最短路径的DIJKSTRA算法及MATLAB程序
最短路dijkstra算法Matlab程序
function [c0,c,path0,path]=dijkstra(s,t,C,flag)% Use the Dijkstra's algorithm to find the shortest path from% s to t and can also find the shortest path between s and all% the other points.% Reference: Graph Theory with Applications by J. A. Bondy and% U. S. R. Murty.% Input -- s is the starting point and also is the point s.% -- t is the given terminal point and is the point t.% -- C \in R^{n \times n}is the cost matrix, where% C(i,j)>=0 is the cost from point i to point j.% If there is no direct connection between point i and% j, C(i,j)=inf.% -- flag: if flag=1, the function just reports the% shortest path between s and t; if flag~=1, the% function reports the shortest path between s and t,% and the shortest paths between s and other points.% Output -- c0 is the minimal cost from s to t.% -- path0 denotes the shortest path form s to t.% -- c \in R{1\times n} in which the element i is the% minimal cost from s to point i.% -- path \in R^{n \times n} in which the row i denotes% the shortest path from s to point i.% Copyright by MingHua Xu(徐明华), Changhzou University, 27 Jan. 2014. s=floor(s);t=floor(t);n=size(C,1);if s<1 || t < 1 || s > n || t > nerror(' The starting point and the terminal point exceeds the valid range');endif t==sdisp('The starting point and the terminal point are the same points');endlabel=ones(1,n)*inf;label(s)=0;S=[s];Sbar=[1:s-1,s+1:n];c0=0;path=zeros(n,n);path(:,1)=s;c=ones(1,n)*inf;parent=zeros(1,n);i=1; % number of points in point set S.while i<n% for each point in Sbar, replace label(Sbar(j)) by% min(label(Sbar(j)),label(S(k))+C(S(k),Sbar(j)))for j=1:n-ifor k=1:iif label(Sbar(j)) > label(S(k))+C(S(k),Sbar(j))label(Sbar(j))=label(S(k))+C(S(k),Sbar(j));parent(Sbar(j))=S(k);endendend% Find the minmal label(j), j \in Sbar.temp=label(Sbar(1));son=1;for j=2:n-iif label(Sbar(j))< temptemp=label(Sbar(j));son=j;endend% update the point set S and SbarS=[S,Sbar(son)];Sbar=[Sbar(1:son-1),Sbar(son+1:n-i)];i=i+1;% if flag==1, just output the shortest path between s and t.if flag==1 && S(i)==tson=t;temp_path=[son];if son~=swhile parent(son)~=sson=parent(son);temp_path=[temp_path,son];endtemp_path=[temp_path,s];endtemp_path=fliplr(temp_path);m=size(temp_path,2);path0(1:m)=temp_path;c_temp=0;for j=1:m-1c_temp=c_temp+C(temp_path(j),temp_path(j+1));endc0=c_temp;path(t,1:m)=path0;c(t)=c0;returnendend% Form the output resultsfor i=1:nson=i;temp_path=[son];if son~=swhile parent(son)~=sson=parent(son);temp_path=[temp_path,son];endtemp_path=[temp_path,s];endtemp_path=fliplr(temp_path);m=size(temp_path,2);path(i,1:m)=temp_path;c_temp=0;for j=1:m-1c_temp=c_temp+C(temp_path(j),temp_path(j+1));endc(i)=c_temp;c0=c(t);path0=path(t,:);endreturn。
Dijkstra、Floyd算法Matlab_Lingo实现
Dijkstra算法Matlab实现。
