数值分析总结7
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是计算数值解的方法和理论，它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。
数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现，以及误差分析和计算复杂性分析等方面。
下面是数值分析的一些重要知识点的总结。
1.数值算法：数值算法是解决数学问题的计算方法，它由一系列具体的计算步骤组成。
常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。
2.数值稳定性：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。
一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应，就称为不稳定算法；反之，如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应，就称为稳定算法。
3.四舍五入误差：在浮点数计算中，由于计算机表示的限制，涉及舍入运算的计算可能会引入误差。
四舍五入误差是指在进行舍入运算时，取最近的浮点数近似值所引入的误差。
4.条件数：条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。
它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。
条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性，通常越大表示问题越不稳定。
5.插值：插值是基于已知数据点，构造插值函数来近似未知数据点的方法。
常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。
6. 数值积分：数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。
7.数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。
常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。
8. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的近似解。
常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。
9.误差分析：误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。
可以通过理论分析或实验方法来估计误差，并找到减小误差的方法。
10.计算复杂性分析：计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算资源的需求进行评估的方法。
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
数值分析期末知识点总结
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
数值分析实验报告总结
一、实验背景数值分析是研究数值计算方法及其理论的学科，是计算机科学、数学、物理学等领域的重要基础。
为了提高自身对数值分析理论和方法的理解，我们进行了数值分析实验，通过实验加深对理论知识的掌握，提高实际操作能力。
二、实验目的1. 理解数值分析的基本理论和方法；2. 掌握数值分析实验的基本步骤和技巧；3. 培养实验设计和数据分析能力；4. 提高编程和计算能力。
三、实验内容本次实验主要分为以下几个部分：1. 线性方程组求解实验：通过高斯消元法、LU分解法等求解线性方程组，并分析算法的稳定性和误差；2. 矩阵特征值问题计算实验：利用幂法、逆幂法等计算矩阵的特征值和特征向量，分析算法的收敛性和精度；3. 非线性方程求根实验：运用二分法、牛顿法、不动点迭代法等求解非线性方程的根，比较不同算法的优缺点；4. 函数插值实验：运用拉格朗日插值、牛顿插值等方法对给定的函数进行插值，分析插值误差；5. 常微分方程初值问题数值解法实验：运用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题，比较不同算法的稳定性和精度。
四、实验过程1. 线性方程组求解实验：首先，编写程序实现高斯消元法、LU分解法等算法；然后，对给定的线性方程组进行求解，记录计算结果；最后，分析算法的稳定性和误差。
2. 矩阵特征值问题计算实验：编写程序实现幂法、逆幂法等算法；然后，对给定的矩阵进行特征值和特征向量的计算，记录计算结果；最后，分析算法的收敛性和精度。
3. 非线性方程求根实验：编写程序实现二分法、牛顿法、不动点迭代法等算法；然后，对给定的非线性方程进行求根，记录计算结果；最后，比较不同算法的优缺点。
4. 函数插值实验：编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值等方法；然后，对给定的函数进行插值，记录计算结果；最后，分析插值误差。
5. 常微分方程初值问题数值解法实验：编写程序实现欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等算法；然后，对给定的常微分方程初值问题进行求解，记录计算结果；最后，比较不同算法的稳定性和精度。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是一门应用数学的学科，它的目标是使用数值方法来解决数学问题，尤其是那些难以使用解析方法求解的问题。
通过使用计算机来计算近似解，数值分析提供了一种实用而有效的解决方案。
在本文中，我将对我在学习数值分析过程中的一些主要收获进行总结。
一、数值方法的重要性数值方法不仅在科学计算中起着重要作用，而且在工程和实际应用领域也有广泛的应用。
无论是模拟天气预报、设计飞机的机翼，还是分析金融市场的波动，数值分析都可以提供快速、准确的结果。
因此，掌握数值方法成为了现代科学与工程领域必备的技能之一。
二、数值计算的误差与稳定性在数值计算中，我们经常会面对误差的问题。
