3金属自由电子气的Sommerfeld模型
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固体物理-金属电子理论解析
N’ N(EF)f(EF)E N(EF0)(2kBT)/2＝ N(EF0) kBT
1
由于：N EF0 C EF0 2
及
N 2C 3
EF0
3 2
N
EF0
3N 2EF0
于是，
N
3N 2EF0
kBT
而每个电子热运动的平均能量为
3 2 kBT
由于热激发，系统所获得的能量为
E T
N
3 2
3. 能态密度
E k
2k 2
2
2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
这表明，在k空间中，自由电子的等能面为球面，在能 量为E的球体中，波矢k的取值总数为
k 4k3
3
每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋， 根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两 个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能 量为E的球体中，电子能态总数为
另一方面，电子由于碰撞而失去其定向运动。设电
子相邻两次碰撞之间的时间间隔为，且一旦发生碰撞， 电子就完全失去其定向运动。粗略假想，所有电子都在 时间内同时发生碰撞，其结果使分布回到平衡状态， 这样反复循环。于是，可求出费米球心移动的距离为
k dk e
dt
所以，电子的定向漂移速度为
1
d
m
2. Pauli顺磁 这里只考虑T 0的极端情况。
当B=0时，由于电子 自旋方向相反的两种 取向的几率相等，所 以，整个系统不显示 磁性，即M=0。
E
- B
E0
F
当B 0时，自旋磁矩 在磁场中的取向能：
N(E)/2
0
B=0
B
N(E)/2
B平行于B： －BB； B反平行于B： ＋ BB
1
由于：N EF0 C EF0 2
及
N 2C 3
EF0
3 2
N
EF0
3N 2EF0
于是，
N
3N 2EF0
kBT
而每个电子热运动的平均能量为
3 2 kBT
由于热激发，系统所获得的能量为
E T
N
3 2
3. 能态密度
E k
2k 2
2
2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
这表明，在k空间中，自由电子的等能面为球面，在能 量为E的球体中，波矢k的取值总数为
k 4k3
3
每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋， 根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两 个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能 量为E的球体中，电子能态总数为
另一方面，电子由于碰撞而失去其定向运动。设电
子相邻两次碰撞之间的时间间隔为，且一旦发生碰撞， 电子就完全失去其定向运动。粗略假想，所有电子都在 时间内同时发生碰撞，其结果使分布回到平衡状态， 这样反复循环。于是，可求出费米球心移动的距离为
k dk e
dt
所以，电子的定向漂移速度为
1
d
m
2. Pauli顺磁 这里只考虑T 0的极端情况。
当B=0时，由于电子 自旋方向相反的两种 取向的几率相等，所 以，整个系统不显示 磁性，即M=0。
E
- B
E0
F
当B 0时，自旋磁矩 在磁场中的取向能：
N(E)/2
0
B=0
B
N(E)/2
B平行于B： －BB； B反平行于B： ＋ BB
3.金属自由电子气的Sommerfeld模型
http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型
EF k BTF
k BT9
被激发电子数
电子经典能量
N U (T / TF )k BT 2
U c N (T / TF )k B T
el V
2
• 与严格的理论相比，只差一个因子 / 2 4.9 一般金属的TF~104-105K，因此，室温下，电子经 典比热被高估两个量级 注意，我们仅仅根据量子统计的规律，估计了参与 这个过程的电子数，其能量仍是经典的。这就抓住 了问题的本质！恰恰说明这是个量子问题。 • 思考：Drude模型中还有什么困难应该也只考 虑应用这个结论，即只有费米能级附近的电子 起作用，就会得到接近正确的结果？
L
k (r ) e
ik y L
ik r
边界条件导致k取值 的量子化，分立值
循环边界条件既保持 ik x L ik z L e e e 1 了固体的有限尺寸， 又易于操作。另一种 2 4 6 k x , k y , k z 0; ; ; ; 边界条件即驻波条 L LSommerfeld L 模型 件，作为习题。 14 http://10.107.0.68/~jgche/
8
3、比热的定性估计(半经典)
• 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目 N N ~ (k BT / k BTF ) (T / TF ) 2 2
V 4 3 N 2 k F 3 2 3
自旋 状态密度 体积
16
最高占据能级Fermi能级
EF k BTF
k BT9
被激发电子数
电子经典能量
N U (T / TF )k BT 2
U c N (T / TF )k B T
el V
2