%求一个点到其他各点的最短路径function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal)%W是邻接矩阵%start是起始点Array %terminal是终止点%min是最短路径长度%path是最短路径n=size(w,1);label(start)=0;f(start)=start;for i=1:nif i~=startlabel(i)=inf;endends(1)=start;u=start;while length(s)<nfor i=1:nins=0;forif i==s(j)ins=1;endendif ins==0v=i;if label(v)>(label(u)+w(u,v))label(v)=(label(u)+w(u,v));f(v)=u;endendendv1=0;k=inf;for i=1:nins=0;for j=1:length(s)if i==s(j)ins=1;endend-if ins==0v=i;if k>label(v)k=label(v);v1=v;endendends(length(s)+1)=v1;u=v1;endmin=label(terminal);path(1)=terminal;i=1;while path(i)~=startpath(i+1)=f(path(i));i=i+1 ;endpath(i)=start;L=length(path);path=path(L:-1:1);Floyd算法：matlab程序：%floyd算法，function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)%a是邻接矩阵%start是起始点%terminal是终止点%D是最小权值表D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)~=infpath(i,j)=j;endendendfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)-D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);endendendendif nargin==3min1=D(start,terminal);m(1)=start;i=1;path1=[ ];while path(m(i),terminal)~=terminalk=i+1;m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1;endm(i+1)=terminal;path1=m;end1 6 5 5 5 66 2 3 4 4 65 2 3 4 5 45 2 3 4 5 61 4 3 4 5 11 2 4 4 1 6Floyd算法：Lingo程序：!用LINGO11.0编写的FLOYD算法如下;model:sets:nodes/c1..c6/;link(nodes,nodes):w,path; !path标志最短路径上走过的顶点;endsetsdata:path=0;w=0;@text(mydata1.txt)=@writefor(nodes(i):@writefor(nodes(j):-@format(w(i,j),' 10.0f')),@newline(1));@text(mydata1.txt)=@write(@newline(1));@text(mydata1.txt)=@writefor(nodes(i):@writefor(nodes(j):@format(path(i,j),' 10.0f')),@newline(1));enddatacalc:w(1,2)=50;w(1,4)=40;w(1,5)=25;w(1,6)=10;w(2,3)=15;w(2,4)=20;w(2,6)=25;w(3,4)=10;w(3,5)=20;w(4,5)=10;w(4,6)=25;w(5,6)=55;@for(link(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));@for(link(i,j) |i#ne#j:w(i,j)=@if(w(i,j)#eq#0,10000,w(i,j)));@for(nodes(k):@for(nodes(i):@for(nodes(j):tm=@smin(w(i,j),w(i,k)+w(k,j));path(i,j)=@if(w(i,j)#gt# tm,k,path(i,j));w(i,j)=tm)));endcalcend无向图的最短路问题Lingomodel:sets:cities/1..5/;roads(cities,cities):w,x;endsetsdata:w=0;enddatacalc:w(1,2)=41;w(1,3)=59;w(1,4)=189;w(1,5)=81;w(2,3)=27;w(2,4)=238;w(2,5)=94;w(3,4)=212;w(3,5)=89;w(4,5)=171;@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));endcalcn=@size(cities); !城市的个数;min=@sum(roads:w*x);@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));@sum(cities(j):x(1,j))=1;-@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;@sum(cities(j):x(j,n))=1;@for(roads:@bin(x));endLingo编的sets:dian/a b1 b2 c1 c2 c3 d/:;link(dian,dian)/a,b1 a,b2 b1,c1 b1,c2 b1,c3 b2,c1 b2,c2 b2,c3 c1,d c2,d c3,d/:x,w;endsetsdata:w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;enddatamin=@sum(link:w*x);@for(link:@bin(x));n=@size(dian);@sum(link(i,j)|i#eq#1:x(i,j))=1;@sum(link(j,i)|i#eq#n:x(j,i))=1;@for(dian(k)|k#ne#1#and#k#ne#n:@sum(link(i,k):x(i,k))=@sum(link(k,i):x(k,i)));- sets:dian/1..5/:level; !level(i)表示点i的水平，用来防止生产圈;link(dian,dian):d,x;endsetsdata:d=0 41 59 189 8141 0 27 238 9459 27 0 212 89189 238 212 0 17181 94 89 171 0;enddatan=@size(dian);min=@sum(link(i,j)|i#ne#j:d(i,j)*x(i,j));@sum(dian(j)|j#gt#1:x(1,j))>1;@for(dian(i)|i#gt#1:@sum(dian(j)|j#ne#i:x(j,i))=1);@for(dian(i)|i#gt#1:@for(dian(j)|j#ne#i#and#j#gt#1:level(j)>level(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(i,j))+(n-3)*x(j, i)));@for(dian(i)|i#gt#1:level(i)<n-1-(n-2)*x(1,i));@for(dian(i)|i#gt#1:@bnd(1,level(i),100000));@for(link:@bin(x));。
