第五章 代数系统
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第5章+代数系统(x)
g (x1) =y1, g (x2)=y2, 且 g(x1∘x2) = g (x1) *g (x2)= y1 * y2.
g(x2∘x1)＝g (x2) *g (x1)= y2 * y1.
(2) (X, ∘) 满足交换律
x1∘x2= x2 ∘ x1
g(x1∘x2)=g(x2 ∘ x1)
y1 * y2 = y2 * y1
第6页
第5章 代数系统
Th5.1(5.2) (S, ∘)对运算“∘”，若存在左单位元el， 存在右单位元er，则 el=er=e； 且A中的单位元若存在必惟一。
证明 (1) 左右等。
存在左单位元el el ∘ er= er 存在右单位元erer ∘ el = el
el=er=e
(2) 惟一性。反证法，还有一个e’,
证明 (1) (X, ∘) ≌(Y,*)
有一一对应g, yY, xX, g(x) =y,
方
y1(y2y3)= (y1 y2) (y1y3).
法 证 得
(3) 同理可得 x1* (x2 ∘ x3) = (x1*∘x2)∘(x1*x3) y1(y2 y3)= (y1 y2) (y1 y3).
第19页
第5章 代数系统
Th5.8 (X,∘) 单位元ex,(X,∘)≌(Y,*) (Y,*) 单位元ey= g(ex).
第4页
§5: (S, ∘) ，a,bS，都有a ∘b= b ∘a. 2. 结合律: (S, ∘) ，a,b,cS，都有a ∘(b ∘ c)= (a ∘b) ∘ c.
3.分配律: (S, ∘,*) ，a,b,cS，均有 a ∘(b * c)= (a ∘b) *(a∘ c) (∘对 *左分配律，第一分配率) a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (*对 ∘ 左分配律,第一分配率)
g(x2∘x1)＝g (x2) *g (x1)= y2 * y1.
(2) (X, ∘) 满足交换律
x1∘x2= x2 ∘ x1
g(x1∘x2)=g(x2 ∘ x1)
y1 * y2 = y2 * y1
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第5章 代数系统
Th5.1(5.2) (S, ∘)对运算“∘”，若存在左单位元el， 存在右单位元er，则 el=er=e； 且A中的单位元若存在必惟一。
证明 (1) 左右等。
存在左单位元el el ∘ er= er 存在右单位元erer ∘ el = el
el=er=e
(2) 惟一性。反证法，还有一个e’,
证明 (1) (X, ∘) ≌(Y,*)
有一一对应g, yY, xX, g(x) =y,
方
y1(y2y3)= (y1 y2) (y1y3).
法 证 得
(3) 同理可得 x1* (x2 ∘ x3) = (x1*∘x2)∘(x1*x3) y1(y2 y3)= (y1 y2) (y1 y3).
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第5章 代数系统
Th5.8 (X,∘) 单位元ex,(X,∘)≌(Y,*) (Y,*) 单位元ey= g(ex).
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§5: (S, ∘) ，a,bS，都有a ∘b= b ∘a. 2. 结合律: (S, ∘) ，a,b,cS，都有a ∘(b ∘ c)= (a ∘b) ∘ c.
