高中文科数学高考必备基础知识

重难点简摘§3数列一、数列的定义和基本问题1．通项公式：)(n f a n =（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）； 2．前n 项和：12n n S a a a ++⋯+=；3．通项公式与前n 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩二、等差数列：1．定义和等价定义：1(2){}n n n a a d n a --=≥⇔是等差数列；2．通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1；推广：d m n a a m n )(-+=； 3．前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=⋅+=2112)1(2； 4．重要性质举例：①a 与b 的等差中项2a bA +=； ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别地：若2m n p +=，则2m n p a a a +=； ③奇数项135,,a a a ，…成等差数列，公差为2d ；偶数项246,,a a a ，…成等差数列，公差为2d . ④若有奇数项21n +项，则21(21)n S n a +=+中；中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=， 11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n （其中n 1a =a +中）；若有偶数项2n 项, 则d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； ⑤设n A=S ，2n n B=S -S ，3n 2n C=S -S ， 则有C A B +=2； ⑥当10,0a d ><时，n S 有最大值；当10,0a d <>时，n S 有最小值.⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n 项和公式.（8）若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a 三、等比数列： 1．定义：1(2,0,0){}nn n n a q n a q a a -=≥≠≠⇔成等比数列； 2．通项公式：11-=n n q a a ；推广n mn m a a q-=；3．前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩；（注意对公比的讨论）4．重要性质举例 ①a 与b 的等比中项G 2G ab G ⇔=⇔=,a b 同号）； ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅；特别地：若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=； ③设n A=S ，2n n B=S -S ，3n 2n C=S -S ， 则有2B AC =⋅； ④用指数函数理解等比数列（当10,0,1a q q >>≠时）的通项公式. 四、等差数列与等比数列的关系举例 1．{}n a 成等差数列⇔{}na b 成等比数列；2．{}na 成等比数列{}0log n a b na >⇔成等差数列.五、数列求和方法 ：1．等差数列与等比数列； 2．几种特殊的求和方法 （1）裂项相消法；)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（2）错位相减法：n n n c b a ⋅=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列记n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211；则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++，… （3）通项分解法：n n n c b a ±=六、递推数列与数列思想 1．递推数列（1）能根据递推公式写出数列的前几项；（2）常见题型：由(,)0n n f S a =，求,n n a S .解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 2．数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若1(),(2)n n a a f n n --=≥，则……； （2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若1()(2)nn a g n n a -=≥，则……； （3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）； （4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）.§5平面向量一、向量的基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量. 二、加法与减法运算1．代数运算(1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．(2)若a =（11,y x ）, b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±）． 2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量=+,=－,=－.且有︱︱－︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱．3．运算律向量加法有如下规律：a ＋b =b ＋a (交换律)； a +(b + c )=(a + b )+ c（结合律）； a +0=a a ＋(－a )=0. 三、实数与向量的积实数λ与向量的积是一个向量。

1．︱λ︱=︱λ︱·︱︱；(1) 当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ=0时，λ=0． (2)若=（11,y x ），则λ·=（11,y x λλ）． 2．两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得=λ． (2) 若a =（11,y x ）, b =（22,y x ）则a ∥b 01221=-⇔y x y x ． 四、平面向量基本定理1．若1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ，2λ，使得=1λ1e + 2λ2e．2．有用的结论：若1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数1λ，2λ，使得1λ1e + 2λ2e=0，则1λ=2λ=0. 五、向量的数量积； 1．向量的夹角：已知两个非零向量与b ，作=, = b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角（两个向量必须有相同的起点．．．．．）。

2．两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b在a 方向上的投影．3．向量的数量积的性质：若a =（11,y x ）, b=（22,y x ）（1）e ·=·e =︱︱cos θ (e为单位向量)；（2）a ⊥b ⇔a ·b =0⇔02121=+y y x x （a ，b为非零向量）；（3）︱a ︱= =（4）cos θ= a ba b ⋅⋅=222221212121y x y x y y x x +⋅++．（可用于判定角是锐角还是钝角．．．．．．．．．．．．．） 4．向量的数量积的运算律：·b = b ·；(λ)·b =λ(·b )=·(λb )；(＋b )·c =·c + b ·c．六、点P 分有向线段21P P 所成的比1．定义：设P 1、P 2是直线l 上两个点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ使P P 1=λ2P P ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。

2．位置讨论：（1）当点P 在线段21P P 上时，λ＞0；特别地：点P 是线段P 1P 2的中点是1λ=. （2）当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上时，λ＜0； 3．分点坐标公式：若P P 1=λ2P P ；21,,P P P 的坐标分别为（11,y x ）,（y x ,）,（22,y x ）；则⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，（λ≠－1）， 中点坐标公式：⎩⎨⎧+=+=222121x x x y y y ．4.三点共线定理： 若OA xOB yOC =+则A,B,C 共线的充要条件是x+y=15，点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ (图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k ).§7直线与圆一、直线的基本量1．两点间距离公式：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB ；y //AB 轴，则=AB .2．直线l ：y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =相交的弦AB 长公式消去y 得02=++c bx ax （务必注意0∆>），设A ),(),,(2211y x B y x 则：AB ==3．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角[0,)απ∈；当2πα≠时，直线的斜率tan k α=.（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图4．直线在x 轴和y 轴上的截距：（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义. 二、直线的方程： 直线方程的五种形式:（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）截距式1(,x ya b x y a b+=≠≠分别为轴轴上的截距,且a 0,b 0) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).三、两条直线的位置关系：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212//,l l k k b b ⇔=≠； ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,①1212211221//00l l A B A B AC A C ⇔-=-≠且；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 五、点到直线的距离1．点00(,)P x y 到直线0=++C By Ax 的距离： 2200BA C By Ax d +++=2．平行线间距离：若10Ax By C ++=、20Ax By C ++=，则2221BA C C d +-=.注意点：x ，y 对应项系数应相等.且12C C ≠ 六、圆：1．确定圆需三个独立的条件（1）标准方程：222)()(r b y a x =-+-， 其中圆心为(,)a b ，半径为r . （2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D 其中圆心为(,)22D E--， 半径为2422FE D r -+=.（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .2．直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系：设圆心C 到直线l 的距离为d,则相切⇔d=r ，相交⇔d<r ⇔，相离⇔d>r ； 3．两圆的位置关系： 设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则外离⇔d>R ＋r ，外切⇔d ＝R ＋r ，相交⇔R －r<d<R ＋r ，内切⇔d ＝R －r ，内含⇔d<R －r ；4，圆中有关重要结论:(1)若P(0x ,0y )是圆222x y r +=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200xx yy r += (2) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200xx yy r +=221111(3)C :x y D x E y F 0++++=经过圆和圆222222C :x y D x E y F 0++++=的两 交点的直线方程为：()()()121212D D x E E y F F 0-+-+-=§8圆锥曲线一、椭圆，1．定义（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。