2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)(最新整理)

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广东省佛山市2019届高三1月教学质量检测(一)数学文试题(精编含解析)

得到答案. 【详解】由题意可设 AB＝AD＝x，BD＝，
△ABD 中由余弦定理可得，cosA＝
＝
∵A∈（0，π），∴sinA＝，∵sinC＝，
△ABC 中，由正弦定理可得，
，
，
＝，
∴BC＝ ,则
＝2，
故选：C．【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式.
【详解】双曲线
（a＞0）的离心率为，可得：
，解 a＝1，
所以双曲线方程为：
，所以该双曲线的渐近线为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的离心率和渐近线，属于常考题型．
14.已知
，则满足
的的取值范围为_______．
【答案】【解析】【分析】将 f（x）写成分段函数形式，分析得 f（x）为奇函数且在 R 上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.
，
，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
以点 A 为原点，AB，AC 所在直线为 x，y 轴建立直角坐标系，写 A,B,C 坐标，设 P（x，y），将
坐标
化，得点 P 轨迹方程，利用圆的性质可求解.
【详解】建立以点 A 为原点，AB，AC 所在直线为 x 轴，y 轴的直角坐标系，
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查函数
的零点问题，以及函数值的符号，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知双曲线
的离心率为，则该双曲线的渐近线为_______．
【答案】

2019年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题答案共6页word资料

2019年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBBCACBDAD二、填空题本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11．< 12．12 13．(1,0)(1,)-+∞U 14．(2,2)()3k k Z ππ-∈ 15．92三、解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）4cos ,5B =Q 且(0,180)B ∈o o ，∴23sin 1cos 5B B =-=． -------------------------------2分 sin sin(180)sin(135)C A B B =--=-o o ------------------------------- 3分 242372sin135cos cos135sin ()55B B =-=⋅--⋅=o o ． ------------------------------6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin BC ABA C =，即722102AB =，解得14AB =． -----------------------------10分则ABC ∆的面积113sin 101442225S AB BC B ==⨯⨯⨯= ------------------------------12分17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人. -------------------------------8分设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、(,)m n ，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n ，共8种. -------------------------------10分所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815P =. -------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）∵312S =，即12312a a a ++=，∴2312a =，所以24a =，--------------------------------2分又∵12a ，2a ，31a +成等比数列，∴22132(1)a a a =⋅+，即22222()(1)a a d a d =-⋅++， --------------------------------4分解得，3d =或4d =-（舍去），∴121a a d =-=，故32n a n =-； ---------------------------------------7分（Ⅱ）法1：321(32)333n n n n na nb n -===-⋅， ①13⨯得，2341111111147(35)(32)333333n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ②①-②得，234121111113333(32)3333333n n n T n +=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L∴2511321565144323443n n n n n n T --+=-⨯-⨯=-⨯． ---------------------------------------14分法2：1321123333n n n n n na nb n --===⋅-⨯，设231111112343333n n A n -=+⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①则234111111234333333n n A n =+⨯+⨯+⨯++⨯L ， ② ①-②得，2312111111333333n n n A n -=+++++-⨯L∴11(1)993115651332()(1)14423344313n n n n n n n T A n ⨯-+=-⨯=-+⨯--=-⨯-．----------------------------14分 19．解：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//DD CC ， ∵1//EF CC ，∴1//EF DD ， ---------------------------------------2分又∵平面//ABCD 平面1111A B C D ，平面ABCD I 平面1EFD D ED =，平面1111A B C D I 平面11EFD D FD =，∴1//ED FD ，∴四边形1EFD D 为平行四边形，---------------------------------------4分 ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD 内，∴1DD DE ⊥，∴四边形1EFD D 为矩形； ---------------------------------------6分（Ⅱ）证明：连结AE ，∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， ∴侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD 内，∴1DD AE ⊥， ---------------------------------------8分在Rt ABE ∆中，2AB =，2BE =，则AE = ---------------------------------------9分在Rt CDE ∆中，1EC =，1CD =，则DE =； ---------------------------------------10分在直角梯形中ABCD ，AD ==∴222AE DE AD +=，即AE ED ⊥，又∵1ED DD D =I ，∴AE ⊥平面1EFD D ； ---------------------------------------12分由（Ⅰ）可知，四边形1EFD D 为矩形，且DE =11DD =，∴矩形1EFD D 的面积为11EFD D S DE DD =⋅=∴几何体1A EFD D -的体积为11114333A EFD D EFD D V S AE -=⋅==．-----------------------------14分 20．解：（Ⅰ）由题意得，26a =，∴3a =， -----------------------1分又2c =，∴c =2221b a c =-=，故椭圆的方程为2219x y +=； ---------------------------------------3分（Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(3,0)A -，(3,0)B ，则220019x y +=，即220019x y =-，则0103y k x =+，0203y k x =-， ---------------------------------------4分即2202001222200011(9)1999999x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k g 为定值19-． ---------------------------------------8分（Ⅲ）由题意可知，四边形ABCD 是梯形，则1()(62)2S x x y =+⋅，且2219x y =-，------------------9分于是222232(3)(1)()9()(3)(1)3(03)33993x x S x x x x f x x x x x x +-===+-=--++<<++------------------10分 22()133x f x x '=--+，令()0f x '=，解之得11,x =或3x =-（舍去） ------------------11分当01x <<，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ---------------------------------------12分当13x <<，()0f x '<，函数()f x 单调递减； ---------------------------------------13分所以()f x 在1x =时取得极大值，也是最大值329. ---------------------------------------14分 21．解：（Ⅰ）当2a =时，2222,2()2222,2x x x f x x x x x x ⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------------1分① 当2x ≥时，22()22(1)3f x x x x =--=--，∴()f x 在(2,)+∞上单调递增； --------------2分 ② 当2x <时，22()22(1)1f x x x x =-+-=---，∴()f x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞上单调递增； --------------3分综上所述，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞和(2,)+∞，单调递减区间是(1,2). --------------4分（Ⅱ）（1）当0a =时，()||f x x x =，函数()y f x =的零点为00x =； -----5分（2）当0a >时，22,(),x ax a x af x x x a a x ax a x a⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------------6分故当x a ≥时，22()()24a a f x x a =---，二次函数对称轴2ax a =<， ∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，()0f a <； -----------7分当x a <时，22()()24a a f x x a =--+-，二次函数对称轴2ax a =<，∴()f x 在(,)2a a 上单调递减，在(,)2a -∞上单调递增； ---------------------------------------8分∴()f x 的极大值为22()()2224a a a a f a a a =-+⨯-=-， 1o 当()02af <，即04a <<时，函数()f x 与x 轴只有唯一交点，即唯一零点，由20x ax a --=解之得函数()y f x =的零点为02a x +=或02a x -=（舍去）； -----------------------10分2o 当()02af =，即4a =时，函数()f x 与x 轴有两个交点，即两个零点，分别为12x =和222a x ==+ -----------------------11分3o 当()02af >，即4a >时，函数()f x 与x 轴有三个交点，即有三个零点，由20x ax a -+-=解得，2a x =，∴函数()y f x =的零点为2a x ±=和02a x +=. --------------------12分综上可得，当0a =时，函数的零点为0；当04a <<；当4a =时，有两个零点2和2+；当4a >. --------------------14分。

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)(可编辑修改word版)

