2.3.1平面向量基本定理、正交分解及坐标表示
(2)当 = π时 a与 ____; θ , b 反向 π (3)当θ = 时 a与 ____. , b 垂直 2
r a
θ
r b
平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫作把向量正交分解
探索1: 探索
rr 如图， 是分别与x轴 轴方 如图，i , j 是分别与 轴、y轴方 rr 向相同的单位向量， 向相同的单位向量，若以 i , j 为基
y
a
C
A
D
底，则
r 对于 对于 该平面 内的 任一 向量 a ，
有且只有一对实数x、y，可使 r r r a = x i +y j
j o i B
x
a 这里，我们把（ ）叫做向量的（直角）坐标， 这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作
解决方案: 解决方案:
可通过向量的 平移， 平移，将向量的起点 移到坐标的原点O处 移到坐标的原点 处.
y A a a x o
2011年4月13日星期三
y
r r r a = xi +y j y
A
r a
uuu r r r OA = xi +y j
r j
O
r x i
x
2011年4月13日星期三
平面向量的坐标表示
a
r r r a = λ1 e1 + λ 2 e 2
我们把不共线的向量
这一平面内所有向量的一组基底。 这一平面内所有向量的一组基底。 研究更一般的情况 基底
e1 、 2叫做表示 e
2011年4月13日星期三
平面向量基本定理: 平面向量基本定理: 探究： 探究： (1)我们把不共线向量 1 、 2 叫做表示这一 我们把不共线 我们把不共线向量 平面内所有向量的一组基底； 平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一 关键是不共线； (2)基底不唯一，关键是不共线； 基底不唯一，
r 3i
2
4
6
-3
向量的坐标表示
3
4
uuu r r r O =xi+yj =(x, y) P
P（x，y）
2
r yj
j
-2
1
O i
-1 -2
r xi r uuu
2
4
6
向量
O P
一一对应 P（x ，y） （ ）
-3
2011年4月13日星期三
探索2: 探索
在平面直角坐标系内， 在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示 的向量如何用坐标来表示? 原点 的向量如何用坐标来表示
3、 OC 就是求作的向量 、
ur − 2.5e1
O
uu r 3e2
B
C
e2
e1
uuu uuu r uuu r uuu r r 如图， 不共线， 例2uuu ， r 、OB 不共线， = t AB (t ∈ R) ， 如图 uuu r OA uuu AP r 用 OA 、OB , 表示 OP . P uuu r uuu r 解： AP = t AB Q
r r r a = λ1e1 + λ2 e2
r e
r e
r r r (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 、e 由定理可将任一向量 2 的条件下进行分解； 的条件下进行分解； (4)基底 给定时，分解形式唯一 基底 给定时，分解形式唯一. r r r λ , λ 是由 e1 、e2 、a 唯一确定的数量
2
r r r a = λ1e1 + λ2 e2
= 0
2011年4月13日星期三
已知向量e 求作向量-2.5e1+3e2 例1.已知向量 1,e2，求作向量 已知向量
作法:1、任取一点 作 作法 、任取一点O,作 OA = − 2 .5 e 1 , OB = 3 e 2 . 2、作 、 OACB.
A
2011年4月13日星期三
§ 2.3.1 平面向量基本定理、 平面向量基本定理、 正交分解及坐标表示
引入
: 力学中力的分解
F 2
F
F 1
新课
e 设 1, e2是 一 面 两 不 线 同 平 内 个 共 的 向 , a是 一 面 任 向 , 试 究a 量 这 平 的 一 量 探 与 1, e2之 的 系 e 间 关 .