舍入误差、截断误差和舍入误差都是我们需要关注的。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数计算时的有限精度而引入的，而截断误差则是由于将无限精度的数学问题转化为有限精度计算引起的。
为了减小误差，我们可以使用舍入规则，并尽可能减小截断误差。
稳定性是另一个需要考虑的重要因素。
在一些计算中，输入数据的微小变化可能会导致输出结果的巨大变化。
这种情况下，我们说该算法是不稳定的。
为了确保计算的稳定性，我们需要选择合适的算法和数据结构，并且要进行合理的数值分析。
三、插值和拟合插值和拟合是数值分析的重要应用之一。
在实际问题中，我们往往只能够获得有限个数据点，但是我们需要获得一条曲线或函数来描述这些数据。
插值方法可以通过连接这些数据点来获得平滑的曲线，而拟合方法则通过选择一个合适的函数来逼近数据点。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值和拟合方法，并进行适当的调整和优化。
四、求解非线性方程求解非线性方程是数值分析中的一个重要问题。
在实际应用中，很多问题都可以归纳为求解非线性方程。
例如，求解光学系统中的折射问题、解微分方程等。
数值分析提供了多种求解非线性方程的方法，如牛顿法、二分法、割线法等。
这些方法有着各自的特点和适用范围，我们需要根据问题的性质选择合适的方法。
数值分析-第七章小结
第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结姓名 班级 学号一、 学习体会本章研究求解常微分方程初值问题的数值方法．构造数值方法主要有两条途径：基于数值积分的构造方法和基于泰勒展开的构造方法．后一种方法更灵活，也更具有一般性．泰勒展开方法还有一个优点，它在构造差分公式的同时可以得到关于截断误差的估计．常微分方程初值问题的数值解法的基本思想就是对常微分方程初值问题的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间[a,b]上的一系列离散节点处的函数值的近似值.数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值。
本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法,包括单步法和多步法。
单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格—库塔方法，多步法是Adams 法。
它们都是基于把一个连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。
用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。
实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性。
谢谢半年多来的老师和助教的辛勤劳动！二、 知识梳理7.1 常微分方程初值问题的数值解法一般概念基本思想:将初值问题离散化步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩ 的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-显式Euler 公式10(,),0,1,n n n n n y y hf t y t t nh n +=+⎧⎨=+=⎩隐式Euler 公式1110(,),0,1,n n n n n y y hf t y t t nh n +++=+⎧⎨=+=⎩7.2 显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-单步法的局部截断误差111()()[,(),]n n n n n R y t y t h t y t h φ---=--整体截断误差()n n n y t y ε=-定理7.2.1 单步法的阶设增量函数在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即1()p n O h ε+=。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是数学与计算机科学交叉的一个重要领域，用来研究数学上的问题通过计算机进行有效的数值近似和解答。
它的应用范围广泛，包括物理学、工程学、金融学等各个领域。
在实际应用中，数值分析不仅能解决复杂的数学问题，还能帮助人们做出科学决策和优化设计。
本文将对数值分析的基本原理、常用方法和应用案例进行总结。
首先，数值分析的基本原理是通过近似计算的方式，以数值方法对数学问题进行求解。
它的核心思想是将连续的数学问题转化为离散的数值计算问题，通过将问题划分为多个离散的子问题来进行求解。
常用的数值分析方法包括差分法、插值法、数值积分等。
差分法是将连续函数在一系列有限的点上进行逼近的方法。
通过计算函数在这些离散点上的差分值，来近似计算连续函数的导数或微分方程的解。
差分法广泛应用于数值微分、数值积分和常微分方程的数值解法等问题中。
插值法是利用已知数据点构造一个连续函数，通过对这个函数进行求值来近似计算其他位置的数值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
插值法在数值逼近、数据拟合和信号处理等领域有重要应用。
数值积分是通过对函数在一段有限区间上进行近似计算来求取积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和高斯积分法。
数值积分在物理学、统计学和金融学等领域有广泛应用。
除了上述方法，数值分析还包括线性方程组求解、非线性方程求解和最优化等问题的数值解法。
线性方程组求解是在给定线性方程组的系数矩阵和常数向量的情况下，通过计算求解未知变量的数值解。
非线性方程求解是通过数值迭代法求解一个非线性方程的数值解。
最优化是寻找一个函数的最优解的问题，通过数值方法进行求解。
数值分析在实际应用中有许多成功的案例。
例如，在工程设计中，利用数值分析可以进行电路仿真、结构分析和流体力学模拟等，帮助工程师优化设计和验证方案。
