝∠BCP ，∵∠ABC ＝2∠BCP ，∴∠ABC ＝2∠ACO ，∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ，∴∠ABC ＝2∠A ，∵∠ABC +∠A ＝90°，∴∠A ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠ACO ＝∠BCP ＝30°，∴∠P ＝∠ABC ﹣∠BCP ＝60°﹣30°＝30°，答：∠P 的度数是30°；【小问3详解】由（2）知∠A ＝30°，∵∠ACB ＝90°，∴BC ＝12AB ＝2，AC＝∴S △ABC ＝12BC •AC ＝12×2×∴阴影部分面积是21()22AB π⨯﹣2π﹣答：阴影部分的面积是2π﹣【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．24. 在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A 、B 两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A 、B 型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【答案】（1）甲操控A 型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B 型号收割机每小时收割6亩水稻（2）最多安排甲收割4小时【解析】的【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割100106y-小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【小问1详解】解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：66 (140%)x x-=-0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．【小问2详解】设安排甲收割y小时，则安排乙收割100106y-小时，依题意得：3%×10y＋2%×6×100106y-≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P 在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a 的值；（2）将A ，B 纵坐标分别记为y A ，y B ，设s ＝y A ﹣y B ，若s 的最大值为4，则m 的值是多少？（3）Q 是x 轴的正半轴上一点，且PQ 的中点M 恰好在抛物线F 上．试探究：此时无论m 为何负值，在y 轴的负半轴上是否存在定点G ，使∠PQG 总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a ＝2（2）m（3）存在，G （0【解析】【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P 的坐标，再代入抛物线F 可得出结论； （2）根据题意可分别表达A ，B 的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m 的值；（3）过点Q 作x 轴的垂线KN ，分别过点P ，G 作x 轴的平行线，与KN 分别交于K ，N ，则△PKQ ∽△QNG ，设出点M 的坐标，可表达点Q 和点G 的坐标，从而可得出结论．【小问1详解】解：由题意可知，抛物线22:()2(0)E y x m m m =--+<的顶点P 的坐标为2(,2)m m ， 点P 在抛物线2:F y ax =上， 222am m ∴=，2a ∴=．【小问2详解】解： 直线x t =与抛物线E ，F 分别交于点A ，B ，2222()22A y t m m t mt m ∴=--+=-++，22B y t =，A B s y y ∴=-的22222t mt m t =-++-2232t mt m =-++22143()33t m m =--+， 30-<Q ，∴当13t m =时，s 的最大值为243m ， s 的最大值为4，∴2443m =，解得m =， 0m < ，m =∴．【小问3详解】解：存在，理由如下：设点M 的坐标为n ，则2(,2)M n n ，22(2,4)Q n m n m ∴--，点Q 在x 轴正半轴上，20n m ∴->且2240n m -=，n ∴=，(M ∴，2)m ，(Q m -，0)． 如图，过点Q 作x 轴的垂线KN ，分别过点P ，G 作x 轴的平行线，与KN 分别交于K ，N ，90K N ∴∠=∠=︒，90QPK PQK ∠+∠=︒，90PQG ∠=︒ ，90PQK GQN ∴∠+∠=︒，QPK GQN ∴∠=∠，PKQ QNG ∴∆∆∽，::PK QN KQ GN ∴=，即PK GN KQ QN ⋅=⋅．2PK m m m =--=- ，22KQ m =，GN m =-，2(2)()2m m m QN ∴--=⋅解得QM(0,G ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解．26. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝15，BC ＝9，E 是CD 边上一点（不与点C 重合），作AF ⊥BE 于F ，CG ⊥BE 于G ，延长CG 至点C ′，使C ′G ＝CG ，连接CF ，AC ′．（1）直接写出图中与△AFB 相似的一个三角形；（2）若四边形AFCC ′是平行四边形，求CE 的长；（3）当CE 的长为多少时，以C ′，F ，B 为顶点的三角形是以C ′F 为腰的等腰三角形？【答案】（1）答案不唯一，如△AFB ∽△BCE（2）CE ＝7.5 （3）当CE 的长为长为545或3时，以C ′，F ，B 为顶点的三角形是以C ′F 为腰的等腰三角形【解析】【分析】（1）因为△AFB 是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和△AFB 相似，解答时任意写出一个即可；（2）根据△AFB ∽△BGC ，得AF AB BG BC =，即15593AF BG ==，设AF ＝5x ，BG ＝3x ，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．【小问1详解】解：（任意回答一个即可）；①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BCE＝90°，∴△AFB∽△BCE；②△AFB∽△CGE，理由如下：∵CG⊥BE，∴∠CGE＝90°，∴∠CGE＝∠AFB，∵∠CEG＝∠ABF，∴△AFB∽△CGE；③△AFB∽△BGC，理由如下：∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，∵∠AFB＝∠CGB＝90°，∴△AFB∽△BGC；【小问2详解】∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴AF ABBG BC=，即15593AFBG==，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴CG CEBG BC=，即2.539x CEx=，∴CE＝7.5；【小问3详解】分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴AF BFBC CE=，即569x xCE=，∴596xx CE=，∴CE＝54 5；②当C'F＝BF时，如图3，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴15593 AB BFBC CG===，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝4a，∵tan∠CBE＝CE CG BC BG=，∴3945 CE aa a=+，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为545或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题。
湖南省益阳市中考数学试卷
精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列四个实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣12．（5分）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．B．C．D．3．（5分）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形4．（5分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×1085．（5分）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．6．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤07．（5分）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα8．（5分）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为．10．（5分）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=．11．（5分）代数式有意义，则x的取值范围是．12．（5分）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为．13．（5分）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为．14．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．三、解答题（本大题8个小题，共80分）15．（8分）计算：|﹣4|﹣2cos60°+（﹣）0﹣（﹣3）2．16．（8分）先化简，再求值：+，其中x=﹣2．17．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．18．（10分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，2=0.8、S乙你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.4、S丙2=0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）19．（10分）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．21．（12分）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．22．（14分）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2017•益阳）下列四个实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣1【分析】根据选项中的数据，可以比较它们的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜2，故选C．【点评】本题考查实数大小的比较，解答此类问题的关键是明确负数小于0小于正数．2．（5分）（2017•益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．B．C．D．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案．【解答】解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2．故选D．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．3．（5分）（2017•益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】根据菱形的性质解答即可得．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．4．