MATLAB在优化中的应用
Matlab优化算法及应用案例
Matlab优化算法及应用案例一、引言优化算法在科学和工程领域中起着重要的作用。
Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了丰富的优化算法工具箱，为用户提供了广泛的优化应用场景。
本文将介绍Matlab优化算法的基本原理，并通过实际案例来展示其在实际问题中的应用。
二、优化算法的基本原理优化算法的目标是求解一个函数的最优解，通常包括最大化或最小化目标函数。
Matlab中的优化算法主要基于以下两种类型：局部搜索算法和全局优化算法。
1. 局部搜索算法局部搜索算法是在当前解的附近搜索最优解的一类算法。
其中最为常见的是梯度下降法和牛顿法。
梯度下降法是一种迭代方法，通过沿着目标函数的负梯度方向不断调整参数，以逐步接近最优解。
具体步骤如下：（1）计算目标函数在当前解的梯度。
（2）根据梯度方向和步长系数进行参数调整。
（3）重复以上步骤直到满足停止准则。
牛顿法是一种基于二阶导数的优化方法，相比梯度下降法更为高效，但也更为复杂。
其基本思想是通过泰勒展开近似目标函数，然后解析求解导数为零的方程，得到下一次迭代的参数值。
2. 全局优化算法全局优化算法是通过全局搜索空间来找到最优解的方法。
Matlab提供了一些全局优化算法工具箱，其中最常用的是遗传算法和模拟退火算法。
遗传算法是一种模拟自然进化的优化方法，通过不断迭代生成新的解并选择适应度高的个体，并模拟自然选择、交叉和变异等操作来优化目标函数。
遗传算法在搜索空间较大且复杂的问题上有很好的表现。
模拟退火算法是一种以某种概率接受劣解的搜索算法，通过模拟金属退火过程来逐渐降低目标函数的值。
它能够避免局部最优解，并在一定程度上探索全局最优解。
三、Matlab优化算法的应用案例1. 机器学习中的参数调优在机器学习中，模型的性能很大程度上取决于参数的选择。
Matlab提供了优化工具箱，可以帮助用户选择合适的参数以提高模型的性能。
以支持向量机（SVM）为例，通过调整核函数类型、惩罚项系数和软间隔参数等参数，可以提高模型的分类准确度。
Matlab中的优化问题求解方法与示例分析
Matlab中的优化问题求解方法与示例分析介绍在科学与工程领域，优化问题是一个常见且重要的研究方向。
优化问题的目标是在给定的约束条件下，找到使得目标函数取得最优值的变量取值。
Matlab作为一个著名的科学计算软件，提供了丰富的优化问题求解方法。
本文将介绍Matlab中常用的优化问题求解方法，并通过实例分析来展示其应用。
一、线性规划问题的求解方法线性规划问题（Linear Programming）是一类目标函数与约束条件均为线性关系的优化问题。
Matlab中提供了线性规划问题求解的函数“linprog”和“intlinprog”。
1. linprog函数linprog函数用于求解线性规划问题，其使用方法如下：```[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```其中，f为目标函数的系数向量，A和b为不等式约束的系数矩阵和常数向量，Aeq和beq为等式约束的系数矩阵和常数向量，lb和ub为变量的下界和上界。
2. intlinprog函数intlinprog函数用于求解整数线性规划问题，即变量取值为整数的线性规划问题。
其使用方法与linprog类似，但需要添加一个参数“options”，用于设置求解器的选项。
二、非线性规划问题的求解方法非线性规划问题（Nonlinear Programming）是一类目标函数或约束条件存在非线性关系的优化问题。
Matlab中提供了多种非线性规划问题求解的函数，包括“fminunc”、“fmincon”和“lsqnonlin”。
1. fminunc函数fminunc函数用于求解没有约束条件的非线性规划问题，其使用方法如下：```[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0)```其中，fun为目标函数的句柄，x0为变量的初始猜测值。