3.分配律: (S, ∘,*) ，a,b,cS，均有 a ∘(b * c)= (a ∘b) *(a∘ c) (∘对 *左分配律，第一分配率) a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (*对 ∘ 左分配律,第一分配率)
离散数学 第五章代数系统
“＋”是普通加法，0∈A，并且对任意的自然 数x∈A，有x＋0＝0＋x＝x
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90--16
单位元素或幺元
定 义 5.2.7 ： 设 “ * ” 是 集 合 S 上 的 二 元 运 算 ， <S,*> 是 一 个 代 数 系 统 ， 若 eS ， 使 得 对 aS，都有：
1) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的单 位元素或幺元；
则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。
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3.分配律
定义5.2.4：设“*”、“о”是集合S上的两个
二元运算，对a,b,cS， 1) 若 aо(b*c) ＝ (aоb)*(aоc) ， 则 称 运 算
“о”对“*”在S上满足左分配律(或第一分 配律)； 2) 若 (b*c)оa ＝ (bоa)*(cоa) ， 则 称 运 算 “о”对“*”在S上满足右分配律(或第二分 配律)。 3) 如果“о”对“*”既满足左分配律又满足右 2020/4分/1 配律，则称о”国对际学“院*”在S上满足分配90-律-11。
2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的 幺元。对aR且a0，都a＝1/a， 使得： a×a-1＝a×(1/a)＝a-1×a＝(1/a)×a＝0，
所以“1/a”是“a”的逆元，而a＝0无乘法逆元。
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零元
定义5.2.9：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*> 是一个代数系统，若θS,使得对aS,都有：
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5.2 代数运算的性质
2．交换律
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单位元素或幺元
定 义 5.2.7 ： 设 “ * ” 是 集 合 S 上 的 二 元 运 算 ， <S,*> 是 一 个 代 数 系 统 ， 若 eS ， 使 得 对 aS，都有：
1) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的单 位元素或幺元；
则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。
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3.分配律
定义5.2.4：设“*”、“о”是集合S上的两个
二元运算，对a,b,cS， 1) 若 aо(b*c) ＝ (aоb)*(aоc) ， 则 称 运 算
“о”对“*”在S上满足左分配律(或第一分 配律)； 2) 若 (b*c)оa ＝ (bоa)*(cоa) ， 则 称 运 算 “о”对“*”在S上满足右分配律(或第二分 配律)。 3) 如果“о”对“*”既满足左分配律又满足右 2020/4分/1 配律，则称о”国对际学“院*”在S上满足分配90-律-11。
2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的 幺元。对aR且a0，都a＝1/a， 使得： a×a-1＝a×(1/a)＝a-1×a＝(1/a)×a＝0，
所以“1/a”是“a”的逆元，而a＝0无乘法逆元。
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零元
定义5.2.9：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*> 是一个代数系统，若θS,使得对aS,都有：
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5.2 代数运算的性质
2．交换律
第5章 代数系统hhs
*
一元
二元五
一元 桔子水
可口可乐
不封闭
二元五 可口可乐
冰淇淋
3/38
5.1 代数系统的引入
一个非空集合 A 连同若干个定义在该集合上的运算 f1, f2, …, fk 所组成的系统称为一个代数系统, 记作< A, f1, f2, …, fk >. 例
{命题},,
P( S ),,, ~ ( S为有限集）
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5.2 运算及其性质
逆元的定义 设代数系统 <A, >, 是定义在 A 上的二元运算, 且 e 是 A 中关于运算 的幺元。如果对于 a A , b A, 使ba=e， 则称 b 为 a 左逆元； ab=e， 右逆元； 如果 b 既是 a 的左逆元又是 a 的右逆元，则称 b 是 a 的逆元， 记为 a-1 = b . 显然 a 和 b 互为逆元.