（5分）（2017•益阳）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：0.000 000 04=4×10﹣8，故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（5分）（2017•益阳）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．【分析】根据二次根式的性质逐一化简可得．【解答】解：A、不能化简；B、=2，此选项错误；C、=3，此选项正确；D、=6，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．6．（5分）（2017•益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，∴b2﹣4ac＞0，故选A【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．7．（5分）（2017•益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴BC==，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．（5分）（2017•益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm2【分析】根据给出的空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，比例尺为1：4，可得其主视图的面积=长12×=3cm宽10×=2.5cm的长方体的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．【解答】解：12×=3（cm）10×=2.5（cm）3×2.5=7.5（cm2）答：其主视图的面积是7.5cm2．故选：D．【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是能得到立体图形的三视图和学生的空间想象能力．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）（2017•益阳）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A 的度数为124°．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°，根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=28°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠BCD=28°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，故答案为：124°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（5分）（2017•益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= 6.5．【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵CD是AB边上的中线，∴CD=6.5；故答案为：6.5．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．11．（5分）（2017•益阳）代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．12．（5分）（2017•益阳）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为48．【分析】设被调查的学生人数为x人，则有=0.25，解方程即可．【解答】解：设被调查的学生人数为x人，则有=0.25，解得x=48，经检验x=48是方程的解．故答案为48；【点评】本题考查频数与频率、记住两者的关系是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2017•益阳）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为108°．【分析】根据多边形的内角和公式即可得出结果．【解答】解：∵五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数=540°÷5=108°．故答案是：108°．【点评】本题考查多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n﹣2）•180°．14．（5分）（2017•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC 的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b故答案为：2a+3b．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．三、解答题（本大题8个小题，共80分）15．（8分）（2017•益阳）计算：|﹣4|﹣2cos60°+（﹣）0﹣（﹣3）2．【分析】根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可．【解答】解：原式=4﹣2×+1﹣9，=﹣5．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．16．（8分）（2017•益阳）先化简，再求值：+，其中x=﹣2．【分析】根据分式的运算法则先化简单，再代入求值即可．【解答】解：原式==x+1+x+1=2x+2．当x=﹣2时，原式=﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分、加减运算是解题的关键．17．（8分）（2017•益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，又∵F是CD的中点，即DF=CF，∴△ADF≌△ECF，∴AD=CE，∴BC=CE．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．18．（10分）（2017•益阳）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，2=0.8、S乙你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.4、S丙2=0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）；（2）易知（分），（分），（分），根据题意不难判断；（3）画出树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）．（2）∵（分），（分），（分），∴＞，＞∴选乙运动员更合适．（3）树状图如图所示，第三轮结束时球回到甲手中的概率是．【点评】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．19．（10分）（2017•益阳）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？【分析】（1）设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设今年土特产的利润为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．【解答】解：（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，依题意得：，解得：，答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；（2）设今年土特产利润m万元，依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣11≥10，解之得，m≥7.4，答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键．20．（10分）（2017•益阳）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB 的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，【分析】由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD==5，∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD=90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度．21．（12分）（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k ≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．22．（14分）（2017•益阳）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC ⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B 作BF⊥y轴于F，设、B，联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出结论．【解答】解：（1）①由已知得2x2=x+1，解得或x=1，当时，，当x=1时，y=2，∴A、B两点的坐标分别为（，），（1，2）；②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，由①及已知有A（，），B（1，2），且OM=ON=1，∴，，∴tan∠ANM=tan∠BNM，∴∠ANM=∠BNM；（2）∠ANM=∠BNM成立，①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形，∴∠ANM=∠BNM；②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设、B．如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，XX 学校--用心用情 服务教育！用心用情 服务教育21由题意可知：ax 2=kx +b ，即ax 2﹣kx ﹣b=0， ∴， ∵===， ∴，∴Rt △AEN ∽Rt △BFN ，∴∠ANM=∠BNM ．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、三角函数的定义、根与系数的关系、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）②中求得两角的正切值是解题的关键，在（2）中利用根与系数的关系，整理求得，是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
湖南省益阳市中考数学试卷含答案试卷分析详解