• 与严格的理论相比，只差一个因子 / 2 4.9 一般金属的TF~104-105K，因此，室温下，电子经 典比热被高估两个量级 注意，我们仅仅根据量子统计的规律，估计了参与 这个过程的电子数，其能量仍是经典的。这就抓住 了问题的本质！恰恰说明这是个量子问题。 • 思考：Drude模型中还有什么困难应该也只考 虑应用这个结论，即只有费米能级附近的电子 起作用，就会得到接近正确的结果？
L
k (r ) e
ik y L
ik r
边界条件导致k取值 的量子化，分立值
循环边界条件既保持 ik x L ik z L e e e 1 了固体的有限尺寸， 又易于操作。另一种 2 4 6 k x , k y , k z 0; ; ; ; 边界条件即驻波条 L LSommerfeld L 模型 件，作为习题。 14 http://10.107.0.68/~jgche/
8
3、比热的定性估计(半经典)
• 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目 N N ~ (k BT / k BTF ) (T / TF ) 2 2
V 4 3 N 2 k F 3 2 3
自旋 状态密度 体积
16
最高占据能级Fermi能级
索末菲模型
由等式左边得到
i df df E 即 i Ef f dt dt
2
由等式左边得到 2 U ( r ) E 2m 解出 则有 f(t) Ce
iE t iE t
( r, t ) ( r )Ce
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程： 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) V x, y , z, t i 2m x y z t 式中Ψ Ψ(x,y, z, t)是粒子在势场V x,y,z,t 中运动 的波函数。
i ( pr Et ) Ae
这种波称为德布罗意波
对自由粒子波函数 i E t 由上式可得 i E 即E与算符 i 相当 t t 对自由粒子波函数
2
i ( pr Et ) Ae 求偏微商,得到
i ( pr Et ) Ae 进行二次偏微商 ,得到 2 Ap x 2 i ( p x x p y y p z z Et ) e
i k x x k y y k z z Ae Ae 2 2 － E 2k 2 2m E 2m ik r
1 3 / 2 dr 1 A dr 1 A V A L 1 A L V
ny、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。
波矢k
Ae Aei k x x k y y k z z 2k 2 h2 2 2 2 E n n n x y z 2 2m 2mL 2 0 nx , ny , nz k x L n x n x Z 2 ny ny Z k kx I k y J kz K k y L k z 2 nz nz Z L 2n x 2n y 2nz I J K L L L 其中 L Na a为晶格常数
金属电子气体理论
一,金属自由电子气体模型1.1 经典电子论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne Sj E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩r1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
1.3 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
金属自由电子气模型ppt课件
2k 2 E 2m
为波矢量.
E是电子的能 量本征值 P为电子的动 量本征值
p k
16
周期性边界条件
在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位 置受金属边界的限制 (r Lx ) (r ) (1) 周期性边界条件： (r Ly ) (r ) (2) (r Lz ) (r ) (3)
金属的电导率
有外电场时金属中自由电子的运动规律 (1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度; (2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度; (3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。 这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。
eE v a =me 1 v平 = v 2 j nev平 j E
3
经典电子自由理论
1900年，特鲁德首先将金属 中的价电子与理想气体类比，提 出了金属电子气理论。 • 1904年，洛伦兹将麦克斯韦玻耳兹曼统计分布规律引入电子 气，据此就可用经典力学定律对 金属自由电子气体模型作出定量 计算。 • 这样就构成了特鲁德-洛仑兹 自由电子气理论，称为经典自由 电子理论
10
魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系
(洛仑兹关系)
实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律
在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比 正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
2 C e,V v l e m v kB LT 2 2 3 ne l 2m v e
12
关于电阻率的思考
由之前的推导可以 得到：
E m 1 e e J ne vd ne (a ) n ne2
为波矢量.