2. fmincon函数fmincon函数用于求解带约束条件的非线性规划问题，其使用方法如下：```[x, fval, exitflag, output, lambda] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```参数的含义与linprog函数中的相对应参数相似，但需要注意的是，A、b、Aeq 和beq都是针对不等式约束和等式约束的系数矩阵和常数向量；lb和ub为变量的下界和上界。
MATLAB遗传算法工具箱在函数优化中的应用
[x, fval] = ga(fun, 1,,,,,,,, options);
%输出结果
disp(['x = ', num2str(x)]);
disp(['f(x) = ', num2str(fval)]);
在上述代码中，我们首先定义了目标函数，然后设置了遗传算法的参数，包 括种群规模、最大迭代次数、交叉概率和变异概率。接下来，我们使用 optimoptions函数初始化遗传算法，并传入目标函数和参数设置。最后，我们使 用ga函数求解最小值点，并输出结果。
在使用遗传算法工具箱进行函数优化时，需要注意以下问题：
1、适应度函数的设计：适应度函数是评价个体优劣程度的指标，必须合理 设计以满足优化问题的需求。
2、种群规模和迭代次数的设定：种群规模和迭代次数是影响遗传算法性能 的关键参数，需要根据问题规模和复杂度进行合理设定。
3、交叉和变异操作的控制：交叉和变异操作是遗传算法的核心操作，需要 合理控制以保持算法的搜索能力和避免陷入局部最优解。
在定义了目标函数和约束条件之后，我们可以使用Matlab提供的ga函数来运 行遗传算法。ga函数将根据指定的目标函数和约束条件，使用遗传算法搜索最优 解。在运行过程中，我们可以使用Matlab提供的动画功能来实时查看遗传算法的 迭代过程。
除了使用Matlab遗传算法优化工具箱来解决常规的优化问题外，还可以将其 应用于其他领域。例如，在机器学习领域中，可以使用遗传算法来优化神经网络 的连接权值和结构；在控制系统领域中，可以使用遗传算法优化控制系统的参数 和结构；在图像处理领域中，可以使用遗传算法优化图像处理的算法和参数等。
通过本次演示的介绍，希望能使读者更好地理解和应用遗传算法工具箱解决 实际优化问题。
使用Matlab进行多目标优化和约束优化
使用Matlab进行多目标优化和约束优化引言：多目标优化和约束优化是现代科学和工程领域中的重要问题。
在很多实际应用中，我们常常面对的是多个目标参数之间存在冲突的情况，同时还需要满足一定的约束条件。
这就需要我们采用适当的方法和工具进行多目标优化和约束优化。
本文将介绍如何使用Matlab进行多目标优化和约束优化。
一、多目标优化多目标优化是指在优化问题中存在多个目标函数，我们的目标是同时优化这些目标函数。
在Matlab中，可以使用多种方法进行多目标优化，其中常用的方法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火等。
1.1 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
它模拟了遗传的过程，通过交叉、变异和选择等操作，利用群体中不断进化的个体来搜索最优解。
在多目标优化中，遗传算法常用于生成一组非支配解，即没有解能同时优于其他解的情况。
Matlab中提供了相关的工具箱，如Global Optimization Toolbox和Multiobjective Optimization Toolbox，可以方便地进行多目标优化。
1.2 粒子群算法粒子群算法是一种基于群体行为的优化算法。
它通过模拟鸟群或鱼群等群体的行为，寻找最优解。
在多目标优化中，粒子群算法也可以生成一组非支配解。
Matlab中的Particle Swarm Optimization Toolbox提供了相关函数和工具，可以实现多目标优化。
1.3 模拟退火模拟退火是一种模拟金属冶炼过程的优化算法。
它通过模拟金属在高温下退火的过程，通过温度控制来逃离局部最优解，最终达到全局最优解。
在多目标优化中，模拟退火算法可以通过调整温度参数来生成一组非支配解。
Matlab中也提供了相关的函数和工具，可以进行多目标优化。
二、约束优化约束优化是指在优化问题中存在一定的约束条件，我们的目标是在满足这些约束条件的前提下，使目标函数达到最优。
在Matlab中，也有多种方法可以进行约束优化，其中常用的方法包括罚函数法、惩罚函数法和内点法等。
Matlab在物流优化中的应用案例
