2014年高考一轮复习数学教案：4.10 三角函数的应用
高三数学一轮复习教学案：三角函数
三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
三角函数(一轮复习教案)
第三章三角函数 (1)第一节角的概念与任意角的三角函数 (2)第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (9)第三节三角函数的图象与性质 (16)第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 (24)第五节和角公式 (37)第六节倍角公式与半角公式 (45)第七节正弦定理和余弦定理 (53)第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 (61)第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节 角的概念与任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 考点梳理：1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝lr. (3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180απ)°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线． (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 思考：1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？ 【提示】 充分不必要条件．2．终边在直线y ＝x 上的角的正弦值相等吗？【提示】 当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等． 学情自测：1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( )A ．2 B.π3 C.π6 D.2π3【解析】 点A 的坐标为(3，1)． ∴sin α＝132＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π6.【答案】C12．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )3xA ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【解析】 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【解析】 ∵l ＝3π，α＝135°＝3π4，∴r ＝l α＝4，S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.【答案】 4 6π5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255＜0，∴y ＜0且y 16＋y2＝－255， 解之得y ＝－8. 【答案】 －8 典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．【解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }，故所求角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }∪{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }＝{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角,变式训练1：若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角θ3的终边相同的角为________．【解析】 ∵θ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝π9＋23k π(k ∈Z )，当k ＝0,1,2时，θ3＝π9，7π9，13π9.【答案】 π9，7π9，13π9例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l . (2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S 弓＝S 扇－S △，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【解答】 (1)l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2 rad. (3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3)(cm 2)变式训练2：已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝103π，S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3.又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50(π3－32).例3（三角函数的定义）(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【思路】(1)求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解．(2)在直线上设一点P (4t ，－3t )，求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P 可在不同的象限内，所以需分类讨论．【解答】 (1)点P 到原点O 距离|OP |＝m 2＋9，∴cos α＝m m 2＋9＝－45，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16m ＜0，∴m ＝－4.【答案】 C(2)在直线3x ＋4y ＝0上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，∴r ＝|PO |＝x 2＋y 2＝4t 2＋－3t 2＝5|t |， 当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，当t ＞0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.当t ＜0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.变式训练3：设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求4sin α－3tanα的值．【解】 ∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5， 从而24x ＝xx 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.则r ＝22，∴sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.故4sin α－3tan α＝10＋15.小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． 三点注意1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．课后作业(十六) 角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3－1－21．(2013·宁波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)【解析】 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故点P 的坐标为(cos θ，sin θ)．【答案】 A2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1【解析】 由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.【答案】 C3．(2013·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C4．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，且sin α＞0，则cos α和tan α的值分别为( )A.55，－2 B ．－55，－12 C ．－255，－2 D ．－55，－2【解析】 由题意知，角α的终边在第二象限，在角α的终边上取点P (－1,2)，则r ＝5，从而cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2，故选D.【答案】 D5．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43【解析】 由题意知x ＜0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.【答案】 D6．已知点P (sin 3π4，cos 34π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 【解析】 由已知得P (22，－22)，∴tan θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝7π4. 【答案】 D二、填空题7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 【解析】 由题意知－a4＝tan 120°，∴－a4＝－3，∴a ＝4 3.【答案】 438．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.【解析】 因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上， 所以角α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 【答案】 29．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【解析】 由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin2π3＝32，x ＝cos 2π3＝－12，故Q (－12，32)． 【答案】 (－12，32)三、解答题10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；(2)求AB 所在弓形的面积．【解】 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB 的长l ＝2π3×6＝4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin2π3＝12×62×32＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.12．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．【解】 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15， cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．