最短路径_Floyd算法_matlab实现
matlab的floyd算法
matlab的floyd算法Floyd算法，是一种图论算法，用于在加权图中求解最短路径。
它是以发明者之一、罗伯特·弗洛伊德的名字命名的。
这个算法同样被用于对于任意两点之间的最长路径（所谓的最短路径问题）进行求解。
算法描述给定一个带权的有向图G=(V,E)，其权值函数为w，下面我们定义从顶点i到顶点j的路径经过的最大权值为dist(i,j)。
特别地，当i=j时，dist(i,j)=0。
为了方便描述算法，我们用D(k,i,j)表示从顶点i到顶点j且路径中的所有顶点都在集合{1,2,⋯,k}中的所有路径中，最大边权值的最小值。
则从顶点i到顶点j的最短路径的边权值就是 D(n,i,j)，其中n是图中顶点的数量。
算法思想：建立中间顶点集合算法是通过不断地扩充中间顶点集合S，来求解任意两点之间的最短路径。
具体来说，设S={1, 2, ⋯, k}，其中k是整数。
Floyd算法的基本思想是，依次考察所有可能的中间顶点x（即所有S中的顶点），对于每个中间顶点x，若从i到x再到j的路径比已知的路径更短，则更新dist(i,j)为更小的值D(k,i,j)。
最终，在S={1, 2, ⋯, n}的情况下，所得到的D(n,i,j)就是顶点i到顶点j之间的最短路径的长度。
Floyd算法的核心是一个三重循环，在每一轮循环中，枚举S中所有的中间顶点x，通过动态规划计算出从i到j的最短路径长度D(k,i,j)。
这一过程可表述为：for k = 1 to nfor i = 1 to nfor j = 1 to nif D(k,i)+D(j,k) < D(k,i,j)D(k,i,j) = D(k,i)+D(j,k)其中D(0,i,j)即为dist(i,j)，若i和j不连通，则D(0,i,j)=+Inf。
算法实现function D = Floyd(adjmat)% adjmat为邻接矩阵邻接矩阵adjmat的定义为：- 若两个顶点之间有边相连，则对应位置为该边的边权值；- 若两个顶点之间没有边相连，则对应位置为0。
floyd算法matlab代码
function [D,R]=floyd(a)% a=[3 2;4 6];采用floyd算法计算图a中每对顶点最短路% a=[0 4 11;6 0 2;3 inf 0];n=size(a,1);D=a % D是距离矩阵for i=1:nfor j=1:nR(i,j)=j;endendR % R是路由矩阵for k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);R(i,j)=R(i,k);endendendkDRend••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。
懒洋洋的幸福。
顶 3 收藏 2•【唯美句子】一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。
阳光很好，温暖，柔和。
漫天的安静。
顶7 收藏7•【唯美句子】清风飘然，秋水缓淌。
一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。
轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。
落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点？瞬间回眸，点亮了生命精彩。
顶11 收藏9•【唯美句子】几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。
顶0 收藏 2•【唯美句子】流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌，清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。
河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。
顶 3 收藏 4•【唯美句子】喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。
利用Matlab编程计算最短路径及中位点选址
139§19. 利用Matlab 编程计算最短路径及中位点选址1、最短路问题两个指定顶点之间的最短路径。
例如，给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。
对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。
G 的子图的权是指子图的各边的权和。
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。
这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。
求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。
为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。
下面是该算法。
(i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。
(ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用)}()(),({min uv w u l v l iS u +∈代替)(v l 。
计算)}({min v l iS v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令140}{11++=i i i u S S 。
(iii). 若1||-=V i ，停止；若1||-<V i ，用1+i 代替i ，转(ii)。
算法结束时，从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次的标号)(v l 给出。
在v 进入i S 之前的标号)(v l 叫T 标号，v 进入i S 时的标号)(v l 叫P 标号。
算法就是不断修改各项点的T 标号，直至获得P 标号。
若在算法运行过程中，将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明，则算法结束时，0u 至各项点的最短路也在图上标示出来了。
Floyd最短路算法的MATLAB程序