例
、为左幺元
α为幺元
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5.2 运算及其性质
定理：设*是定义在集合 A 上的二元运算, 且在 A 中有关 于运算 * 的左幺元 el 和右幺元 er ，则 el = er = e，且 A 中的幺元是唯一的。
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5.2 运算及其性质
定理：设 是定义在集合 A 上的二元运算, 且在 A 中有关于运 算 的左零元 l 和右零元 r ，则 l = r = ，且 A 中的零元 是唯一的。 证明： l = l r = r = 设另有一零元 1, 则 1=1= 定理：设代数系统 <A, >, 且 | A | > 1。如果该代数系统中 存在幺元 e 和零元 ，则 e 。 证明：用反证法。 设 e = , 则对于任意的 x A , 必有 x=ex=x==e 于是 A 中只有一个元素，与假设矛盾。
第五章 代数系统概述
显然代数系统 V 的子代数是与 V 同类型的代 数系统。因为子代数中的运算及特指元素都
和原代数系统相同，故可略而不写，而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数，< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数，其中 S 是 n 阶实矩阵集， 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +，0 是幺元， 没有零元，每个正整数都没有逆元，+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +，0 是幺元，没有 零元，每个整数 n 的逆元是 n， + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元，则 < x, y > < x, y > = < x, y >，
即 x2 = x 且 xy + y = y，解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0)，幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >，则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >， 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0，解得 a = x /1， b = y /x，只要 x 0， < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。
和原代数系统相同，故可略而不写，而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数，< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数，其中 S 是 n 阶实矩阵集， 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +，0 是幺元， 没有零元，每个正整数都没有逆元，+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +，0 是幺元，没有 零元，每个整数 n 的逆元是 n， + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元，则 < x, y > < x, y > = < x, y >，
即 x2 = x 且 xy + y = y，解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0)，幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >，则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >， 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0，解得 a = x /1， b = y /x，只要 x 0， < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。
离散数学第五章
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
离散数学—第五章代数系统的一般性质
① 自然数集合上加法的幺元是0,乘法的幺元是1; ② 矩阵的加法幺元是全0矩阵,矩阵的乘法幺元是主对角 线为1,其它为0的矩阵. ③ P(S)上,U运算的幺元是,的幺元是S.
判断幺元
1. 对于给定的集合和运算有的存在幺元,有的不存 在幺元.
① R*是非零实数集,o是R*上的二元运算,任取a,bR*有 aob = a,那么不存在el使得对所有的b R*都有 elob = b,所以运算o没有左幺元. ② 但对任意的a R*,对所有的b R*,都有boa=b,所以, 任意R*的元素a都是运算o的右幺元.R*中有无数多的 右幺元,但没有幺元.
① ② ③ ① 如:<N,+>是<Z,+>的子代数; 如:<N,+,0>是<Z,+,0>的子代数; 如:<N-{0},+>不是<Z,+>的子代数; 如有的代数系统决定该系统的二元运算存在幺元.
2. 代数系统的公理:运算的性质. 3. 子代数与代数系统的关系:不仅具有相同的代数运算,而 且这些运算也具有相同的性质,它们非常相似,只是子代 数比原来的代数系统小一些.
{2} {1}
交换律
1. 定义5.3: 设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有xoy =yox,则称运算o在S上是可交换 的,或者说o在S上适合交换律.
① 例如加法,乘法符合交换律,但减法和除法不符合.
结合律
1. 定义5.4:设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有(xoy)oz =xo(yoz),则称运算o在S上 是可结合的,或者说o在S上适合结合律.
运算表
ai a1 a2 ... an
o(ai) o(a1) o(a2) ... o(an)
判断幺元
1. 对于给定的集合和运算有的存在幺元,有的不存 在幺元.
① R*是非零实数集,o是R*上的二元运算,任取a,bR*有 aob = a,那么不存在el使得对所有的b R*都有 elob = b,所以运算o没有左幺元. ② 但对任意的a R*,对所有的b R*,都有boa=b,所以, 任意R*的元素a都是运算o的右幺元.R*中有无数多的 右幺元,但没有幺元.
① ② ③ ① 如:<N,+>是<Z,+>的子代数; 如:<N,+,0>是<Z,+,0>的子代数; 如:<N-{0},+>不是<Z,+>的子代数; 如有的代数系统决定该系统的二元运算存在幺元.
2. 代数系统的公理:运算的性质. 3. 子代数与代数系统的关系:不仅具有相同的代数运算,而 且这些运算也具有相同的性质,它们非常相似,只是子代 数比原来的代数系统小一些.
{2} {1}
交换律
1. 定义5.3: 设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有xoy =yox,则称运算o在S上是可交换 的,或者说o在S上适合交换律.
① 例如加法,乘法符合交换律,但减法和除法不符合.
结合律
1. 定义5.4:设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有(xoy)oz =xo(yoz),则称运算o在S上 是可结合的,或者说o在S上适合结合律.