在金融学中，数值分析可以用来计算期权定价、风险管理和投资组合优化等，对金融机构和投资者做出科学决策。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是研究用计算机和数学方法解决数学问题的一门学科，其核心是通过数值计算方法求解数学问题。
数值分析广泛应用于科学计算、工程计算以及实际问题的数值模拟和优化等领域。
本文将从数值方法的基本原理、数值线性代数、非线性方程求解、插值和曲线拟合、数值微分和数值积分、数值常微分方程等方面对数值分析进行总结。
数值方法的基本原理是将需要求解的数学问题转化为离散的数值计算问题。
数值方法主要包括近似计算、误差分析和收敛性研究。
近似计算通过选择适当的数值计算方法和算法，对原始问题进行精确程度有限的近似计算。
误差分析是研究数值计算和解析解之间的差别，包括截断误差和舍入误差。
收敛性研究是研究离散数值计算方法的收敛性，即当步长趋于零时，数值计算结果趋于解析解。
数值线性代数是数值分析的重要内容之一、数值线性代数主要研究线性代数方程组的数值解法。
常见的数值解法包括高斯消元法、LU分解法、Cholesky分解法等。
解线性代数方程组的数值方法可以分为直接法和迭代法两类。
直接法通过有限次数的计算求得方程组的解，而迭代法是通过求解逐步逼近方程组的解。
非线性方程求解是数值分析的另一个重要内容。
非线性方程求解的目标是找到方程的根，即方程的解。
常见的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法、割线法和迭代法。
这些方法根据不同的原理和特点，对非线性方程根的进行逐步逼近，最终得到根的近似值。
插值和曲线拟合是利用已知数据点确定未知数据点的数值计算方法。
插值方法通过已知数据点之间的连线来估计未知数据点的值。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
曲线拟合是通过已知数据点拟合出一条曲线，使得该曲线在已知数据点上与原始数据最接近。
最小二乘法是常用的曲线拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离来得到最佳拟合曲线。
数值微分和数值积分是数值分析的基础性内容。
数值微分是通过差商的定义计算函数在特定点的导数值。
常见的数值微分方法有前向差分法和中心差分法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.拉格朗日( Lagrange )插值给定k x (n k ,,1,0 =，其中b x a x n ==,0) 有n + 1个数据(k k y x ,) (n k ,,1,0 =)建立n 次多项式：()=x P n ()()()()()()()()()()()()++------+------ n n n n x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y 1210120102010210+()()()()()()()()()()()()()()()()11011011101110--+-+-------++----------n n n n n nn k k k k k k k n k k kx x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y ()x P n 作为()x f y =的近似函数，其误差()x R n （如果()x f y =有n + 1阶导数）为 ()x R n =()()()()()()x n f x P x f n n n 11!1+++=-ωξ，其中()()()n n x x x x x x ---+ 101ω（1）n=1时，为线性插值√ ()=x P 1()()()()01011010x x x x y x x x x y --+-- 或=()01010x x x x y y y ---+，即直线误差()211=x R ()ξf ''()()10x x x x --或()211≤x R M()()10x x x x --，其中()x f M xx x '=≤≤1max.（2）n=2时，为二次插值()=x P 2()()()()()()()()()()()()120210221012012010210x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y ----+----+---- [习题1]给出()x x f ln =的数值表，分别用线性插值及二次插值计算.54.0ln解:由表格知0x =0.4, 1x =0.52x =0.6 3x =0.7 4x =0.8()0x f = -0.916291, ()1x f =-0.693147, ()2x f =-.510826 , ()3x f =-0.356675 , ()4x f =-0.223144 .(1)用线性插值计算54.0ln √.54.0ln 即()54.0f ,此时0.5<0.54<0.6,故用()=x P !()()()()()()5.06.05.06.06.05.06.05.0--+--x f x f=-0.693147(-10)(6.0-x )+( -.510826)(10)(5.0-x )= 6.93147(6.0-x )-5.10826 (5.0-x ) 所以, ≈54.0ln 6.93147(6.054.0-)-5.10826 (5.054.0-)=-0.6202186≈0.620219. (2)用二次插值计算.54.0ln 由()=x P 2()()()()()()()()()()()()120210221012012010210x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y ----+----+----可知()x l 0=()()()()201021x x x x x x x x ----=()()()()()()6.05.0506.04.05.04.06.05.0--=----x x x x ()x l 1=()()()()210120x x x x x x x x ----=()()()()()()6.04.01006.05.04.05.06.04.0---=----x x x x ()x l 2=()()()()120210x x x x x x x x ----=()()()()()()5.04.0505.06.04.06.05.04.0--=----x x x x 故()=x P 2()()()x l y x l y x l y 221100++=-0.916291×()()6.05.050--x x+(-0.693147) ×()()()6.04.0100---x x +(-0.510826)()()5.04.050--x x所以()=54.02P -0.61531984≈-0.615320.2. 