组数 一 二 三四五 角 α＋2k π(k∈Z ) －αα＋(2k ＋1)π(k ∈Z )α＋π2－α＋π2正弦 sin α －sin_α －sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α cos_α －cos_α －sin_α sin_α正切 tan α－tan_α tan_α口诀函数名不变符号看象限思考：1．有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你认为正确吗？【提示】不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？【提示】 sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α.学情自测：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513，∴cos α＝513，又α是第四象限角，∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3【解析】 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得 －sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，又|θ|＜π2，∴θ＝π3，故选D.【答案】 D3．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32【解析】 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.【答案】 A4．若cos α＝－35且α∈(π，3π2)，则tan α＝( )A.34B.43 C ．－34 D ．－43【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈(π，3π2)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－－352＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.【答案】 B5．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1【解析】 因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2，即sin 2α＝－1.【答案】A典例探究：例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013·潍坊模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2 (2)(2013·银川模拟)已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________.【思路】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解；(2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2α＝1求解．【解答】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－55.【答案】 (1)A (2)－55, 变式训练1：(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.2425【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×(－45)＝－2425.【答案】 A例2（诱导公式的应用） (1)已知tan α＝2，sin α＋cos α＜0，则sin 2π－α·sin π＋α·cos π＋αsin 3π－α·cos π＋α＝________.(2)已知α为第三象限角，f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π，①化简f (α)；②若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据tan α＝2，结合α的范围和同角三角函数关系式求解；(2)①直接利用诱导公式化简约分．②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f (α)．【解答】 (1)原式＝－sin α·－sin α·－cos α－sin α·cos α＝sin α，∵tan α＝2＞0，∴α为第一象限角或第三象限角．又sin α＋cos α＜0，∴α为第三象限角，由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－255.【答案】 －255(2)①f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π＝－cos α·sin α·－tan α－tan α·sin α＝－cos α.②∵cos(α－3π2)＝15，∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.变式训练2：(1)(2013·烟台模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)(2013·台州模拟)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，若f (2 012)＝5，则f (2 013)＝( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.(2)∵f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4 ＝a sin α＋b cos β＋4＝5， ∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝－1＋4＝3. 【答案】 (1)B (2)A例3（sin α±cos α与sin α·cos α的关系）(2013·扬州模拟)已知－π＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．【思路】(1)利用平方关系，设法沟通sin x －cos x 与sin x ＋cos x 的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x 的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．【解答】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π＜x ＜0，∴sin x ＜0，又sin x ＋cos x ＞0， ∴cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，7 5.故sin x－cos x＝－(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin x cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175.变式训练3：已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x 的值．【解】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，故sin x －cos x ＝－75.(2)由(1)得sin x －cos x ＝－75，故由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝－75，得sin x ＝－35，cos x ＝45，∴tan x ＝sin x cos x ＝－3545＝－34.小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．课后作业(十七) 同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．(2013·郑州模拟)记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )A.1－k2kB ．－1－k2kC.k1－k 2 D ．－k1－k2【解析】 由cos(－80°)＝k ，得cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2，∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－1－k2k.【答案】 B2．(2013·温州模拟)若cos(π2＋θ)＝32，且|θ|＜π2，则tan θ＝( )A ．－ 3 B.33 C ．－33D.3 【解析】 ∵cos(π2＋θ)＝32，∴－sin θ＝32，即sin θ＝－32， ∵|θ|＜π2，∴θ＝－π3，∴tan θ＝tan(－π3)＝－ 3.【答案】 A3．(2013·济南模拟)已知α∈(－π2，0)，sin(－α－3π2)＝55则sin(－π－α)＝( )A.55B.255 C ．－55 D ．－255【解析】 ∵sin(－α－3π2)＝－sin(3π2＋α)＝cos α＝55，且α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－525＝－255， ∴sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α＝－255.【答案】 D4．(2013·保定模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 【答案】 D5．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( ) A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－82027【解析】 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 【答案】 C6．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin －α－3π2sin 3π2－αtan 22π－αcos π2－αcos π2＋αsin π＋α＝( )A.35B.53C.45D.54【解析】 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.【答案】 B 二、填空题7．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．【解析】 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.【答案】328．(2013·青岛模拟)已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315. 【答案】 3159．已知sin(x ＋π6)＝14，则sin(7π6＋x )＋cos 2(5π6－x )＝________.【解析】 原式＝－sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x )＝－14＋(1－142)＝1116.【答案】 1116三、解答题10．已知函数f (x )＝1－sin x －3π2＋cos x ＋π2＋tan 34πcos x.