Matlab在物流优化中的应用案例引言物流优化是现代物流管理中的重要环节，涉及到货物运输、仓储和配送等方面的问题，尤其在大规模和复杂的物流网络中，如何高效地组织和规划物流活动是一个具有挑战性的任务。
在这个过程中，Matlab这一强大的数学建模和仿真软件工具能够提供有效的解决方案。
第一部分：物流网络优化物流网络优化是确定最佳的物流路径、仓库布局和库存分配等问题。
利用Matlab，我们可以通过建立数学模型和运行仿真来优化物流网络。
例如，我们可以使用Matlab的优化工具箱中的线性规划和整数规划功能来确定最优的物流路径，并考虑到各种限制条件，如运输能力、货物需求和运输成本等。
此外，我们还可以利用Matlab对物流网络进行仿真，以评估各种方案的效果，并根据仿真结果做出优化调整。
第二部分：仓储优化仓储是物流中至关重要的环节之一。
通过Matlab，我们可以对仓库进行布局优化和库存分配。
首先，通过构建数学模型，我们可以使用Matlab的多目标优化工具箱来确定最佳的仓库布局，以最小化货物运输距离和时间成本，并最大化仓库的货物容纳能力。
其次，我们还可以利用Matlab来确定最佳的库存分配策略，以实现库存最小化，同时保持良好的货物供应能力。
第三部分：配送路径优化在物流过程中，优化配送路径是提高物流效率和减少运输成本的关键。
Matlab可以帮助我们通过建立数学模型和应用动态规划算法来确定最佳的配送路径。
首先，我们可以利用Matlab的地理信息系统工具箱来获取地理数据，如道路网络和交通流量。
然后，通过数学建模和运行动态规划算法，我们可以找到最短的配送路径，并考虑到各种实际因素，如道路拥堵和车辆限制。
此外，我们还可以利用Matlab的可视化功能来展示优化后的配送路径，以方便物流管理人员做出决策。
结论Matlab在物流优化中的应用案例可以大大提高物流效率和减少运输成本。
通过建立数学模型和运行仿真，我们可以确定最佳的物流路径、仓库布局和配送路径等，从而使物流过程更加高效和节省成本。
MATLAB在运筹学与优化方面的应用案例
MATLAB在运筹学与优化方面的应用案例引言：运筹学与优化是数学的一个分支，旨在寻找最佳解决方案。
在现代社会中，运筹学与优化在各个领域都扮演着重要角色，例如交通规划、生产调度、供应链管理等。
MATLAB作为一个强大的数值计算工具，被广泛应用于运筹学与优化领域。
本文将通过一些实际案例，介绍MATLAB在这个领域的应用。
1. 生产调度优化生产调度是一个复杂的问题，需要在有限资源和时间内，合理分配任务和资源，以最大化生产效率。
MATLAB提供了一些优化工具箱，可以帮助解决这类问题。
例如，可以使用线性规划（LP）或整数规划（IP）方法，将生产调度问题表示为数学模型，并使用MATLAB的优化工具箱求解最优解。
通过对生产线上的任务顺序、机器调度等进行优化，可以显著提高生产效率和资源利用率。
2. 供应链优化供应链管理是一个涉及多个环节的复杂系统，其中包括供应商、生产商、分销商和终端用户等多个参与方。
在供应链中，优化各个环节的运作，对于提高效率、降低成本和提供更好的服务有着重要意义。
MATLAB可以帮助建立供应链模型，并使用优化工具箱对其进行优化。
通过分析供应链节点之间的关系和其它外部因素，可以减少库存成本、优化运输路线，实现供应链的高效运作。
3. 资源调度优化在某些应用场景中，资源调度是一个重要的优化问题。
例如，医院病床的分配、航空公司的飞机调度等。
MATLAB可以帮助建立相应的模型，并使用优化工具箱解决这类问题。
通过考虑资源的使用效率、最小化等候时间等因素，可以优化资源的分配和调度，提高资源利用率和服务质量。
4. 物流路径规划物流路径规划是一个常见的优化问题，它涉及到如何在给定的网络中找到最短路径或最佳路径，以实现货物的快速、安全和经济的运输。
MATLAB提供了一些图算法和优化工具，可以帮助解决这类问题。
例如，可以使用最短路径算法或遗传算法对物流路径进行分析和优化。
通过考虑路线的距离、时间、成本等因素，可以得到最佳的物流路径规划方案。
使用Matlab进行优化与最优化问题求解
使用Matlab进行优化与最优化问题求解引言：优化与最优化问题在科学、工程和金融等领域中具有重要的应用价值。
在解决这些问题时，选择一个合适的优化算法是至关重要的。
Matlab提供了许多用于求解优化问题的函数和工具箱，能够帮助我们高效地解决各种复杂的优化与最优化问题。
