时间序列
统计学中的时间序列
统计学中的时间序列时间序列（Time Series）是统计学中重要的研究对象之一，它描述了同一变量在不同时间点上的观测结果。
时间序列在许多领域都有广泛的应用，如经济学、金融学、气象学等。
通过对时间序列的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，为决策和预测提供依据。
一、时间序列的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的数据序列。
通常，时间序列中的观测值可以按照以下两个因素进行分类：1. 时间单位：观测点之间的时间间隔可以是固定的，如每日、每月、每年等，也可以是不规则的，如每小时、每分钟等。
2. 观测值类型：时间序列可以包含单变量（单个观测变量）或多变量（多个观测变量）。
二、时间序列的经典模型时间序列分析的目标是识别和建模数据中的模式和结构。
经典的时间序列模型包括以下几种：1. 自回归移动平均模型（ARMA）：ARMA模型是将自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）结合起来，它假设时间序列的当前观测值与过去的观测值和随机误差有关。
2. 自回归整合移动平均模型（ARIMA）：ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入差分操作，用于消除时间序列的非平稳性。
3. 季节性模型：对于具有明显季节性变化的时间序列，可以采用季节性模型，如季节性ARIMA模型（SARIMA）。
4. 非线性模型：除了上述线性模型外，时间序列还可能具有非线性特征，因此可以采用非线性模型，如ARCH、GARCH模型等。
三、时间序列分析的方法时间序列分析主要包括以下几个步骤：1. 数据获取和预处理：从数据源获取时间序列数据，并对数据进行预处理，如处理缺失值、异常值等。
2. 数据可视化和描述性统计：通过绘制时间序列图、自相关图、偏自相关图等，对数据进行可视化和描述性统计，以了解数据的整体特征。
3. 模型识别和参数估计：根据观察到的时间序列图和自相关函数，选择适当的模型，并对模型的参数进行估计。
4. 模型检验和诊断：对所建立的模型进行检验，如检验模型的拟合优度、残差序列是否平稳等，并进行诊断，如检验残差是否具有自相关性等。
时间序列的概念
时间序列的概念时间序列的概念时间序列是指在一段时间内按照固定时间间隔所观测到的一系列数据或变量的集合。
这些数据或变量可以是任何类型的，例如经济指标、天气变化、股票价格等。
时间序列分析是对这些数据进行统计分析和预测的方法。
一、时间序列的基本概念1.1 时间序列的定义时间序列是指按照固定时间间隔所观测到的一系列数据或变量的集合。
这些数据可以是任何类型的，例如经济指标、天气变化、股票价格等。
1.2 时间序列的组成元素时间序列由三个基本组成元素构成：趋势、季节性和随机性。
趋势是长期上升或下降趋势，季节性是周期性波动，随机性则代表着随机波动。
1.3 时间序列的应用领域时间序列广泛应用于经济学、金融学、气象学、环境科学等领域。
在金融领域中，它被用于预测股票价格和汇率波动；在气象领域中，它被用于预测天气变化；在环境科学领域中，它被用于预测自然灾害的发生。
二、时间序列的分析方法2.1 描述性统计描述性统计是对时间序列数据进行总体和样本统计特征的分析。
平均值、标准差、最大值和最小值等。
2.2 时间序列图时间序列图是一种展示时间序列数据的图表。
它通常由时间轴和变量轴组成，可以直观地反映出数据的趋势和季节性波动。
2.3 分解法分解法是将时间序列分解为趋势、季节性和随机性三个部分。
通过对这三个部分进行独立分析，可以更好地理解和预测时间序列数据。
2.4 平稳性检验平稳性检验是判断一个时间序列是否具有平稳性的方法。
平稳性是指时间序列在长期内具有相同的统计特征，如均值、方差等。
如果一个时间序列不具有平稳性，则需要进行差分或其他处理方法以实现平稳化。
2.5 预测方法预测方法是利用历史数据来预测未来趋势或波动的方法。
常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等。