(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)∵tan α＝－43，∴f (α)＝1－sin α－3π2＋cos α＋π2＋tan 34πcos α＝1－cos α－sin α－1cos α＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13.11．已知tan(α＋87π)＝a .求证：sin 157π＋α＋3cos α－137πsin 207π－α－cos α＋227π＝a ＋3a ＋1. 【证明】 由已知得左边＝sin[π＋α＋87π]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋87π]－cos[2π＋α＋87π]＝－sin α＋87π－3cos α＋87π－sin α＋87π－cos α＋87π＝tan α＋87π＋3tan α＋87π＋1＝a ＋3a ＋1＝右边，所以原等式成立．12．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.第三节三角函数的图象与性质学习目标：1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性.考点梳理：1．周期函数和最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan xπ1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】 不一定．如常数函数f (x )＝a ，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？ 【提示】 y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴方程中的x 都是它们取得最大值或最小值时相应的x .对称中心的横坐标都是它们的零点． 学情自测：1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A ．{x |x ≠32π＋3k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠π6＋k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z }【解析】 由3x ≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠π6＋k π3，k ∈Z ，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝2cos(x ＋5π2)是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos(x ＋52π)＝2cos(x ＋π2)＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．【答案】 A3．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4. 法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 【答案】 C 4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)． 【解析】 ∵－π2＜－π10＜－π18＜0， ∴sin(－π18)＞sin(－π10)． 【答案】 ＞5．函数y ＝2－3cos(x ＋π4)的最大值为________，此时x ＝________. 【解析】 当cos(x ＋π4)＝－1时，函数有最大值5， 此时，x ＋π4＝π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝34π＋2k π，k ∈Z . 【答案】 5 34π＋2k π，k ∈Z 典例探究：例1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012·山东高考)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0C ．－1D ．－1－3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________． 【思路】(1)先确定πx 6－π3的范围，再数形结合求最值； (2)由tan x －1≠0且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解． 【解答】 (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin(π6x －π3)∈[－32，1]． ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }． 【答案】 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }, 变式训练1：(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 【解析】 (1)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 故函数的定义域为[2k π＋π6，2k π＋56π](k ∈Z )． (2)∵x ∈[π6，76π] ∴－12≤sin x ≤1， 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2(sin x －14)2＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2. 【答案】 (1)[2k π＋π6，2k π＋5π6](k ∈Z ) (2)782 例2（三角函数的单调性）(2012·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递减区间．【思路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f (x )解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx ＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略对定义域的考虑．【解答】(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sin x－cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin(2x －π4)－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )． 变式训练2:(2013·武汉模拟)已知函数y ＝sin(π3－2x )，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解】由y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3)． (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . 取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为[－π，－7π12]和[－π12，0]. 例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点(π3，0)成中心对称图形； ④在区间[－π6，0)上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．【思路】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．【解答】若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，∴φ＝π3.此时f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π3时，sin(2x ＋π3)＝sin π＝0，∴f (x )的图象关于(π3，0)成中心对称；又f (x )在[－5π12，π12]上是增函数，∴在[－π6，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.【答案】①②⇒③④或①③⇒②④,变式训练3：已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数【解析】周期T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，因此函数f (x )是偶函数，故选B.【答案】 B小结：两条性质1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．课后作业(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x －π6)C ．y ＝2sin(x 2＋π3) D ．y ＝2sin(2x －π3) 【解析】根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2，代入检验知选B. 【答案】 B2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( ) A ．{x |x ≠π4} B ．{x |x ≠－π4} C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠n π＋3π4，k ∈Z ，故选D.【答案】 D3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54] 【解析】 f (x )＝(sin x ＋12)2－54， ∵sin x ∈[－1,1]，∴－54≤f (x )≤1， ∴f (x )的值域为[－54，1]． 【答案】 C4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值为( ) A.5π12 B.11π6 C.11π12D ．以上都不对 【解析】 函数y ＝sin 2x 的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，其图象关于x ＝π6对称，所以2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－k 2π－π12(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小值为5π12. 【答案】 A5．(2013·北京模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π3)＝f (0)， 又f (x )在[0，π6]上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6)，即c ＜a ＜b . 【答案】 B6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【解析】 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)． 令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .易知f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 【答案】 A 二、填空题7．(2013·延吉模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________.