一、优化问题的定义优化问题是通过选择一组最佳的决策变量值，使目标函数在约束条件下达到最优值的问题。
通常，我们将优化问题分为线性优化问题和非线性优化问题。
在Matlab中，可以使用线性规划（Linear Programming）工具箱和非线性规划（Nonlinear Programming）工具箱来解决这些问题。
其中，线性规划工具箱包括linprog函数，而非线性规划工具箱则包括fmincon和fminunc等函数。
二、线性规划问题的求解线性规划问题的数学模型可以表示为：```minimize f'*xsubject to A*x ≤ blb ≤ x ≤ ub```其中，f是目标函数的系数矩阵，A是不等式约束条件的系数矩阵，b是不等式约束条件的右侧向量，lb和ub是变量的上下界。
在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
该函数的调用格式为：```[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```其中，x是最优解向量，fval是目标函数的最优值，exitflag标志着求解的结果状态，output包含了详细的求解过程。
三、非线性规划问题的求解非线性规划问题的数学模型可以表示为：```minimize f(x)subject to c(x) ≤ 0ceq(x) = 0lb ≤ x ≤ ub```其中，f(x)是目标函数，c(x)和ceq(x)分别是不等式约束条件和等式约束条件，lb和ub是变量的上下界。
在Matlab中，可以使用fmincon函数来求解非线性规划问题。
Matlab优化算法以及应用案例分析
Matlab优化算法以及应用案例分析引言Matlab是一款功能强大的数学软件，以其丰富的功能和灵活的编程环境而受到广泛的应用。
在数学建模和优化问题中，Matlab优化算法是一个重要的工具。
本文将介绍Matlab优化算法的基本原理和常见应用案例分析。
一、Matlab优化算法的基本原理1.1 最优化问题的定义在开始介绍优化算法之前，我们首先需要了解什么是最优化问题。
最优化问题可以定义为在一定的约束条件下，找到使得目标函数达到最大或者最小的变量取值。
最优化问题可以分为无约束问题和约束问题两种。
1.2 Matlab优化工具箱Matlab提供了丰富的优化工具箱，其中包含了许多优化算法的实现。
这些算法包括无约束优化算法、约束优化算法、全局优化算法等。
这些工具箱提供了简单易用的函数接口和丰富的算法实现，方便用户在优化问题中使用。
1.3 优化算法的分类优化算法可以分为传统优化算法和启发式优化算法两类。
传统优化算法包括梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等，它们利用目标函数的一阶或二阶导数信息进行搜索。
而启发式优化算法则通过模拟生物进化、遗传算法、蚁群算法等方法来进行搜索。
二、Matlab优化算法的应用案例分析2.1 无约束优化问题无约束优化问题是指在没有约束条件的情况下，找到使得目标函数达到最小或最大值的变量取值。
在Matlab中，可以使用fminunc函数来求解无约束优化问题。
下面以一维函数的最小化问题为例进行分析。
首先，我们定义一个一维的目标函数，例如f(x) = 3x^2 - 4x + 2。
然后使用fminunc函数来求解该问题。
代码示例：```matlabfun = @(x)3*x^2 - 4*x + 2;x0 = 0; % 初始点[x, fval] = fminunc(fun, x0);```在上述代码中，fun是目标函数的定义，x0是初始点的取值。
fminunc函数将返回最优解x和目标函数的最小值fval。
MATLAB在化工过程模拟与优化中的应用指南
MATLAB在化工过程模拟与优化中的应用指南随着化工工业的发展，化工过程模拟与优化成为了一个重要的课题。
而MATLAB作为一种高级数学软件，可以为化工工程师提供强大的工具和功能，用于建立数学模型、进行模拟和优化，为化工过程的设计和优化提供支持。
本文将介绍MATLAB在化工过程模拟与优化中的应用指南，包括如何运用MATLAB进行系统建模，模拟过程以及优化控制。
一、MATLAB在化工过程模拟中的应用1.1 数学模型的建立在化工过程中，建立一个准确的数学模型是模拟和优化的基础。
