绝对值不等式的解法教学设计教学内容
高中数学_绝对值不等式的解法教学设计学情分析教材分析课后反思
《绝对值不等式的解法》教学设计课题：绝对值不等式的解法科目数学教学对象学生课时1提供者单位一、教学目标熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力二、教学内容及模块整体分析含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。
三、学情分析学生基础差，少讲多练，以基础题为主。
四、教学策略选择与设计讲练结合，多媒体展现。
五、教学重点及难点熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．六、教学过程教师活动学生活动设计意图提问的方式总结前面学过的知识问题:你能一眼看出下面两个不等式的解集吗?⑴1x<⑵1x>让学生熟练掌握一般地，可得解集规律:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集:不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或课堂练习一：试解下列不等式：熟练地掌握方法(1)|32|7x-≥x>a }注：如果0a≤，不等式的解集易得.利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴()()()f x a a f x a f x a(0)>>⇔><-或；⑵()()(0)f x a a a f x a<>⇔-<<；⑶()()()f xg x f x g x f x g x()()()>⇔><-或；⑷()()()()()f xg x g x f x g x<⇔-<<；⑸()()()()22f xg x f x g x⎡⎤⎡⎤>⇔>⎣⎦⎣⎦更熟练的掌握一般情况试解不等式|x-1|+|x+2|≥5利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想．{}23≥≤x x x-或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。
教学设计1：第1讲 绝对值不等式
第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a )∅∅ |x |>a(－∞，－a )∪(a ，＋∞)(－∞，－0)∪(0，＋∞)R(2)|ax ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，如果a <－b <0当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c <0则不等式解集为R. [试一试]1．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，则t ＝________________.【解析】|2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.【答案】02．不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为________．【解析】法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于|P A |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <23，x ≥2，，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图像中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．【答案】(－∞，－3)含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． 4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解． [练一练]1．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为____________． 【解析】法一：分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：利用几何意义求解．原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 【答案】⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 【答案】[－2,4]考点一绝对值不等式的解法1.不等式|x －2|的解集为________．【解析】原不等式等价于|x －2|>|x －1|，则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，32 2．(2014·西安质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 【解析】原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 【答案】23．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 【解析】注意到||x －3|－|x －4||≤|(x －3)－(x －4)|＝1，－1≤|x －3|－|x －4|≤1.若不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集是空集，则有|x －3|－|x －4|≥a 对任意的x ∈R 都成立，即有(|x －3|－|x －4|)min ≥a ，a ≤－1.因此，由不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集可得，实数a 的取值范围是a >－1. 【答案】(－1，＋∞)[备课札记] [类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．考点二绝对值不等式的证明[典例] 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. 【解】(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)． (2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2. ∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2) ＝(a 2－4)·(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.[备课札记]【解】由f (x )≥0知a ≤|又|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴a ≤2. 故a 的取值范围为(2，＋∞)． [类题通法]证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [针对训练]设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围． 【解】(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞.考点三绝对值不等式的综合应用[典例] (2013·新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43. [备课札记] [类题通法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[针对训练](2014·镇江模拟)已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围． 