【解析】 由|α－β|的最小值为π3知函数f (x )的周期T ＝43π，∴ω＝2πT ＝32.【答案】 328．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．【解析】 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)．因为x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，56π]，所以sin(2x －π6)∈[－12，1]，所以f (x )∈[－32，3]．【答案】 [－32，3]9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．【答案】 ③④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，(1)求f (π4)的值；(2)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及相应的x 值．【解】 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(22)2＝1.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， 由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋12.11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8， (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解】 (1)∵直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x －34π)，令－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z . 因此y ＝f (x )的单调增区间为[π8＋k π，58π＋k π]，k ∈Z .12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b ＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝π12时，f (x )取得最大值3. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．【解】 (1)f (x )＝a ·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.∵当x ＝π12时，f (x )的最大值为3，∴A ＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋1.(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin[2(x ＋φ)＋π3]，∵g (x )为奇函数，∴2φ＋π3＝k π，φ＝k π2－π6(k ∈Z )，∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3.第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的应用学习目标：1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 考点梳理：1．2.3.由(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移思考：1．五点作法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】 先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？【提示】 可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移|φω|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误． 学情自测：1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3【解析】 由题意知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，又T ＝6，故选A.【答案】 A2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．2【解析】 横坐标变为原来的2倍，则x 变为12x ，故得到的函数解析式为y ＝sin 14x ，故选C.【答案】 C3．将函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所π10个单位，得到图象的函数解析式为( )得图象上所有的点向右平行移动A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π20)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)【解析】 将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为y ＝sin 12x ，再把所得图象上所有点向右平移π10个单位，得到的图象解析式为y ＝sin 12(x －π10)＝sin(12x －π20)．【答案】 D4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图3－4－1所示，则( )图3－4－1A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图象知A ＝1，T ＝4(712π－π3)＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除A ，B ，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 【答案】 D5．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【解析】 ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2(x ＋12)，∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可，故选C.【答案】 C 典例探究：例1（函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换）(1)(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )(2)(2013·大连模拟)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【思路】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍． 【解答】(1)y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．结合选项可知应选A.(2)设函数的周期为T ，由题意知kT ＝43π，k ∈Z ，∴T ＝4π3k ，∴ω＝32k ，k ∈Z ，又ω＞0，∴k ＝1时，ω有最小值32，故选C.【答案】 (1)A (2)C 变式训练1：(1)(2013·济南模拟)要得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位(2)(2013·青岛质检)将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin(12x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin(12x －π6)【解析】 (1)∵y ＝sin(2x －π3)＝sin 2(x －π6)，∴只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位即可．(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －π3)的图象，然后。
高中数学教案《三角函数的应用》
教学计划：《三角函数的应用》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握三角函数在解决实际问题中的应用，如角度测量、高度计算、波形分析等；能够熟练运用三角函数公式进行计算和推理。
2.过程与方法：通过案例分析、问题解决等过程，培养学生将数学知识应用于实际情境的能力；通过合作探究、讨论交流等方式，提升学生的团队合作和沟通能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学与生活的紧密联系；培养学生的应用意识和创新意识，鼓励他们勇于探索未知领域。
二、教学重点和难点●教学重点：理解三角函数在实际问题中的应用场景和解题方法；掌握三角函数公式的灵活运用。
●教学难点：将抽象的三角函数知识与具体实际问题相结合，构建数学模型并求解；处理复杂情境中的三角函数应用问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例展示：通过展示桥梁设计、航海导航、建筑测量等实际生活中的例子，引导学生思考这些领域如何应用三角函数知识。
●问题驱动：提出一个与三角函数应用相关的问题，如“如何利用三角函数计算山顶到山脚的距离？”激发学生探究兴趣。
●明确目标：简要介绍本节课的学习目标，让学生明确本节课将学习的内容和预期达成的目标。
2. 讲解基础知识（约10分钟）●回顾三角函数定义：简要回顾正弦、余弦、正切等三角函数的定义及其基本性质，为后续应用打下基础。
●介绍应用背景：详细讲解三角函数在各个领域的应用背景，如物理学中的波动分析、工程学中的角度测量等。
●构建知识框架：引导学生构建三角函数应用的知识框架，明确各知识点之间的联系和应用场景。
3. 案例分析（约15分钟）●精选案例：选取具有代表性的案例进行分析，如利用正弦定理计算海上船只的位置、利用三角函数求解建筑高度等。
●步骤演示：详细演示案例的解题步骤，包括如何建立数学模型、如何应用三角函数公式进行计算等。
●思维引导：在案例分析过程中，注重引导学生思考问题的关键点、解题的难点和易错点，培养他们的逻辑思维和批判性思维能力。
高中数学教案三角函数的运用
高中数学教案三角函数的运用高中数学教案—三角函数的运用引言数学是一门抽象而又具有广泛应用价值的学科，而三角函数作为数学中的重要概念，在各个领域中都有着广泛的应用。
本教案旨在详细介绍高中数学中三角函数的基本概念和运用，帮助学生更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的基本概念1. 三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 三角函数的性质：周期性、奇偶性、增减性等。
3. 三角函数的图像：通过图像展示三角函数的波动特性，帮助学生直观理解函数的性质。
二、三角函数的运用1. 三角函数在几何中的运用a) 三角函数与直角三角形的关系：介绍正弦定理、余弦定理等基本公式的推导和应用。
b) 三角函数与角度的度量：介绍弧度制和角度制的转化，以及应用于解决几何问题。
c) 三角函数与平面几何：探究三角函数在平面几何中的应用，如求解三角形面积等。
2. 三角函数在物理中的运用a) 三角函数与分解力的关系：解释如何运用三角函数来分解合力，并计算合力的大小和方向。
b) 三角函数与运动学的关系：分析平抛运动、简谐振动等物理现象中三角函数的运用。