E是电子的能 量本征值 P为电子的动 量本征值
p k
16
周期性边界条件
在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位 置受金属边界的限制 (r Lx ) (r ) (1) 周期性边界条件： (r Ly ) (r ) (2) (r Lz ) (r ) (3)
金属的电导率
有外电场时金属中自由电子的运动规律 (1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度; (2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度; (3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。 这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。
eE v a =me 1 v平 = v 2 j nev平 j E
3
经典电子自由理论
1900年，特鲁德首先将金属 中的价电子与理想气体类比，提 出了金属电子气理论。 • 1904年，洛伦兹将麦克斯韦玻耳兹曼统计分布规律引入电子 气，据此就可用经典力学定律对 金属自由电子气体模型作出定量 计算。 • 这样就构成了特鲁德-洛仑兹 自由电子气理论，称为经典自由 电子理论
10
魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系
(洛仑兹关系)
实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律
在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比 正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
2 C e,V v l e m v kB LT 2 2 3 ne l 2m v e
12
关于电阻率的思考
由之前的推导可以 得到：
E m 1 e e J ne vd ne (a ) n ne2
金属,杜德,索末菲模型
m v 2 ~ k BT
has to change when going through regions with different T
1 2
1 2
Mechanics: Collision with ions, with other electrons, etc, where energy transfer can take place. Length scale to distinguish different v 2 :
忽略电子与电子之间的相互作用（独立电子近似）， 忽略电子与离子之间的相互作用（自由电子近似）， 电子只受到均匀外电场的作用；（Kinetic theory） 电子受到的碰撞是瞬时的，来自电子与离子实（杂质 原子）之间的散射； 电子在单位时间内散射的几率是1/τ，τ是电子驰豫 时间（relaxation time / life time）； 电子在各种散射下达到热力学平衡，即，电子在碰撞 之后的状态是随机的，由热力学平衡决定其分布。
| x1 x2 | l v
Thermal conductivity(3)
1D model:
j q ( x)
n n v (T ( x v )) v (T ( x v )) 2 2
n average left (right) going electron number per unit volume 2 v average velocity average energy carried by electrons If temperature varies slowly with x (on scale of mean free path l )
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
金属自由气体模型
第十九讲金属自由气体模型一、固体物理中的主要模型（理论）：Atoms in the solid matter= ion cores (离子实)+ valence electrons（价电子）= nuclei + core electrons + valence electrons1.最简单的模型—金属自由电子气体模型a)认为离子实静止不动；b)通过“自由电子近似（凝胶模型--离子实系统产生的势场是均匀的）”和“独立电子近似（忽略电子与电子之间的作用）”形成一类最简单的“单电子近似”模型：i.Drude Model (1900)ii.Sommerfeld Model (1928)2.次简单模型Ⅰ—晶格模型和能带理论a)认为离子实仍然静止不动；b)离子实系统产生的势场随空间是周期变化，不再是均匀的。
3.次简单模型Ⅱ—晶格振动理论和声子模型a)不考虑电子的运动；b)离子以简正模式运动。
4.最复杂的模型—电子与声子相互作用理论，光子与声子相互作用理论，光子与电子（固体、半导体中的电子，）相互作用理论，…总结：学习这种将复杂的大问题（真实的物理体系）化成可以局部求解的小问题（简化的物理体系）；通过不断对简单模型的修正，来处理复杂的体系。
在学会这种思维方式的同时，保持头脑清醒，牢记各种模型的成立前提（或条件，或可忽略的物理内容），才能正确使用模型，得到合理的有价值的结论。