2019 年广东省佛ft市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．（5 分）复数z 满足（z+i）（2+i）＝5（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i 3．（5 分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z＝2x+y 的最大值为（）A．7 B．8 C．15 D．164．（5 分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（）A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞xC．∃x0∈N*，f（x0）＞x0 D．∃x0∉N*，f（x0）＞x05．（5 分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出2 只球，则这两只球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．（5 分）在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB＝AD，2ABBD，sin C，则（）A．B．C．2 D．37．（5 分）若曲线y＝e x 在x＝0 处的切线，也是y＝lnx+b 的切线，则b＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．e8．（5 分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c 的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c 9．（5 分）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为﹣20，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜4？C．i＞4？D．i＜5？10．（5 分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x 和x，若f（0），则f（）＝（）A．B．C．D．11．（5 分）已知抛物线C：y2＝4x 和直线l：x﹣y+1＝0，F 是C 的焦点，P 是l 上一点过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q，则△PQF 外接圆面积的最小值为（）A．B．C．D．2π12．（5 分）设a 为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0 时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0 时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4 小题每小题5 分满分20 分13．（5 分）已知双曲线1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为．14．（5 分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0 的x 的取值范围为．15．（5 分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD，E 为AD 的中点现分别沿BE，CE 将△ABE，△DCE 翻折，使点A，D 重合，记为点P，则几何体P﹣BCE 的外接球表面积为．16．（5 分）等腰直角△ABC 内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，1，则||的取值范围是．三、解答题本大题共5 小题共70 分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p 为常数．（Ⅰ）若a1，a2，a4 成等比数列，求P 的值：（Ⅱ）若p＝1，求数列{a n}的前n 项和S n．18．（12 分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22数学117128961131361391211241211151151231251171231221321299610510612物理80 81 8385 89 81 91 78 85 91 72 76 87 82 79 82 81 89 6373 77 45学号23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 数学108 137 87 95 108 119 101 128 125 74 81 135 101 97 116 102 76 100 62 86 120 101 物理76 80 71 57 72 65 69 79 0 55 56 77 63 70 75 63 59 64 42 62 77 65 用这44 人的两科成绩制作如下散点图：学号为22 号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31 号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B 两同学的成绩（对应于图中A、B 两点）剔除后，用剩下的42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B 两同学的数据，用全部44 的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0 与γ 的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16 号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i 统一化成标准分再进行比较，其中X i 为学科原始分，为学科平均分，s 为学科标准差）．19．（12 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝1，E、F 分别是CD 边上的三等分点将△ADF，△BCE 分别沿AF、BE 折起到△AD′F、△BC′E 的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；（Ⅱ）求点A 平面EFD′C′的距离．20．（12 分）已知过点D（4，0）的直线1 与椭圆C：1 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O 为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB 的面积：（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点T，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数？21．（12 分）已知a 是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C 与l 的普通方程；（Ⅱ）若C 上存在点P，使得P 到l 的距离为，求a 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若 f （1）+f（2）＞5，求 a 的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x 的不等式f（x）＜b 的解集为（﹣∞，），求a，b 的值．2019 年广东省佛ft市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）【解答】解：解二次不等式x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，所以集合A＝（0，2），又B＝（﹣1，1），所以A∩B＝（0，1），故选：D．2．（5 分）复数z 满足（z+i）（2+i）＝5（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i【解答】解：由（z+i）（2+i）＝5，得2﹣2i．∴．故选：A．3．（5 分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z＝2x+y 的最大值为（）A．7 B．8 C．15 D．16【解答】解：作出变量x，y 满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y 知，所以动直线y＝﹣2x+z 的纵截距z 取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2）．结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．故选：B．4．（5 分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（）A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞xC．∃x0∈N*，f（x0）＞x0 D．∃x0∉N*，f（x0）＞x0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是：∃x0∈N*，f（x0）＞x0故选：C．5．（5 分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出2 只球，则这两只球颜色不同的概率为（）A.B．C．D．【解答】解：∵不透明的布袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中 1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出 2 只球，基本事件总数n6，则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，∴这两只球颜色不同的概率为p＝1．故选：A．6．（5 分）在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB＝AD，2ABBD，sin C，则（）A．B．C．2 D．3【解答】解：由题意可设AB＝AD＝x，BD，△ABD 中由余弦定理可得，cos A，∵A∈（0，π），∴sin A，∵sin C，△ABC 中，由正弦定理可得，，，∴BC则2，故选：C．7．（5 分）若曲线y＝e x 在x＝0 处的切线，也是y＝lnx+b 的切线，则b＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．e【解答】解：y＝e x 的导数为y′＝e x，曲线y＝e x 在x＝0 处的切线斜率为k＝1，则曲线y＝e x 在x＝0 处的切线方程为y﹣1＝x，y＝lnx+b 的导数为y′，设切点为（m，n），则1，解得m＝1，n＝2，即有2＝ln1+b，解得b＝2．故选：C．8．（5 分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c 的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【解答】解：∵a＝log2log23﹣1，b＝log3log34﹣1，2＝log24＞log23＞log34＞log33＝1，c＝log1，∴a，b，c 的大小关系是c＞a＞b．故选：B．9．（5 分）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为﹣20，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜4？C．i＞4？D．i＜5？【解答】解：模拟执行程序，可得：i＝1，S＝10，满足判断框内的条件，第1 次执行循环体，S＝10﹣21＝8，i＝2，满足判断框内的条件，第2 次执行循环体，S＝8﹣22＝4，i＝3，满足判断框内的条件，第3 次执行循环体，S＝4﹣23＝﹣4，i＝4，满足判断框内的条件，第3 次执行循环体，S＝﹣4﹣24＝﹣20，i＝5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S 值为﹣20，则条件框内应填写：i＜5，故选：D．10．（5 分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x 和x，若f（0），则f（）＝（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x 和x，∴T＝2（）π，∵ω＞0，∴ω3，即f（x）＝A sin（3x+φ），∵对称轴为x 和x，∴φ，∴φ＝kπ，∵0＜φ＜π，∴φ，f（x）＝A sin（3x），∵f（0）＝A sin，∴A则f（）＝A sin（φ），故选：C．11．（5 分）已知抛物线C：y2＝4x 和直线l：x﹣y+1＝0，F 是C 的焦点，P 是l 上一点过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q，则△PQF 外接圆面积的最小值为（）A．B．C．D．2π【解答】解：如下图所示，设过点A 所作的切线与抛物线C 相切于点M（x0，y0），则，易知，直线PM 的方程为y0y＝2x+2x0，即，该直线的斜率为，直线PM 交y 轴于点，所以，直线FQ 的斜率为，∵k PM•k FQ＝﹣1，所以，FQ⊥PQ，将直线l 的方程与PM 的方程联立得，解得，所以，点P 的坐标为，由两点间的距离公式可得，所以，当y0＝0 时，|PF|取得最小值，则△PFQ 的外接圆的半径的最小值为，因此，△PFQ 的外接圆的面积的最小值为．故选：A．12．（5 分）设a 为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0 时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0 时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1 时，f（x）递增；x＜a﹣1 时，f（x）递减，可得x＝a﹣1 处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，可得x＜a﹣1 时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得当x＜0 时，f（x）＜0，故正确．故选：D．二、填空题：本大题共4 小题每小题5 分满分20 分13．（5 分）已知双曲线1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为 y＝±x ．【解答】解：双曲线1（a＞0）的离心率为a，可得：，解a＝1，所以双曲线方程为：1，所以该双曲线的渐近线为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．（5 分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0 的x 的取值范围为 [，+∞）．【解答】解：根据题意，f（x）＝x|x|，则f（x）为奇函数且在R 上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x，即x 的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．15．（5 分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD，E 为AD 的中点现分别沿BE，CE 将△ABE，△DCE 翻折，使点A，D 重合，记为点P，则几何体P﹣BCE 的外接球表面积为．