3. 三角函数在工程中的运用a) 三角函数与三角测量：介绍三角函数在测量高度、距离等方面的应用。
b) 三角函数与建筑工程：解释三角函数如何在建筑工程的设计和施工中发挥作用。
4. 三角函数在经济学中的运用a) 三角函数与经济模型：分析需求曲线、供给曲线等经济学模型中三角函数的应用。
b) 三角函数与经济分析：讨论三角函数在经济问题中的应用，如经济增长模型等。
三、教学方法与指导1. 结合实际问题进行讲解：通过引入实际问题，激发学生对三角函数的兴趣，并帮助他们理解三角函数在现实生活中的应用场景。
2. 多媒体辅助教学：利用投影仪、电子电脑等现代化工具，展示三角函数的图像、实际问题的解答过程等，提高学生对内容的理解和记忆。
3. 实例分析与练习：通过提供大量的实例分析和练习题，让学生主动参与到解题过程中，不仅理解三角函数的运用，还能提高解决实际问题的能力。
高中数学教案：三角函数的应用
高中数学教案：三角函数的应用一、引言三角函数是高中数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
本教案将探讨三角函数在实际问题中的具体应用，旨在帮助学生理解三角函数的实际意义和应用方法。
二、三角函数的定义与性质回顾在深入讨论三角函数的应用之前，我们先回顾一下三角函数的定义与性质。
1. 正弦函数正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，记作sinθ。
在单位圆上，角θ对应的点的纵坐标就是sinθ。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
2. 余弦函数余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值，记作cosθ。
在单位圆上，角θ对应的点的横坐标就是cosθ。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
3. 正切函数正切函数表示一个角的对边与邻边的比值，记作tanθ。
在单位圆上，角θ对应的点的纵坐标除以横坐标就是tanθ。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
三、三角函数在几何问题中的应用1. 三角函数与角度计算三角函数可以用来计算角度。
比如，已知一直角三角形的两个边长，可以通过正弦函数或余弦函数求解出其内角的大小。
这种方法在实际测量中非常常见。
2. 三角函数在平面几何中的应用三角函数在平面几何中的应用广泛存在。
以直角三角形为例，已知一个角和两条边的长度，可以使用三角函数来计算其余角和剩余边的长度。
通过这种方法，我们可以解决很多与平面几何相关的实际问题。
3. 三角函数在三角形中的应用三角函数在任意三角形中都有应用的价值。
通过三角函数，我们可以求解三角形的各个角的大小、边的长度以及面积等。
三角函数的应用使我们能够更好地理解和应用三角形的性质。
四、三角函数在物理问题中的应用1. 三角函数在力学中的应用三角函数在力学领域中有着重要的应用。
例如，通过使用正弦函数可以计算物体沿斜面下滑的加速度；使用余弦函数可以计算物体在水平平面上自由落体时的加速度；使用正切函数可以计算物体在斜面上保持静止的力的大小。
2. 三角函数在波动中的应用波动中的许多现象也可以通过三角函数来描述和计算。
三角函数的应用教案
三角函数的应用教案教案：三角函数的应用一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解什么是三角函数及其基本性质；2. 掌握三角函数的应用，包括角度的测量、图像的绘制等；3. 运用三角函数解决实际问题。
二、教学准备1. 教材：教科书《高中数学》（或其他相关教材）；2. 工具：黑板、粉笔、投影仪、计算器等。
三、教学过程1. 导入利用投影仪展示一些有关三角函数的实际应用场景的图片，引发学生对三角函数的兴趣，进而进入本节课的学习。
2. 概念讲解通过黑板和语言讲解，介绍三角函数的定义及其基本性质。
着重强调正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和图像特征。
3. 实例探究提供一些实际问题，引导学生运用三角函数的知识解决这些问题。
例如：问题一：一个建筑师正在设计一座斜塔，在塔下的观察点P处，与塔的底部在水平方向上的夹角为30°，观察点P到塔顶的距离为100米，请计算塔的高度。
问题二：一条高速公路的坡度为10%，即每行驶100米，海拔升高10米。
若某车辆行驶了一段距离后的海拔是500米，请计算此时车辆行驶的距离。
4. 总结归纳让学生对本节课的内容进行总结归纳，重点强调三角函数的应用，包括解决问题时的角度测量、图像绘制等。
5. 拓展延伸提出一些拓展问题，让学生思考更复杂的三角函数应用问题。
例如：问题三：在田径场上，甲、乙两位运动员同时从同一起点出发，以30km/h的速度沿着同一个圆形赛道以逆时针方向奔跑，甲选手以100m/分钟的速度增加，乙选手以100m/分钟的速度减小。
请问，当甲、乙两选手再次相遇时，赛道上的圆心角是多少度？6. 课堂讨论展开课堂讨论，让学生分享自己的解题思路和方法，并进行互动交流。
7. 展示作业布置相关的课后作业，包括计算题和应用题，鼓励学生独立完成，并在下节课展示和讨论。
四、教学反思本节课通过导入实际应用场景，激发学生的兴趣，引导学生从具体问题出发，将三角函数的知识应用于实际问题的解决中。
高中数学必修一 (教案)三角函数的应用
三角函数的应用【教学过程】一、新知初探1．函数y ＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，ω＞0中参数的物理意义2．解三角函数应用题的基本步骤： （1）审清题意；（2）搜集整理数据，建立数学模型； （3）讨论变量关系，求解数学模型； （4）检验，作出结论． 二、初试身手1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是（ ）A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6 答案：B解析：y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6的周期T ＝2π13＝6π，振幅为13，初相为π6．2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的频率为________，相位为________，初相为________．答案：14π；12x －π6；－π6解析：频率为1T ＝122π＝14π，相位为12x －π6，初相为－π6．3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．答案：0.8解析：观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0．8，所以这个简谐运动需要0．8 s 往返一次． 4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y （m ）在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．答案：y ＝－6sin π6x解析：设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0），则A ＝6，T ＝2πω＝12，ω＝π6．当x ＝9时，y max ＝6． 故π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ．取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x ． 三、合作探究类型1三角函数模型在物理学中的应用例1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s （cm ）随时间t（s ）的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞）．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．（1）小球在开始振动（t ＝0）时的位移是多少？（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ （3）经过多长时间小球往复振动一次？思路点拨：确定函数y ＝A sin （ωx ＋φ）中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． 解：列表如下：描点、连线，图象如图所示．（1）将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3cm ．（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm 和－4cm ． （3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs ． 规律方法在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝A sin （ωx ＋φ）表示物体振动的位移y随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T 为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．跟踪训练交流电的电压E （单位：V ）与时间t （单位：s ）的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：（1）开始时电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：（1）当t ＝0时，E ＝1103（V ），即开始时的电压为1103V ．（2）T ＝2π100π＝150（s ），即时间间隔为0.02s ．（3）电压的最大值为2203V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值． 三角函数模型的实际应用 类型2 探究问题在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：（1）根据原始数据给出散点图．（2）通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． （3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．例2：已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （时）的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f （t ）经长期观测，y ＝f （t ）的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． （1）根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；（2）根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？思路点拨：（1）根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω．（2）解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．解：（1）由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6．又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1（0≤t ≤24）．