二、Sommerfeld量子金属自由电子气体模型通过三个近似，将一块体积为V的金属简单地看成一堆价电子在体积为V的“空盒子”中运动的单纯由电子组成的体系。
1.自由电子近似——对金属来说是个比较好的近似。
a)忽略价电子与离子实之间的作用，认为离子实系统产生的势场对处在其中的价电子来说是均匀的。
b)将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀正电荷背景。
c)价电子的自由运动范围仅限于金属块的体积V内，由金属的表面势垒将价电子限制在样品内部。
2.独立电子近似——对其它晶体（包括半导体和绝缘体）来说也是一个比较好的近似。
1.1 Sommerfiled模型
1S 2 2S 2 2 P 6 3S 1
2）径向电荷密度分布如下图
根据量子力学 的研究结果
返 回
可见： 1）芯电子径向几率分布主要集中在1Å的范围内 2）价电子径向几率分布远达3Å以外
金属钠晶体(bcc ；a=4.225Å )： 大量的钠原子
构成
最近邻原子间距为3.66Å ~ 价电子径向几率分布范围 可见： 1)芯电子基本上将仍然局域 于各自核的附近 2)价电子将有一定几率进入相邻 钠原子的核有效作用范围内而成 为相邻钠原子中的一个价电子 以此类推，对于由大量钠原子构成的金属钠晶体，任 一钠原子的价电子将会有一定的几率进入到所有钠原子的 核有效作用范围内，即其电子云的分布将遍及整个晶体体 积。价电子因其电子云的分布遍及整个晶体体积而为所有 钠离子共有，这称为价电子的共有化。
能量跃迁到费米面外能量较高的空着的单电子态上去，因此由
5 2 k BT 2 2 k BT ET N 0 [1 ( ) ] N 0 ( N ) k BT 12 F 4 F
可知，温度T时金属中被热激发到费米面以上高能态的电子数为
2 k BT N T N 4 F
§1.1 Sommerfield 模型及基态性质 §1.1.l 金属中自由电子的形成
根据建立在量子力学基础上的原子结构理 论，金属材料中的传导电子是来源于金属原子 外壳层中的价电子在形成金属固体时所产生的 共有化效应。
下面，以金属Na为例，来说明金属材料中的自由电子 是如何形成的。 Na原子原子结构 1）电子组态
由于金属中这种自由电子的行为类似于理想气体分子，
故通常将金属材料中的所有自由电子统称为自由电子气体。
动画1.1.l —１
金属中自由电子的形成
金属自由自由电子气体模型及基态性质解析PPT课件
v p k mm
2k2 1 m 2m 2
2k 2 m2
1 mv2 2
即电子的能量和动量都有经典对应，但是，经典中的平面 波矢k可取任意实数，对于电子来说，波矢k应取什么值呢？
4.波矢k的取值
波矢k的取值应由边界条件来确定
边界条件的选取，一方面要考虑电子的实际运动情况（表面和内部）；另一方 面要考虑数学上可解。
4π
k2
d
k
E dE ky
dZ
2
V
2π 3
4π
2m
2
m d 2 2m
E
kx
4πV
2π 3
(2 m )3 2 1 2
3
d
3
4πV
2m h2
21
2d
N ( )
dZ
C
1 2
d
其中
C
4πV
2m h2
3
2
第24页/共30页
法3. 在k空间自由电子的等能面是半径
k 2mE 的球面，
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开 金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。
二者的一致性，表明周期性边条件的合理性
由周期性边界条件：（讲解以下推导过程）
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
V
(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):
k
1 k
1
( 2 )3
L3
(2 )3
V
8 3
L
注意量纲
第14页/共30页
三、基态和基态能量 1.N个电子的基态、费米球、费米面 电子的分布满足：能量最小原理 和 泡利不相容原理
固体物理第二章金属自由电子论
u为平均附加速度: v
v :电场附加给电子的平均速度(平均附加速度)。?? 10
考虑某一个电子，从上次碰撞发生起，有t时间的行 程。如果无外电场，其速度为v0。根据特鲁德模型德假 设，碰撞后电子出现的方向是随机的，因此v0将对总体 的电子平均速度毫无影响，即：
v0 0
但在外电场存在条件下，在上一次碰撞后立即附加
上一个速度：
eEt vt m
(E为外加电场，m为电子质量)。因此电子平均速度 只是由各电子的附加速度取平均获得。
vv0vt
eE
m
t2 t1
11
欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
成功用微观量解释了宏观量！
12
特鲁德模型的其他成功之处
Nat. Photon. 1, 641, 2007
EF0 ~ 几个eV
定义 Fermi 温度：
TF
E
0 F
kB
物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度 下的振动能。
金属：TF： 104 ~ 105 K 36
一些金属元素费米能与费米温度的计算值
元素
Li Na K Rb Cs Cu Ag Au Be
EF0 (eV) 4.72 3.23 2.12 1.85 1.58 7.00 5.48 5.51 14.14
怎么求dN！ 接下来问题就来了！ dU EdN