最短路径算法matlab代码
最短路径算法matlab代码最短路径算法是计算两点之间最短路程的算法。
这个问题可以转化为图论中的最短路径问题，目前有多种解法，其中比较常用的就是迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
本文将以迪杰斯特拉算法为例，介绍一下最短路径算法的matlab实现。
迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是用来解决有向带权图中单源最短路径问题的一种贪心算法。
该算法通过维护一个距离集合，逐步扩展最短路径，直至到达终点或者所有路径均已扩展完毕。
具体算法流程如下：1. 初始化距离集合，将距离集合中除起点外所有点的距离设置为无穷大，将起点的距离设置为0。
2. 从距离集合中选择距离最小的点v，将v加入已扩展集合中。
3. 遍历v的所有邻居节点，将v到邻居节点的距离d与邻居节点原有的距离比较，若d小于原有距离，则将邻居节点的距离更新为d。
4. 重复以上步骤，直至所有点均已加入已扩展集合中。
matlab代码实现在matlab中实现迪杰斯特拉算法，需要用到矩阵来描述整个图。
用一个N*N的矩阵表示图中各节点之间的距离，例如：```G = [ 0, 4, 2, Inf, Inf;Inf, 0, 1, 5, Inf;Inf, Inf, 0, Inf, 3;Inf, Inf, Inf, 0, 1;Inf, Inf, Inf, Inf, 0 ];```其中Inf表示节点间没有连接。
然后，将距离集合D初始化为一个1*N 的向量，D(i)表示起点到节点i的距离。
对于起点，其距离应该为0。
```D = [0 Inf Inf Inf Inf];```接下来，用一个1*N的向量S来表示已经扩展过的节点。
一开始，S 中只有起点。
```S = [1];```接下来就可以实现算法了。
迭代遍历S中的所有节点，更新其邻居节点的距离，然后将距离最小的邻居节点加入S中。
具体实现代码如下：```for i = 1:N-1minDis = Inf;for j = 1:Nif ~ismember(j, S) % 如果节点j不在已扩展集合中if D(j) < minDisu = j;minDis = D(j);endendendS = [S u];for v = 1:Nif ~ismember(v, S) % 如果节点v不在已扩展集合中if G(u, v) ~= Inf % 如果u和v之间存在连接if D(u) + G(u, v) < D(v) % 如果从起点到u节点再到v节点的距离小于v原有距离D(v) = D(u) + G(u, v); % 更新v的距离endendendendend```完整代码将上述代码整合成一个函数，得到完整的matlab代码实现。
图论中的最短路径算法
图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支，研究图的性质和图之间的关系。
在图论中，最短路径算法是一类重要的算法，用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。
它基于贪心策略，通过逐步扩展路径来求解最短路径。
算法的基本思想是，从一个起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择距离起始顶点最近的顶点，将其加入已扩展顶点集合。
3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离，如果新的距离比原来的距离小，则更新距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
5. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。
它可以处理带有负权边的图，而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作，逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离，直到得到最短路径。
Bellman-Ford算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 对所有边进行松弛操作，即如果存在一条边(u, v)，使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值，则更新距离。
3. 重复步骤2，直到没有顶点的距离发生变化。
4. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。
该算法通过动态规划的方式，逐步更新顶点之间的距离，直到得到最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化顶点之间的距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大。
dijkstra算法缺点及matlab程序
Dijkstra算法Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。
Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的A* 算法和D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。
其采用的是贪心法的算法策略大概过程：创建两个表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
1．访问路网中距离起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN 组中等待检查。
2．从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。
3．遍历考察这个点的子节点。
求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。
4．重复第2和第3步,直到OPEN表为空，或找到目标点。