u r λ1e1 A e1
uuu uuu uuu r r r ∴ OP = OA + AP
B
= OA + t AB uuu uuu uuu r r r = OA + t( AO + OB)
uuu uuu uuu r r r = OA − tOA + tOB
A O
= (1 − t )OA + t OB
2011年4月13日星期三
例3
ABCD中 ABCD中，E、F
分别是DC和AB的中点， 分别是DC和AB的中点， DC 的中点
r e2
D
E
C
试判断AE,CF是否平行？ 试判断AE,CF是否平行？ AE,CF是否平行 A F uuu r uuur r r 解： 取基底 AB = e , AD = e uuu uuur 1uuur r 2 1 r r 则有 AE = AD + DE = e2 + e1 r 2 uuu uuu uuu uuu r r r 1 r r = AE FC = FB + BC = e1 + e2 uuu uuu r r 2 ∴ uuu // FC AE uuu r r ∵ AE , FC 共线，又无公共点, 共线，又无公共点
为起点， 以O为起点， P 3，为终点的向量能 为起点 （ 2） 否用坐标表示？如何表示？ 否用坐标表示？如何表示？
y a o
（ 2） P 3，
x
2011年4月13日星期三
4
3
2
（ 2） P 3，
r 2j
j
-2
1
O i
-1 -2
uuu r r r OP=3i +2j =(3,2)
2011年4月13日星期三
r a = ( x, y )
①
其中， 叫做 轴上的坐标， 其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上 轴上的坐标 叫做 轴上 的坐标， 式叫做向量的坐标表示。 的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
: 向量的坐标表示
y
a
j
o
(1,0) ( 1 )i = ____; (0,1) ( 2 ) j = ____;
A
A1
r r r b = −2i + 3 j = (−2,3); r r r c = −2i − 3 j = (−2, −3); u r r r d = 2i − 3 j = (2, −3).
小结
1 、平面向量的基本定理 2、平面向量的坐标的概念； 、平面向量的坐标的概念；
作业
课本习题2.3A组1，2，3题 组 ， ， 题 课本习题
r e1
B
∴ AE // FC
2011年4月13日星期三
我们学过功的概念， 我们学过功的概念，即一个物体在 的作用下产生位移s(如图 力F的作用下产生位移 如图 的作用下产生位移 如图)
F θ s
┓
B F O θ S
2011年4月13日星期三
Aபைடு நூலகம்
向量的夹角:
使两个向量的起点重合 θ ∈[0,π ] .
1 2
2011年4月13日星期三
平面向量基本定理 探究： 探究： 一组平面向量的基底有多少对？ 有无数对） （5）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） (6)若基底选取不同，则表示同一向量的实 若基底选取不同， 若基底选取不同 数 是否相同？ 可以不同，也可以相同） λ 1 、 λ 2 是否相同？ （可以不同，也可以相同） (7)特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ： λ1 = λ 2 = 0 特别的， 特别的 r r r 0 = 0 × e1 + 0 × e2r r (8)特别的，若 特别的， 特别的 使得: 使得 共线，则有， a 与 e1共线，则有， λ r r r r a = λ1e1 + 0 × e2 = λ1e1
O M C
a
e1 e2
a
ur N u λ2 e2 e2
B
a = λ1 e1 + λ2 e2 .
平面向量基本定理: 平面向量基本定理: 如果 是同一平面内的两个不共线 e1、 e 2 是同一平面内的两个不共线 r 向量，那么对于这一平面内的任一向量 向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 λ 1 、 2 使 λ
( 3 )0 = (0,0) . ____
i
x
a = xi + y j
a = ( x, y )
例题
r r r u r r r 如图， 例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、 、 、 ，并求出 如图 b c d
它们的坐标。 它们的坐标。
A2
解：如图可知
r ∴ a = (2,3)
同理
r uuur uuuu r r r a = AA1 + AA2 = 2i + 3 j
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
平面向量的正交分解及坐标表示
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B
P
a 2 3坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
CD 2i 3 j
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
平面向量的坐标表示
y 如图，i，j是分别与x轴，y轴方向相
D a
同的单位向量，若以i，j为基底，则
C
A
对于该平面内的任一向量a,
平面向量基本定理及坐标表示讲义
专题3:平面向量基本定理及坐标表示核心知识点1：平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．核心知识点2：平面向量的正交分解及坐标表示1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y i ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．【知识微点评】点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2. 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．2．区别：(1)书写不同，如a ＝(1,2)，A (1,2)．(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x ，y )在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x ，y )或向量(x ，y )．4．平面向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有下表：核心知识点3：平面向量的垂直与平行1．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2＝x 2y 1时，a ∥b ．【知识微点评】两个向量共线条件的三种表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当b ≠0时，a ＝λb ．这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 两个向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识微点评】1.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．2．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．3．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示模 |a |2＝x 21＋y 21或|a |＝x 21＋y 21 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2夹角cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(a ，b 为非零向量) 【知识微点评】向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 必考必会题型1：用基底表示向量【典型例题】在平行四边形ABCD 中，，且，则λ+μ＝ ．【题型强化】1.如图，在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若m ，则实数m 的值为 ．2.如图，已知，与的夹角为60°，与的夹角为30°，，用，表示，则．【名师点睛】用基底表示向量的两种基本方法：用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.必考必会题型2：平面向量基本定理在平面几何中的应用【典型例题】如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【题型强化】1.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M．设，．（1）试用向量表示；（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，其中λ，μ∈R．