（2）∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0，2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，（k ∈Z ）．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15．母题探究1．若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？解：由y ＝12cos π6t ＋1＞1．25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z ．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10＜t ＜14． 2用y ＝A sin ωt ＋b 刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．解：函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6（h ），此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h ，因此2πω＝12，ω＝π6．又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10（0≤t ≤24）． 规律方法解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域． 四、课堂小结1．曲线y ＝A sin （ωx ＋φ）的应用实质上是物理方面的知识．所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行．2．解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价． （1）构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题．（2）对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题． 五、当堂达标1．思考辨析（1）函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π．（ ）（2）一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s ，振幅为5cm ，则该振子在2s 内通过的路程为50cm ．（ ）（3）电流强度I （A ）随时间t （s ）变化的关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度I 为52A ．（ ）提示：（1）错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π．（2）错误．一个周期通过路程为20cm ，所以2s 内通过的路程为20×20.4＝100（cm ）．（3）正确．答案：（1）×（2）×（3）√2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t （s ）离开平衡位置的位移s 1（cm ）和s 2（cm ）分别由s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos2t 确定，则当t ＝2π3 s 时，s 1与s 2的大小关系是（ ）A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定 答案：C解析：当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5， 当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2．3．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s （cm ）与时间t （s ）的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1s 时，线长l ＝________cm ．答案：g4π2解析：由已知得2πg l＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2．4．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．（1）求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；（其中t 以年初以来的月为计量单位） （2）估计当年3月1日动物种群数量．解：（1）设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin （ωt ＋φ）＋b （A ＞0，ω＞0）， 则⎩⎨⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900， 解得A ＝100，b ＝800．又周期T ＝2×（6－0）＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800．又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800，∴sin （π＋φ）＝1，∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800．（2）当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750．。
高三数学一轮复习学案：三角函数的最值与综合应用
高三数学一轮复习学案：三角函数的最值与综合应用一、考试要求： 1、理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0上最大值、最小值，理解正切函数在上性质。
，⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题。
二、知识梳理：1、型三角函数式，可化为x b x a cos sin y += )sin(y 22ϕ++=x b a ，再求最值。
2、c x b x a y ++=sin sin 2型三角函数式，利用换元法转化成二次函数在闭区间上的最值问题进行求解。
三、基础检测： 1.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）232.已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ） A. |,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. |22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C. 5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 3.已知函数()sin(2)f x x φ=+其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立， 且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （ ） （A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭4.函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为 5.函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f6.已知函数f （x ）=A tan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.7．函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)在[43,8ππ]上的最大值和最小值分别是 8.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________9.求f(x)=cos 2(x-12π)+sin2(x+12π)-1的最小正周期及单调区间，以及取最值时x 的集合。
高考数学一轮复习学案三角函数的应用
三角函数的应用一、知识回顾三角函数是一种应用十分广泛的函数，常将一些代数问题、几何问题或某些实际应用问题通过三角代换，利用转化和化归的思想方法转化为三角问题来求解。
二、基本训练1、直线a y x l =+θθsin cos :1，b y x l =-θθcos sin :2，当θ变化时，1l 与2l 交点的轨迹是 ( )A 、直线θθsin cos b a x +=B 、直线θθcos sin b a y -=C 、圆2222b a y x +=+D 、无法确定2、设实数n m y x ,,,满足a n m =+22，b a b y x ,(22=+是正常数，且)b a ≠，那么ny mx +的最大值是( )A 、2b a +B 、abC 、222b a + D 、222b a +3、已知)(x f 是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是 ( )A 、)3,2()1,0(B 、)3,2()2,1(ππC 、)3,2()1,0(π D 、)3,1()1,0(4、函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数2=y 的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是 .5、设1)2(sin )(2+-==θθf x ，则66)(2+-==x x x g y 的最大值是 ，最小值是 .三、例题分析例1、求函数254x x y -++=的最大值和最小值.例2、在平面直角坐标系中有点)cos ,1(x P ，]4,4[),1,(cos ππ-∈x x Q .（1）求向量和的夹角θ的余弦值用x 表示的函数)(x f ； （2）求θ的最值.例3、如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线a ，救生员现在岸边的A 处，发现海中的B 处有人求救，救生员没有直接从A处Da游向B 处，而是沿岸边A 跑到离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒.（1）分析救生员的选择是否正确？（2）在AD 上找一处C ，使救生员从A 到B 的时间最短，并求出最短时间。
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第1讲弧度制与任意角的三角函数
C (2)扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝ ， 2＋α 1 2 1 C 2 ∴S 扇＝ α· ＝ α· R 2 2 2＋α C2 1 C2 1 C2 ＝ α· ＝ · ≤ . 2 4＋4α＋α2 2 4 16 4＋α＋α C2 当且仅当 α2＝4，即 α＝2 时，扇形面积有最大值 . 16
程中合理的思维方法是关键．
一、特殊化与一般化的方法
【示例】 (2010· 重庆卷)如图，图中的实 线是由三段圆弧连结而成的一条封 闭曲线 C，各段弧所在的圆经过同一 点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等．设 第 i 段弧所对的圆心角为 αi(i＝1,2,3)， α2＋α3 α2＋α3 α1 α1 则 cos · cos －sin · sin 3 3 3 3 ＝________.