牛顿(Newton)插值公式 （也称：差商插值多项式）Newton 差商插值多项式()´x N n =()0x f +f [0x ,1x ](x -0x )+f [0x ,1x ,2x ](x -0x )(x -1x )+……+f [0x ,1x ,…n x ](x -0x )(x -1x )…(x -1-n x ).一阶差商f [0x ,1x ]=()()´101x x x f x f -- , (一般情况f [i x ，j x ]=()()´ij i j x x x f x f --) 二阶差商f [0x ,1x ,2x ]=[][]´,,121020x x x x f x x f -- (一般情况f [i x ,j x ,k x ]=[][]´,,jk j i k i x x x x f x x f --) k 阶差商f [0x ,1x ,…1-k x ,k x ]=[][]´,,,,,,011021x x x x x f x x x f k k k --- (k =1,2,……,n ) f [0x ,1x ,…n x ]=()()´!n f n ξ其中min(0x ,1x ,…n x )<ξ< max(0x ,1x ,…n x ) 插值余项(误差) ()x R n =()()x N x f n -=()()()´!11++n f n ξ()x n 1+ω 其中()x n 1+ω=(x -0x )(x -1x )…(x -n x ) [习题2]给已知数据表，试求()x f 的2次牛顿插值多项式及()0f 的近似值. √解: f [0x ,1x ]=()()´0101x x x f x f --=()!1131-=---;f [0x ,2x ]=()()´202x x x f x f --=()()341231-=----f [0x ,1x ,2x ]=[][]´,,121020x x x x f x x f --=()3!12134-=----所以,()x N 2=()0x f +f [0x ,1x ](x -0x )+f [0x ,1x ,2x ](x -0x )(x -1x ) =3+(-1)(x -(-1))+(31-) (x -(-1))(x -1)=37312+--x x ()()002N f ≈=37. [习题3] 给已知数据表，试求()x f 的3次牛顿插值多项式及()1.1f 的近似值. √所以，试求()x f 的3次牛顿插值多项式()x N 3=()0x f +f [0x ,1x ](x -0x )+f [0x ,1x ,2x ](x -0x )(x -1x )+f [0x ,1x ,2x ](x -0x )(x -1x )+f [0x ,1x ,2x ，3x ](x -0x )(x -1x )(x -2x ) =2-5（0-x ）+1（0-x ）（1-x ）+3（0-x ）（1-x ）（2-x ） =32823+-x x ()1.13N =-3.687.3.hermite 插值公式√已知在二个点1x ，2x 处：1y =()1x f , 2y =()2x f , 1m =()1x f ', 2m =()2x f '，则()x H 3=()2212121121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x x x x x f +()()221211⎪⎪⎭⎫⎝⎛---'x x x x x x x f ()2121212221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x x x x x f +()()212122⎪⎪⎭⎫⎝⎛---'x x x x x x x f [例题4]求一个次数不超过四次的多项式()x P ，使它满足()0P =()0P '=0，()1P =()1P '=1，()2P =1. 解: 题目要求hermite 插值多项式()x P ,由()0P =()0P '=0，()1P =()1P '=1代入公式()x H 3√()x H 3=()2212121121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x x x x x f +()()221211⎪⎪⎭⎫⎝⎛---'x x x x x x x f ()2121212221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x x x x x f +()()212122⎪⎪⎭⎫⎝⎛---'x x x x x x x f =1.201010121⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x +()201011⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅x x =-232x x +再由待定系数法求()x P ,令()x P =()x H 3+A ()()2210--x x ,将()2P =1代入,得1= -12222223⋅+⋅+A ,得到A=41,于是()x P =41()223-x x .4.分段线性插值k1-k 1+k()k x f(x f x0n(1)分段线性插值 (用二点插值公式组合即为分段线性插值 ,例如1,+k k x x 点处) √()x I k =11++--k k k kx x x x y +kk kk x x x x y --++11 , k =0，1，2，……，n. [线性插值函数()x I ](2)分段二次插值 (用三点插值公式：抛物线插值)k I =()()()()11111+--+-----k k k k k k k x x x x x x x x y +()()()()1111+-+-----k k k k k k k x x x x x x x x y +()()()()k k k k k k k x x x x x x x x y ----+-+-+11111,k =1，2，……，n-1.