当EF与AD重合时，λ＝1，μ，此时5；当EF与BC重合时，λ，μ＝1，此时5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式5恒成立，请说明理由．2.如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交AB，AC两边于点P，Q，设，请求出x、y的关系式，并记y＝f（x）（1）求函数y＝f（x）的表达式；（2）设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，且S1＝kS2，求实数k的取值范围．（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）必考必会题型3：平面向量坐标运算【典型例题】已知向量，．那么向量的坐标是．【题型强化】1.已知A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||||，则点P的坐标为．2.如图所示，在平面直角坐标系中，（2，﹣3），则点D的坐标为．【名师点睛】利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路：1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数.必考必会题型4：向量共线、垂直的坐标表示的应用【典型例题】已知向量（1，3），（2，），若单位向量与2平行，则．【题型强化】1.已知向量（1，3），（﹣2，1），（3，2）．若向量与向量k共线，则实数k＝．2.已知2，2，与的夹角为45°，且λ与垂直，则实数λ＝．【名师点睛】根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路：借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助或(其中，)，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可.必考必会题型5：向量坐标运算与平面几何的交汇【典型例题】如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【题型强化】1.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．（1）试以，为基底表示，；（2）求证：A，G，C三点共线．2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，O为△ABC的外心，，求x，y的值．【名师点睛】利用向量解决平面几何问题的基本思路：利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.必考必会题型6：向量坐标运算与三角函数的交汇【典型例题】设向量．（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值．【题型强化】1.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（cos A，a﹣2b），（2c，1）且．（1）求角C；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2.已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量（2﹣2sin A，sin A+cos A）与向量（sin A﹣cos A，1+sin A）共线，且角A 为锐角．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数的值域． 【名师点睛】解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路： 先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，注意到，可以简化运算. 【课后巩固】 1．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．-3B ．-2C ．2D ．32．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC 3．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．34．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ） A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 5．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．126．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．07．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________.8．已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 9．已知()2,1a =--，(),1b λ=，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为______. 10．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,2m =，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈． （1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 12．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ； （2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，(,),(,)p a c b q b a c a =+=--，若//p q ， （1）求角C 的大小；（2）若()cos 23ab C c =，求11tan tan A B +的值．。
向量基本定理
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）
2.3平面向量基本定理
当向量的始点在坐标原点时， 向量的坐标就是向量终点的坐标．
[思考尝试· 夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0；与 y 轴平行的向量的横坐 标为 0.( √ )
(2)两个向量的终点不同， 则这两个向量的坐标一定不同． (× ) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( √ )
练习：P53步步高，例 2，跟踪训练3 例题讲解：P53 跟踪训练1.
练习：P54 当堂检测3，5
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
[知识提炼· 梳理]
1．平面向量共线的条件 向量 a(a≠0)与 b 共线， 当且仅当有唯一一个 实数 λ，使 b＝λ_a．
2.平面向量共线的坐标表示： 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a，b 共 线⇔x1y2－x2y1＝0．
[常规解答] 设 AC，BD 交于点 O， 1→ 1 → → 1→ 1 → → 则有AO＝OC＝ AC＝ a，BO＝OD＝ BD＝ b. 2 2 2 2 1 1 → → → → → 所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝ a－ b， 2 2 1 1 → → → BC＝BO＋OC＝ a＋ b. 2 2
练习：步步高P51例3，跟踪训练3
2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
[知识提炼· 梳理] 1．平面向量基本定理
条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底
→ ＝－OC → ，故 O 为 CM 的中点， 所以OM 1 1 1 所以 S△AOC＝ S△CAM＝ S△ABC＝ ×4＝1. 2 4 4
高中数学2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示)教案新必修4
2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。
人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
2.3.1平面向量基本定理、正交分解及坐标表示
教学过程
EXIT A( x , y ), B( x , y ) AB ( x x , y y ). 1 1 2 2 2 1 2 1
2014年7月7日星期一
新课
首页 例1、已知a (2,1), b (3,4), 求a b, a b ,3a 4b的坐标. 教学过程
i
x
EXIT a xi y j
a ( x, y)
2014年7月7日星期一
新课
(1)a b ____; (2)a b ____; (3) a ____ .