【解答】解：∵AB＝1，AD，E 为AD 中点，可得∠EPB＝∠EPC＝90°，∠CPB＝90°，∴P﹣BCE 为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，∴2R，∴R，∴外接球表面积为4π，故答案为：．16．（5 分）等腰直角△ABC 内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，1，则||的取值范围是 [，1] ．【解答】解：建立以点A 为直角坐标系的原点，AB，AC 所在直线为x 轴，y 轴的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，2），设P（x，y），则（﹣x，﹣y），（2﹣x，﹣y），由1，得：（x﹣1）2+y2＝2，图象为以F（1，0）为圆心，为半径的圆，由图可知D（0，1）由圆的知识可知：||取最小时为|CE|＝|CF|，最大为|CD|＝1，故||的取值范围是：[，1]，故答案为：[，1]，三、解答题本大题共5 小题共70 分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p 为常数．（Ⅰ）若a1，a2，a4 成等比数列，求P 的值：（Ⅱ）若p＝1，求数列{a n}的前n 项和S n．【解答】解：（Ⅰ）a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，可得a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，解得a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，若a1，a2，a4 成等比数列，可得a22＝a1a4，即p2＝2p，解得p＝2（0 舍去）；（Ⅱ）若p＝1，可得a n+a n+1＝n+1，当n 为偶数时前n 项和S n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝2+4+…+n•（2+n）；当n 为奇数时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝1+3+5+…+n（1+n）•．综上可得S n．18．（12 分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22数学117128961131361391211241211151151231251171231221321299610510612物80 81 8 85 89 81 91 78 85 91 72 76 87 82 79 82 81 89 6 73 77 45理 3 3学号23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 数学108 137 87 95 108 119 101 128 125 74 81 135 101 97 116 102 76 100 62 86 120 101 物理76 80 71 57 72 65 69 79 0 55 56 77 63 70 75 63 59 64 42 62 77 65 用这44 人的两科成绩制作如下散点图：学号为22 号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31 号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B 两同学的成绩（对应于图中A、B 两点）剔除后，用剩下的42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B 两同学的数据，用全部44 的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0 与γ 的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16 号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i 统一化成标准分再进行比较，其中X i 为学科原始分，为学科平均分，s 为学科标准差）．【解答】解：（Ⅰ）γ0＜γ，说明理由可以是：①离群的点A，B 会降低变量间的线性关联程度，②44 个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，③42 个数据点与回归直线l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，④42 个数据点更加贴近回归直线l，⑤44 个数据点与回归直线l0更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线l0斜率须大于0 且小于l 的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；（Ⅱ）令x＝125，代入y＝0.5006x+18.68≈81，故估计B 同学的物理分数大约是81 分；（Ⅲ）由表中知C 同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为Z160.63，物理标准分为Z160.72，0.72＞0.63，故 C 同学物理成绩比数学成绩要好一些．19．（12 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝1，E、F 分别是CD 边上的三等分点将△ADF，△BCE 分别沿AF、BE 折起到△AD′F、△BC′E 的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；（Ⅱ）求点A 平面EFD′C′的距离．【解答】证明：（Ⅰ）分别过D′，C′作AF，BE 的垂线，垂足为M，N，连结MN，∵平面AD′F⊥平面ABEF，且平面AD′F∩平面ABEF＝AF，∴D′M⊥平面ABEF，同理可证C′N⊥平面ABEF，∴D′M∥C′N，∵△AD′F≌△BC′E，∴D′M＝C′N，∴四边形D′MNC′为平行四边形，∴D′C′∥MN，∵D′C′⊄平面ABEF，MN⊂平面ABEF，∴D′C′∥平面ABEF．解：（Ⅱ）连结DD′，在Rt△D′AF 中，D′F＝AD′＝1，∴D′M，∵，∴V D′﹣ADF，设点A 到平面EFD′C′的距离为h，∵1，D′F＝DF＝1，∴S△DFD′，∴V A﹣DFD′，∵V A﹣DFD′＝V D′﹣ADF，∴，解得h，∴点A 平面EFD′C′的距离为．20．（12 分）已知过点D（4，0）的直线1 与椭圆C：1 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O 为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB 的面积：（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点T，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数？【解答】解：（Ⅰ）当x1＝0 时，A（0，1）或A（0，﹣1），由对称性，不妨令A（0，1），此时直线l：x+4y﹣4＝0，联立，消x 整理可得5y2﹣8y+3＝0，解得y1＝1，或y2，故B（，），所以△OAB 的面积为1，（Ⅱ）显然直线l 的斜率不为0，设直线l：x＝my+4，联立，消去x 整理得（m2+4）y2+8my+12＝0，所以△＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，即m2＞12，则y1+y2，y1y2，设T（t，0），则k TA+k TB，因为直线TA 与TB 的斜率互为相反数，所以k TA+k TB＝0，即2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）0，解得t＝1，故x 轴上存在定点T（1，0），使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数．21．（12 分）已知a 是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（e a）＞﹣1．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（1）lnx，①若a≤0，则由f′（x）＝0，解得：x＝1，且f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②若a＞0，则由f′（x）＝0 解得：x＝1 或x＝2a，（i）若2a＜1 即0＜a 时，由f′（x）＜0，解得：2a＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜2a 或x＞1，故f（x）在（2a，1）递减，在（1，+∞）递增；（ii）若2a＝1 即 a 时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；（iii）若2a＞1 即 a 时，由f′（x）＜0，解得：1＜x＜2a，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1 或x＞2a，故f（x）在（0，1）递增，在（1，2a）递减，在（2a，+∞）递增；（Ⅱ）f（e a）＝a（e a﹣a2）﹣e a，由f（e a）＞﹣1 得a（e a﹣a2）﹣e a＞﹣1，故（a﹣1）e a＞a3﹣1（*），而0＜a＜1，故（*）等价于e a＜a2+a+1⇔1，令g（a）（0＜a＜1），则g′（a）0，故g（a）在（0，1）递增，故g（a）＞g（0）＝1，故f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C 与l 的普通方程；（Ⅱ）若C 上存在点P，使得P 到l 的距离为，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为（θ 为参数，a＞0），由于：a＝2，故：（θ为参数），所以转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）设点P（a cosθ，sinθ），则：点P 到直线的距离d，当时，即a 时，，当时，即：时，，由于：，．当a 时，，解得：故：a 的取值范围是：[．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若 f （1）+f（2）＞5，求 a 的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x 的不等式f（x）＜b 的解集为（﹣∞，），求a，b 的值．【解答】解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5 得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，当a≥2 时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a，当a≤1 时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a，综上，a 的范围是（﹣∞，）∪（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）＜b，∴|x﹣a|+x＜b，当x≥a 时，x﹣a+x＜b，解得：x，当x＜a 时，a﹣x+x＜b，得a＜b，由不等式的解集是（﹣∞，），则，又a，b∈N*，故a＝1，b＝2．。

2019至2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)(文科)

2019～2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数512i-对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|x2-2x＜0}，B＝{x|-1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（-1，1）B．（-1，2）C．（-1，0）D．（0，1）3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cosx-cosy＞0 B．cosx＋cosy＞0 C．lnx-lny＞0 D．lnx＋lny＞04．函数f（x）的图像向右平移一个单位长度，所得图像与y＝e x关于x轴对称，则f（x）＝（）A．-e x-1B．-e x＋1C．-e-x-1D．-e-x＋15．已知函数2()2ln()f x x x a x=+++（a∈R）为奇函数，则a＝（）A．-1 B．0 C．1 D．26．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．35B．916C．716D．257．已知α为锐角，3cos5α=，则tan()42απ-=（）A．13B．12C．2 D．38．“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）是现在商家一种常见促销手段．今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100 GW ，达到114.6 GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（） A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值 B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20 GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1310．已知抛物线y 2＝2px 上不同三点A ，B ，C 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（）A ．A ，B ，C 的纵坐标成等差数列 B ．A ，B ，C 到x 轴的距离成等差数列C ．A ，B ，C 到点O （0，0）的距离成等差数列D ．A ，B ，C 到点(,0)2pF 的距离成等差数列11．已知函数f （x ）＝sinx ＋sin （πx ），现给出如下结论： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）是周期函数；③f （x ）在区间（0，π）上有三个零点； ④f （x ）的最大值为2．其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知椭圆C 的焦点为F 1，F 2，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点，若21215||||||3AF F F BF ==，则C 的离心率为（）A ．