Here comes the problem U EdN
16
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
怎么求dN！
对于理想气体貌似有某个方法 对于dV范围内的分子数为： dN=dV内分子密度×dV
对于dE范围内的：
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EF k BTF
k BT9
被激发电子数
电子经典能量
N U (T / TF )k BT 2
U c N (T / TF )k B T
el V
2
• 与严格的理论相比，只差一个因子 / 2 4.9 一般金属的TF~104-105K，因此，室温下，电子经 典比热被高估两个量级 注意，我们仅仅根据量子统计的规律，估计了参与 这个过程的电子数，其能量仍是经典的。这就抓住 了问题的本质！恰恰说明这是个量子问题。 • 思考：Drude模型中还有什么困难应该也只考 虑应用这个结论，即只有费米能级附近的电子 起作用，就会得到接近正确的结果？
k空间基态电子如何分布?
kz kF
电子在k空间都处于 半径为kF的球内， 占据球内每一点
Fermi 能级 速度
温度
kx Pauli原理：每个 k 态填不同自旋的两 个电子，由低到高 填充，形成一个球
2 2 kF k F T E F vF F ky EF kB 2m m
半径 kF 的球内的状态数为
6
FD分布性质
f (E)
基态
1 e
( E E F ) / k BT
1
0 f (E) 1
1 当E EF T ~ 0K, f ( E ) 0 当E EF
EF，T=0时的电子的最高占据能 级费米能级 对应的费米温度TF= EF/kB
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• Sommerfeld模型
* 用量子力学处理电子气，给出它的基态的基本性质 并引入一些重要概念 状态密度，费米能级、费米波矢、费米温度、基 态总能量等 † 这些重要概念在超出自由电子模型后也适用
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2
第3讲、Sommerfeld模型
Sommerfeld模型
http://10.107.0.68/~jgche/
13
循环边界Born-von Karman条件
( x L, y , z ) ( x , y , z ) ( x , y L, z ) ( x , y , z ) ( x, y , z L ) ( x, y , z )
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11
4、 Sommerfeld模型(基态性质)
ˆ H
i
p i2 2m
• 在V=L3内的N个自由电子。独立电子近似分 离变量单电子方程单电子波函数 2 2 2 ik r k (r ) C r (r ) E (r ) k (r ) Ce 2m • 模为常数表示电子在各处出现的几率都相同 • k平面波波矢，方向为平面波传播方向 • k的大小与波长的关系为 k 2 / • 波函数代入方程得到解，即自由电子的能量
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Sommerfeld模型
19
6、状态密度——能量空间
• 状态空间，k点等间距分布，每个k点占有的体 积 3 3 2 8 k V L • k空间单位体积内k点数——状态密度（常数）
V 1 3 k 8
• 更常用的是能量空间的状态密度？
8
3、比热的定性估计(半经典)
• 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目 N N ~ (k BT / k BTF ) (T / TF ) 2 2
* 电流也是Fermi能级附近的能态占据状况发生变化 引起的，即如果加外场，也只有Fermi能级附近的 状态发生变化下讲讨论
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Sommerfeld模型
17
基态总能量 (T=0)
• 单位体积自由电子气体的基态能量：Feimi球 内所有电子能量之和
2k 2 E0 2 k k F 2m
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5
2、 Fermi—Dirac分布
• Drude模型用经典统计：在给定的电子气密 度，温度T，平衡态，Maxwell—Boltzmann分 布 3/ 2
m f MB ( E ) n 2k T B e E / k BT
1. 再论Drude模型 2. 费米—狄拉克分布 3. 4. 5. 6. 7. 比热的定性估计 Sommerfeld模型 状态密度——波矢空间 状态密度——能量空间 T=0时电子气性质
8. 定量计算比热
http://10.107.0.68/~jgche/
Sommerfeld模型
3
1、再论Drude模型
5、状态密度——波矢空间
每个 k值在该空间代表一个点
2 4 kx, ky, kz 0; ; ; L L
• 每个点都是解，描写电子状态 • 每个状态在k空间占体积 2 / L 3 8 3 / V
V 1 3 k 8
2 / L