湖南省益阳市中考数学试卷（样卷）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）的相反数是（）A． B．﹣C．D．2．（4分）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B．C．D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣14．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形6．（4分）小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、677．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤08．（4分）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360°B．540°C．720° D．900°9．（4分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小10．（4分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C 为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．B．C．D．11．（4分）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第象限．12．（4分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为．13．（4分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为．14．（4分）某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=．x (2)1.5﹣1﹣0.500.51 1.52…y…20.750﹣0.250﹣0.250m2…15．（4分）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y=﹣的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标．16．（4分）如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为．（结果保留π）17．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为．18．（4分）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是枚．三、解答题：本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（8分）计算：（﹣1）3+||﹣（﹣）0×（﹣）．20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣．21．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．22．（10分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组（0≤x＜15）30.15第二组（15≤x＜30）6a第三组（30≤x＜45）70.35第四组（45≤x＜60）b0.20（1）频数分布表中a=，b=，并将统计图补充完整；（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？23．（10分）某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？24．（10分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．25．（12分）如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．26．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．（1）计算矩形EFGH的面积；（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．湖南省益阳市中考数学试卷（样卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）的相反数是（）A． B．﹣C．D．【解答】解：∵﹣+=0，∴﹣的相反数是．故选：C．2．（4分）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不能化简；B、=2，此选项错误；C、=3，此选项正确；D、=6，此选项错误；故选：C．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1【解答】解：A、2x+y无法计算，故此选项错误；B、x•2y2=2xy2，正确；C、2x÷x2=，故此选项错误；D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误；故选：B．4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：，由①得，x＞﹣3，由②得，x≤2，故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，在数轴上表示为：．故选：A．5．（4分）下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．6．（4分）小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67【解答】解：因为68出现了3次，出现次数最多，所以这组数据的众数是68．将这组数据从小到大排列得到：66，67，67，68，68，68，69，71，所以这组数据的中位数为68．故选：C．7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，∴b2﹣4ac＞0，故选：A．8．（4分）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360°B．540°C．720° D．900°【解答】解：①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180°+180°=360°；②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，④将矩形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°；故选：D．9．（4分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小【解答】解：画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．A、∵a=1，∴抛物线开口向上，A正确；B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；C、∵﹣=﹣=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．故选：D．10．（4分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠P B′C=α（B′C 为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．B．C．D．【解答】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinα=，∴=sinα，∴x﹣1=xsinα，∴（1﹣sinα）x=1，∴x=．故选：A．二、填空题：本题共8小题，每小题4分．11．（4分）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第四象限．【解答】解：将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位后得到的一次函数的解析式为：y=2x+3，∵k=2＞0，b=3＞0，∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，即该一次函数图象不经过第四象限．故答案为：四．12．（4分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为．【解答】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，有4种甲没在中间，所以甲没排在中间的概率是=．故答案为．13．（4分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为124°．【解答】解：∵AB ∥CD ， ∴∠ABC=∠BCD=28°， ∵CB 平分∠ACD ， ∴∠ACB=∠BCD=28°，∴∠A=180°﹣∠ABC ﹣∠ACB=124°， 故答案为：124°．14．（4分）某学习小组为了探究函数y=x 2﹣|x |的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m= 0.75 ． x…﹣2﹣1.5﹣1﹣0.50.511.52…y…20.75﹣0.25﹣0.25 0m2…【解答】解：（方法一）当x ＞0时，函数y=x 2﹣|x |=x 2﹣x ， 当=0.75．（方法二）观察表格中的数据，可知：当x=﹣1和x=1时，y 值相等， ∴抛物线的对称轴为y 轴， ∴当x=1.5和=0.75． 故答案为：0.75．15．（4分）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y=﹣的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标 （1，﹣3） ．【解答】解：任意取一个整数值如x=1，将x=1代入解析式得：y=﹣=﹣3，得到点坐标为（1，﹣3），则这个点坐标的横纵坐标都为整数，是符合要求的答案，本题可有多个答案．故答案为：（1，﹣3）（答案不唯一）．16．（4分）如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为24π．（结果保留π）【解答】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4•π×6=24π．故答案为：24π．17．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为115°．【解答】解：连接OC，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．18．（4分）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是13枚．【解答】解：设第n个图形有a n个旗子，观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…，a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）．当n=4时，a9=3×4+1=13．故答案为：13．三、解答题：本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（8分）计算：（﹣1）3+||﹣（﹣）0×（﹣）．【解答】解：原式=﹣1+﹣1×（﹣）=﹣1++=．20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣．【解答】解：原式==．当时，原式=4．21．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．22．（10分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组（0≤x＜15）30.15第二组（15≤x＜30）6a第三组（30≤x＜45）70.35第四组（45≤x＜60）b0.20（1）频数分布表中a=0.3，b=4，并将统计图补充完整；（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？【解答】解：（1）a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.20=0.3；∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；故答案为：0.3，4；补全统计图得：（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：=．23．（10分）某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？【解答】解：（1）设该班男生有x人，女生有y人，依题意得：，解得：．∴该班男生有27人，女生有15人．（2）设招录的男生为m名，则招录的女生为（30﹣m）名，依题意得：50m+45（30﹣m）≥1460，即5m+1350≥1460，解得：m≥22，答：工厂在该班至少要招录22名男生．24．（10分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【解答】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．=BC•AD=×14×12=84．∴S△ABC25．（12分）如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线顶点为A（，1），设抛物线解析式为y=a（x﹣）2+1，将原点坐标（0，0）在抛物线上，∴0=a（）2+1∴a=﹣．∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．（2）令y=0，得0=﹣x2+x，∴x=0（舍），或x=2∴B点坐标为：（2，0），∵A（，1）在直线OA上，∴k=1，∴k=，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y=x+b，∵B（2，0）在直线BD上，∴0=×2+b，∴b=﹣2，∴直线BD的表达式为y=x﹣2．令x=0得，y=﹣2，∴C点的坐标为（0，﹣2），由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD．（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，2），∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．过点D作DQ⊥y，垂足为Q，∴PO∥DQ．∴△C'PO∽△C'DQ．∴，∴，∴P O=，∴点P的坐标为（﹣，0）．26．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．（1）计算矩形EFGH的面积；（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．【解答】解：（1）如图①，在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，又∵D是AB的中点，∴AD=1，，又∵EF是△ACD的中位线，∴，在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，∴∠ADC=60°，在△FGD中，GF=DF•sin60°=，∴矩形EFGH的面积；（2）如图②，设矩形移动的距离为x，则，当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，则，，∴．（舍去），当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，重叠部分的面积S=，∴，即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；（3）如图③，作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则，又，．在Rt△H2QG1中，，解之得（负的舍去）．∴．第21页共21页。
2023年湖南省益阳市中考数学真题(解析版)
益阳市2023年初中学业水平考试数 学考生注意：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；4．本学科为闭卷考试，考试时量为120分钟，卷面满分为150分；5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试题卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 四个实数13-，0，2中，最大的数是（ ）A. 13- B. 0 C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．【详解】解：∵1023-<<<，∴最大的数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．2. 下列计算正确的是（ ）A 236x x x ×= B. ()235x x = C. ()2236x x = D. 32x x x ¸=【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法可判断A ，根据幂的乘方运算可判断B ，根据积的乘方运算可判断C ，根据同底数幂的除法运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：235x x x ×=，故A 不符合题意；()236x x =，故B 不符合题意；()2239x x =，故C 不符合题意；.32x x x ¸=，故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟记以上基础的运算的运算法则是解本题的关键．3. 下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．【详解】解：由轴对称图形定义可知：A ，B ，C 不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；D 选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形， 故选：D ．【点睛】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．4. 将不等式组0,20x x >ìí-£î的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先解不等式20x -≤，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可．【详解】解：020x x >ìí-£î①②，由② 得：2x £，在数轴上表示两个不等式的解集如下：，∴不等式组的解集为：02x <£；故选B【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练的使用数轴工具是解本题的关键．5. 某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A ，B 两种劳动工具共145件，A ，B 两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）A. 14510121580x y x y +=ìí+=î B. 14510121580x y x y -=ìí+=îC. 14512101580x y x y +=ìí+=î D. 14512101580x y x y -=ìí+=î【答案】A 【解析】【分析】设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，根据“用1580元购进A ，B 两种劳动工具共145件，A ，B 两种劳动工具每件分别为10元，12元．”列出方程组，即可求解．【详解】解：设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，根据题意得：14510121580x y x y +=ìí+=î．故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．6. 乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：测量时间第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天收缩压（毫米汞柱）151148140139140136140舒张压（毫米汞柱）90928888908088对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（ ）A. 收缩压的中位数为139B. 舒张压的众数为88C. 收缩压的平均数为142D. 舒张压的方差为887【答案】A 【解析】【分析】把数据按照大小排序后再确定中位数可判断A ，再利用所有数据的和除以数据总个数可得平均数，可判断C ，再根据出现次数最多的数据为众数可判断C ，再根据方差公式计算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：把收缩压的数据按照从小到大的顺序排列为：136，139，140，140，140，148，151；∴排在最中间的数据是140，可得中位数为140，故A 符合题意；收缩压的平均数为：()113613914031481511427++´++=，故C 不符合题意；舒张压的数据中88出现3次，所以舒张压的数据的众数为88，故D 不符合题意；舒张压的平均数为：()190928839080887++´++=，∴舒张压的方差为：()()()()2222218829088928838888808877S éù=´-+-+´-+-=ëû；故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数，方差的含义，熟记众数，中位数，平均数与方差的求解方法是解本题的关键．7. 如图，ABCD Y 的对角线AC BD ，交于点O ，下列结论一定成立的是（ ）A. OA OB =B. OA OB ^C. OA OC =D. OBA OBCÐ=Ð【答案】C 【解析】【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案．【详解】解：A 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，OB OD =，则OA OB =不一定成立，该选项不符合题意；B 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则OA OB ^不一定成立，该选项不符合题意；C 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，该选项符合题意；D 、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则OBA OBC Ð=Ð不一定成立，该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，有三点()0,1A ，()4,1B，()5,6C ，则sin BAC Ð=（）A.12B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上，由()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，证明45BAC Ð=°，可得sin sin 45BAC Ð=°=【详解】解：如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上，∵()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，∴5AD =，5CD =，90ADC Ð=°，∴45BAC Ð=°，∴sin sin 45BAC Ð=°=故选C【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．9. 下列因式分解正确的是（ ）A. ()2224221a a a -+=- B. ()2a ab a a a b ++=+C. ()()22444a b a b a b -=+- D. ()233a b ab ab a b -=-【答案】A 【解析】【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．【详解】解：A 、()()22224222121a a a a a -+=-+=-，故本选项正确，符合题意；B 、()21a ab a a a b ++=++，故本选项错误，不符合题意；C 、()()22422a b a b a b -=+-，故本选项错误，不符合题意；D 、()()()3322ab ab ab a b ab a b a b -=-=+-，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．10. 关于一次函数1y x =+，下列说法正确的是（ ）A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y 轴交于点()0,1C. 函数值y 随自变量x 的增大而减小 D. 当1x >-时，0y <【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的性质判断即可．【详解】解：由题意可得：0,0k b >>，∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y 随自变量x 的增大而增大，故A 、C 错；当0x =时，1y =，∴图象与y 轴交于点()0,1，故B 正确；当=1x -时，0y =，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴当1x >-时，0y >，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）11. 据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27％．