解析
π 由－ ＜α＜0， cos α＞0 且 sin α＜0， 得 所以点 P(cos 2
α，sin α)位于第四象限．
答案
四
y 3．若点 A(x，y)是 300° 角终边上异于原点的一点，则x的值 为________． y 解析 x＝tan 300° ＝－tan 60° ＝－ 3.
答案 － 3
4．(2012· 无锡模拟)下列命题：①第二象限角为钝角；②锐 角是第一象限角；③若α是第二象限角，则α＋180°是
半径 ①1弧度的角：长度等于_____的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角
．
负数 ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为_____，零角 l 零 r 的弧度数为____，|α|＝____，l 是以角 α 作为圆心角时所对 圆弧的长，r 为半径． l ③用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制． 比值r与所 取的 r 的大小无关，仅与角的大小有关．
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2014年高考第一轮复习数学教案集4.10 三角函数的应用●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查. 3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系. ●点击双基 1.已知sin x +cos x =51，0≤x ≤π，则tan x 等于 A.－34或－43 B.－34 C.－43D.34或43 解析：原式两边平方得2sin x cos x =－2524 ⇒－2sin x cos x =2524⇒1－2sin x cos x =2549⇒sin x －cos x =57，可得sin x =54，cos x =－53.∴tan x =－34.答案：B2.（2001年春季北京）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析：∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B ＞2π.∴A ＞2π－B ，B ＞2π－A. ∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cosA.∴P 在第二象限. 答案：B3.（2004年北京西城区一模题）设0＜|α|＜4π，则下列不等式中一定成立的是 A.sin2α＞sin α B.cos2α＜cos α C.tan2α＞tan αD.cot2α＜cot α解析：由0＜|α|＜4π，知0＜2|α|＜2π且2|α|＞|α|， ∴cos2|α|＜cos|α|.∴cos2α＜cos α.答案：B4.（2003年上海）若x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________. 解析：∵x =3π是方程2cos （x +α）=1的解， ∴2cos （3π+α）=1，即cos （3π+α）=21.又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，3π7）.∴3π+α=3π5.∴α=3π4. 答案：3π45.（2004年北京西城区二模题，理）函数y =sin x ·（sin x +3cos x ）（x ∈R ）的最大值是____________.解析：原式=sin 2x +3sin x cos x =22cos 1x-+23sin2x =23sin2x －21cos2x +21=sin （2x －6π）+21，其最大值为1+21=23. 答案：23●典例剖析【例1】 化简cos （313+k π+α）+cos （313-k π－α）（k ∈Z ）. 剖析：原式=cos （k π+3π+α）+cos （k π－3π－α）=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］.解：原式=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］=2cos k πcos （3π+α）=2（－1）k （cos 3πcos α－sin 3πsin α）=（－1）k （cos α－3sin α），k ∈Z .【例2】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求αtan tan 的值.解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα所以sin αcos β=3013，cos αsin β=307. 从而βαtan tan =βαβαsin cos cos sin =713.思考讨论由①②不解sin αcos β、cos αsin β，能求βαtan tan 吗? 提示：①÷②，弦化切即可，读者不妨一试. 【例3】 求函数y =xx x x sin 42cos 3sin 1sin 2+--）（，x ∈（0，2π）的值域.剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解.解：y =x x x x sin 4sin 213sin 1sin 22+---）（）（=1sin 2sin sin sin 22+++-x x x x . 设t =sin x ，则由x ∈（0，2π）⇒t ∈（0，1）.对于y =1222+++-t t t t =2212131）（）（）（+-+++-t t t =－1+13+t －212）（+t ， 令11+t =m ，m ∈（21，1），则y =－2m 2+3m －1=－2（m －43）2+81.当m =43∈（21，1）时，y max =81，当m =21或m =1时，y =0.∴0＜y ≤81，即y ∈（0，81］.评述：本题的解法较多，但此方法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围.●闯关训练 夯实基础1.（2002年春季北京）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限. ∴α在第二、四象限.又∵cos α－sin α＜0， ∴α在第二象限. 答案：B2.（2002年春季上海）在△ABC 中，若2cos B ·sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：∵2cos B ·sin A =sin C =sin （A +B ）⇒sin （A －B ）=0，又A 、B 、C 为三角形的内角，∴A =B . 答案：C3.（2005年启东市高三年级第二次调研考试题）在斜△ABC 中，sin A =－cos B cos C 且tan B tan C =1－3，则∠A 的值为A.6π B.3π C.3π2 D.6π5 解析：由A =π－（B +C ），sin A =－cos B cos C 得sin （B +C ）=－cos B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =－cos B cos C .∴tan B +tan C =－1.又tan （B +C ）=C B C B tan tan 1tan tan -+=3tan tan C B +=31-=－33，∴－tan A =－33，tan A =33. 又∵0＜A ＜π，∴A =6π.答案：A4.