22 B 3 C ．12 D ．13第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题．13．函数f （x ）＝e x ＋sinx 在点（0，1）处的切线方程为________．14．若实数变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m ＋n ＝________．15．在△ABC 中，a ＝1，3cos 4C =，△ABC，则c ＝________．16．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为m （m ∈Z ），底面边长为n （n ∈Z ），内有一个体积为V 的球，若V 的最大值为92π，则此三棱柱外接球表面积的最小值为________．三、解答题：本大题共7小题，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }满足1212b b ==，338b =，a n ＋1b n ＋1＝2n b n ＋1．（1）求{a n }的通项公式；（2）求{b n }的前n 项和．18．党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长．“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面．全面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求．《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（BMI ），其计算公式为：22(kg)BMI (m )=体重身高，当BMI ＞23.5时，认为“超重”，应加强锻炼以改善BMI ．某高中高一、高二年级学生共2000人，人数分布如表（a ）．为了解这2000名学生的BMI表（a ）（1）为了使抽取的160个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数：（2）分析这160个学生的BMI 值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b ）．表（b ）（ⅰ）试估计这2000名学生中“超重”的学生数；（ⅱ）对于该校的2000名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强．应用卡方检验，可依次得到K 2的观测值k 1，k 2，试判断k 1与k 2的大小关系．（只需写出结论）19．如图，三棱锥P-ABC 中，PA ＝PB ＝PC ，∠APB ＝∠ACB ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心．（1）证明：PE ⊥平面ABC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60°，且GF ＝2，求三棱锥P-ABC 的体积．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点A （-2，2），B （0，2），动点P 满足||2||PA PB ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）轨迹C 上有两点E ，F ，它们关于直线l ：kx ＋y-4＝0对称，且满足4OE OF ⋅=，求△OEF 的面积．21．已知函数f （x ）＝1-2asinx-e -x ，f′（x ）是f （x ）的导函数，且f′（0）＝0．（1）求a 的值，并证明f （x ）在x ＝0处取得极值；（2）证明：f （x ）在区间[2kπ，22k ππ+]（k ∈N ）有唯一零点．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l 1，l 2，其中l 1与C 交于A ，B 两点，l 2与C 交于M ，N 两点，l 1与l 2交于点P （x 0，y 0），求证：|PA|·|PB|＝|PM|·|PN|． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x-a|＋|x-1|．（1）若f （a ）＜2，求a 的取值范围；（2）当x ∈[a ，a ＋k]时，函数f （x ）的值域为[1，3]，求k 的值．2019-2020年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（文科）参考答案与评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B C B A A D D B C二、填空题：本大共4小题．13．y ＝2x ＋1 14．0 1516．57π三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）由a n ＋1＋b n ＋1＝2n b n ＋1，取n ＝1，得a 2b 2＝2b 1＋1，解得a 2＝4．取n ＝2，得a 3b 3＝4b 2＋1，解得a 3＝8．∵{a n }是等比数列，则322a q a ==，212aa q ==．∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n-1＝2n ．（2）∵2n ＋1b n ＋1＝2n b n ＋1，∴数列{2n b n }是公差为1的等差数列． 2n b n ＝2b 1＋（n-1）×1＝n ，则2n nnb =．设{b n }的前n 项和为S n ，则231232222n n n S =++++，234112322222n n S n+=++++．则2311111[1()]1111222112222222212n n n n n n S n n n +++-+=++++-=-=--． ∴222n nn S +=-． 18．【解析】（1）考虑到BMI 应与年级或性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生．高一男生：550160442000⨯=人；高一女生：650160522000⨯=人；高二男生：425160342000⨯=人；高二女生：375160301200⨯=人． [可能的方案一：按性别分为两层，男生与女生．男生：975160782000⨯=人；女生：1025160822000⨯=人．可能的方案二：按年级分为两层，高一学生与高二学生．高一：1200160962000⨯=人；高二：800160642000⨯=人．说明：这样的方案给3分．] （2）（ⅰ）160人中，“超重”人数为4＋6＋2＋4＝16人，“超重”发生的频率为0.1，用样本的频率估计总体概率，估计在这2000人中，“超重”人数为2000×0.1＝200人．（ⅱ）k 1＞k 2． 19．【解析】（1）∵PA ＝PB ，E 是AB 的中点，∴PE ⊥AB ． ∵∠ACB ＝90°，E 是AB 的中点，∴EC ＝EA ，又PC ＝PA ，PE ＝PE ，∴△PEC ≌△PEA ． ∴∠PEC ＝∠PEA ＝90°，即PE ⊥EC ．又AB∩EC ＝E ，∴PE ⊥平面ABC ．（2）连接CG 并延长交BE 于点O ，则点O 为BE的中点，连接OF ，则OF ∥PE ．由（1）得OF ⊥平面ABC ，∴∠FGO 为GF 与平面ABC 所成的角，即∠FGO ＝60°．又在Rt △FGO 中，GF ＝2，∴OG ＝1，OF ．∵G 是△BCE 的重心，O ，F 分别是BE ，BP 的中点，∴OC ＝3，PE =∵PA ＝PB ，∠APB ＝∠ACB ＝90°，E ，O 分别是AB ，BE 中点，∴43AB =，23CE =，3OE =．则在△CEO 中，222222(3)312(23)OE OC CE +=+===，∴OC ⊥AB ．所以三棱锥P-ABC 的体积111143323123326ABCV SPE AB OC PE =⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=．20．【解析】（1）设动点P 的坐标为（x ，y ），则22(2)(2)||2||x y PA PB ++-== 整理得（x-2）2＋（y-2）2＝8，故动点P 的轨迹是圆，且方程为（x-2）2＋（y-2）2＝8．（2）由（1）知动点P 的轨迹是圆心为C （2，2），半径22R =E ，F 关于直线l 对称，有垂径定理可得圆心（2，2）在直线l ：kx ＋y-4＝0上，代入并求得k ＝1，故直线l 的方程为x ＋y-4＝0．易知OC 垂直于直线l ，且|OC|＝R ．设EF 的中点为M ，则22()()()()4OE OF OM ME OM MF OM ME OM ME OM ME ⋅=+⋅+=+⋅-=-=，又22222OM OC CM R CM =+=+，222ME R CM =-．∴224CM =，||2CM =，∴22||6ME R CM =-=||2||26FE ME == 易知OC ∥FE ，故O 到FE 的距离等于CM ，∴1262232OEFS=⨯= [另解：易知直线EF 的斜率为l ，可设其方程为y ＝x ＋b ，联立22(2)(2)8y x bx y =+⎧⎨-+-=⎩，整理得2x 2＋2（b-4）x ＋b 2-4b ＝0，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），由韦达定理得x 1＋x 2＝4-b ，21242b bx x -=， ∴22221212121241()()()(4)222b b y y x b x b x x b x x b b b b b b -=++=+++=+-+=+，∴221212412422b b OE OF x x y y b b -⋅=+=++=，∴b 2＝4，b ＝±2．所以直线EF 的方程为y＝x ＋2或y ＝x-2，原点O 到直线EF 的距离都是h ==2，2）到直线EF 的距离都为，故||EF =（或12|||EF x x =-=），∴12OEFS=⨯=] 21．【解析】（1）f′（x ）＝-2acosx ＋e -x ，令f′（0）＝0，得-2a ＋1＝0，∴12a =． ∴f （x ）＝1-sinx-e -x ，f′（x ）＝-cosx ＋e -x ＝e -x （1-e x cosx ）．当x ＜0时，e -x ＞1≥cosx ，f′（x ）＝-cosx ＋e -x ＞0，故f （x ）是区间（-∞，0）上的增函数．当x ＞0时，令g （x ）＝1-e x cosx ，则g′（x ）＝e x （sinx-cosx ），在区间(0,)4π上，g′（x ）＜0，故g （x ）是(0,)4π上的减函数，∴g （x ）＜g （0）＝0，即在区间(0,)4π上，f′（x ）＝e -x g（x ）＜0，因此f （x ）是区间(0,)4π上的减函数．综上所述，f （x ）在x ＝0处取得极大值f（0）＝0．（2）由（1）f （x ）＝1-sinx-e -x ，∵f （2kπ）＝1-e -2kπ≥0（当且仅当k ＝0时，f （0）＝0．）(2)2(2)e2k f k π-π+ππ+=-，∴f （x ）在区间[2,2]2k k πππ+至少有一个零点．以下讨论f （x ）在区间[2,2]2k k πππ+上函数值的变化情况：由（1）f′（x ）＝-cosx ＋e -x ＝e -x （1-e x cosx ），令g （x ）＝1-e x cosx ，则g′（x ）＝e x （sinx-cosx ），令g′（x ）＝0，在（0，＋∞）上，解得4x m π=π+，m ∈N ． ①当k ＝0时，在区间(0,)4π，g′（x ）＜0，g （x ）递减，()(0)04g g π<=；在(,)42ππ，g′（x ）＞0，g （x ）递增，()102g π=>．故存在唯一实数0(,)42x ππ∈，使g （x 0）＝0，即000'()e ()0x f x g x -==．在（0，x 0）上，f′（x ）＜0，f （x ）递减，f （x ）＜f （0）＝0；在0(,)2x π上，f′（x ）＞0，f （x ）递增，而2()e 02f π-π=-<，故在[0,]2π上，f （x ）≤0，当且仅当x ＝0时，f （0）＝0．故f （x ）在[0,]2π上有唯一零点．②对任意正整数k ，在区间(2,2)4k k πππ+，g′（x ）＜0，g （x ）递减，2(2)(2)1e 04k g k g k πππ+<π=-<，在区间(2,2)42k k πππ+π+，g′（x ）＞0，g （x ）递增，(2)102g k ππ+=>，故存在唯一实数(2,2)42k x k k ππ∈π+π+，使g （x k ）＝0，即'()e ()0k x k k f x g x -==，在（2kπ，x k ）上，因g （x ）＜0，故f′（x ）＜0，f （x ）递减，在(,2)2k x k ππ+上，因g （x ）＞0，故f′（x ）＞0，f （x ）递增，f （2kπ）＞1-e -2kπ＞0，(2)2()(2)e 02k k f x f k π-π+π<π+=-<，∴f （2kπ）·f （x k ）＜0， ∴f （x ）在区间（2kπ，x k ）即[2,2]2k k πππ+有唯一零点．综上，f （x ）在区间[2,2]2k k πππ+（k ∈N ）有唯一零点．22．【解析】（1）由y ＝4m ，得4y m =，代入x ＝4m 2，得24y x =，即y 2＝4x ．∴C 的普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点为F （1，0）的抛物线．（2）设直线l 1的倾斜角为α，直线l 2的倾斜角为π-α，则直线l 1的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．与y 2＝4x 联立得222000sin (2sin 4cos )40t y t y x ααα+-+-=．设方程的两个解为t 1，t 2，则2001224sin y x t t α-=．∴2001224||||||||||sin y x PA PB t t α-⋅=⋅=．则2200002244||||||||sin ()sin y x y x PM PN αα--⋅==π-． ∴|PA|·|PB|＝|PM|·|PN|．23．【解析】（1）f （a ）＝|a-1|＜2，得-2＜a-1＜2．即-1＜a ＜3，∴a 的取值范围是（-1，3）．（2）当a≥1时，函数f （x ）在区间[a ，a ＋k]上单调递增．则[f （x ）]min ＝f （a ）＝a-1＝1，得a ＝2．[f （x ）]max ＝f （a ＋k ）＝a ＋2k-1＝3，得k ＝1．当a ＜1时，21,1()1,121,x a x f x a a x x a x a --⎧⎪=-<<⎨⎪-++⎩≥≤．则[f （x ）]min ＝f （a ）＝1-a ＝1，得a ＝0．[f （x ）]max ＝f （a ＋k ）＝a ＋2k-1＝3，得k ＝2．综上所述，k 的值为1或2．。