MATLAB提供了丰富的数学工具箱，可以帮助化工工程师通过建立代数方程、微分方程和偏微分方程等来描述化工过程的动态变化。
这些数学工具包括符号计算、方程求解、微分方程求解等。
例如，可以使用MATLAB的符号计算工具箱来建立化学反应过程的动力学模型，并求解模型方程，得到重要的反应动力学参数。
1.2 过程模拟与仿真利用已建立的数学模型，MATLAB可以进行过程模拟与仿真。
通过编程设计仿真用的数学模型，可以模拟整个化工过程的动态变化。
同时，MATLAB还提供了各种绘图和可视化工具，可以直观地展示过程模拟的结果。
例如，在反应器中进行化学反应的模拟时，可以通过MATLAB的动态绘图工具观察反应物浓度随时间的变化，并分析其动态特性。
二、MATLAB在化工过程优化中的应用2.1 数值优化化工过程的优化是通过最小化或最大化某种目标函数来实现的。
MATLAB中的优化工具箱提供了各种数值优化方法，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
这些优化方法可以用于化工过程的优化设计，如最小化能耗、最大化产率等。
通过使用MATLAB的优化工具箱，化工工程师可以快速、准确地找到最优解，提高生产效率，节约资源。
2.2 数据拟合与参数估计在化工过程中，有时需要利用实验数据对模型参数进行拟合和估计。
MATLAB 提供了强大的拟合工具，如最小二乘拟合、非线性拟合等。
通过拟合实验数据，可以对模型的参数进行估计和调整，从而提高模型的准确性。
Matlab在运筹学与优化中的应用方法
Matlab在运筹学与优化中的应用方法1. 引言运筹学与优化是一个重要的研究领域，它致力于寻求最佳解决方案以满足各种约束条件。
而Matlab作为一种强大的数值计算软件，被广泛应用于运筹学与优化中。
本文将介绍Matlab在该领域的应用方法，并探讨其在解决实际问题中的潜力和局限性。
2. 线性规划与整数规划线性规划是运筹学与优化中的基本方法之一。
它通过线性模型来描述问题，利用Matlab的优化工具箱可以方便地求解线性规划问题。
首先，我们需要定义目标函数和约束条件，然后使用linprog函数进行求解。
Matlab会返回问题的最优解以及对应的目标值。
整数规划则是线性规划的一种扩展，其中变量取整数值。
Matlab 也提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。
3. 非线性规划在许多实际问题中，目标函数和约束条件并不是线性的，而是非线性的。
在这种情况下，我们可以使用Matlab的fmincon函数来求解非线性规划问题。
该函数利用了优化算法，可以找到目标函数的局部最小值。
然而，需要注意的是，fmincon求解的是连续非线性规划问题，并不能保证找到全局最优解。
4. 整数规划与非线性规划的组合实际问题中，常常会出现整数规划与非线性规划相结合的情况。
这种问题被称为混合整数非线性规划（MINLP）。
Matlab提供了fmincon函数的扩展，可以求解这种类型的问题。
通过设置变量的整数约束条件，我们可以将连续非线性规划问题转化为整数规划问题，然后利用Matlab的intlinprog函数求解。
5. 动态规划动态规划是一种求解最优化问题的方法，其适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。
Matlab可以很方便地实现动态规划算法。
我们可以使用Matlab的矩阵操作和循环结构来定义问题的状态转移方程，并通过动态规划来求解问题的最优解。
例如，背包问题、旅行商问题等都可以通过动态规划求解。
6. 遗传算法遗传算法是一种模拟进化过程的优化算法，它借鉴了自然界中的进化原理。
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建立数学模型
(1)确定目标变量 求质量最轻，也就是体积最小。
体积V取决于齿轮宽度B，小齿轮齿数z1，模数m， 轴的支承跨距l，主动轴直径d1',从动轮直径d2'， 和传动比i等七个参数。其中传动比i为常量，有已 知条件给定。所以，该优化设计问题可取设计变量 为 X=(X1,X2,X3,X4,X5,X6)T=(B,z1,m,l,d1',d2')T
优化设计问题分类
函数优化问题