三、时间序列的应用案例3.1 经济领域时间序列在经济领域中广泛应用，例如预测GDP增长率、通货膨胀率、失业率等。
这些预测结果对政府制定经济政策和企业决策具有重要意义。
时间序列
ARMA(w pt,q ) 模型 c 1 wt 1 p wt p t 1 t 1 q t q
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用滞后算子表示，则
( L ) wt c ( L) t
其中 ( L) 1 1 L 2 L 2 p Lp ( L) 1 1 L 2 L2 q Lq 经过d阶差分变换后的ARMA(p,q) 模型称为 ARIMA(p,d,q) ，等价于下式 ( L ) (1 L) d yt c ( L) t
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四项移动平 均 — — 506.75 536.50 555.00 562.00 569.50 565.50 581.25 584.50 594.25 —
二项移动平 均 — — 526.63 545.75 558.50 565.75 567.50 573.38 582.88 589.38 — —
同月（季）平均数 季节指数（S） 总月（季）平均数
如果某月或季的季节指数大于或小于总平均数，说明现象在该月或季有季节变动 影响；如果其等于总平均数，说明现象在该月或季没有明显季节变动影响。
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按月（季）平均法举例
［例5.16］根据我国1978～1983年各季度农业生产资
料销售额数据，用按季平均法计算各季的季节指数。
2 p (L)=1 1 L 2 L -... p L 其中
(L)=1+ 1L+ 2L2 ... qLq
当满足条件： 1-1Z- 2Z2 -...- pZp 0 特征方程的根全部落在单位圆以外时，ARMA(p,q)是一个平 稳过程。
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ARIMA模型的概念
第五章 时间序列
是一种无规律可循的偶然性的变 动，包括严格的随机变动和不规 则的突发性影响很大的变动两种 类型。比如股票的价格波动。
前三种都是可以解释的变 动，只有不规则变动是无法解 释的。
传统的时间序列分析的主 要内容就是将这些成分从时间 序列中分离出来，然后将它们 之间的关系用一定的数学关系 式予以表达，并进行分析。
1. 长期趋势（T）
现象在较长时期内受某种根 本性因素作用而形成的总的 变动趋势。比如GDP总量长 期看来具有上升趋势。
2. 季节变动（S）
现象在一年内随着季节的变化 而重复出现的有规律的周期性 变动。比如通常商业上有“销 售淡季”和“销售旺季”。
3. 周期性（C）
现象以若干年为周期所呈现出的围 绕长期趋势的一种波浪形态的有规 律的变动。比如我们常说的经济周 期，5年或者10年一个循环。
• 时期序列的主要特点有： ① 时期序列中各个观察值可以相加，相加后的观察 值表示现象在更长时期内发展过程的总量。 ② 时期序列中每个指标数值的大小与时期的长短有 直接联系，即具有时间长度。 ③ 时期序列中的指标数值一般采用连续登记办法获 得。
2．时点序列
• 当时间序列中所包含的总量指标都是反映社会经 济现象在某一瞬间上所达到的水平时，这种总量 指标时间序列即为时点序列。在时点序列中，相 邻两个时点指标之间的距离为“间隔”。
相对指标时间序列中各个指标数值都是相对数，其计算基础不同，不能直接相加。在编制相对指 标时间序列时，要注意百分号的表示及其在表中的位置和作用。
（三）平均指标时间序列
将同一平均指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成的数列叫做平均指数时间序列。它反映 社会经济现象一般水平的变化过程和发展趋势。
平均指标时间序列中每个指标数值都是平均数，不能相加，相加起来没有经济意义
时间序列的概念解析