•状态密度：k空间单位体积内的状态数，它 j 是均匀的，是常数 1 VrjVkj •思考：二维、一维？ N 15 http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 2
• 对电子，用量子，即应该用Fermi—Dirac分布 来代替Maxwell—Boltzmann分布
f FD ( E ) e E EF / k BT 1 1
• 在温度T下，能量为E的状态被占据的几率。式 中EF称为化学势，是温度的函数。当温度为零 时称为费米能级电子最高占据能量
http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型
k 1 2 • 则相应的速度 v 比较电子动能 E mv 2 m
• 即自由电子的能量也可写成这个形式 • 现在的问题是，状态量子数k如何取值？ • 固体无限时，k可取任意正数值，E(k)因此是 连续的。对于有限固体来说，k由边界条件定 • 对足够大的固体来说，讨论体性质时，边界是 可以忽略的，通常用循环边界条件
自旋
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Sommerfeld模型
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为了将求和转换为积分，利用k空间单位体 积内的状态数，可得
V 1 3 k 8
E0 2 V V
2k 2 2 3 8 k k F 2m
2k 2 k k k F 2m
k kF 1 2 4k dk 2 2m 10m k kF
L
k (r ) e
ik y L
ik r
边界条件导致k取值 的量子化，分立值
循环边界条件既保持 ik x L ik z L e e e 1 了固体的有限尺寸， 又易于操作。另一种 2 4 6 k x , k y , k z 0; ; ; ; 边界条件即驻波条 L LSommerfeld L 模型 件，作为习题。 14 http://10.107.0.68/~jgche/
• Wiedemann-Franz定律，成功! • 金属电子比热，完全失败
* 实验测量，在低温时，电子对比热的贡献与温度成 正比，在绝对零度时消失 * 但是Drude模型却给出常数
3 cV nk B 2 • 为什么对比热失败？
• 对电导率呢？因为弛豫时间是个可调参数，并不能 说明没有困难 • 基本成功的只有Wiedemann-Franz定律
思考：经典极限？
7
FD与MB分布比较
• 典型金属，在 室温下的分 布。MB(黑)， FD(红)， FD(T=0K，绿) • 基态，零度时，电子都处于费米能级以下 • 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？ • 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的 某些能级空了出来
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2 2 kF 0 EF 2m
E0 2 3 V 8
2k 2 2 dk 3 2m 8 k kF
2
2
2
5
V 4 3 k F 再利用 N 2 3 2 3
电子气 平均能
2 5 3 2 k F 2 E0 1 3 3 0 3 2kF V 2 EF 3 N 10m V 2 4k F 5 2m 5
V 4 3 N 2 k F 3 2 3
自旋 状态密度 体积
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最高占据能级Fermi能级
F
http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld 模型 球内 基态时电子在半径为 k 的Fermi
Fermi能级？
• 基态下电子填充的最高能级 • Fermi能级：把基态下已被占据的状态和未被 占据的状态分开 • 只有Fermi能级附近的电子才容易被激发
2 2 2 2 E k k (k x k y k z ) 2m http://10.107.0.68/~jgche/ 2m Sommerfeld 模型
2
2
12
讨论
2 2 2 2 2 E k k (k x k y k z2 ) 述！ • k是电子动量算符p的本征态，电子动量 p k
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能量空间，kE
• k求和以积分代替，分立连续 V f (k ) 3 f (k )dk 8 k • 在能量空间，对分立能级的求和也可转换成积 分 dN f ( Ei ) f ( E ) D( E )dE D( E ) i dE • D(E)——状态密度：单位能量间隔E~E+dE内 的状态数
EF k BTF
k BT9
被激发电子数
电子经典能量
N U (T / TF )k BT 2
U c N (T / TF )k B T
el V
2
• 与严格的理论相比，只差一个因子 / 2 4.9 一般金属的TF~104-105K，因此，室温下，电子经 典比热被高估两个量级 注意，我们仅仅根据量子统计的规律，估计了参与 这个过程的电子数，其能量仍是经典的。这就抓住 了问题的本质！恰恰说明这是个量子问题。 • 思考：Drude模型中还有什么困难应该也只考 虑应用这个结论，即只有费米能级附近的电子 起作用，就会得到接近正确的结果？
k空间基态电子如何分布?