无约束
有约束
组合优化问题
优化设计的一般实施步骤
（1）根据设计要求和目的定义优化设计问题 （2）建立优化设计问题的数学模型
（3）选用合适的优化计算方法
（4）确定必要的数据和设计初始点
（5）编写包括数学模型和优化算法的计算机程序， 通过计算机的求解计算获取最优结构参数
2，符号计算功能
3，数据分析和可视化分 析功能
4，文字处理功能
5，SIMULINK动态仿真功 能
Matlab优化工具箱简介
1.MATLAB求解优化问题的主要函数
类 型
一元函数极小 无约束极小 线性规划
模 型 Min F（x）s.t.x1<x<x2 Min F(X) Minc X s.t.AX<=b 1 Min xTHx+cTx
MATLAB具有非常强大的计算功能，其已成为世界 上应用最广泛的工程计算应用软件之一。 （Mathematica、Maple）
MATLAB主要功能和特点
主要功能 1，数字计算功能 主要特点 1，功能强大 含有四十多个应用于不同 领域的工具箱 2，界面友好 其指令表达方式与习惯 上的数学表达方式非常的接 近 3，扩展性强 用户可自发的开发自己的 应用程序
较快，而在接近极小点时逼近速度较慢。 （4）梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关。 对于等值线(面)为同心圆（球）的目标函数，一次搜索 即可达到极小点。
牛顿型方法
1、牛顿法 在xk邻域内用一个泰勒二次函数φ(X)来近似 代替原目标函数，并将φ(X)的极小点作为对目标 函数的一次近似值，若此值不满足收敛精度要求， 则将其作为求优的下一次迭代的初始点。经多次 迭代，使之逼近目标函数的极小点。
（6）对结果数据和设计方案进行合理性和适用性分 析
优化设计数学模型
1，建立数学模型的基本原则 数学模型的建立要求确切、简洁的反映工程问题
2，数学模型的三要素
设计变量
目标函数
约束条件
无约束优化方法
最速下降法（梯度法） 牛顿型方法
共轭方向法
变尺度法
坐标轮换法
鲍威尔方法 单形变换法
'( ) 8(2 4 0 ) 5 000(2 100 0 ) 0
算出一维搜索最佳步长
626 0 0.020 030 72 31 252
第一次迭代设计点位置和函数值
2 4 0 1.919 877 x 2 2 100 0 0.307 178 5 10 k 1 k 1 | x - x | f ( x ) 3.686 164
fval
exitflag
output
所有优化函数
优化设计理论
优化设计 的必要性
质量问题 50%由于设 计不周
成本 70%设计阶 段决定
总周期 40%设计周 期 占据
优化设计的概念
优化设计是借助最优化数值计算方法和计算机技 术，求取工程问题的最优设计方案。 即：进行最优化设计时，必须首先将实际问题加 以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学 模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算 机程序，在计算机上运算求解，得到一组最优的 设计参数。
MATLAB在机械优化设计中的应用
林洋8153025
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MATLAB简介
美国Mathworks公司推出了MATLAB以其强大的功能 和易用性受到越来越多的科技工作者的欢迎。
MATLAB由主包和功能各异的工具箱组成，其基本 数据结构是矩阵。
最速下降法（梯度法）
优化设计是追求目标函数值f（x）最小，因此， 一个很自然的想法是从某点x出发，其搜索方向d 取该点的负梯度方向-▽f（x),使函数值在该点附 近的范围内下降最快。形成以下迭代算法
x
k 1
x ak f ( x ) (k 0,1,2,)
k k
为了使目标函数值沿搜索方向f ( x k ) 能够获得 最大的下降值，其步长因子 k 应取一维搜索的最佳 步长。即有 相邻的两个迭代点上的函
二次规划 约束极小 （非线性规划） 达到目标问题
s.t. Ax<=b Min F(X) s.t. G(X)<=0 Min r s.t. F(x)-wr<=goal Min max {Fi(x)}
X {Fi(x)}
极小极大问题
s.t. G(x)<=0
2.