运算表
ai a1 a2 ... an
o(ai) o(a1) o(a2) ... o(an)
第5章 代数系统的基本概念(1)
→、 。
第5章
代数系统的基本概念
（4）AA={f | f：A→A}。“ (复合)”是AA上的二元
运算。
当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如
A={0,1,2,3,4,5}，二元运算“ ” 的定义见表
5.1.1。
表 5.1.1
0
1
2
第5章
代数系统的基本概念
事实上，对于表5.1.1，我们可观察看出其运算 为 y (〈x,y〉)=x · (mod3)
第5章
代数系统的基本概念
【例5.1.7】
在实数集 R 中，对加法"+"运算，没有零元；
在实数集 R 中，对乘法"×"运算，0是零元；
对于全集E的子集的并"∪"运算，E是零元；
对于全集E的子集的交“∩”运算， 是零元;
在命题集合中，对于吸取"∨"运算，重言式是零元；
在命题集合中，对于合取"∧"运算，矛盾式是零元。
(2)若 x y(x,y∈S→x*y=y*x)，则称*运算满足交换律。 (3)若 x y z(x,y,z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z))，则称* 运算对 运算满足左分配律； 若 x y z(x,y,z∈S→(y z)*x=(y*x) (z*x))， 则称*运算对 运算满足右分配律。 若二者均成立，则称*运算对 运算满足分配律。
有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不
是。加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对 加法、减法满足分配律，减法不满足这些定律。 乘法“
” 对加法“+” 运算满足分配律（对
“-” 也满足）。但加法“+” 对乘法“ ” 运算
第五章—代数系统的一般性质
。
例5.6 设R为实数集, 定义 R 上的二元运算, 如下: x y = x1+y1-x1 y1 则 满足交换律和结合律。 证: ∵ x y = x1+y1-x1 y1 = y1 + x1- y1 x1= y x ∴ 满足交换律 ∵( x y) z = (x1+y1-x1 y1 ) z = (x1+y1-x1 y1 ) + z1- (x1+y1-x1 y1 ) z1 = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z1 x (y z) = x (y1+z1-y1 z1 ) = x1 + (y1+z1-y1 z1 ) - x1 (y1+z1-y1 z1 ) = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z
表 2
=
表 3
解:
如表 1 所定义， 是 的幺元
（单位元）
Hale Waihona Puke 如表 2 所定义， 和 是 的右幺元
如表 3 所定义， 和
是 的左幺元
定理5.1 设 是S上的二元运算，el、er分别 为 运算的左、右幺元,(单位元)则有 el = er = e 且e为S上关于运算 的唯一幺元。 ∵ el是 证明： 左单位 el er = e r ∵ er是右单 元 位元 el er = e l ∴ el = er 把el = er 记作e，则e是S中的幺元。假设 e`也是S中的幺元，则 ∵ e是 e`=e e`=e 单位元 ∴ e是S中关于 运算的唯一的幺元。
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任意a,b∈A,有a★b=b,证明★是可结合运算。
证明：因为对于任意的a,b,c∈A，(a★b)★c=b★c=c
而 a★(b★c)=a★c=c
所以（a★b）★c=a★(b★c)
【例8】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任意
的a,b∈Q,aΔb=a+b-a·b,问运算Δ是否可交换。
解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
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chapter5
5
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.1 若el和er分别是⊙的左、右单位元，则el=er。 证明：er=el⊙er＝el 这时，令e＝el＝er为运算⊙的单位元。 【例2】N集上的加法的单位元是0。
第五章 代数系统
Algebra System
5.1 代数运算及性质 5.2 半群 5.3 群 5.4 同态与同构 5.5 陪集与拉格朗日定理 5.6 环和域
本章学习目标
algebra system 代数系统
在计算机科学里，很多的知识和代数结构的理论有关 系，比如：加法器、纠正码、形式语言和推理机等等，因 此，学好该部分内容，为学习其他课程打下了基础。
所以运算Δ是可交换的。
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5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 【例9】设集合S={浅色，深色}，定义在S上的一个二元运
