#正交试验结果的方差分析方法

正交试验结果的方差分析方法
计算公式和项目
试验指标的加和值=
,
试验指标的平均值和表4-13一样，第j列的
(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和
(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和
(3)……
(4) k j——同一水平出现的次数。

等于试验的次数除以第j列的水平数.
(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”
(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值
(7)……以上各项的计算方法，和“极差法”同，见4.1.7节
(8)偏差平方和
(4-1)
(9) f
j ——自由度.f
j
第j列的水平数－1.
(10）V
j
——方差.
Vj =S
j
/f
j
(4-2)
（11）V
e
——误差列的方差。

(4-3)
（12）F
j
——方差之比
(4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。

显著性检验结果的具体表示方法和第3章相同。

（14）总的偏差平方和
(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。

即
(4-6) 式中，m为正交表的列数。

若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和
应引出的结论。

和极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。

在数理统计上，这是一个很重要的问题。

显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。

如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。

因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。

有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列和原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。

方差分析方法使用举例
例4-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。

表4-18例4-6的因素水平表
因素发酵温度/℃发酵时间/h 初始的PH值投曲量/ %
符号x1x2x3x4
水平
1 10 1
2 7 5
2 20 24 6 10
3 30 48 5
4 50 72 4
试验指标（y）为成品的总酸度。

要求写出使用正交试验设计方法的全过程，用方差分析方法分析正交试验的结果。

解：
试验的目的：为改善猪发酵饲料的品质，寻找适宜的发酵条件。

试验指标（y）：成品的总酸度
因素水平表：见表4-18。

理论和经验都不知道有应该考虑的交互作用。

四个因素的水平数不完全相同，所以应选择混合水平正交表。

因为3个因素是4
（43×26）正交表，见表4-19（a）
水平，1个因素是2水平，所以选L
16
表头设计：见表4-19（a）
表中数据的计算举例：（以第3列为例）
=y1+y6+y11+y16=6.36+5.39+8.03+16.54=36.32
I
3
II
=y2+y5+y12+y15=7.43+8.66+12.45+9.80=38.34
3
=y3+y8+y9+y14=10.36+19.53+12.08+10.77=52.74
III
3
IV
=y4+y7+y10+y13=11.56+15.50+13.13+13.49=53.68
3
k
=4
3
I
/k3=36.32/4=9.08
3
/k3=38.34/4=9.59
II
3
III
/k3=52.74/4=13.19
3
/k3=53.68/4=13.42
IV
3
极差D3=13.42－9.08=4.34
218.35
表4-19(a)使用正交表L
16
（43×26）的正交试验数据表
列号 1
x
12
x
2
3
x
3
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
x
4
总酸度/ %
y
试验号
1
1
(10) 1
(12)
1
(7)
1 1 1 1 1
1
(5)
6.36
2
1
(10) 2
(24)
2
(6)
1 1
2 2 2
2
(10)
7.43
3
1
(10) 3
(48)
3
(5)
2 2 1 1 2
2
(10)
10.36
4
1
(10) 4
(72)
4
(4)
2 2 2 2 1
1
(5)
11.56
5
2
(20) 1
(12)
2
(6)
2 2 1 2 1
2
(10)
8.66
6
2
(20) 2
(24)
1
(7)
2 2 2 1 2
1
(5)
5.39
7
2
(20) 3
(48)
4
(4)
1 1 1
2 2
1
(5)
15.50
8
2
(20) 4
(72)
3
(5)
1 1
2 1 1
2
(10)
19.53
9
3
(30) 1
(12)
3
(5)
1 2 2 2 2
1
(5)
12.08
10
3
(30) 2
(24)
4
(4)
1 2 1 1 1
2
(10)
13.13
11
3
(30) 3
(48)
1
(7)
2 1 2 2 1
2
(10)
8.03
12 3 4 2
2 1 1 1 2
1
12.45
(30) (72) (6) (5)
13
4
(50) 1
(12)
4
(4)
2 1 2 1 2
2
(10)
13.49
14
4
(50) 2
(24)
3
(5)
2 1 1 2 1
1
(5)
10.77
15
4
(50) 3
(48)
2
(6)
1 2 2 1 1
1
(5)
9.80
16
4
(50) 4
(72)
1
(7)
1 2 1 2 2
2
(10)
16.54
表4-19(b) [上接表4-19(a)]
列号 1
x
12
x
2
3
x
3
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
x
4
名称
I j35.71 40.59 36.32 83.91 II j49.08 36.72 38.34 97.17
III j45.69 43.69 52.74
IV j50.60 60.08 53.68
k
j
4 4 4 8 8 8 8 8 8
I j/ k j 8.93 10.15 9.08 10.49 II j/ k j12.27 9.18 9.59 12.15 III j/
k
j
11.42 10.92 13.19
IV j /k j12.65 15.02 13.42
极差D j
3.72
③5.84
①
4.34
②
1.66
④
偏差平方和S j 33.57③79.19①
63.67
②
S
e
=
30.9
11.02
④
218.35
自由度
f
j
3 3 3 f e=5 1
方差V j11.19 26.40 21.22 V
e
=
6.18
11.02
方差比
F j
1.81 4.27 3.43 1.78
F 0。