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}2．（5分）设复数z 1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4log x2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4log x2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤46．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．1808．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx）D．x2f（cosx）10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是（）A．B．1 C．D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．212．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}【解答】解：B={x|x﹣x2=0}={0，1}，则A∩B={0，1}，故选：D2．（5分）设复数z 1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵z1=2+i，z2=1+ai，∴，若，则1﹣2a=0，即a=．故选：C．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，基本事件有10个，分别为：（红1，红2），（红1，红3），（红1，篮1），（红1，篮2），（红2，红3），（红2，篮1），（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），（篮1，篮2），这两个球颜色不同且标号之和不小于4包含的基本事件有3个，分别为：（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），故这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为p=．故选：A．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4log x2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4log x2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤4【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即：¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤4，故选：D．6．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．【解答】解：tanθ=2，则======．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx）D．x2f（cosx）【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=x2+2x，则有﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，则函数f（x）为偶函数，分析选项：对于A，设g（x）=f（sinx），有g（﹣x）=f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于B，设g（x）=f（cosx），有g（﹣x）=f[cos（﹣x）]=f（cosx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于C，设g（x）=xf（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）f[sin（﹣x）]=﹣xf（﹣sinx）=﹣xf（sinx）=﹣g（x），为奇函数，符合题意；对于D，设g（x）=x2f（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）2f[sin（﹣x）]=x2f（﹣sinx）=x2f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；故选：C．10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是（）A．B．1 C．D．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AO PM，∴A 1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选：D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：如图，∵以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N，∴，∵直线l：x﹣y+c=0的倾斜角为300，，∠NAF1=600，∴由，得（y2﹣2．y N=整理得：c3﹣3c2a+4a3=0⇒e3﹣3e2+4=0，（e3+1）﹣3（e2﹣1）=0⇒（e+1）（e2﹣4e+4）=0．∴e=2，故选：C12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为±2．【解答】解：由y=xlnx，得y′=1+lnx，∴y′|x=1=1，由y=，得y′=﹣，设P（x0，y0），则y′=|=﹣，由题意可得：﹣=﹣1，∴x0=±2．则P点的横坐标为±2．故答案为：±2．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=．【解答】解：△ABC中，∵cosA=，可得：sinA==，∴由正弦定理可得：b===7，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：49=25+c2﹣5c，解得：c=8或﹣3（舍去），=acsinB==．∴S△ABC故答案为：．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是24π．【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理可得cosB==﹣，则sinB==，=2，则AC边上的高为h=1，平面四边形ABCD中，，四边形是筝形，AC⊥BD，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，△ACD翻折成△ACD'两个三角形所在平面垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：则A（0，0，0），B（0，1，1），C（0，4，0），D（1，1，0），设外接球的球心为（x，y，z），则|OA|=|OB|=|OC|=|OD|，可得：，解得x=﹣1；y=2，z=﹣1，外接球的半径为：r=|OA|==，外接球的表面积为：4πr2=24π；故答案为：24π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．+b n=n，则a2+b1=1，得a2=4，a3+b2=2，得a3=8，【解答】解：（1）因为a n+1因为数列{a n}是等比数列，所以，所以．（2）由（1）可得，所以=．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K 2的观测值为k 1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：【解答】解：（1）设40岁以上（含40岁）与40岁以下群体中选择甲公司的概率分别为P 1，P 2，由数据知P 1==≈0.49，P 2==≈0.42，因为P 1＞P 2，所以年龄40岁以上（含40岁）的群体选择甲公式的可能性要大；（2）因为k 1=0.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表：计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，根据临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：取CD的中点为O，连接OP，OB，则OD=BA=2，因为AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，所以四边形ABOD是正方形，OB⊥CD，因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，由OP∩OB=O，所以CD⊥平面POB，PB⊂平面POB，所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB，则在Rt△ABP中，∠PAB=60°，AB=2，所以，在Rt△DOP中，，所以OB2+OP2=4+8=12=PB2，即OP⊥OB，又CD∩OB=O所以PO⊥底面ABCD，即顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点．（2）解：由题设与（1）可得，因为DQ⊥PB，所以，解得，所以，又，设三棱锥Q﹣BCD的高为h，则，又，所以三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得，则，代入x=c，得y2=4ax，即，所以，则有，所以椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为y2=8x．（2）依题意，可知直线l的斜率不为0，可设l：x=my﹣2，联立，得y2﹣8my+16=0，设M（x1，y1），N（x1，y1），则M'（x1，﹣y1），△＞0，得m＜﹣1或m＞1，，所以直线M'N的斜率，可得直线M'N的方程为，即=，所以当m＜﹣1或m＞1时，直线M'N恒过定点（2，0）．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，即，①当x1=x2，即时，f'（x）≥0，f（x）是（0，+∞）上的增函数；②当x1＜x2，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；③当x2＜x1，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，当时，f（x）在单调递增，在单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递增，在在单调递减．（2）若a＜0，令f'（x）=0，即（2x﹣a）（1+lnx）=0，得，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当时，f（x）取得极小值，以下证明：在区间上，f（x）＜0，令，则，，，因为a＜0，t＞1，不等显然成立，故在区间上，f（x）＜0，又，即，故当a＜0时，函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A {x|x 12}，B {x|1216}，则A B ()A．(,8)2．（5分）复数zi51iB．(0,8)B．(,3)(i为虚数单位）的虚部为()D．(0,3)A．111B．C．i2221D．i23．（5分）双曲线9x216y21的焦点坐标为( )A．(512，0)B．(0,512)C．(5,0)D．(0,5)4．（5分）若sin(33)23，则cos2()A．12B．11C．33D．125．（5分）已知函数f(x)在(,)上单调递减，且当x [2，1]时，f(x)x22x 4，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A．(,1)B．(,3)C．(1,3)D．(1,)6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．3B．4C．6D．87．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 17，x 19，x 20，x 21，x 23，则输出的S值及其1 2 3 4 5统计意义分别是()xA．S 4，即5个数据的方差为4 B．S 4，即5个数据的标准差为4 C．S 20，即5个数据的方差为20 D．S 20，即5个数据的标准差为208．（5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别是a 围为()，b，cb b，已知cos C cos A 1，则c os B的取值范c a1 A．( ,)21B．[,)2C．(12，1)D．[12，1)9．（5分）已知A，B，C 三点不共线，且点O满足16OA 12O B 3OC 0，则() A．OA 12AB 3A C B．OA 12AB 3A C C．OA 12A B 3A C D．OA 12A B 3A C10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB ，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足AC BC510.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，AB AC2若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M 落在APQ内的概率为( )A．512B．52C．5152D．4211．（5分）已知F为抛物线C:x24y的焦点，直线y 12x 1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则SOAB()A．255B．455C．5D．2512．（5分）函数f(x)(k x 2)lnx，g(x)2lnx x，若f(x)g(x)在(1,)上的解集中恰有两个整数，则k取值范围为( )的141A．[1，)2ln23ln3411C．[，2)3ln32ln2141B．(1，]2ln23ln3411D．( ，2]3ln32ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．lnx,x 113．（5分）已知函数f(x)，则f(f（2）)e x,x (1)．14．（5分）设x，y满足约束条件3x 2y 11 0x 2y 1…0，则z 2x y的最大值为．x (1)15．（5分）在三棱锥P ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP AB AC 3，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为．116．