将1590000用科学记数法表示为______．【答案】61.5910´【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为10n a ´，n 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：将1590000用科学记数法表示为61.5910´．故答案为：61.5910´【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为10n a ´，其中110a £<，n 是正整数，正确确定a 的值和n 的值是解题的关键．12. _______．【答案】10【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．10==．故答案为：10．=13. 从110:这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是______．【答案】310##0.3【解析】【分析】直接利用概率公式求解即可.【详解】解：由题意可得：在110:中共有10个整数，3的倍数只有3，6，9，共3个，∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是310，故答案为：310.【点睛】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.14. 分式方程422x x=-的解是______．【答案】2x =-【解析】分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：去分母得：()224x x -=，解得：2x =-，检验：当2x =-时，()20x x -¹，∴原方程的解为2x =-．故答案为：2x =-【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．15. 我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数2y x =的图象向上平移1个单位得到21y x =+的图象；将二次函数21y x =+的图象向左平移2个单位得到()221y x =++的图象．若将反比例函数6y x=的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是______．【答案】63y x=-【解析】【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案．【详解】解：将反比例函数6y x=的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x=-，故答案为：63y x=-．【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．【16. 如图，正六边形ABCDEF 中，FAB Ð=______°．【答案】120°##120度【解析】【分析】由正六边形的内角和为()62180-´°，结合正六边形的所有的内角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF ，∴正六边形的所有的内角都相等；∴()621801206FAB -´°Ð==°；故答案为：120°．【点睛】本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，熟记正多边形的每个内角都相等是解本题的关键．17. 如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为AB 的中点，连接DE ，将DAE V 绕点D 按逆时针方向旋转90°得到DCF V ，连接EF ，则EF 的长为______．【答案】【解析】【分析】由正方形ABCD ，可得4AD DC AB ===，A ADC BCD 90Ð=Ð=Ð=°，90DCF Ð=°，证明2AE BE ==，求解2224220DE =+=，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴4AD DC AB ===，A ADC BCD 90Ð=Ð=Ð=°，∴90DCF Ð=°，∵E 为AB 的中点，∴2AE BE ==，∴2224220DE =+=，由旋转可得：90EDF Ð=°，DE DF =，∴==；故答案为：．【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键．18. 如图，在ABCD Y 中，6AB =，4=AD ，以A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接DE ，分别以D E ，为圆心，以大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF ，交DE 于点M ，过点M 作∥MN AB 交BC 于点N ．则MN 的长为______．【答案】4【解析】【分析】由尺规作图可知，射线AF 是BAD Ð的角平分线，由于4AD AE ==，结合等腰三角形“三线合一”得M 是DE 边中点，再由∥MN AB ，根据平行线分线段成比例定理得到N 是边BC 中点，利用梯形中位线的判定与性质得到()12MN DC EB =+即可得到答案．【详解】解：由题意可知4AD AE ==，射线AF 是BAD Ð的角平分线，\由等腰三角形“三线合一”得M 是DE 边中点，Q∥MN AB ，\由平行线分线段成比例定理得到1BN EMNC MD==，即N 边BC 中点，\MN 是梯形BCDE 的中位线，\()12MN DC EB =+，在ABCD Y 中，6CD AB ==，642BE AB AE =-=-=，则4MN =，是故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键．三、解答题（本题共8个小题，共78分）19. 211123⎛⎫---´- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可．211123⎛⎫---´- ⎪⎝⎭134=--+=【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键．20. 如图，AB CD ∥，直线MN 与,AB CD 分别交于点E ，F ，CD 上有一点G 且GE GF =，1122Ð=°．求2Ð的度数．【答案】64°【解析】【分析】根据AB CD ∥，可得1122DFE Ð=Ð=°，从而得到58EFG Ð=°，再由GE GF =，可得58FEG EFG Ð=Ð=°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵AB CD ∥，1122Ð=°∴1122DFE Ð=Ð=°，∴18058EFG DFE Ð=°-Ð=°，∵GE GF =，∴58FEG EFG Ð=Ð=°，∴218064FEG EFG Ð=°-Ð-Ð=°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．21. 先化简，再求值：()2112111x x x ⎛⎫-¸ ⎪-+⎝⎭-，其中1x =-．【答案】11x x -+，1-【解析】【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把1x =-代入化简后的分式中进行计算即可．【详解】解：()2112111x x x ⎛⎫-¸ ⎪-+⎝⎭-()()()()()211111112x x x x x x x éù-+-=-×êú-+-+ëû()()()212112x x x -=×+-11x x -=+；当1x =-时，原式1==．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟练的计算分式的混合运算是解本题的关键．22. 我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A ：非常满意；B ：满意；C ：一般；D ：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：等级人数A 72B108C48D m请你根据图表中的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生人数是多少？（2）求以上图表中m ，n 的值及扇形统计图中A 等级对应的圆心角度数；（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有多少人？【答案】（1）本次被调查的学生人数是240人；（2）12m =，45n =；图中A 等级对应的圆心角度数为108°；（3）该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．【解析】【分析】（1）由C 等级的人数除以其占比可得总人数，（2）由总人数减去A ，B ，C 三个等级的人数可得m 的值，再由B 等级的人数除以总人数可得n 的值，由A 等级的占比乘以360°可得圆心角的度数；（3）由A ，B 等级的占比乘以1200，可得答案．【小问1详解】解：∵4820%240¸=，∴本次被调查的学生人数是240人；【小问2详解】由题意可得：240721084812m =---=，10845%240=，∴45n =；72360108240´°=°，∴图中A 等级对应的圆心角度数为108°；【小问3详解】∵721081200900240+´=，∴该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．【点睛】本题考查的从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．23. 如图，线段AB 与O e 相切于点B ，AO 交O e 于点M ，其延长线交O e 于点C ，连接BC ，120ABC Ð=°，D 为O e 上一点且 DB的中点为M ，连接AD ，CD ．（1）求ACB Ð的度数；（2）四边形ABCD 是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；（3）若6AC =，求 CD的长．【答案】（1）30°（2）是菱形，证明见解析（3） CD 的长为43p ．【解析】【分析】（1）如图，连接OB ，证明90Ð=°ABO ，而120ABC Ð=°，可得1209030OBC Ð=°-°=°，再结合等腰三角形的性质可得答案；（2）先证明30ACD ACB Ð=Ð=°，即60DCB Ð=°，而120ABC Ð=°，求解30CAB ACB Ð=°=Ð，可得BA BC =，证明 CDCB =，可得CD CB =，再证明AD AB =，可得AD AB BC CD ===，从而可得结论；（3）如图，连接OD ，BD ，交AC 于Q ，证明DBC △为等边三角形，可得2120DOC DBC Ð=Ð=°，证明3QA QC ==，AC BD ^，求解2OC =，再利用弧长公式进行计算即可．【小问1详解】解：如图，连接OB ，∵线段AB 与O e 相切于点B ，∴90Ð=°ABO ，而120ABC Ð=°，∴1209030OBC Ð=°-°=°，∵OB OC =，∴30OBC OCB Ð=Ð=°；【小问2详解】四边形ABCD 是菱形，理由如下：∵ DB的中点为M ，30ACB Ð=°，∴30ACD ACB Ð=Ð=°，即60DCB Ð=°，而120ABC Ð=°，∴1801203030CAB ACB Ð=°-°-°=°=Ð，∴BA BC =，∵ DB的中点为M ，CM 为直径，∴ CDCB =，∴CD CB =，∵30ACD ACB Ð=°=Ð，AC AC =，∴ACD ACB ≌△△，∴AD AB =，∴AD AB BC CD ===，∴四边形ABCD 是菱形．【小问3详解】如图，连接OD ，BD ，交AC 于Q ，∵CD CB =，60DCB Ð=°，∴DBC △为等边三角形，∴60DBC Ð=°，∴2120DOC DBC Ð=Ð=°，∵菱形ABCD ，6AC =，∴3QA QC ==，AC BD ^，∴903060CBQ Ð=°-°=°，∵30OBC Ð=°，∴30QBO Ð=°，∴1122OQ OB OC ==，∴132OC OC +=，2OC =，∴ CD 的长为120241803p p ´=．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．24. 