①function [l,z]=Dijkstra(W)n = size (W,1);for i = 1 :nl(i)=W(1,i);z(i)=1;endi=1;while i<=nfor j =1 :nif l(i)>l(j)+W(j,i)l(i)=l(j)+W(j,i);z(i)=j;if j<ii=j-1;endendendi=i+1;end% W =[ 0 2 1 8 Inf Inf Inf Inf % 2 0 Inf 6 1 Inf InfInf% 1 Inf 0 7 Inf Inf 9 Inf% 8 6 7 0 5 12 Inf% Inf 1 Inf 5 0 3 Inf9% Inf Inf Inf 1 3 0 46% Inf Inf 9 2 Inf 4 03% Inf Inf Inf Inf 9 6 30 ];②========================================================Dijkstra的matlab实现代码=========================================================function [d,DD]=dijkstra(D,s)%Dijkstra最短路算法Matlab程序用于求从起始点s到其它各点的最短路%D为赋权邻接矩阵%d为s到其它各点最短路径的长度%DD记载了最短路径生成树[m,n]=size(D);d=inf.*ones(1,m);d(1,s)=0;dd=zeros(1,m);dd(1,s)=1;y=s;DD=zeros(m,m);DD(y,y)=1;counter=1;while length(find(dd==1))<Mfor i=1:mif dd(i)==0d(i)=min(d(i),d(y)+D(y,i));endendddd=inf;for i=1:mif dd(i)==0&&d(i)<DDDddd=d(i);endendyy=find(d==ddd);counter=counter+1;DD(y,yy(1,1))=counter;DD(yy(1,1),y)=counter;y=yy(1,1);dd(1,y)=1;end③没有用过这个算法,请大家指点一下对于下面的路径矩阵怎样求取从1到7的最短路径的使用方法(急着用,谢谢了):%关键在于怎样输出途经结点或边的位置1~9clear;clc;ko=10000;mp(1,:)=[0 628.4 400 ko ko ko 728.4 ko ko];mp(2,:)=[zeros(1,2) ko 900 ko ko ko ko ko];mp(3,:)=[zeros(1,3) ko ko 700 ko ko ko];mp(4,:)=[zeros(1,4) 400 ko ko ko ko];mp(5,:)=[zeros(1,5) ko ko ko 628.4];mp(6,:)=[zeros(1,6) ko ko 200];mp(7,:)=[zeros(1,7) 800 ko];mp(8,:)=[zeros(1,8) 1028.4];mp(9,:)=zeros(1,9);mr=mp+mp';附:dijkstra算法代码[m,n]=size(D);d=inf.*ones(1,m);d(1,s)=0;dd=zeros(1,m);dd(1,s)=1;y=s;DD=zeros(m,m);DD(y,y)=1;counter=1;while length(find(dd==1))<Mfor i=1:mif dd(i)==0d(i)=min(d(i),d(y)+D(y,i));endendddd=inf;for i=1:mif dd(i)==0&&d(i)<DDDddd=d(i);endendyy=find(d==ddd);counter=counter+1;DD(y,yy(1,1))=counter;DD(yy(1,1),y)=counter;y=yy(1,1);dd(1,y)=1;endFloyd算法描述：设A = (aij )n×n为赋权图G = (V, E, F)的权矩阵, dij表示从vi到vj点的距离, rij表示从vi到vj点的最短路中一个点的编号.①赋初值. 对所有i, j, dij = aij, rij = j. k = 1. 转向②.②更新dij , rij . 对所有i, j, 若dik + dk j＜dij , 则令dij = dik + dkj , rij = k, 转向③;③终止判断. 若k = n终止; 否则令k = k + 1, 转向②.最短路线可由rij得到.Matlab程序：%floyd1.m文件function [d,r1]=floyd1(vx,vy)b=inf;a= [ 0 2 8 1 b b b b2 0 6 b 1 b b b8 6 0 7 5 1 2 b1 b 7 0 b b 9 bb 1 5 b 0 3 b 8b b 1 b 3 0 4 6b b 2 9 b 4 0 3b b b b 8 6 3 0 ];d=a;vx=vx+1;vy=vy+1;global r;r=a;for i=1:8for j=1:8d(i,j)=a(i,j);r(i,j)=j;k=1;endendfor k=1:8for i=1:8for j=1:8if d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);r(i,j)=k;endendendendr1=r-1;fun3(vx,vy);%fun3.m文件function fun3(vx,vy)global rt=r(vx,vy);if vy==treturnelsefun3(vx,t);disp(t-1);fun3(t,vy);end。
最短路径 dijkstra算法的matlab代码实现
最短路径dijkstra算法的matlab代码实现如何用Matlab实现Dijkstra算法求解最短路径问题？Dijkstra算法是一种用于计算图中的最短路径的经典算法。
该算法以一个起始节点为基础，通过不断更新节点到其他节点的最短距离，直到找到最短路径为止。
本文将一步一步地回答如何使用Matlab实现Dijkstra算法，以及如何在Matlab中构建图并求解最短路径。
第一步：构建图Dijkstra算法是基于图的算法，因此我们首先需要在Matlab中构建一个图。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式表示。
这里我们选择使用邻接矩阵来表示图。
在Matlab中，可以使用矩阵来表示邻接矩阵。
假设我们的图有n个节点，我们可以创建一个n×n的矩阵来表示图的邻接矩阵。
如果节点i和节点j 之间有一条边，则将邻接矩阵中的第i行第j列的元素设置为边的权重，如果没有边相连，则将元素设置为一个较大的值（例如无穷大）表示不可达。
现在，我们可以开始构建邻接矩阵。