首页 若a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 :
引入 进行 小结 作业
首页
首页
引入 进行 小结 作业
教学过程
§ 2.3.1 平面向量基本定理 、正交分解及坐标表示
EXIT
2014年7月7日星期一
引入
首页 力学中力的分解 :
引入 进行 小结 作业
教学过程
F1
F
F2
EXIT
2014年7月7日星期一
首页 平面向量基本定理 :
引入 进行 小结 作业
教学过程
a 1 e1 2 e2 .
EXIT
基底 :
不共线的向量e1 , e2 , 称之.
2014年7月7日星期一
新课
首页 向量的夹角 : 使两个向量的起点重合. [0, ] 教学过程 (1)当 0时, a与b ____;
引入 进行 小结 作业
(2)当 时, a与b ____; (3)当 时, a与b ____ . 2
EXIT
2014年7月7日星期一
平面向量的正交分解坐标表示及坐标运算
变式练习： 变式练习 a + b = (−4,−3), a − b = (2,1), 求a, b.
探究三： 探究三：点的坐标与向量坐标的关系
2.如图 如图， 例r 如图，已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) uuu 这是一个重要结论！ 这是一个重要结论！ 的坐标。 求 AB 的坐标。 y uuu uuu uuu r r r 解：
r r a = b ⇔ x1 = x2且y1 = y2
r r a + b = ( x1 + x 2 , y 1 + y 2 ) r r a − b = ( x1 − x 2 , y 1 − y 2 )
2 加、减法法则 减法法则.
3 实数与向量积的运算法则 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x +y )=（λx，λy ） i j（ 4 向量坐标 向量坐标.
BD = BA + BC = (−2 − (−1),1 − 3) + (3 − (−1), 4 − 3) = (3, −1)
D A O x
而 uuur uuu uuu r r OD = OB + BD = (−1,3) + (3, −1) = (2, 2) 所以顶点D的坐标为 ， ） 的坐标为（ 所以顶点 的坐标为（2，2）
思考1: 思考1:
分别与x 轴方向相同的两单位向量i 分别与 轴、y 轴方向相同的两单位向量 、j 能否作为平面向量的基底? 能否作为平面向量的基底
y a j O x
任一向量a ，用这组基底 任一向量 能不能表示? 能不能表示
i
探究一、平面向量的坐标表示 探究一、平面向量的坐标表示: r r r y a = xi +y j
2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示
q r a
uu uu r r 1、 1 、 2 是平面内的一组向量，则平面内任一向 e e
判断下列命题的是否真命题，并说明理由
uu uu r r e e 2、 1 、 2 是平面内的一组基底，若实数λ 、 2 使 1 λ uu r uu r r λ λ e1 +λ e2 = 0 ，则 1 =λ = 0 (真) 1 2 2 uu uu r r 3、如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向
r uu r uu r a =λ e1 +λ e2 1 2
uu r uu r 我们把不共线的向量 e 1 ，e 2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底。
对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底。 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共 线的方向分解成两个向量的和的形式 3)分解是唯一的（给定基底后）
向量，叫做把向量正交分解。
4.向量的坐标表示：分别与x 轴、y 轴方向相同的两
单位向量i
、j 作为基底，任一向量a ，用这组基底可 表示为a =x i + y j， （x，y）叫做向量a的坐标
作业布置 课本P101,A组 1(作业本) P102, B组 3 ,4选作
练习册，预习新课
r uu r uu r λ 数对实数 λ 、 2 ，使 a =λ e1 +λ e2 1 1 2
r uu r uu r λ λ 量都可以表示为 a =λ e1 +λ e2 ，其中 1 、2 Î R (假) 1 2
r 量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，可能有无
(假)
课堂练习 （1）已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰三角 形，F为ED的中点， EA = e1 , EF = e 2 , 以 e1 , e 2 为基底 表示向量 uu r ur uu r e2 − e1 ___; AB = __________ _________ e2 AF = __________ 2 uu r ur uu r ur e2 − e1 ___; BD = __________ _________ e2 − e1 AD = __________ uur uur uur uuruur uu uur uur uu uur r r r uu ur r uur uur uu 2 uu 2 r ur uruu uu 2 2 uu r r r ur A F = B = F − F AE DA =e2B De2 =−− Ae1D − = A B e2 − ee1 −+ e1 e− = e e2 − e1 A E E = = AF = 2 FD uu r ur B A = e2 − e1