某企业准备对A ，B 两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A 项目一年后的收益A y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：25A y x =，投资B 项目一年后的收益B y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：2125B y x x =-+．（1）若将10万元资金投入A 项目，一年后获得的收益是多少？（2）若对A ，B 两个项目投入相同资金m （0m >）万元，一年后两者获得的收益相等，则m 的值是多少？的（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A ，B 两个项目中，当A ，B 两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？【答案】（1）4万元 （2）8m =（3）当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得收益之和最大，最大值是16万元．【解析】【分析】（1）把10x =代入25A y x =可得答案；（2）当x m =时，可得221255m m m =-+，再解方程可得答案；（3）设投入到B 项目的资金为x 万元，则投入到A 项目的资金为()32x -万元，设总收益为y 万元，A B y y y =+21864555x x =-++，而032x ££，再利用二次函数的性质可得答案．【小问1详解】解：∵投资A 项目一年后的收益A y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：25A y x =，当10x =时，21045A y =´=（万元）；【小问2详解】∵对A ，B 两个项目投入相同的资金m （0m >）万元，一年后两者获得的收益相等，∴221255m m m =-+，整理得：280m m -=，解得：18m =，20m =（不符合题意），∴m 的值为8．【小问3详解】2125B y x x =-+设投入到B 项目的资金为x 万元，则投入到A 项目的资金为()32x -万元，设总收益为y 万元，∴A By y y =+()22132255x x x =--+的21864555x x =-++，而032x ££，∴当854125x =-=⎛⎫´- ⎪⎝⎭时，132641616555y =-´++=最大（万元）；∴当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．25. 如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC >，点D 在边AC 上，将线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90°得到DA ¢，线段DA ¢交AB 于点E ，作A F AB ¢^于点F ，与线段AC 交于点G ，连接,FC GB ．（1）求证：ADE A DG ¢≌△△；（2）求证：AF GB AG FC ×=×；（3）若8AC =，1tan 2A =，当A G ¢平分四边形DCBE 的面积时，求AD 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，再根据A F AB ¢^，可得A A ¢Ð=Ð，即可；（2）根据90BFG ACB Ð=Ð=°，可得点B ，C ，G ，F 四点共圆，从而得到CBG CFG Ð=Ð，180ABC CGF Ð+Ð=°，从而得到AGF ABC Ð=Ð，进而得到ACF ABG Ð=Ð，可证明ABG ACF ∽V V ，即可；（3）连接EG ，根据8AC =，1tan 2A =，可得4,2BC A D AD DE ¢===，2A F EF ¢=，AB =，设DE DG x ==，则2A D AD x ¢==可得AE A G ¢==，A E x ¢=，83CG x =-，,EF x A F ¢==，FG x =，BF x =，再由A G ¢平分四边形DCBE 的面积，可得DEG FEG BFG BCG S S S S +=+V V V V ，从而得到关于x 的方程，即可求解．【小问1详解】证明：∵线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90°得到DA ¢，∴,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，∴90A AED Ð+Ð=°，∵A F AB ¢^，即90A FE ¢Ð=°，∴90A AEF ¢Ð+Ð=°，∵AED AEF Ð=Ð，∴A A ¢Ð=Ð，在ADE V 和A DG ¢V 中，∵A A ¢Ð=Ð， ,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，∴ADE A DG ¢≌△△；【小问2详解】证明：∵90BFG ACB Ð=Ð=°，∴点B ，C ，G ，F 四点共圆，∴CBG CFG Ð=Ð，180ABC CGF Ð+Ð=°，∵180AGF CGF Ð+Ð=°，∴AGF ABC Ð=Ð，∵,AGF CFG ACF ABC ABG CBG Ð=Ð+ÐÐ=Ð+Ð，∴ACF ABG Ð=Ð，∵A A Ð=Ð，∴ABG ACF ∽V V ，∴AG BG AF CF=，即AF GB AG FC ×=×；【小问3详解】解：如图，连接EG ，∵ADE A DG ¢≌△△，∴DE DG =，AE A G ¢=，∵8AC =，1tan 2A =，∴11tan ,tan 22BC DE EF A A AC AD A F ¢=====¢，∴4,2BC A D AD DE ¢===，2A F EF ¢=，∴AB =，设DE DG x ==，则2A D AD x ¢==，∴AE A G ¢==，A E x ¢=，83CG x =-，∴,EF x A F x ¢==，∴FG x =，BF x =，∵A G ¢平分四边形DCBE 的面积，∴DEG FEG BFG BCG S S S S +=+V V V V ，∴111222DE EF FG BC CG BF FG ´´=´+´，即()211114832222x x x x x ⎛⎫+=´-+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：x =（负值舍去），∴2AD x ==【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，直线:(2)(0)l y a x a =+>与x 轴交于点A ，与抛物线2:E y ax =交于B ，C 两点（B 在C 的左边）．（1）求A 点的坐标；（2）如图1，若B 点关于x 轴的对称点为B ¢点，当以点A ，B ¢，C 为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a 的值；（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如()2,1-，()2,0等均为格点．如图2，直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a 的取值范围．【答案】（1）()20-，（2）1a =或a =； （3）132023a <£或7a =．【解析】【分析】（1）对于直线():2l y a x =+，令0y =，求出x ，即可求解；（2）表示出点A ，B ¢，C 的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；（3）直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y 轴和直线1x =上，各为13个，分别求出a 的范围．【小问1详解】解：对于直线():2l y a x =+，当0y =时，2x =-，∴A 点的坐标为()2,0-；【小问2详解】解：联立直线:(2)l y a x =+与抛物线2:E y ax =得：2(2)y a x y ax=+ìí=î，220x x \--=，1x \=-或2x =，(1)B a \-，，(24)C a ，，B Q 点关于x 轴的对称点为B ¢点，(1)B a ¢\--，，2222(21)(0)1AB a a ¢\=-+++=+，2222(22)(40)1616AC a a =++-=+，2222(21)(4)259B C a a a ¢=+++=+，若90CAB ¢Ð=°，则222AB AC B C ¢¢+=，即22211616259a a a +++=+，所以1a =，若90AB C ¢Ð=°，则222AB B C AC ¢¢+=，即22212591616a a a +++=+，所以a =，若90ACB ¢Ð=°，则222AC B C AB ¢¢+=，即22216162591a a a +++=+，此方程无解．1a \=或a =；【小问3详解】解：如图，直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y 轴和直线1x =上，(02)D a Q ，，(1)E a ，，(13)F a ，，2OD EF a \==，Q 格点数恰好是26个，\落在y 轴和直线1x =上的格点数应各为13个，\落在y 轴的格点应满足13214a <£，即1372a <£，①若1372a <<，即1372E y <<，所以线段EF 上的格点应该为(1,7)，(1，8)(1¼¼，19)，19320a \<£\192033a <£\132023a <£②若7a =，7E y =，21F y =，所以线段EF 上的格点正好13个，综上，132023a <£或7a =．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在y 轴和直线1x =上，各为13个，并对点D 、F 进行定位．。
2022年湖南省益阳市中考数学试题及答案解析
2022年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A．﹣B．1 C．2 D．2．下列各式中，运算结果等于a2的是（）A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a33．若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（）A．B．C．D．4．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（）x…﹣1 0 1 2 …y…﹣2 0 2 4 …A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝D．y＝x26．在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（）A．B．C．D．7．如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．29．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC 于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A．I到AB，AC边的距离相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的内心D．I到A，B，C三点的距离相等10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．﹣的绝对值是．12．计算：﹣＝．13．已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．14．反比例函数y＝的图象分布情况如图所示，则k的值可以是（写出一个符合条件的k值即可）．15．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝°．16．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有只A种候鸟．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝．18．如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．21．（8分）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．（1）求点A′的坐标；（2）确定直线A′B对应的函数表达式．22．（10分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；统计量平均数众数中位数方差（1）班8 8 c 1.16（2）班a b8 1.56（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．23．（10分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．（10分）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为y A，y B，设s＝y A﹣y B，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m 为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？答案解析一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。