（5分）已知函数f(x)sin(x )(0)62，点P，Q，R是直线y m(m 0)与函数f(x)的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ ||Q R|32，则m ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a}的前n项和为S，S 1a(n N*)．n n n n（1）求数列{a}的通项公式；n1（2）设b log a，求数列{}的前nb bn n 1项和T．n18．（12分）在五面体A BCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD 2D E 2A D 2A B 4，AC 25，EAD30（1）证明：AB 平面ADE；（2）求该五面体的体积．．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x101112131415n2n（分钟）等候人数 y（人 )23 25 26 29 28 31调查小组先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 y ˆ，再求 y ˆ与实际等候人数 y 的差，若差值的绝对值不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这 6 组数据中随机选取 4 组数据后，求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 y ˆ bxa ˆ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过 35 人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据 ( x ， y ) 11， ( x ， y ) 22，， ( x ， y ) nn，其回归直线 y ˆbxa ˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为： bx y nxy i ii 1 x 2nx 2ii 1( xx )( y y ) i i ( xx )2 i， a ˆ y bx ， i 1x y1546 ． i ii 120．（12 分）已知点 (1, 2) ， ( （1）求椭圆 C 的方程；22 i 1y 2 x 2 , 3) 都在椭圆 C :1(a b 0) 上．a 2b 2（2）过点 M (0,1) 的直线 l与椭圆 C 交于不同两点 P ， Q （异于顶点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A ， 1A ，若直线 A P 与 A Q 交于点 S ，证明：点 S 恒在直线 y 4上． 2 1 221．（12 分）已知函数 f ( x )e x2ax (a R )（1）若曲线 y f ( x ) 在 x 0 处的切线与直线 x 2 y 2 0 垂直，求该切线方程；（2）当 a 0 时，证明 f ( x )…4a 24a(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)22．（10 分）在平面直角坐标系 x Oy 中，曲线x 2cosC 的参数方程为， (为参数）已知点Q (4,0) ，点 Py 2sin是曲线 C 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点， x l轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点 M 的轨迹 C 的极坐标方程；2（2）已知直线 l : y kx 与曲线 C 交于 A ， B 两点，若 OA 3 A B ，求 k 的值．2ˆ ˆ ˆnn nn ˆ 41[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)|x a|2|x 1|(a 0)．（1）求f(x)的最小值；（2）若不等式f(x)50的解集为(m,n)，且n m 43，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A {x|x 12}，B {x|1216}，则A B ()A．(,8)B．(,3)C．(0,8)D．(0,3)【解答】解：集合A {x| x 12}(,3)，B {x|12A B (0,3)．故选：D．x 16}(0,4)2．（5分）复数zi51i(i为虚数单位）的虚部为()111 A．B．C．i 222i5 i4 1 i i(1i)11【解答】解：z i1i1i1i(1i)(1i)22，1D．i2zi51i1的虚部为．2故选：B．3．（5分）双曲线9x216y21的焦点坐标为( )A．(512，0)B．(0,512)C．(5,0)D．(0,5)【解答】解：双曲线9x216y2x2 y21的标准方程为：111，916可得a 11 1 15，b ，c ，3 491612所以双曲线的焦点坐标为(0,512)．故选：B．4．（5分）若sin(33)23，则cos2()A．12B．11C．33D．12【解答】解：sin(33)cos23，则cos22cos121，3故选：B．x式f(x)1的解集为()A．(,1)B．(,3)【解答】解：x [2，1]时，f(x)x2C．(1,3)2x 4 ；D．(1,)f(1)1；f(x)在(,)上单调递减；由f(x)1得，f(x)f(1)；x 1；不等式f(x)1的解集为(1,)．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，3组合体的体积是：122故选：A．23，7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 17，x 19，x 20，x 21，x 23，则输出的S值及其1 2 3 4 5统计意义分别是()A．S 4，即5个数据的方差为4B．S 4，即5个数据的标准差为4C．S 20，即5个数据的方差为20D．S 20，即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图，输出的S是x 17，x 19，x 20，x 21，x 23这5个数据的方差，1 2 3 4 51x (1719 202123)20，51由方差的公式S [(1720)2 (1920)2 (2020)2 (2120)2 (2320)2]4．5故选：A．8．（5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别是a 围为()，b，cb b，已知cos C cos A 1，则c os B的取值范c a1 A．( ,)21B．[,)2C．(12，1)D．[12，1) b b【解答】解：cos C cos A 1，c ab a2b2c2b b2c2a2由余弦定理可得：1，化简可得：bc2ab a2bc2ac，由余弦定理可得；cos B a2c2b2a2c2ac2ac ac1…，2ac2ac2ac211…cos B 1，即：cos B [，1)．22故选：D．9．（5分）已知A，B，C 三点不共线，且点O满足16OA 12O B 3OC 0，则() A．OA 12AB 3A C B．OA 12AB 3A C C．OA 12A B 3A C D．OA 12A B 3A C 【解答】解：由题意，可知：对于A:OA 12AB 3A C 12(OB OA)3(OC OA)12O B 3OC 15OA，整理上式，可得：16O A 12O B 3OC 0，这与题干中条件相符合，故选：A．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB ，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足AC BC510.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，AB AC2若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M 落在APQ内的概率为( )A．512B．52C．514D．522【解答】解：设BC a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ 5151a，CP a，22所以PQ BQ CP BC (52)a，SAPQ :SABCPQ:BC (52)a:a 52，由几何概型中的面积型可得：在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为SSAPQABC5 2 ，故选：B．11．（5分）已知F为抛物线C:x24y的焦点，直线y 12x 1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则SOAB()A．255B．455C．5D．25【解答】解：抛物线C:x24y的焦点(0,1)，设A(x1，y)1，B(x2，y)2，F且倾斜角为60的直线y 12x 1，1y x 122x 4y，整理得：x22x 40，由韦达定理可知：x x 2，y y 31 2 1 2由抛物线的性质可知：|AB |p y y 235，1 2点O到直线y 12x 1的距离d，d25．则OAB的面积S，S 12|AB|d 5．故选：C ．12．（5分）函数f(x)(k x 2)lnx，g(x)2lnx x，若f(x)g(x)在(1,)上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为( )A．[1141，)2ln23ln3B．(1141，]2ln23ln3411C．[，2)3ln32ln2【解答】解：当x 1时，lnx 0，由f(x)g(x)得(k x 2)lnx 2lnx x，411 D．( ，2] 3ln32ln2即kx 22x x，即kx 4，lnx lnx设h(x)4xlnx，则h(x)lnx x(lnx)21x lnx 1，(lnx)2由h(x)0得(lnx 1)0得lnx 1，得1x e，此时h(x)为增函数，由h(x)0得(lnx 1)0得lnx 1，得x e，此时h(x)为减函数，即当x e时，h(x)取得极大值h（e）4作出函数h(x)的图象，如图，当x 1时，h(x)，elne4e，h（3）43ln3，h（4）442324，即A(3,4)，B(4,4)ln4ln2ln3ln2，当直线y kx过A，B点时对应的斜率k3244411，k 1，ln3ln2B要使 f ( x ) g ( x ) 在 (1,)上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为 x 2 ，和 x 3 ，即直线 y kx 的斜率 k满足 k k … k BB，即 11 41k … ，2ln 2 3 ln 3即实数 k的取值范围是 (11 4 1， ] 2ln 2 3 ln 3，故选： B ．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．lnx , x 113．（5 分）已知函数 f ( x )，则 f ( f （2） ) e x , x (1)2 ．【解答】解： f （2） ln 2 ， f ( f （2） ) f (ln 2) e 故答案为：2．ln 22 ．14．（5 分）设 x3x 2 y 11 0， y 满足约束条件 x 2 y 1… 0 ，则 z 2 x y 的最大值为 7 ．x (1)【解答】解：画出 x3x 2 y 11 0， y 满足约束条件 x 2 y 1… 0 表示的平面区域，x (1)如图所示，由3x 2 y 11 0 x 2 y 1 0，解得点 A (3,1) ，结合图形知，直线 2 x y z 0 过点 A 时， z 2 x y 取得最大值为 2 3 1 7 ．故答案为：7．15．（5 分）在三棱锥 P ABC 中， AP ， AB ， AC 两两垂直，且 AP AB AC 3 ，则三棱锥 P ABC 的内切球的表面积为(4 2 3)．【解答】解：如图，由 AP ， AB ， AC 两两垂直，且 AP AB AC 3 ，得 PB PC BC 6 ，SPBC1 323 36 ， 2 2 2设三棱锥 P ABC 的内切球的半径为 r ，1 1 1 1 3 3利用等体积可得： 3 3 3 (3 3 3 )r ，3 2 3 2 23 1解得 r ．2三棱锥 P ABC 的内切球的表面积为 S 4( 3 1 ) 22(4 2 3)．故答案为： (4 2 3)．116．（5 分）已知函数 f ( x ) sin(x ) (0) 6 2，点 P ， Q ， R 是直线 y m (m 0) 与函数 f ( x ) 的图象自左至右的某三个相邻交点，且 2 | PQ ||Q R|3 17 ，则 m 2 9． 13 3【解答】解：函数 f ( x ) sin(x ) (0) ，由 2 | PQ ||Q R | ，解得 | PQ | ，6 2 2 4T |P Q | | QR |94， 2 2 8 ， T 9 9设 P ( x 0T ，m ) ，则 Q (x2， m ) ， R (T x 0 ， m ) ，| PQ |T T2 x ， | QR |2 x ， 2 2 T T 2( 2 x ) 2 x 2 2，解得 xT 3，12 168 3 1 1 1m sin( )1 ，9 16 2 2 2m8 171 ． 9 9故答案为： 179．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每道试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共 60 分．17．（12 分）设数列 {a }的前 n n（1）求数列 {a }的通项公式；n项和为 S ， S 1 a (n N *) nnn．1（2）设 blog a ，求数列 { }的前 n b bn n 1项和 T ．n 【解答】解：（1）数列 {a }的前 n n当 n 1 时，项和为 S ， S1 a (n N *) nnn①．1解得： a12 当 n …2 时， S，n 11 an 1．②①②得： 2aa nn 1，a1所以： n（常数）， a2n 1故：数列 {a }是以 n 1 1为首项，为公比的等比数列． 2 2 则： an1 1 1 ( )n 1 ( )2 2 2 n （首项符合通项），1所以： a( ) 2n．1 （2）由于： a ( ) 2n ，则： blog an ．n2n所以： bn 1 (n 1) ，则：11 1 1 ， 0 0 00 0 n2 nn n故：T 1n11111n223n n 1n 1．18．（12分）在五面体A BCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD 2D E 2A D 2A B 4，AC 25，EAD30（1）证明：AB 平面ADE；（2）求该五面体的体积．．