kz kF
电子在k空间都处于 半径为kF的球内， 占据球内每一点
Fermi 能级 速度
温度
kx Pauli原理：每个 k 态填不同自旋的两 个电子，由低到高 填充，形成一个球
2 2 kF k F T E F vF F ky EF kB 2m m
半径 kF 的球内的状态数为
6
FD分布性质
f (E)
基态
1 e
( E E F ) / k BT
1
0 f (E) 1
1 当E EF T ~ 0K, f ( E ) 0 当E EF
EF，T=0时的电子的最高占据能 级费米能级 对应的费米温度TF= EF/kB
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• Sommerfeld模型
* 用量子力学处理电子气，给出它的基态的基本性质 并引入一些重要概念 状态密度，费米能级、费米波矢、费米温度、基 态总能量等 † 这些重要概念在超出自由电子模型后也适用
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2
第3讲、Sommerfeld模型
Sommerfeld模型
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循环边界Born-von Karman条件
( x L, y , z ) ( x , y , z ) ( x , y L, z ) ( x , y , z ) ( x, y , z L ) ( x, y , z )
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4、 Sommerfeld模型(基态性质)
ˆ H
i
p i2 2m
• 在V=L3内的N个自由电子。独立电子近似分 离变量单电子方程单电子波函数 2 2 2 ik r k (r ) C r (r ) E (r ) k (r ) Ce 2m • 模为常数表示电子在各处出现的几率都相同 • k平面波波矢，方向为平面波传播方向 • k的大小与波长的关系为 k 2 / • 波函数代入方程得到解，即自由电子的能量
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Sommerfeld模型
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6、状态密度——能量空间
• 状态空间，k点等间距分布，每个k点占有的体 积 3 3 2 8 k V L • k空间单位体积内k点数——状态密度（常数）
V 1 3 k 8
• 更常用的是能量空间的状态密度？
8
3、比热的定性估计(半经典)
• 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 • Drude高估了对热容有贡献的电子数 • 估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目 N N ~ (k BT / k BTF ) (T / TF ) 2 2
* 电流也是Fermi能级附近的能态占据状况发生变化 引起的，即如果加外场，也只有Fermi能级附近的 状态发生变化下讲讨论
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Sommerfeld模型
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基态总能量 (T=0)
• 单位体积自由电子气体的基态能量：Feimi球 内所有电子能量之和
2k 2 E0 2 k k F 2m
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2、 Fermi—Dirac分布
• Drude模型用经典统计：在给定的电子气密 度，温度T，平衡态，Maxwell—Boltzmann分 布 3/ 2
m f MB ( E ) n 2k T B e E / k BT
1. 再论Drude模型 2. 费米—狄拉克分布 3. 4. 5. 6. 7. 比热的定性估计 Sommerfeld模型 状态密度——波矢空间 状态密度——能量空间 T=0时电子气性质
8. 定量计算比热
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Sommerfeld模型
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1、再论Drude模型
5、状态密度——波矢空间
每个 k值在该空间代表一个点
2 4 kx, ky, kz 0; ; ; L L
• 每个点都是解，描写电子状态 • 每个状态在k空间占体积 2 / L 3 8 3 / V
V 1 3 k 8
2 / L