优化函数的输入变量
使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时, 输入变量见下表:
2 x1 4 f ( x ) 50 x2 x0 100
0
沿负梯度方向进行一维搜索，有
2 4 0 x x 0 f ( x ) 2 100 0
1 0 0
0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
f ( x1 ) min (2 4 )2 25(2 100 ) 2 min ( )
Aeq,beq vlb,vub X0 x1,x2 options
3. 优化函数的输出变量下表:
变量 x 描 述 由优化函数求得的值.若exitflag>0,则x 为解;否则,x不是最终解,它只是迭代制止 时优化过程的值 解x处的目标函数值 描述退出条件: exitflag>0,表目标函数收敛于解x处 exitflag=0,表已达到函数评价或迭代 的最大次数 exitflag<0,表目标函数不收敛 包含优化结果信息的输出结构. Iterations:迭代次数 Algorithm:所采用的算法 FuncCount:函数评价次数 调用函数 所有优化函数 linprog,quadprog,fgoalattain, fmincon,fminimax,lsqcurvefit, lsqnonlin, fminbnd
2
T
基本函数名 x=fminbnd(‘F’,x1,x2) X=fminunc(‘F’,X0) X=fminsearch(‘F’,X0) X=linprog(c,A,b) X=quadprog(H,c,A,b) X=fmincon(‘FG’,X0) X=fgoalattain(‘F’,x,goal,w) X=fminimax(‘FG’,x0)
约束优化方法
随机方向法 复合型法
直接解法
可行方向法
惩罚函数法
增广乘子法
间接解法
惩罚函数法
惩罚函数法是一种间接解法。它的基本原理是将 约束优化问题中的不等式和不等式约束函数经加 权后，和原目标函数结合为新的目标函数，将约 束优化问题转换为无约束优化问题。求解无约束 优化问题的极小值，从而得到原约束优化问题的 最优解。
1
继续作下去，经10次迭代后，得到最优解 x 0
0 T
f ( x ) 0
梯度法的特点
（1）理论明确，程序简单，对初始点要求不严格。
（2）对一般函数而言，梯度法的收敛速度并不快，因
为最速下降方向仅仅是指某点的一个局部性质。
（3）梯度法相邻两次搜索方向的正交性，决定了迭代
全过程的搜索路线呈锯齿状，在远离极小点时逼近速度
k k 数梯度相互垂直而搜索方 f ( x k 1 ) f [ x k ak f ( x k )] min f [ x a f ( x )] k a 向就是负梯度方向，因此 相邻的两个搜索方向相互 min ( ) a 垂直。这就是说在最速下 降法中，迭代点向函数极 根据一元函数极值的必要条件和多元复合 小点靠近的过程，走的是 函数求导公式，得 曲折的路线。
按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行，分 为：
内点法
外点法
混合法
案例分析
单级直齿圆柱齿轮传动减速器的优化设计
已知单级直齿圆柱齿轮减速器的输入扭矩T1=2674N·m， 传动比i=5，现要求确定该减速器的结构参数，在保证承 载能力条件下，使减速器的重量最轻。小齿轮拟选用实心 轮结构，大齿轮为四孔辐板式结构，其结构尺寸如图所示， 图中△1=280mm，△2=320mm。
（2）建立目标函数
以齿轮减速器的重量最轻为目标函数，而此减速器的重量可以一对齿轮 和两根轴的重量之和近似求出。由此，减速器的重量W=(V1+V2+V3+V4)ρ， 因钢的密度为常数，所以可取减速器的体积为目标函数。将设计变量带 入减速器的体积公式，经整理后得目标函数为
'( ) f [ x k f ( x )] f ( x k ) 0
k k T
[f ( x )] f ( x ) 0
k 1 T k
(s ) s 0
k 1 T k
例： 求目标函数 f ( x ) x12 25 x22 的极小点。 解：取初始点 x 0 [2,2]T 则初始点处函数值及梯度分别为 f ( x 0 ) 104
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m 个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点， 然后决定可行搜索方向S，且以适当的步长，沿S方向进行 搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成 一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，直至满 足收敛条件。 间接解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行 特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的 目标函数，即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的 无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算， 从而间接地搜索到原约束问题的最优解。