函数y =sin x －cos x 的图象可由y =sin x +cos x 的图象向右平移_______个单位得到. 解析：由y 1=sin x +cos x =2sin （x +4π）， 得x 1=－4π（周期起点）. 由y 2=sin x －cos x =2sin （x －4π），得x 2=4π（周期起点）. 答案：2π5.函数y =21sin （4π－32x）的单调递减区间及单调递增区间分别是__________.解析：y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）.故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间； 由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间.答案：［3k π－8π3，3k π+8π9］（k ∈Z ）；［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ） 6.已知0≤x ≤2π，则函数y =42sin x cos x +cos2x 的值域是________. 解析：可化为y =3sin （2x +ϕ），其中cos ϕ=322，sin ϕ=31，且有ϕ≤2x +ϕ≤π+ϕ.∴y max =3sin2π=3， y min =3sin （π+ϕ）=－3sin ϕ=－1. ∴值域是［－1，3］. 答案：［－1，3］ 培养能力7.设a =（sin x －1，cos x －1），b =（22，22）. （1）若a 为单位向量，求x 的值；（2）设f （x ）=a ·b ，则函数y =f （x ）的图象是由y =sin x 的图象按c 平移而得，求c . 解：（1）∵|a |=1，∴（sin x －1）2+（cos x －1）2=1， 即sin x +cos x =1，2sin （x +4π）=1， sin （x +4π）=22，∴x =2k π或x =2k π+2π，k ∈Z .（2）∵a ·b =sin （x +4π）－2.∴f （x ）=sin （x +4π）－2，由题意得c =（－4π，－2）.8.求半径为R 的圆的内接矩形周长的最大值.解：设∠BAC =θ，周长为P ，则P =2AB +2BC =2（2R cos θ+2R sin θ）=42R sin （θ+4π）≤42R ， 当且仅当θ=4π时，取等号. ∴周长的最大值为42R .探究创新9.（2004年北京东城区高三第一次模拟考试）在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B .（1）求∠C 的度数；（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围. 解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ，∴2sin C cos2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2BA -.在△ABC 中，－2π＜2B A -＜2π. ∴cos 2B A -≠0.∴2sin 22C cos 2C =cos 2C ，（1－2sin 22C ）cos 2C=0.∴（1－2sin 22C ）=0或cos 2C=0（舍）.∵0＜C ＜π，∴∠C =2π.（2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A . ∴△ABC 的内切圆半径 r =21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1） =22sin （A +4π）－21≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤212-. ●思悟小结三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识.●教师下载中心 教学点睛1.因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用，使知识能条理化并形成一个网络.2.总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一些知识点. 拓展题例【例1】 已知cos B =cos θ·sin A ，cos C =sin θsin A . 求证：sin 2A +sin 2B +sin 2C =2.分析：本题为条件恒等式的证明，要从条件与要证的结论之间的联系入手，将结论中的sin 2B 、sin 2C 都统一成角A 的三角函数.证法一：sin 2A +sin 2B +sin 2C =sin 2A +［1－（cos θsin A ）2］+［1－（sin θsin A ）2］ =sin 2A +1－cos 2θsin 2A +1－sin 2θsin 2A =sin 2A （1－sin 2θ）+1－cos 2θsin 2A +1 =sin 2A cos 2θ－sin 2A cos 2θ+2=2. ∴原式成立.证法二：由已知式可得cos θ=A B sin cos ，sin θ=ACsin cos . 平方相加得cos 2B +cos 2C =sin 2A⇒22cos 1B ++22cos 1C+=sin 2A ⇒cos2B +cos2C =2sin 2A －2.1－2sin 2B +1－2sin 2C =2sin 2A －2， ∴sin 2A +sin 2B +sin 2C =2.【例2】 函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ， （1）求g （a ）； （2）若g （a ）=21，求a 及此时f （x ）的最大值. 解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ） =2cos 2x －2a cos x －1－2a=2（cos x －2a ）2－22a －2a －1.若2a＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时， f （x ）有最小值g （a ）=2（－1－2a ）2－22a －2a －1=1；若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2a 时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1；若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2a ）2－22a －2a －1=1－4a .∴g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a aa a aa （2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a －1=21或1－4a =21.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---≤≤-21122222a a a a =－1或a =－3（舍）.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->21412a a a =81（舍）.此时f （x ）=2（cos x +21）2+21，得f （x ）max =5.∴若g （a ）=21，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.。