【解】(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2x ≤1，－41<x <2，2x －8x ≥2.令g (x )>0，则x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． (2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ，又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合， ∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a <1 006.[课堂练通考点]1．(2013·江西高考)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 【解析】依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. 【答案】[0,4]2．(2013·重庆高考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．【解析】|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8. 【答案】(－∞，8]3．(2014·南昌模拟)若对任意的a ∈R ，不等式|x |＋|x －1|≥|1＋a |－|1－a |恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】由|1＋a |－|1－a |≤2得|x |＋|x －1|≥2，当x <0时，－x ＋1－x ≥2，x ≤－12；当0≤x ≤1时，x ＋1－x ≥2，无解；当x >1时，x ＋x －1≥2，x ≥32.综上，x ≤－12或x ≥32.【答案】(－∞，－12]∪[32，＋∞)4．(2014·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，则m 的取值范围为________．【解析】函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．【答案】(－∞，5)5．(2014·长春模拟)已知实数t ，若存在t ∈[12，3]使得不等式|t －1|－|2t －5|≥|x －1|＋|x －2|成立，求实数x 的取值范围．【解】∵t ∈[12，3]，∴|t －1|－|2t －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋4，t ≥52，3t －6，1<t <52，t －4，t ≤1，可得其最大值为32.∴只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤32即可，当x ≥2时，可解得2≤x ≤94，当1<x <2时不等式恒成立，当x ≤1时可解得34≤x ≤1，综上可得x 的取值范围为[34，94]．。
最新绝对值不等式的解法教学设计
《绝对值不等式的解法》教学设计富源四中朱树平课题：绝对值不等式的解法科目数学教学对象学生课时1提供者朱树平单位富源四中一、教学目标熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力二、教学内容及模块整体分析含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。
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五、教学重点及难点熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．六、教学过程教师活动学生活动设计意图提问的方式总结前面学过的知识问题:你能一眼看出下面两个不等式的解集吗?⑴1x<⑵1x>让学生熟练掌握一般地，可得解集规律:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集:不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或课堂练习一：试解下列不等式：熟练地掌握方法(1)|32|7x-≥x>a }注：如果0a≤，不等式的解集易得.利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴()()()f x a a f x a f x a(0)>>⇔><-或；⑵()()(0)f x a a a f x a<>⇔-<<；⑶()()()f xg x f x g x f x g x()()()>⇔><-或；⑷()()()()()f xg x g x f x g x<⇔-<<；⑸()()()()22f xg x f x g x⎡⎤⎡⎤>⇔>⎣⎦⎣⎦更熟练的掌握一般情况试解不等式|x-1|+|x+2|≥5利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想．{}23≥≤x x x-或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。
2.2绝对值不等式的解法-教学设计公开课
1.2.2绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.3．能利用绝对值不等式解决实际问题．二、课时安排1课时三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.五、教学过程（一）导入新课解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)．【解】若2m－1≤0，即m≤，则|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1＞0，即m＞，则－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，所以1－m＜x＜m.综上所述：当m≤时，原不等式的解集为∅，当m＞时，原不等式的解集为{x|1－m＜x＜m}．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集法1．|ax＋b|≤c⇔.2．|ax＋b|≥c⇔.教材整理3 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．（三）重难点精讲题型一、|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法例1求解下列不等式．(1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6.【精彩点拨】关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．【自主解答】(1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6，即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤，所以原不等式的解集是.(2)∵3≤|x－2|＜4，∴3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1.所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．(3)法一由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6.∴－6＜x2－5x＜6.∴∴即∴－1＜x＜2或3＜x＜6.∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．