【解答】解：（1）证明：因为AD 2，DC 4，AC 25，所以AD 2 DC 2 AC2 ，所以AD CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD D E，所以CD 面ADE，所以EF 面ADE，由线面平行的性质定理得：AB//E F，所以AB 面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE 2，AD 2，AB 2，EAD 30．可得E 到底面ABCD的距离为：2sin603，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F BCH的体积，11123103可得22sin120422 3 43．2323319．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x （分钟）等候人数y （人)101112131415 232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数yˆ，再求yˆ与实际等候人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程yˆbx aˆ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据(x，y)1 1，(x，y)2 2，，(x，y)n n，其回归直线yˆbx aˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：bx yi ii 1x2inxynx2i 1(xix)(y y)i(x x)2i，aˆy bx，x y 1546 ．i ii 1i 1i 1【解答】解：（1）设“从这6 组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以P(A)152．153（2）后面4组数据是：间隔时间(x分钟）等候人数(y人）1226132914281531因为x 121314152629283113.5,y4428.5，i 1x yi i1546,x2ii 1734，x y nxyi i所以b i 1x2nx2 ii 12757154642227734421.4，aˆy bx 28.5 1.413.59.6，ˆˆˆnn nn4ˆ44nˆn2ˆ所以 y ˆ 1.4 x 9.6 ．当 x 10 时， y ˆ 当 x 11 时， y ˆ1.4 10 9.6 23.6,23.6 23 0.6 1 ， 1.4 11 9.6 25,25 25 0 1 ，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由 1.4x 9.6... 35 ，得 x (18)17，故间隔时间最多可设置为 18 分钟．20．（12 分）已知点 (1, 2) ， ( （1）求椭圆 C 的方程；22y 2 x 2 , 3) 都在椭圆 C :1(a b 0) 上．a 2b 2（2）过点 M (0,1) 的直线 l与椭圆 C 交于不同两点 P ， Q （异于顶点），记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A ， 1A ，若直线 A P 与 A Q 交于点 S ，证明：点 S 恒在直线 y 4上． 2 1 2 211【解答】解：（1）由题意可得，解得 a 31 1 a2 2b 22 4 ， b 2 2 ，故椭圆 C 的方程为y 2x 2 1 ．4 2证明：（2）易知直线l ， y ) 2的斜率存在且不为 0，设过点 M (0,1) 的直线 l 方程为 y kx 1 ，(k 0) ，P ( x ，y ) 11，Q ( x ， 2由 y kx 1y 2x 2 1 42，消 y 可得 (k 22) x 2 2kx 3 0 ，xx122k 3， x x，k 22k 22A (0,2) 1， A (0, 2) 2，y 2 kx 1 2 1直线 A P 的方程为 y 1 x 2 1 x 2 (k ) x 2 ，x x x 1 1 1 y 2 3则直线 A Q 的方程为 y 2 x 2 (k ) 2 ，x x22由y (ky(k1 x 1 3 x 2) x 2 ) x 2 ，消 x1 ky 2 x可得 1 y 2 3 x2，整理可得4kx x 6 x 2 x 4kx x 6( x x ) 4(3 x x ) 4k x x 6( x x )y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23xx3xx3xx12121244kk 3 2k622k 22 3xx124 4，直线 A P 与 A Q 交于点 S ，则点 S 恒在直线 y 4 上12a 2b 21 212 k21．（12 分）已知函数 f ( x ) e x2ax (a R )（1）若曲线 y f ( x ) 在 x 0 处的切线与直线 x 2 y 2 0 垂直，求该切线方程；（2）当 a 0 时，证明 f ( x )…4a 24a【解答】（1）解： f (x)e x2a ，1 f (0) 1 2a2 ，解得： a， 2f (x ) e x ，则 f (0) 1．切线方程为 y12x 1 ；（2）证明： f (x)e x2a ，由 f (x)e x2a 0 ，解得 x ln 2a ．当 x (,l n 2a ) 时， f (x) 0 ，当 x (ln 2a , )时， f (x) 0 ．f ( x ) 在 (,l n 2a ) 上单调递减，在 (ln 2a , )上单调递增．f ( x )minf (ln 2a )e ln 2a2a ln 2a 2a 2a ln 2a ．令 g （a ） 2a 2aln 2a4a 24a2a 22a 2aln 2a (a 0) ．要证 g （a ） …0 ，即证 a 1ln 2a …0 ，令 h （a ） a 1 ln 2a ，则 h（a ） 11 a 1，a a 当 a (0,1) 时， h （a ） 0 ，当 a (1,)时， h（a ） 0 ，h （a ） …h （1） 0 ，即 a 1ln 2a …0 ．f ( x )…4a 24a ．(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)x22．（10分）在平面直角坐标系x 2cosx Oy中，曲线C的参数方程为，(为参数）已知点Q(4,0)，点Px 2sin是曲线C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，xl（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；2轴正半轴为极轴建立极坐标系．（2）已知直线l:y kx与曲线C交于A，B两点，若OA 3A B，求k2【解答】解：（1）消去得曲线C的普通方程为：x y 4，1的值．设M(x,y)则P(2x 4,2 y)在曲线C上，所以(2x 4)12(2y)24，即(x 2)2y21，即x2y24x 30，C轨迹的极坐标方程为：224cos 30．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形11CMA中，CM 2 CA2(AB)21AB242，①在直角三角形CMO中，CM2OC2OM27494(AB)24AB242，②1715由①②得AB ，O M ，CM ，24415CM 15kOM774．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)|x a|2|x 1|(a 0)．（1）求f(x)的最小值；4（2）若不等式f(x)50的解集为(m,n)，且n m ，求a3的值．12 2 43x a 2,x…a【解答】解：（1）f(x)x a2,a x 1，x 1时，f(x)的最小值为a 1．3x a 2,x (1)（2）如图所示：当a 152a 2即合，3a a4a4a 4时，f(x)50的解集为(a 3,1)，1a 34，a 2符23333当2a 2...5即0a (3)2时，f(x)的解集为a a a a4(1，1)，112．33333综上可得a 2．。

2019年广东省高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．（5分）复数z＝（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A＝1，则cos B 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线y＝x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB＝（）A．B．C．D．212．（5分）函数f（x）＝（kx﹣2）lnx，g（x）＝2lnx﹣x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A．[1﹣，﹣）B．（1﹣，﹣]C．[﹣，2﹣）D．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程＝x +，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），……，（x n ，y n ），其回归直线＝x +的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥﹣4a2+4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A∩B＝（0，3）．故选：D．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z＝的虚部为．故选：B．3．【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：，可得a＝，b＝，c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．4．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．5．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．6．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．7．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．【解答】解：∵cos C+cos A＝1，∴由余弦定理可得：•+•＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cos B＝＝≥＝，∴≤cos B＜1，即：cos B∈[，1）．故选：D．9．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．10．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．11．【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2﹣2x﹣4＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝2，y1+y2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y1+y2＝2+3＝5，点O到直线y＝x+1的距离d，d＝．∴则△OAB的面积S，S＝•|AB|•d＝．故选：C．12．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．14．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．16．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．18．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．19．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．20．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2，则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2，由，消x可得＝，整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y＝4上21．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4，设M（x，y）则P（2x﹣4，2y）在曲线C1上，所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形CMA中，CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2，①在直角三角形CMO中，CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2，②由①②得AB＝，∴OM＝，CM＝，k＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．。