时间序列的概念解析标题：时间序列的概念解析引言：时间序列是一种在统计学和数据分析中广泛应用的概念。
它涵盖了各个领域，从经济学和金融学到气象学和生物学。
本文将深入探讨时间序列的概念、特征和应用，并分享对时间序列的观点和理解。
一、时间序列的定义和特征：1.1 定义：时间序列是一系列随时间变化的观测或测量结果的有序集合。
这些观测可以按照固定时间间隔收集，也可以是不规则的。
1.2 特征：时间序列具有趋势、季节性、周期性和随机性等特征。
趋势反映了长期的变化趋势，季节性反映了周期性的循环变化，周期性指存在多个不规则周期的变化，而随机性则反映了无法用已知模式解释的波动。
二、时间序列分析的方法：2.1 描述性分析：通过观察、绘制图表和描述统计指标等方法，对时间序列数据进行初步的认识和分析。
2.2 简单平滑和移动平均：利用线性加权函数或窗口函数对时间序列进行平滑处理，以较好地显示其趋势和周期性。
2.3 季节分解和趋势预测：通过分解时间序列成趋势、季节性和残差等部分，并应用合适的模型和技术进行趋势或季节性预测。
2.4 自回归和滑动平均模型：使用自回归（AR）模型和滑动平均（MA）模型进行时间序列的建模和预测。
2.5 频谱分析和波谱估计：通过把时间序列转换到频域，分析频率成分和能量分布，以识别主要的周期和趋势。
三、时间序列的应用领域：3.1 经济学和金融学：时间序列分析在经济学和金融学中广泛应用于市场预测、股票价格波动、宏观经济模型等方面。
3.2 气象学和气候研究：通过时间序列分析，可以研究气候变化、长期气候预测和天气预报等。
3.3 信号处理和图像处理：时间序列分析方法被广泛应用于信号处理和图像处理中，例如语音识别和图像压缩等。
3.4 生物学和医学：时间序列分析在生物学和医学研究中用于分析心电图、脑电图等生理信号和疾病模式。
四、对时间序列的观点和理解：作为我的文章写手，我对时间序列有以下观点和理解：4.1 时间序列是一种非常有用和强大的数据分析工具，可以帮助我们揭示随时间变化的规律和特征。
时间序列的概述
时间序列的概述时间序列是一种基于时间顺序排列的数据集合，用来描述过去一定时间内发生的事件或现象的变化。
它是统计学与经济学中的一个重要分析工具，被广泛应用于各个领域，如经济预测、股票市场分析、气象预报、交通流量等。
时间序列的数据可以是连续或离散的。
连续时间序列是在连续时间间隔内收集到的数据，例如每分钟、每小时或每天的数据。
离散时间序列则是在固定的时间点上收集到的数据，例如每年一次的问卷调查。
时间序列的特点是随时间变化而变化。
数据的变化可以是趋势性的，即随着时间的推移，数据呈现出持续上升或下降的趋势。
数据的变化还可以是周期性的，即在一定时间范围内，数据会周期性地波动。
此外，时间序列中还存在着随机性的变化，即数据在一段时间内没有明显的趋势或周期，呈现出随机波动的特征。
为了对时间序列进行分析，常常采用统计学中的方法。
其中最常用的是建立模型来描述时间序列的变化规律。
常见的时间序列模型包括平稳模型、非平稳模型、季节性模型和自回归移动平均模型等。
通过拟合模型，我们可以获得对时间序列的预测，从而做出相应的决策。
通过时间序列分析，我们可以提取出其中所包含的有用信息。
例如，我们可以根据过去的股票价格数据预测未来的价格趋势，或者根据过去的气温数据来预测未来的气候变化。
同时，时间序列分析还可以帮助我们检测异常值或异常事件，从而及时采取措施进行调整或干预。
总而言之，时间序列是一种重要的数据分析方法，通过对事件或现象在时间上的变化进行建模和预测，可以帮助我们理解和解释数据的规律，为决策提供有力的支持。
时间序列的应用范围广泛，几乎涵盖了所有需要对时间变化进行分析的领域。
时间序列分析是统计学中一个重要的分析方法，可以帮助我们理解数据的趋势、周期和随机波动，并预测未来的发展趋势。
时间序列分析的方法和技术有很多种，下面将介绍一些常用的时间序列分析方法。
首先，时间序列分析中最常用的方法是平滑法。
平滑法的基本思想是通过对数据进行加权平均来降低数据的波动，从而显示出数据背后的趋势。
第9章时间序列分析
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注意：