湖南省益阳市2022年中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省益阳市中考数学试卷解析一、选择题〔本大题共8小题，每题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔2022•益阳〕﹣2的绝对值等于〔〕A．2B．﹣2C．D．±2考点：绝对值。
专题：计算题。
分析：根据绝对值的性质，当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；即可解答．解答：解：根据绝对值的性质，|2|=2．应选A．点评：此题考查了绝对值的性质，①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a 是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．〔2022•益阳〕以下计算正确的选项是〔〕A．2a+3b=5abB．〔x+2〕2=x2+4C．〔ab3〕2=ab6D．〔﹣1〕0=1考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂。
分析：A、不是同类项，不能合并；B、按完全平方公式展开错误，掉了两数积的两倍；C、按积的乘方运算展开错误；D、任何不为0的数的0次幂都等于1．解答：解：A、不是同类项，不能合并．故错误；B、〔x+2〕2=x2+4x+4．故错误；C、〔ab3〕2=a2b6．故错误；D、〔﹣1〕0=1．故正确．应选D．点评：此题考查了整式的有关运算公式和性质，属根底题．3．〔2022•益阳〕以下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是〔〕A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两局部完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解答：解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误．应选：C．点评：此题主要考查了好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．〔2022•益阳〕一组数据：12，5，9，5，14，以下说法不正确的选项是〔〕A．平均数是9B．中位数是9C．众数是5D．极差是5考点：极差；算术平均数；中位数；众数。
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2008年湖南省益阳市中考数学试卷本试卷包括试题卷和答题卷. 试题卷1至2页，答题卷3至8页. 本试卷共有七道大题. 考试时间为120分钟，满分120分. 考试结束后，考生将试题卷和答题卷全部交回.试 题 卷考生注意：答试题卷时，按要求将试题卷的答案填在答题卷中的相关答题栏中，不得答在试题卷上. 试题卷共2道大题，16道小题，共54分.一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题提供的选项中只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的答案的英文字母的代号填写在答题卷上方相关答题栏中对应题号下的空格内） 1．31的相反数是A. 3B. -3C.31 D. 31- 2．一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在A. 4cm~5cm 之间B. 5cm~6cm 之间C. 6cm~7cm 之间D. 7cm~8cm 之间 3．下列计算中，正确的是A. 633a a a =+B. 532)(a a =C. 842a a a =⋅D. a a a =÷34 4．如图1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1~6 个 点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是A. 1B. 2C. 3D. 65．物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P 与所受压力F 及受力面积S 之间的计算公式为SFP =. 当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P 与受力面积S 之间的关系用图象表示大致为6．下列四个图形中不是轴对称图形的是7．某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩(满分30分)依次为：25,23,25,23,27,30,25， 这组数据的中位数和众数分别是A. 23,25B. 23,23C. 25,23D. 25,25图1O P SSO PO P S O P A B C D S A B C DA.︒526sin 米 B. ︒526tan 米 C. 6·cos 52°米 D. ︒526cos 米 9．如图3 ，一个扇形铁皮OAB. 已知OA =60cm ，∠AOB =120°，小华将OA 、OB 合拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计)，则烟囱帽的底面圆的半径为A. 10cmB. 20cmC. 24cmD. 30cm10.有一种石棉瓦(如图4)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n (n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为A. 60n 厘米B. 50n 厘米C. (50n+10)厘米D. (60n -10)厘米二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分，请将解答答案填写在答题卷上方的相关答题对应题号下的空格内）11. 第29届奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京开幕，举行开幕式的国家体育场“鸟巢”共有91000个座位，这个数用科学记数法表示为 个.12. 如图5，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积是 cm 2.13．图6是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE 是一个正五边形，则图中∠ABC 的度数是 .14．图7是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(1,0)，安化县城所在地用坐标表示为(-3，-1)，那么南县县城所在地用坐标表示为 .15. 在一个袋中，装有十个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字. 小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是 .16．在下列三个不为零的式子 44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .2008年湖南省益阳市中考数学试卷考生注意：1.答题前，将密封线内的项目填写清楚。
2.不准用红色墨水笔作答。
BA C D F E 图5 120°O A B 图3 A B C D E 图6 安化益阳 南县 图7 A B C ┐图2 图4题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 合分人复分人 得分试题卷答题栏 评卷人： 复评人：一、选择题(请将试题卷此题解答答案填入下表中对应题号下的空格内)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答案一、填空题(请将试题卷此题解答答案填入下表中对应题号下的空格内)题号 11 12 13 14 15 16得分 答案答 题 卷考生注意：答题卷共5道大题，8道小题，共66分，请将解答过程写在相应位置上.三、解答题(本题共3道小题，每小题6分，共18分) 17．计算：200820)1()31()3(2-+--+--π18．如图8，在△ABC 中，AB =BC =12cm ，∠ABC =80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC . (1)求∠EDB 的度数；(2)求DE 的长.19．四川·汶川大地震发生后，某中学八年级(一)班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动. 活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计 ，并绘制成图9的统计图. (1)求这40 名同学捐款的平均数；(2)该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？A B CD E图8 3912 金额(元) 人数(人)16四、解答题(本题共2个小题,每小题8分,共16分)20．5·12汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后，形成了许多堰塞湖. 据中央电视台报道：唐家山堰塞湖危险性最大. 为了尽快排除险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽, 经计算需挖出土石方13.4万立方米，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前. 根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？21．乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶 路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)请你求出x ≥2时乘车费用y (元)与行驶路程x (千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x 的范围.五、(本题10分)22. △ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上.Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在．．．Ⅱ．a ．和Ⅱ．．b ．的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．．．．．．．．．．．．．．．．．．. ．如．果两题都解，只以．．．．．．．．Ⅱ．a ．的解答记分．．．．．. Ⅱa . 小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE 的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .A B CD E F G 图10(1)AⅡb . 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB 边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；②连结BF’并延长交AC 于F ； ③作FE ∥F’E’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G ’D ’交BC 于D ，则四边形DEFG 即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.六、(本题10分)23. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图11(1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图11(2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图11(3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα的值.A B CD E F G 图10(3)G ′F ′ E ′ D ′ A B E FC 图11(1)A B F CD 图11(2)B() (F )C DA OB M DC 图12yx七、(本题12分)24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.2008年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案及评分意见一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）二、填空题(本题共6个小题，每个小题4分，满分24分)题号1112 13 14 15 16答案 9.1×1046108° （2,4）53 答案不惟一如：xx ,x x x 22422+--16题还有如下答案：24222+--x x ,x xx ；2244422-++--x x ,x x x ；2244422+--+-x x ,x x x ；244222-+--x x ,x x x x ；x x ,xx x x 224422--+-.（每空2 分）三、解答题(本题共3个小题，每个小题6分，满分18分)17.解：原式＝2＋1－9＋1 ·············································································· 4分＝－5 ······················································································· 6分18.解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ＝︒=∠4021ABC ··················································· 3分（2）∵AB ＝BC ， BD 是∠ABC 的平分线，∴D 为AC 的中点 ∵DE ∥BC ，∴E 为AB 的中点，∴DE ＝cm AB 621= ········································································ 6分 19.解：（1）41)310016*********(401=⨯+⨯+⨯+⨯ ················································ 3分 (2) 41×1200=49200(元)答：这40 名同学捐款的平均数为41元，这个中学的捐款总数大约是49200元 ······ 6分四、解答题(本题共2个小题,每小题8分,共16分)20.解：设原计划每天挖土石方x 万立方米，增调人员和设备后每天挖y 万立方米 ······· 1分可列出方程组：⎩⎨⎧=-++=4.13)25(212y x x y ·························································· 5分解之得：⎨⎧==6.33.1y x 题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案 D A D B C ADDBC答：原计划每天挖土石方1.3万立方米，增调人员和设备后每天挖3.6万立方米 ···· 8分 21.解：(1) 根据题意可知：y =4+1.5(x -2) ， ∴ y =1.5x +1(x ≥2) ····················································· 4分 (2)依题意得：7.5≤1.5x +1＜8.5 ··························································· 6分 ∴313≤x ＜5 ································································· 8分五、(本题10分)22．Ⅰ.证明：∵DEFG 为正方形，∴GD =FE ，∠GDB =∠FEC =90° ···················································· 2分∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60° ······································· 3分 ∴△BDG ≌△CEF (AAS ) ······························································ 5分 Ⅱa .解法一：设正方形的边长为x ，作△ABC 的高AH ，求得3=AH ······································· 7分由△AGF ∽△ABC 得：332xx -= ············ 9分解之得：3232+=x (或634-=x ) ······· 10分解法二：设正方形的边长为x ，则22xBD -=········································· 7分 在Rt △BDG 中，tan ∠B =BDGD， ∴322=-x x································································ 9分 解之得：3232+=x (或634-=x ) ··································· 10分解法三：设正方形的边长为x ，则x GB xBD -=-=2,22 ····················································· 7分 由勾股定理得：222)22()2(x x x -+=- ·································· 9分 解之得：634-=x ························································· 10分 Ⅱb .解： 正确 ······························································································· 6分 由已知可知，四边形GDEF 为矩形 ······················································· 7分∵FE ∥F ’E ’ ，FBFE ABCDEF G 解图10(2)HA同理BF FBG F FG '=''， ∴G F FGE F FE ''='' 又∵F’E ’=F’G’，∴FE =FG因此，矩形GDEF 为正方形 ····························································· 10分六、(本题10分)23．解：(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ，在Rt △AGC 中，∵sin 60°=ACCG，∴23=CG ········· 1分∵AB =2，∴S 梯形CDBF =S △ABC =2323221=⨯⨯ ·········· 3分 (2)菱形 ···························································································· 4分∵CD ∥BF ， FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形 ·························· 5分 ∵DF ∥AC ，∠ACD =90°，∴CB ⊥DF ··············································· 6分 ∴四边形CDBF 是菱形 ··································································· 7分 (判断四边形CDBF 是平行四边形，并证明正确，记2分)(3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，则S △ADE =233121EB AD 21=⨯⨯=⋅⋅8分 又S △ADE =2321=⋅⋅DH AE ，)721(733或==AE DH ································ 9分 ∴在Rt △DHE ’中，sinα=)1421(723或=DE DH ········································· 10分 解法二：∵△ADH ∽△ABE ······························································ 8分∴AEADBE DH = 即：713=DH∴73=DH ······································································ 9分∴sinα=)1421(723或=DE DH ················································· 10分AB EFC解图11(1)七、(本题12分)24．解：(1)解法1：根据题意可得：A (-1,0)，B (3,0)；则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0，-3)在抛物线上，∴a (0+1)(0-3)=-3，解之得：a =1∴y =x 2-2x -3 ····················································································· 3分 自变量范围：-1≤x ≤3 ········································································ 4分解法2：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知，A (-1,0)，B (3,0)，D (0，-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3 ··································································· 3分自变量范围：-1≤x ≤3····················································· 4分(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM ， 在Rt △MOC 中，∵OM =1，CM =2，∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中，∵OC =2，∠CMO =60°，∴ME =4∴点C 、E 的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ·········································· 6分∴切线CE 的解析式为3x 3y +=·················································· 8分 AOBMDC解图12yxE路漫漫其修远兮，吾将上下而求索- 百度文库1111 (3)设过点D (0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y =kx -3(k ≠0) ························ 9分由题意可知方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3232x x y kx y 只有一组解 即3232--=-x x kx 有两个相等实根，∴k =-2 ······································· 11分 ∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -3 ·············································· 12分。