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．（5分）复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．7B．8C．15D．164．（5分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（）A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞xC．∃x0∈N*，f（x0）＞x0D．∃x0∉N*，f（x0）＞x05．（5分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，sin C＝，则＝（）A．B．C．2D．37．（5分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e8．（5分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．（5分）执行如图所示程序框图，若输出的S值为﹣20，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜4？C．i＞4？D．i＜5？10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x ＝和x＝，若f（0）＝，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x﹣y+1＝0，F是C的焦点，P是l上一点过P 作抛物线C的一条切线与y轴交于Q，则△PQF外接圆面积的最小值为（）A．B．C．D．2π12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分13．（5分）已知双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为．14．（5分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0的x的取值范围为．15．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝，E为AD的中点现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为．16．（5分）等腰直角△ABC内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，＝1，则||的取值范围是．三、解答题本大题共5小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，其中p为常数．（Ⅰ）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：（Ⅱ）若p＝1，求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Z i＝统一化成标准分再进行比较，其中X i为学科原始分，为学科平均分，s为学科标准差）．19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，E、F分别是CD边上的三等分点将△ADF，△BCE分别沿AF、BE折起到△AD′F、△BC′E的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；（Ⅱ）求点A平面EFD′C′的距离．20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：＝1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA与TB的斜率互为相反数？21．（12分）已知a是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）+f（2）＞5，求a的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：解二次不等式x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，所以集合A＝（0，2），又B＝（﹣1，1），所以A∩B＝（0，1），故选：D．2．【解答】解：由（z+i）（2+i）＝5，得＝2﹣2i．∴．故选：A．3．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y知，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2）．结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．故选：B．4．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是：∃x0∈N*，f（x0）＞x0故选：C．5．【解答】解：∵不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，基本事件总数n＝＝6，则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，∴这两只球颜色不同的概率为p＝1﹣＝．故选：A．6．【解答】解：由题意可设AB＝AD＝x，BD＝，△ABD中由余弦定理可得，cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sin A＝，∵sin C＝，△ABC中，由正弦定理可得，，，∴BC＝则＝＝2，故选：C．7．【解答】解：y＝e x的导数为y′＝e x，曲线y＝e x在x＝0处的切线斜率为k＝1，则曲线y＝e x在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x，y＝lnx+b的导数为y′＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝2，即有2＝ln1+b，解得b＝2．故选：C．8．【解答】解：∵a＝log2＝log23﹣1，b＝log3＝log34﹣1，2＝log24＞log23＞log34＞log33＝1，c＝log＞＝1，∴a，b，c的大小关系是c＞a＞b．故选：B．9．【解答】解：模拟执行程序，可得：i＝1，S＝10，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10﹣21＝8，i＝2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8﹣22＝4，i＝3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4﹣23＝﹣4，i＝4，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝﹣4﹣24＝﹣20，i＝5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣20，则条件框内应填写：i＜5，故选：D．10．【解答】解：f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x＝和x＝，∴T＝2（﹣）＝π，∵ω＞0，∴ω＝＝3，即f（x）＝A sin（3x+φ），∵对称轴为x＝和x＝，∴φ+，∴φ＝kπ，∵0＜φ＜π，∴φ＝，f（x）＝A sin（3x+），∵f（0）＝A sin＝，∴A＝则f（）＝A sin（φ）＝＝，故选：C．11．【解答】解：如下图所示，设过点A所作的切线与抛物线C相切于点M（x0，y0），则，易知，直线PM的方程为y0y＝2x+2x0，即，该直线的斜率为，直线PM交y轴于点，所以，直线FQ的斜率为，∵k PM•k FQ＝﹣1，所以，FQ⊥PQ，将直线l的方程与PM的方程联立得，解得，所以，点P的坐标为，由两点间的距离公式可得＝，所以，当y0＝0时，|PF|取得最小值，则△PFQ的外接圆的半径的最小值为，因此，△PFQ的外接圆的面积的最小值为．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得x＜a﹣1时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得当x＜0时，f（x）＜0，故正确．故选：D．二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分13．【解答】解：双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，可得：，解a ＝1，所以双曲线方程为：＝1，所以该双曲线的渐近线为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．【解答】解：根据题意，f（x）＝x|x|＝，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．15．【解答】解：∵AB＝1，AD＝，E为AD中点，可得∠EPB＝∠EPC＝90°，∠CPB＝90°，∴P﹣BCE为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，∴2R＝＝，∴R＝，∴外接球表面积为4π×＝，故答案为：．16．【解答】解：建立以点A为直角坐标系的原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，2），设P（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（2﹣x，﹣y），由＝1，得：（x﹣1）2+y2＝2，图象为以F（1，0）为圆心，为半径的圆，由图可知D（0，1）由圆的知识可知：||取最小时为|CE|＝|CF|﹣＝，最大为|CD|＝1，故||的取值范围是：[，1]，故答案为：[，1]，三、解答题本大题共5小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】解：（Ⅰ）a1＝1，a n+a n+1＝pn+1，可得a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，解得a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，若a1，a2，a4成等比数列，可得a22＝a1a4，即p2＝2p，解得p＝2（0舍去）；（Ⅱ）若p＝1，可得a n+a n+1＝n+1，当n为偶数时前n项和S n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）＝2+4+…+n＝•（2+n）＝；当n为奇数时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）＝1+3+5+…+n＝（1+n）•＝．综上可得S n＝．18．【解答】解：（Ⅰ）γ0＜γ，说明理由可以是：①离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，②44个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，③42个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，④42个数据点更加贴近回归直线l，⑤44个数据点与回归直线l0更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线l0斜率须大于0且小于l的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；（Ⅱ）令x＝125，代入y＝0.5006x+18.68≈81，故估计B同学的物理分数大约是81分；（Ⅲ）由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为Z16＝＝≈0.63，物理标准分为Z16＝＝≈0.72，0.72＞0.63，故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．19．【解答】证明：（Ⅰ）分别过D′，C′作AF，BE的垂线，垂足为M，N，连结MN，∵平面AD′F⊥平面ABEF，且平面AD′F∩平面ABEF＝AF，∴D′M⊥平面ABEF，同理可证C′N⊥平面ABEF，∴D′M∥C′N，∵△AD′F≌△BC′E，∴D′M＝C′N，∴四边形D′MNC′为平行四边形，∴D′C′∥MN，∵D′C′⊄平面ABEF，MN⊂平面ABEF，∴D′C′∥平面ABEF．解：（Ⅱ）连结DD′，在Rt△D′AF中，D′F＝AD′＝1，∴D′M＝，∵＝，∴V D′﹣ADF＝＝＝，设点A到平面EFD′C′的距离为h，∵＝1，D′F＝DF＝1，∴S△DFD′＝，∴V A﹣DFD′＝＝，∵V A﹣DFD′＝V D′﹣ADF，∴，解得h＝，∴点A平面EFD′C′的距离为．20．【解答】解：（Ⅰ）当x1＝0时，A（0，1）或A（0，﹣1），由对称性，不妨令A（0，1），此时直线l：x+4y﹣4＝0，联立，消x整理可得5y2﹣8y+3＝0，解得y1＝1，或y2＝，故B（，），所以△OAB的面积为×1×＝，（Ⅱ）显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝my+4，联立，消去x整理得（m2+4）y2+8my+12＝0，所以△＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，即m2＞12，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，设T（t，0），则k TA+k TB＝+＝＝，因为直线TA与TB的斜率互为相反数，所以k TA+k TB＝0，即2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）＝+＝＝0，解得t＝1，故x轴上存在定点T（1，0），使得直线TA与TB的斜率互为相反数．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（1﹣）lnx＝，①若a≤0，则由f′（x）＝0，解得：x＝1，且f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②若a＞0，则由f′（x）＝0解得：x＝1或x＝2a，（i）若2a＜1即0＜a＜时，由f′（x）＜0，解得：2a＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜2a或x＞1，故f（x）在（2a，1）递减，在（1，+∞）递增；（ii）若2a＝1即a＝时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；（iii）若2a＞1即a＞时，由f′（x）＜0，解得：1＜x＜2a，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2a，故f（x）在（0，1）递增，在（1，2a）递减，在（2a，+∞）递增；（Ⅱ）f（e a）＝a（e a﹣a2）﹣e a，由f（e a）＞﹣1得a（e a﹣a2）﹣e a＞﹣1，故（a﹣1）e a＞a3﹣1（*），而0＜a＜1，故（*）等价于e a＜a2+a+1⇔＞1，令g（a）＝（0＜a＜1），则g′（a）＝＞0，故g（a）在（0，1）递增，故g（a）＞g（0）＝1，故f（e a）＞﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），由于：a＝2，故：（θ为参数），所以转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）设点P（a cosθ，sinθ），则：点P到直线的距离d＝＝，当时，即a时，，当时，即：时，，由于：，．当a时，，解得：故：a的取值范围是：[．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，当a≥2时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a＞，当1≤a＜2时，a﹣1+2﹣a＞2，不等式无解，当a≤1时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a＜，综上，a的范围是（﹣∞，）∪（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）＜b，∴|x﹣a|+x＜b，当x≥a时，x﹣a+x＜b，解得：x＜，当x＜a时，a﹣x+x＜b，得a＜b，由不等式的解集是（﹣∞，），则，又a，b∈N*，故a＝1，b＝2．。

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