• ① 只能用于时期数列
• ② 扩大后的各个时期的时距应该相 等，这样才能相互比较，看出现象的 变动趋势
• ③ 时距的长短要适当
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2、 移动平均法
• 移动平均法是将时间数列的时距扩大，将时 间序列的各项数值从第一项数值开始，依次 逐项移动，重叠求其规定期数的系列序时平 均数，从而形成一个由序时平均数构成的新 的派生数列，以清除原时间序列中的不规则 变动，反映现象发展趋势。
）in1应a0等x i于各期实际水
）。
a n i1 i
• 按照计算累计法平均发展速度的要求得：
a0 x a0 x n a1 an
• 等式两边同除以a0 ，并移项得：
x x n a1 an 0 a0
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2 、平均增长速度
• 平均增长速度是现象在各个时期环比增长速度的序 时平均数，说明现象在增长时期内增长的一般水平。
销售额 趋势值
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（2） 非线性趋势
• 社会经济现象发展变化的长期趋势，除表现 为持续上升或下降的直线外，还表现为多种 曲线，需要用适当的曲线方程来配合。常用 的曲线方程有：指数曲线、二次抛物线，三 次曲线等等。
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① 二次抛物线
• 如果社会经济现象逐期增长量的增长（即二级增长） 大体相同，则可考虑用二次抛物线来拟合这一发展 趋势。抛物线的一般方程为：
增长速度=
增长量 基期水平
100%
报告期水平 - 基期水平 基期水平
100%
发展速度 - 1 （100%）
（1）定基增长速度 （2）环比增长速度
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（1）定基增长速度
时间序列的构成分析
@
时间序列的构成分析
1.3 季节变动的测定与分析
1.季节变动分析方法 (1) 同期平均法 ❖ 根据原始资料数据，直接求出各年同月（季）的
平均数与全年各月（季）的总平均数，然后将二 者对比求出各月（季）的季节指数，以表明季节 变动的程度。
@
时间序列的构成分析
同期平均法的具体步骤如下： ❖ 第一步，将各年同月（季）的完整数据资料排列
统计学
时间序列的构成分析
1.1 时间序列的构成因素及组合模型
1.时间序列的构成要素
❖ 时间序列的构成要素通常可以归纳为长期趋势、 季节变动、循环变动和不规则变动四类。
(1)长期趋势也称趋势变动，是指时间序列在较长时 期中所表现出来的持续上升、下降或不变的总态 势。
(2) 季节变动指时间序列在一年内重复出现的周期性 波动。
，而所得新的时间序列的项数则越少。 ❖ 当时距项数为奇数时，一般只需一次移动平均，其
移动平均值作为移动平均项数的中间一期的趋势代 表值；当时距项数为偶数时，移动平均值代表的是 偶数项的中间位置，无法对正某一时期，所以需进 行一次相邻两项平均值的再次移动平均，以移正其 位置。 ❖ 时距项数的选择要根据时间序列和现象的实际情况 。
【例8.14】
@
时间序列的构成分析
2.序时平均法
❖ 对于时点序列而言，各期水平相加没有实际意义 ，因此不能直接用时距扩大法处理，而是需要利 用序时平均法消除偶然因素的影响，以反映现象 的变化趋势。
【例8.15】
@
时间序列的构成分析
3.移动平均法
❖ 移动平均法是采用逐期递推移动的办法将原时间 数列按一定时距扩大，得出一系列扩大时距的序 时平均数。
整齐，并列表于同一栏内； ❖ 第二步，计算各年同月（季）的平均数； ❖ 第三步，计算各年所有月份(或季度)的总平均数； ❖ 第四步，计算季节指数，其公式为：
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1. 简述时间序列的组成要素。
答案：
一个时间序列通常由4种要素组成：趋势、季节变动、循环波动和不规则波动。