Floyd最短路算法的MATLAB程序Floyd最短路算法的MATLAB程序2006-08-17 20:14%floyd.m%采用floyd算法计算图a中每对顶点最短路 %d是矩离矩阵%r是路由矩阵function [d,r]=floyd(a)n=size(a,1);d=a;for i=1:nfor j=1:nr(i,j)=j;endendrfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)< p="">d(i,j)=d(i,k)+d(k,j); r(i,j)=r(i,k)endendendkdrendvoid Dijkstral(int v0){int i;bool s[MAX_VEX];for(i=0;i<dim;i++)< p="">{d[v0][i]=map[v0][i];s[i]=false;if((i!=0)&&(d[v0][i]<inf))< p="">p[v0][i]=v0;elsep[v0][i]=-1;}s[v0]=true;d[v0][v0]=0;for(i=0;i<dim;i++)< p="">{double min=INF;int u=v0;for(int j=0;j<dim;j++)< p="">if(!s[j]&&d[v0][j]<min)< p="">{u=j;min=d[v0][j];}s[u]=true;for(int w=0;w<dim;w++)< p="">{if((!s[w])&&(d[v0][w]>d[v0][u]+map[u][w])) {d[v0][w]=d[v0][u]+map[u][w];p[v0][w]=u;}}}}Justin Hou介绍寻找最有价值路径（c语言）描述：从上（入口）往下行走，直到最下节点（出口）结束，将所经节点上的数值相加，要求找到一条最有价值路径（既是路径总数值最大）并输出总数值。
Floyd算法
定义Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
[编辑本段]核心思路通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0) =A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。
所以时间复杂度为O(n^3);其状态转移方程如下：map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}map[i,j]表示i到j的最短距离K是穷举i,j的断点map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。
当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i,k]这条路[编辑本段]算法过程把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=空值。
定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G [i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如，要寻找从V5到V1的路径。
根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1) =1，说明V3与V1直接相连。
[编辑本段]时间复杂度O(n^3)[编辑本段]优缺点分析Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。
数学建模--运输问题
运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
Floyd算法求解最短路径问题(完整程序代码)
引言在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里求出任意两个节点之间的最短距离。
当节点之间的权值是正值的时候，我们可以采用Dijkstra算法，用贪心策略加于解决。
但当节点之间的权值有负数的时候，Dijkstra就行不通了，这里介绍另外一种算法—Floyd最短路径算法。
对于任意图，选择存储结构存储图并实现FLOYD算法求解最短路经。
将问题分解，分解为两方面。
一是对于任意图的存储问题，第二个是实现FLOYD算法求解最短路经。
首先对于图的创建选择合适的存储结构进行存储，对于合适的存储结构可以简化程序。
本实验采用邻接矩阵存储。
然后是实现FLOYD算法求解最短路经，在FLOYD算法中路径的长度即是图中两定点间边的权值，FLOYD算法要求输出任意两个顶点间的最短路径，而且经过的顶点也要输出。
考虑到问题的特殊性，采用一个二维数组和一个三维数组进行存储。
二维数组存储最短路径，三维数组存储路径经过的顶点，在进行适当的算法后对这两个数组进行输出即可。
通过问题的分解，逐个解决，事先所要求的程序。
最短路径算法问题是计算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。
传统的最短路径算法主要有Floyd算法和Dijkstra算法。
Floyd算法用于计算所有结点之间的最短路径。
Dijkstra算法则用于计算一个结点到其他所有结点的最短路径。
Dijkstra算法是已经证明的能得出最短路径的最优解，但它的效率是一个很大的问题。
对于具有n个结点的一个图，计算一个结点到图中其余结点最短路径的算法时间复杂度为O(n2)。
对于一座大中型城市，地理结点数目可能达到几万个到几十万个，计算最短路径的时间开销将是非常巨大的。
本文根据吴一民老师的建议，分析当前存在的各种求最短路径的算法，提出一种新的基于层次图的最短路径算法，即将一个平面图划分若干子图，子图抽象为一个高层图。
最短路径的计算首先在高层图中进行，缩小了最短路径的查找范围，降低了最短路径计算的时间开销。
基于MATLAB的最短路径算法分析
基于MATLAB的最短路径算法分析周志进(贵阳学院贵州贵阳550005)摘要：随着社会快速发展，人们生活水平提高，很多需求都在向着最优化、最快捷、最高效的方向延伸，而最短路径算法则是图论研究中的典型问题。
该文简要概述MATLAB软件，分析基于MATLAB的4种用于解决最短路径问题的算法，并研究基于MATLAB的最短路径算法的实际应用状况，以期对最短路径算法的应用提供一定借鉴意义。
关键词：MATLAB最优路径Dijkstra算法Floyd算法Bellman-Ford算法SPFA算法中图分类号：TP301.6文献标识码：A文章编号：1672-3791(2022)08(a)-0217-03最短路径算法就是用于计算一个节点到其他节点的最短路径问题，一般是指确定起点的最短路径问题，求起始节点到某一终点的最短路径问题，也常用于已知起点和终点，求解两节点之间的最短路径。
1MATLAB程序概述MATLAB是由美国MathWorks公司出品的数学软件，MATLAB意为矩阵工程，将用于一维、二维与三维数值积分的函数进行了统一，并经过基本数学和内插函数的辅助，提供数值分析、矩阵计算等诸多功能，为应用数学、工程设计和数值计算提供全方位的解决方案，很大程度上摆脱了传统程序设计语言的编辑模式。
其高效的数值及符号计算功能，可以帮助用户快速处理繁杂的数学运算问题，具备的图形处理功能可以实现计算结果和编程的可视化。
MATLAB本身是一个高级的矩阵语言，包括诸多算法、控制语句、函数等面向基本对象或问题的应用程序[1]。
比如：在最短路径计算中可以利用矩阵运算和线性方程组的求解或是数据的统计分析来优化相关问题。
2基于MATLAB的4种最短路径算法2.1Dijkstra算法Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是最经典的单源最短路径算法，也就是用于计算一个节点到其他所有节点最短路径的算法。
Dijkstra算法采用贪心算法策略，每次遍历与起点距离最近且未访问过的节点，直至扩展到终点。