法二作函数y＝x2－5x的图象，如图所示．|x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝－6和直线y＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x2－5x＝6，得x1＝－1，x2＝6.解方程x2－5x＝－6，得x′1＝2，x′2＝3.即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．规律总结：1．形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b ＜f(x)＜－a.2．形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式的简单解法是等价命题法，即(1)当a＞0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.(2)当a＝0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔|f(x)|≠0.(3)当a＜0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．[再练一题]1．解不等式：(1)3＜|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6.【解】(1)∵3＜|x＋2|≤4，∴3＜x＋2≤4或－4≤x＋2＜－3，即1＜x≤2或－6≤x＜－5，所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2或－6≤x＜－5}．(2)∵|5x－x2|≥6，∴5x－x2≥6或5x－x2≤－6，由5x－x2≥6，即x2－5x＋6≤0，∴2≤x≤3，由5x－x2≤－6，即x2－5x－6≥0，∴x≥6或x≤－1，所以原不等式的解集为{x|x≤－1或2≤x≤3或x≥6}．题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题例2已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【精彩点拨】→【自主解答】(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)法一由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，于是g(x)＝利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，知实数m的取值范围是(－∞，5]．法二当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，5]．规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)<m.(1)当m＝1时，解此不等式；(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)<m恒成立？【解】(1)当m＝1时，原不等式可变为0<|x＋3|－|x－7|<10，可得其解集为{x|2<x<7}．(2)设t＝|x＋3|－|x－7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t≤10，因y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，则lg t≤1，当t＝10，x≥7时，lg t＝1，故只需m>1即可，即m>1时，f(x)<m恒成立．题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.【精彩点拨】(1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】(1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即6x＋3＞0，解得x＞－，∴|x＋2|＞|x－1|的解集为.(2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x，所以x－1＋x－(－1)＝3.所以x＝.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是∪.规律总结：|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2.【解】(1)f(x)＝函数的图象如图所示．(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2.由－2x＋12＝2，得x＝5，根据函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．（四）归纳小结绝对值不等式的解法—（五）随堂检测1．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )A.B．(－∞，0)∪C.D.【解析】原不等式等价于解得x<且x≠0，即x∈(－∞，0)∪.【答案】B2．不等式|x2－2|＜2的解集是( )A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)【解析】由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】D3．不等式≥1的实数解为________.【解析】≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，且x＋2≠0.∴x≤－且x≠－2.【答案】六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。
最新人教B版高中数学选修4-5《绝对值不等式的解法》教学设计
《绝对值不等式的解法》（第一课时）教学设计一、教学内容解析《绝对值不等式的解法》是选修4-5第一章第三节内容，我们这里讲解第一课时。
该内容是在初中学习了绝对值的概念，学习了一元一次不等式；高中必修1学习了绝对值函数图像的画法，必修5学习了一元二次不等式的基础上展开的。
通过本节课可渗透数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法，因此它是本章的重点之一，在整个数学学科中占有重要地位。
解含绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，转化为同解的不含绝对值符号的一般不等式去解.而去绝对值的方法主要有定义法（分类讨论法）、平方法、几何法、图像法等，实际上，这四种方法也是解绝对值不等式问题的基本思路，为下一节学习含有两个绝对值的不等式的解法做好铺垫.而本节的重点是运用绝对值的几何意义去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解，并从中总结规律，形成解绝对值不等式的规律公式及口诀。
本节课在求解过程中也是对集合知识的应用和巩固，同时，为以后不等式的学习打下了基础，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
二、教学目标设置【教学目标】1、知识与技能：使学生熟练掌握()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；2、过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，渗透数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法；培养学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