这里以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个包含6个节点的无向图，如下所示：0 1 2 3 4 5-0 0 4 3 0 0 01 4 0 1 4 0 02 3 1 0 2 1 03 04 2 0 3 24 0 0 1 3 0 25 0 0 0 2 2 0在Matlab中，可以将邻接矩阵表示为一个n×n的矩阵。
在这个例子中，我们可以这样定义邻接矩阵：G = [0 4 3 0 0 0;4 0 1 4 0 0;3 1 0 2 1 0;0 4 2 0 3 2;0 0 1 3 0 2;0 0 0 2 2 0];第二步：实现Dijkstra算法在Matlab中，我们可以使用一些循环和条件语句来实现Dijkstra算法。
下面是一个基本的Dijkstra算法的实现流程：1. 创建一个数组dist，用于存储从起始节点到其他节点的最短距离。
初始时，将起始节点到自身的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。
matlab dijkstra算法求解最短路径例题
matlab dijkstra算法求解最短路径例题摘要：一、Dijkstra 算法简介1.Dijkstra 算法背景2.Dijkstra 算法原理二、MATLAB 实现Dijkstra 算法求解最短路径1.创建图对象2.计算最短路径3.可视化结果三、Dijkstra 算法应用示例1.例题描述2.解题步骤3.结果分析正文：一、Dijkstra 算法简介Dijkstra 算法是一种经典的图论算法，用于计算图中两个节点之间的最短路径。
它是由荷兰计算机科学家Edsger W.Dijkstra 于1956 年提出的，其基本思想是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
可以用堆优化来提高效率。
二、MATLAB 实现Dijkstra 算法求解最短路径1.创建图对象首先，我们需要使用MATLAB 的graph 函数创建一个图对象，指定节点和边的信息。
例如，我们创建一个简单的图，包含4 个节点和3 条边：```matlabG = graph(4, 3);```其中，4 表示图中有4 个节点，3 表示图中有3 条边。
2.计算最短路径接下来，我们可以使用MATLAB 的shortestpath 函数计算两个节点之间的最短路径。
例如，我们计算节点1 到节点3 的最短路径：```matlabSP = shortestpath(G, 1, 3);```3.可视化结果最后，我们可以使用MATLAB 的plot 函数将最短路径可视化。
例如，我们绘制节点和边以及最短路径：```matlabplot(G, SP);```三、Dijkstra 算法应用示例以下是一个使用Dijkstra 算法求解最短路径的例题：在一个图中，有4 个节点和3 条边，如下所示：```1 --2 -- 3| /| /| /| /|/4```请问，节点1 到节点4 的最短路径是多少？。
最短路dijkstra算法Matlab程序
function [c0,c,path0,path]=dijkstra(s,t,C,flag)% Use the Dijkstra's algorithm to find the shortest path from% s to t and can also find the shortest path between s and all% the other points.% Reference: Graph Theory with Applications by J. A. Bondy and% U. S. R. Murty.% Input -- s is the starting point and also is the point s.% -- t is the given terminal point and is the point t.% -- C \in R^{n \times n}is the cost matrix, where% C(i,j)>=0 is the cost from point i to point j.% If there is no direct connection between point i and% j, C(i,j)=inf.% -- flag: if flag=1, the function just reports the% shortest path between s and t; if flag~=1, the% function reports the shortest path between s and t,% and the shortest paths between s and other points.% Output -- c0 is the minimal cost from s to t.% -- path0 denotes the shortest path form s to t.% -- c \in R{1\times n} in which the element i is the% minimal cost from s to point i.% -- path \in R^{n \times n} in which the row i denotes% the shortest path from s to point i.% Copyright by MingHua Xu(徐明华), Changhzou University, 27 Jan. 2014. s=floor(s);t=floor(t);n=size(C,1);if s<1 || t < 1 || s > n || t > nerror(' The starting point and the terminal point exceeds the valid range');endif t==sdisp('The starting point and the terminal point are the same points');endlabel=ones(1,n)*inf;label(s)=0;S=[s];Sbar=[1:s-1,s+1:n];c0=0;path=zeros(n,n);path(:,1)=s;c=ones(1,n)*inf;parent=zeros(1,n);i=1; % number of points in point set S.while i<n% for each point in Sbar, replace label(Sbar(j)) by% min(label(Sbar(j)),label(S(k))+C(S(k),Sbar(j)))for j=1:n-ifor k=1:iif