•状态密度：k空间单位体积内的状态数，它 j 是均匀的，是常数 1 VrjVkj •思考：二维、一维？ N 15 http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld模型 2
• 对电子，用量子，即应该用Fermi—Dirac分布 来代替Maxwell—Boltzmann分布
f FD ( E ) e E EF / k BT 1 1
• 在温度T下，能量为E的状态被占据的几率。式 中EF称为化学势，是温度的函数。当温度为零 时称为费米能级电子最高占据能量
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k 1 2 • 则相应的速度 v 比较电子动能 E mv 2 m
• 即自由电子的能量也可写成这个形式 • 现在的问题是，状态量子数k如何取值？ • 固体无限时，k可取任意正数值，E(k)因此是 连续的。对于有限固体来说，k由边界条件定 • 对足够大的固体来说，讨论体性质时，边界是 可以忽略的，通常用循环边界条件
自旋
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为了将求和转换为积分，利用k空间单位体 积内的状态数，可得
V 1 3 k 8
E0 2 V V
2k 2 2 3 8 k k F 2m
2k 2 k k k F 2m
k kF 1 2 4k dk 2 2m 10m k kF
L
k (r ) e
ik y L
ik r
边界条件导致k取值 的量子化，分立值
循环边界条件既保持 ik x L ik z L e e e 1 了固体的有限尺寸， 又易于操作。另一种 2 4 6 k x , k y , k z 0; ; ; ; 边界条件即驻波条 L LSommerfeld L 模型 件，作为习题。 14 http://10.107.0.68/~jgche/
• Wiedemann-Franz定律，成功! • 金属电子比热，完全失败
* 实验测量，在低温时，电子对比热的贡献与温度成 正比，在绝对零度时消失 * 但是Drude模型却给出常数
3 cV nk B 2 • 为什么对比热失败？
• 对电导率呢？因为弛豫时间是个可调参数，并不能 说明没有困难 • 基本成功的只有Wiedemann-Franz定律
思考：经典极限？
7
FD与MB分布比较
• 典型金属，在 室温下的分 布。MB(黑)， FD(红)， FD(T=0K，绿) • 基态，零度时，电子都处于费米能级以下 • 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？ • 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的 某些能级空了出来
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2 2 kF 0 EF 2m
E0 2 3 V 8
2k 2 2 dk 3 2m 8 k kF
2
2
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V 4 3 k F 再利用 N 2 3 2 3
电子气 平均能
2 5 3 2 k F 2 E0 1 3 3 0 3 2kF V 2 EF 3 N 10m V 2 4k F 5 2m 5
V 4 3 N 2 k F 3 2 3
自旋 状态密度 体积
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最高占据能级Fermi能级
F
http://10.107.0.68/~jgche/ Sommerfeld 模型 球内 基态时电子在半径为 k 的Fermi
Fermi能级？
• 基态下电子填充的最高能级 • Fermi能级：把基态下已被占据的状态和未被 占据的状态分开 • 只有Fermi能级附近的电子才容易被激发
2 2 2 2 E k k (k x k y k z ) 2m http://10.107.0.68/~jgche/ 2m Sommerfeld 模型
2
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讨论
2 2 2 2 2 E k k (k x k y k z2 ) 述！ • k是电子动量算符p的本征态，电子动量 p k
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能量空间，kE
• k求和以积分代替，分立连续 V f (k ) 3 f (k )dk 8 k • 在能量空间，对分立能级的求和也可转换成积 分 dN f ( Ei ) f ( E ) D( E )dE D( E ) i dE • D(E)——状态密度：单位能量间隔E~E+dE内 的状态数