3、情感态度价值观：向学生渗透“具体-抽象-具体”辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质。
感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美。
【教学重点与难点】重点：()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；难点：利用绝对值的几何意义解绝对值不等式。
三、学生学情分析学生在初中已经学过绝对值的定义，在高中必修1中，也会画简单的绝对值函数的图像，也接触过两边平方的方法。
《绝对值不等式的解法》教学设计
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a
b
一起研究此类型解法。
二、新课探究
例 3.解不等式 x-1 + x+2 逸5。
问题一：研究 ax+b 臆c 和 ax+b 逸c 型不等式的解法。
方法一：利用绝对值的几何意义求解。
探索不等式 x 约2 的解法，请同学们思考这个绝对值不等式
解：如图，数轴上-2，1 对应的点分别是 A ，B，-3，2 对应的点
a
（3）（f x） 跃g（x）圳（f x）跃g（x）或 （f x）约-g（x）；
0
a
绝对值 a-b 表示数轴上两点 a，b 之间的距离（如下图）。
a-b
（4）（f x） 约g（x）圳-g（x）约（f x）约g（x）； （5）（f x） 约 g（x） 圳（f x）2约g（x）2. 问题二：x-a + x-b 臆c 和 x-a + x-b 逸c 型不等式的解法 解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号，通过下面例题
-2
亦x臆1 或 x逸4。解集为{x讦x臆1 或 x逸4} 总结：ax+b 约c 和 ax+b 跃c 型不等式解集比较。 （1） ax+b 约c圳{x讦ax+b跃-c}疑{x讦ax+b约c}
总结，关于 x-a + x-b 臆c 和 x-a + x-b 逸c 型不等式 的解法：
（2） ax+b 跃c圳{x讦ax+b约-c}胰{x讦ax+b跃c}
解：当 x臆-2 时，等价于：（1-x）-（x+2）逸5，所以 x臆-3，
当-2约x臆1 时，等价于（1-x）+（x+2）逸5，即：3逸5，解为 椎。
绝对值不等式的解法优秀教学设计
绝对值不等式的解法【教学目标】（1）理解并掌握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能初步地应用它解决问题；（2）了解数形结合，分类讨论的思想，培养数形结合的能力，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；（3）绝对值的几何意义的应用； （4）激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】 a x <与)0(>>a a x 型不等式的解法。
【教学难点】绝对值意义的应用，和应用a x <与)0(>>a a x 型不等式的解法解决c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学准备】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入：1．什么叫不等式？什么叫不等式组的解集？ 2．初中已学过的不等式的三条基本性质是什么？你能用汉语语言叙述这三条性质吗？ 如果a>b,那么a+c>b+c;如果a>b,c>0,那么 ac > bc;如果a>b,c<0,那么ac < bC.3．实数的绝对值是如何定义的？几何意义是什么？绝对值的定义: | a | = ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0,0,00,a a a a a|a|的几何意义：数轴上表示数a 的点离开原点的距离|x-a|(a ≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点a 的对应点之间的距离。
实例：按商品质量规定，商店出售的标明500g 的袋装食盐，按商品质量规定，其实际数与所标数相差不能超过5g ，设实际数是x g ，那么，x 应满足怎样的数量关系呢？能不能用绝对值来表示？.5500≤-x （⎩⎨⎧≤-≤-.5500,5500x x 由绝对值的意义，也可以表示成.5500≤-x ） 意图：体会知识源于实践又服务于实践，从而激发学习热情引出课题二、讲解新课：1．)0(><a a x 与)0(>>a a x 型的不等式的解法先看含绝对值的方程|x|=2几何意义：数轴上表示数x 的点离开原点的距离等于2．∴x=±2 提问：2<x 与2>x 的几何意义是什么？表示在数轴上应该是怎样的？数轴上表示数x 的点离开原点的距离小（大）于2即 不等式 2<x 的解集是{}22<<-x x不等式 2>x 的解集是{}2,2>-<x x x 或。
人教版高中选修(B版)4-51.3绝对值不等式的解法教学设计
人教版高中选修(B版)4-51.3绝对值不等式的解法教学设计一、设计背景绝对值不等式是高一数学必修课程中的重点内容，也是高二数学选修课程中的重点内容。
本次教学设计针对人教版高中选修(B版)4-51.3节中的绝对值不等式的解法进行设计与探讨。
二、教学目标1.理解绝对值不等式的意义和性质；2.能够熟练掌握基于绝对值的不等式的解法；3.能够灵活运用绝对值不等式解决实际问题。
三、教学重点难点1.理解绝对值的概念和性质；2.掌握基于绝对值的不等式的解法；3.灵活运用绝对值不等式解决实际问题。
四、教学过程4.1. 导入环节1.利用生活中的例子引入绝对值的概念；2.让学生思考，如果解不等式时含有绝对值，该怎么办？4.2. 概念讲解1.讲解绝对值的概念；2.讲解绝对值的性质，并结合例子加深学生的理解。
4.3. 基本绝对值不等式的讲解1.结合例子讲解基本绝对值不等式的含义和性质；2.讲解基于基本绝对值不等式的不等式的解法；3.利用例题让学生掌握基础的解题方法。
4.4. 拓展绝对值不等式的讲解1.结合例子讲解拓展绝对值不等式的含义和性质；2.讲解基于拓展绝对值不等式的不等式的解法；3.利用例题让学生掌握拓展绝对值不等式的解题方法。
4.5. 综合练习1.配置一定量的练习题；2.整合基本绝对值不等式、拓展绝对值不等式的解法；3.强化学生案例分析和问题解决的能力。
4.6. 总结与反思1.让学生自主总结绝对值不等式的解法；2.结合例题让学生自我评估巩固学习成果。
五、教学方法与工具1.探究式教学法及其他教学方法；2.PPT、写字板、教材。
六、教学评估1.利用课堂练习、考试、期末综合测试等方式考核学生对绝对值不等式的理解与应用；2.结合平时表现、作业完成情况、小组活动等，考核学生的参与度和分析问题、解决问题的能力。
七、教学反思1.在教学过程中，要多注重学生的思考和自主探索，让学生通过实际问题去理解绝对值的概念和解法；2.建立完整的练习题库，帮助学生巩固绝对值不等式的解决方法；3.拓宽应用场景，强化学生解决实际问题的技巧和方法。
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绝对值不等式的解法
教学设计
《绝对值不等式的解法》教学设计
富源四中朱树平
课题：绝对值不等式的解法
科目数学教学对象学生课
时
1
提供者朱树平单位富源四中
一、教学目标
熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力
二、教学内容及模块整体分析
含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。
三、学情分析
学生基础差，少讲多练，以基础题为主。
四、教学策略选择与设计
讲练结合，多媒体展现。
五、教学重点及难点
熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．
六、教学过程
教师活动学生活动设计意图
提问的方式总结前面学过的知识问题:
你能一眼看出下面两个不等式的解集吗?