25 1.88 1.88 1.88 1.69 F 0.10 3.62 3.62 3.62 4.06 F 0.05 5.41 F 0.01
显著性 0* (0.25) 2* (0.10) 1*
(0.25)
1*
(0.25)
偏差平方和
=4(9.08－11.32)2+4(9.59－11.32)2+4(13.19－11.32)2+4(13.42－11.32)2 =63.67
自由度f 3=4－1=3
方差
S e = S 总－(S 1+S 2+ S 3+ S 9)=218.35－(33.57+79.19+63.67+11.02)=30.9 f e =(16-1)－(3+3+3+1)=5
查F 分布数据值表得：
F (α=0.01, f 1=3, f 2=5)=12.06> F 3 F (α=0.05, f 1=3, f 2=5)=5.41> F 3 F (α=0.10, f 1=3, f 2=5)=3.62> F 3 F (α=0.25, f 1=3, f 2=5)=1.88< F 3
所以，第3列对试验指标的影响在α=0.25水平上显著。

其它列的计算结果见表4-19(b)。

用方差分析方法分析正交试验结果，应该引出如下几点结论：
（1）关于显著性的结论
发酵时间（x2）对指标的影响在α=0.10水平上显著；初始的PH值（x3）和投曲量（x4）在α=0.25水平上显著；发酵温度(x1)在α=0.25水平上仍不显著。

(2)试验指标随各因素的变化趋势：见图4-6
图4-6是用表4-18及表4-19（b）中的Ⅰj/k j, Ⅱj/k j, Ⅲj/k j, Ⅳj/k j值来标绘的。

（3）适宜的操作条件
在确定适宜操作条件时，对于F检验中α=0.25不显著的因素，如本例中的因素x
, 一方面因为图4-6 (a) 所示的“规律”不可靠，不能作为确定x1适宜水平1
的依据。

另一方面，F检验不显著，F j太小，可能是因为V e太大，误差太大；也可能是因为V j太小，该因素对指标影响太小。

所以，对于F检验不显著的因素，适宜的水平可以是任意的。

如本例，可认为x1=（20~50）℃即可，不必非50℃
不可。

所以在本例中为提高总酸度，适宜的操作条件为：x1=（20~50）℃，x2=72 h, x3=4, x4=10%。

（4）对所得结论及进一步研究方向的讨论。

① 由图4-6(d)可见，投曲量x4这个水平为试验范围的边上（最大值或最小值）所以x4增大，成品的总酸度也增大的结论尚需作进一步的研究。

应研究投曲量大于10%时试验指标随投曲量的变化规律。

② 从图4-6（c）可见，初始PH值等于5时的总酸度和初始PH值等于4时的总酸度差不多。

但和令PH=4相比较，令PH=5，比较容易实现。

所以进一步研究的方向之一，是研究令PH=5的好处和问题。

③ 从图4-6（b）可见，发酵时间愈长，成品的总酸度愈大，所以进一步研究的方向之一，是研究为提高总酸度而增长发酵时间的优缺点。

例4-7为了提高某种产品的产量,寻求较好的工艺条件。

考虑三个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。

它们都取三个水平[见表4-20（a）]。

表4-20（a）例4-7的因素水平表
因素温度/℃压力/ kPa 浓度/%
符号（A）（B）（C）
水平
1 60 20 0.5
2 65 25 1.0
3 70 30 2.0
为考察3个因素间所有的两因素交互作用的影响，选正交表L
27
（313），依该表的表头设计表得到的表头设计如表4-20（b）所示。

表4-20（b）例4-7正交表表头设计
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
因素符号 A B (A×B)
1(A×B)
2
C (A×C)
1
(A×C)
2
(B×C)
1
e
1
e
2
(B×C)
2
e
3
e
4
可见，3水平两因素的交互作用占两列。