label(Sbar(j)) > label(S(k))+C(S(k),Sbar(j))label(Sbar(j))=label(S(k))+C(S(k),Sbar(j));parent(Sbar(j))=S(k);endendend% Find the minmal label(j), j \in Sbar.temp=label(Sbar(1));son=1;for j=2:n-iif label(Sbar(j))< temptemp=label(Sbar(j));son=j;endend% update the point set S and SbarS=[S,Sbar(son)];Sbar=[Sbar(1:son-1),Sbar(son+1:n-i)];i=i+1;% if flag==1, just output the shortest path between s and t.if flag==1 && S(i)==tson=t;temp_path=[son];if son~=swhile parent(son)~=sson=parent(son);temp_path=[temp_path,son];endtemp_path=[temp_path,s];endtemp_path=fliplr(temp_path);m=size(temp_path,2);path0(1:m)=temp_path;c_temp=0;for j=1:m-1c_temp=c_temp+C(temp_path(j),temp_path(j+1));endc0=c_temp;path(t,1:m)=path0;c(t)=c0;returnendend% Form the output resultsfor i=1:nson=i;temp_path=[son];if son~=swhile parent(son)~=sson=parent(son);temp_path=[temp_path,son];endtemp_path=[temp_path,s];endtemp_path=fliplr(temp_path);m=size(temp_path,2);path(i,1:m)=temp_path;c_temp=0;for j=1:m-1c_temp=c_temp+C(temp_path(j),temp_path(j+1));endc(i)=c_temp;c0=c(t);path0=path(t,:);endreturn。
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min {l ( v ), l (u ) w(uv )}
uSi
代替 l ( v ) 。计算 min{l ( v )} ，把达到这个最小值的一个顶点记为 ui 1 ，令 S i 1 S i {ui 1 } 。
vS i
(iii). 若 i | V | 1 ，停止；若 i | V | 1 ，用 i 1 代替 i ，转(ii)。 算法结束时，从 u0 到各顶点 v 的距离由 v 的最后一次的标号 l ( v ) 给出。在 v 进入 S i 之 前的标号 l ( v ) 叫 T 标号， v 进入 S i 时的标号 l ( v ) 叫 P 标号。算法就是不断修改各项点的 T 标号，直至获得 P 标号。若在算法运行过程中，将每一顶点获得 P 标号所由来的边在图上 标明，则算法结束时， u0 至各项点的最短路也在图上标示出来了。 例1 某公司在六个城市 c1 , c2 , L , c6 中有分公司，从 ci 到 c j 的直接航程票价记在下述
解 用矩阵 a n n（ n 为顶点个数） 存放各边权的邻接矩阵， 行向量 pb 、index1 、index 2 、
d 分别用来存放 P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分量 1 当第i顶点已标号 pb(i ) ； 0 当第i顶点未标号 index 2 (i ) 存放始点到第 i 点最短通路中第 i 顶点前一顶点的序号； d (i ) 存放由始点到第 i 点最短通路的值。
子图的权是指子图的各边的权和。 问题就是求赋权图 G 中指定的两个顶点 u 0 , v 0 间的具最小 权的轨。这条轨叫做 u 0 , v 0 间的最短路，它的权叫做 u 0 , v 0 间的距离，亦记作 d (u0 , v 0 ) 。 求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra）算法，其基本思想是按距 u0 从近到 远为顺序，依次求得 u0 到 G 的各顶点的最短路和距离，直至 v0 （或直至 G 的所有顶点） ， 算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该算法。 (i) 令 l (u 0 ) 0 ，对 v u0 ，令 l ( v ) ， S 0 {u0 } ， i 0 。 (ii) 对每个 v S i （ S i V \ S i ） ，用
矩阵的 (i , j ) 位置上。 （ 表示无直接航路） ，请帮助该公司设计一张城市 c1 到其它城市间的 票价最便宜的路线图。
0 50 40 25 10 40 25 10 0 15 20 25 15 0 10 20 20 10 0 10 25 0
求第一个城市到其它城市的最短路径的 Matlab 程序如下： clear; clc; M=10000; a(1,:)=[0,50,M,40,25,10]; a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; a(5,:)=[zeros(1,5),55]; a(6,:)=zeros(1,6); a=a+a'; pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb)<length(a) tb=find(pb==0); d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); temp=tb(tmpb(1)); pb(temp)=1; index1=[index1,temp]; index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1))); if length(index)>=2 index=index(1); end index2(temp)=index; end d, index1, index2
两个指定顶点之间的最短路径 问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找 一条最短铁路线。 以各城镇为图 G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图 G 相应两顶点间的边，得图 G 。对
G 的每一边 e ，赋以一个实数 w( e) —直通铁路的长度，称为 e 的权，得到赋权图 G 。 G 的