⑴1
x<
⑵
1
x>
让学生熟练
掌握
一般地，可得解集规律:
形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集: 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
不等式|x|>a的解集为
{x|x<-a或x>a } 课堂练习一：
试解下列不等式：
熟练地掌握
方法
(1)|32|7
x
-≥
注：如果0
a≤，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴()()()
f x a a f x a f x a
(0)
>>⇔><-
或；
⑵()()
(0)
f x a a a f x a
<>⇔-<<；
⑶()()()
f x
g x f x g x f x g x
()()()
>⇔><-
或；
⑷()()
()()()
f x
g x g x f x g x
<⇔-<<；
⑸()()()()
22
f x
g x f x g x
⎡⎤⎡⎤
>⇔>
⎣⎦⎣⎦
更熟练的掌
握一般情况
试解不等式
|x-1|+|x+2|≥5
利用|x-1|=0，|x+2|=0的零
点，将数轴分为三个区间，
然后在这三个区间上将原不
等式分别化为不含绝对值符
号的不等式求解．体现了分
类讨论的思想．
{}
23
≥≤
x x x-
或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。
学习小结:
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。
主要方法有：
1、同解变形法:运用解法公式直接转化；
2、分类讨论去绝对值符1、解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
2、对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是（）
()3
A k<()3
B k<-()3
C k≤()3
D k-
≤
3.不等式有解的条件是
2
(2)|3|4
x x
-<
(3)|32|1
x->
43
x x a
-+-<
号：
①含一个绝对值符号直接分
类；
②含两个或两个以上绝对值
符号:零点分段法确定.
3、数形结合（运用绝对值
的几何意义）;
利用函数图象来分析.
( )
七、板书设计
你能一眼看出下面两个不等式的解集吗?
（1）
1
x<⑵1
x>
一般地，可得解集规律:
形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集:
不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
注：如果0
a≤，不等式的解集易得.
2、课堂练习一：
试解下列不等式：
3、课堂练习二(挑战)：
试解不等式|x-1|+|x+2|≥5
4、学习小结:
1
()0
10
A a
<<()1
B a>
1
()
10
C a<
()1
D a<-
(1)|32|7
x
-≥2
(2)|3|4
x x
-< (3)|32|1
x->
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。
主要方法有：
1、同解变形法:运用解法公式直接转化；
2、分类讨论去绝对值符号： ①含一个绝对值符号直接分类；
②含两个或两个以上绝对值符号:零点分段法确定. 3、数形结合（运用绝对值的几何意义）; 4、利用函数图象来分析.
5、练习:
解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
2.对任意实数x ，若不等式|x+1||x 2|>k 恒成立，则k 的取值范围是（ ） ()3A k < ()3B k <-()3C k ≤ ()3D k -≤
3.不等式 有解的条件是( )
43x x a -+-<1()010A a <<()1B a >1
()10C a <()1D a <-。