趋势是时间序列在长时期内呈现出来的持续向上或持续向下的变动。
趋势可能是线性的，也可能是非线性的。
季节变动是时间序列在一年内重复出现的周期性波动。
它是诸如气候条件、生产条件、节假日或人们的风俗习惯等各种因素影响的结果。
循环波动是时间序列呈现出的非固定长度的周期性变动。
它与趋势不同，它不是朝着单一方向的持续变动，而是涨落相间的交替波动；它也不同于季节变动，季节变动有比较固定的规律，且变动周期大多为一年，而循环波动则无固定规律，变动周期多在一年以上，且周期长短不一。
不规则波动是时间序列中除去趋势、季节变动和周期波动之后的随机波动。
不规则波动通常总是夹杂在时间序列中，致使时间序列产生一种波浪形或振荡式变动。
知识点：时间序列预测
难易度：2
2. 什么是指数平滑预测？在用指数平滑预测时，如何确定合适的平滑系数a？
答案：
（1）指数平滑预测是用t期实际值与t期预测值的加权平均值作为第t+1期的预测值。
该方法是加权平均的一种特殊形式，观察值的时间离现时期越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为
指数平滑。
指数平滑预测模型为：。
（2）平滑系数a的取值范围是。
当时，预测值仅仅是重复上一期的预测结果；当
时，预测值就是上一期实际值。
越接近1，模型对时间序列变化的反应就越及时，因为它对当前的实际值赋予了比预测值更大的权数。
同样，越接近0，意味着对当前的预测值赋予更大的权数，因此模型对时间序列变化的反应就越慢。
一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的，以便能很快跟上近期的变化，当序列的随机波动较小时，宜选较小的。
但实际应用时，还应考虑预测误差。
预测时可选择几个进行比较，然后找出预测误差最小的作为最后的值。
知识点：时间序列预测
难易度：3
3. 解释自相关和自回归。
答案：
（1）自相关是指不同点的时间序列残差之间的相关。
相邻两期（t期和t-1期）残差之间的相关称为一阶自相关。
（2）自回归是的自相关序列的预测方法之一，它是利用观测值与以前时期的观测值之间的关系来
预测Y值的一种多元回归方法。
其中，因变量就是观测值，而自变量则是因变量的滞后值。
当前值与滞后一期值的回归称为一阶自回归；当前值与滞后二期值的回归称为二
阶自回归；当前值与滞后P期值的回归称为P阶自回归。
知识点：时间序列预测
难易度：2
4. 简述分解法预测的基本步骤。
答案：
（1）确定并分离季节成分。
计算季节指数，以确定时间序列中的季节成分。
然后将季节成分从时间序列中分离出去，即用每一个时间序列观测值除以相应的季节指数，以消除季节成分。
（2）建立预测模型并进行预测。
对消除季节成分的时间序列建立适当的预测模型，并根据这一模型进行预测。
（3）计算出最后的预测值。
用预测值乘以相应的季节指数，得到最终的预测值。
知识点：时间序列预测
难易度：2
计算分析题：
1. 随着经济的发展，我国的外贸出口额近年快速增长。
某外贸公司的出口额几年来增长迅速。
由于出口的产品在国际市场上有较强竞争力，预计今后几年出口额仍会有较大增长。
下面是该公司近几年
（2）从图形上判断，出口额时间序列含有什么成分？
（3）要预测该公司的出口额，应采用哪种趋势线？该趋势线的特点是什么？
（4）根据上面的数据拟合的指数曲线方程为：，这里的0.4909的具体含义
是什么？
答案：
（1）出口额的时间序列图如下：
（2）从图形中可以看出，该公司出口额含有非线性趋势成分。
（3）从变化趋势看，该公司出口额呈现指数增长走势，应该采用指数曲线进行预测比较合适。
指数曲线的特点是：各期观察值按指数变化，即按相同的增长率增长。
（4）0.4909的具体含义表示：该公司出口额的年平均增长率为49.09%。
知识点：时间序列预测
难易度：2
：
销售量含有什么成分？该成分的变化特点是什么？
（2）根据最小二乘法拟合的直线趋势方程为：，解释回归系数的具体含义。
（3）预测6月份的销售量。
答案：
（1）销售量的时间序列图如下：
含有线性趋势成分。
其特点是各期观测值按常数增长。
（2）回归系数的具体含义是：时间每增加1个月，销售量平均增加3.1台。
（3）台。