试验结果见表4- 20（c）
试验结果的方差分析计算见表4-20（d）①
总的偏差平方和161.02
② 两个三水平因素的交互作用占两列，它的S、f、V如何计算？以交互作用B×C为例。

B×C占第8和第11列。

偏差平方和S B
×C =S
8
+S
11
=0.09187465+0.08907423=0.18095
表4-20（c）正交表L
27
（313）的试验设计计算表
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 产量/T
因素符号A B
(A×
B)
1
(A×
B)
2
C
(A×
C)
1
(A×
C)
2
(B×
C)
1
e
1
e
2
(B×
C)
2
e
3
e
4
y
试验号
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.30
2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4.63
3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 7.23
4 1 2 2 2 1 1 1 2 3 0.50
5 1 2 2 2 2 2 2 3 1 3.67
6 1 2 2 2 3 3 3 1 2 6.23
7 1 3 3 3 1 1 1 3 2 1.37
8 1 3 3 3 2 2 2 1 3 4.73
9 1 3 3 3 3 3 3 2 1 7.07
10 2 1 2 3 1 2 3 1 1 0.47
11 2 1 2 3 2 3 1 2 2 3.47
12 2 1 2 3 3 1 2 3 3 6.13
13 2 2 3 1 1 2 3 2 3 0.33
14 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3.40
15 2 2 3 1 3 1 2 1 2 5.80
16 2 3 1 2 1 2 3 3 2 0.63
17 2 3 1 2 2 3 1 1 3 3.97
18 2 3 1 2 3 1 2 2 1 6.50
19 3 1 3 2 1 3 2 1 1 0.03
20 3 1 3 2 2 1 3 2 2 3.40
21 3 1 3 2 3 2 1 3 3 6.80
22 3 2 1 3 1 3 2 2 3 0.57
23 3 2 1 3 2 1 3 3 1 3.97
24 3 2 1 3 3 2 1 1 2 6.83
25 3 3 2 1 1 3 2 3 2 1.07
26 3 3 2 1 2 1 3 1 3 3.97
27 3 3 2 1 3 2 1 2 1 6.57
表4-20（d）方差分析计算表
列
号
1 2 3 4 5 6 7 8 11
9,10,1
2,13 因素
符号
A B
(A×B)
1
(A×B)
2
C
(A×C)
1
(A×C)2(B×C)1(B×C)2 e 项
目
I
j
36.73 33.46 35.63 34.30 6.27 32.94 34.21 33.33 32.98
II
j
30.70 31.30 32.08 31.73 35.21 34.66 33.13 33.04 33.43
III
j
33.21 35.88 32.93 34.61 59.16 33.04 33.30 34.27 34.23
k
j
9 9 9 9 9 9 9 9 9
I
j
/k
j
4.081
111
3.717
778
3.9588
89
3.8111
11
0.6966
667
3.6600
00
3.8011
11
3.7033
33
3.6644
44
II
j
/
k
j
3.411
111
3.477
778
3.5644
44
3.5255
56
3.9122
22
3.8511
11
3.6811
11
3.6711
11
3.7144
44
III
j
/k
j
3.690
000
3.986
667
3.6588
89
3.8455
56
6.5733
33
3.6711
11
3.7000
00
3.8077
78
3.8033
33
S
j
2.038
941
1.166
608
0.7635
201
0.5553
843
155.86
95
0.2071
406
0.0749
4069
0.0918
7465
0.0890
7423 S
e
=0.344
5
S
A×B
=S3+S4=1.3
189
S
A×C
=S6+S7=0.282
081
S
B×C
=S8+S11=0.180
95
f
j
2 2
f
A×B
=f3+f4=2+2=4
2
f
A×C
=f6+f7=2+2=4
f
B×C
=f8+f11=2+2=
4
f
e
=8
V
j
1.019
5
0.583
30
V
A×B
=
=
0.3297260
77.935
V
A×C
=
=
0.070520
V
B×C
=
= 0.0453238
V
e
=0.0430
62
F
j
23.7 13.5 F A×B =7.66
1.81×
103
F
A×C
=1.64 F B×C=1.05 1.0
F
0.01
8.65 8.65 7.01 8.65 7.01
F
0.05
3.84
F
0.10
2.81
F
0.25
1.66 1.66
显著
性
4* 4* (A×B)：4* 4*
(A×C)：
0*(0.25)
(B×C )：
0*(0.25)
F
＇ 20.2 11.6 6.53 j
F＇
6.23 6.23 4.77
0.01
（显
4* 4* 4* 著
性)＇。