算*如表所示
*
浅色 深色
浅色浅色 深色深色源自深色 深色试指出零元和幺元。 解：深色是S中关于运算*的零元，浅色是S中关于运算* 的幺元。
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5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 6、逆元素
设e为运算的单位元，e∈A，
若对a∈ A，al∈ A，使al⊙a ＝e， (ar∈ A，使a⊙ar ＝e，)
则称al为a的左逆元，也称a是左可逆的。 (则称ar为a的右逆元，也称a是右可逆的。)
R集上的乘法的单位元是1。
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algebra system 代数系统
5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质
【例3】N集上的加法的零元素无。 R集上的乘法的零元素是0。
【例4】 A是非空集，幂集ρ(A)上的两运算∪和∩， ∪的零元素为A，∩的零元素为。 ∪的单位元为，∩的零元素为A 。 5、等幂元 若a ∈A，a⊙a＝a ，则称a为等幂元。 若a∈ A，a⊙a＝a ，则称运算⊙是等幂的。
法运算呢？
解:对于任意的2r,2s∈A，r,s∈N,因为2r·2s=2r+s∈A所
以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因
为至少有2+22=6A。
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5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 【例7】设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于
5.1.1 二元运算 二元运算是最常见的代数运算，例如：实数的加法、
减法、乘法，集合的交、并等运算都是二元运算。 定义5-1.1 设A为任意非空集合，函数f：A×A→A称为 集合A上的一个二元运算。 【例1】f:N×N→N,f(<x,y>)=x+y 是N集上的二元运算
f:R×R→R,f(<x,y>)=x×y 是R集上的二元运算 f:N×N→N,f(<x,y>)=x-y 不是N集上的二元运算 f:R×R→R,f(<x,y>)=x/y 不是R集上的二元运算
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 设“⊙”是非空集合A上的二元运算，
1、结合律 a,b,c∈ A，(a⊙b)⊙c＝a⊙(b⊙c) 2、交换律 a,b∈ A，a⊙b＝b⊙a 3、单位元（幺元）
若el∈A，对a∈A，有el⊙a＝a，则称el为左单位元。 若er∈A，对a∈A，有a⊙er＝a，则称er为右单位元。
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5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.3 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，如果 a∈A是左右可逆的，则al=ar 。 这时，令a-1=al ＝ar,则a-1为a的逆元素，也称a为可逆的。 证明：ar=e⊙ar=(al⊙a)⊙ar=al⊙(a⊙ar)=al⊙e=al 【例5】 N集上的加法的单位元是0，只有0有逆元素，0-1 =0。
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5.1 代数运算及其性质
algebra system 代数系统
5.1.2 二元运算的性质
【例10】在整数集合I上，定义二元运算★为a★b=a+b-2
试问：集合I和运算★是否构成代数系统? 运算★在I上可交
R集上的乘法的单位元是1，0无逆元。
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5.1.2 二元运算的性质 定理5-1.4 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，若
a∈A有逆元素，则必唯一。
证明：设a1，a2都是a的逆元素 则a2=e⊙a2=(al⊙a)⊙a2=a1⊙(a⊙a2)=al⊙e=al 【例6】设A={x|x=2n,n∈N},问乘法运算是否封闭？对加
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5.1.1 二元运算
判断一种运算是否是A上的二元运算，最根本是运算 关于集合是封闭的。
推广：设A为任意非空集合，函数f：An→A称为集合A上的 一个n元运算。
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5.1 代数运算及其性质
通过本章学习，同学们应该掌握以下内容： 二元运算的相关概念和性质、半群和独异点的概念及 其判定、群和子群的概念及其性质、阿贝尔群和循环群的 概念和性质、置换群和陪集的概念相关定理、同态与同构 的概念及其判定、环和域相关概念及性质。
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