[习题5]求()x f =2x 在 【a,b 】上的分段线性插值函数()x I ，并估计误差. √ 解:在区间[a,b]上,0x = a, 1x = b; k h =k k x x -+1,k =0,1,……,n-1.()x f 在【a,b 】上的线性插值函数()x I 由各[]1,+k k x x 上的线性插值函数()x I k 全体所构成：()x I k =11++--k k k kx x x x y +kk kk x x x x y --++11=k k x x -+11[()1+--k k x x y +()k k x x y -+1]=kh 1[()x x x k k -+12+()k k x x x -+21]k =0,1,……,n-1.在[]1,+k k x x 误差为：()x R k =()x f −()x I k =()2ξf ''()()1+--k k x x x x在【a,b 】上误差为：()≤≤≤x R b x a max ()()2182h M x x x x M k k ≤--+=2h √ M=()2maxx f bx a ''≤≤=2 （因对2x 求导等于4），h =10max ´-≤≤n k k h ， 5.最小二乘曲线拟合设（i i y x ,）（i =0，1，…，m ）为给定的一组数据，函数空间S =()()(){}x x x span n ϕϕϕ,,,10 ，求一个函数()x s *=()()()()()22min k k nk Sx s kknk y x s y x s -=-∑∑=⊆*=， 其中()()()()x a x a x a x s n n ϕϕϕ+++=,,1100 .比较常用的是S ={}nx x x span ,,,,12 ,本教材原则上只用S ={}x span ,1,或者至多S ={}2,,1x x span .于是,由极值方法可以得到(1)以bx a y +=拟合所给数据(类似一次曲线)的最小二乘曲线拟合公式(重点) √()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011100100,,,,,,ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f b a(2)以2210x a x a a y ++=拟合所给数据(类似二次曲线)的最小二乘曲线拟合公式()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210210222120121110020100,,,,,,,,,,,,ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f f a a a[习题6]设1S ={}x span ,1, 在1S 上求一函数,使其为2x []1,0C ∈的最小二乘拟合曲线(最佳平方逼近). 解:()10=x ϕ,()x x =1ϕ, 则要求10,a a 使y =x a a 10+ (=*s ),由√()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡101011100100,,,,,,ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f a a 其中()00,ϕϕ=1111=⋅⎰dx , ()10,ϕϕ=21110=⋅⎰xdx , ()11,ϕϕ=311=⋅⎰xdx x()0,ϕf =31121=⋅⎰dx x , ()1,ϕf =4121=⋅⎰xdx x ,代入上述方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a解出610-=a , 11=a ,所求最小二乘拟合曲线: y =61-x . [注意]本题也可直接按照原始求最小二乘拟合曲线的方法，即已知函数为()x f ，构造()x a a x P 101+=， 使得()()()dx x f x P ba 21-=⎰δ最小，即只需0,01=∂∂=∂∂a aδδ，求出10,a a 即可以. √ 从而,()dx x x a aba2210-+=⎰δ,=∂∂0a δ2()dx x x a a 21010-+⎰=032210=-+a a=∂∂1a δ2()dx x x a a x 21010-+⎰=0213210=-+a a1,6110=-=a a , 故所求最小二乘拟合曲线: y =61-x . [习题7]用最小二乘法求形如y =210x a a +的经验公式,使它与表所示数据相拟合并求均方差. √解：()10=x ϕ,()21x x =ϕ，1S ={}2,1x span ，根据()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡101011100100,,,,,,ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f a a ()00,ϕϕ=()()k k k x x 0040ϕϕ∑==1×1+1×1+1×1+1×1+1×1=5()10,ϕϕ=()()k k k x x 1040ϕϕ∑==1×219+1×225+1×231+1×238+1×244=5327()11,ϕϕ=()()k k k x x 1140ϕϕ∑==219×219+225×225+231×231+238×238+244×244=7277699()0,ϕf =()k k k x f 040ϕ⋅∑==19×1+32.3×1+49×1+73.3×1+97.8×1=271.4()1,ϕf =()k k k x f 14ϕ⋅∑==19×219+3.32×225+49×231+3.73×238+8.97×244=369321.5,从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.3693214.271727769953275327510a a 解出0a =0.9726041 , 1a =0.0500351. 于是所求经验公式: y =20500351.09726041.0x +. [注]习题6是以连续的()10=x ϕ,()x x =1ϕ去构造最小二乘曲线,以拟合所给连续函数()2x x f =,故()jiϕϕ,=()()dx x x j i baϕϕ⎰,()=j f ϕ,()()dx x x f j baϕ⎰;而习题7是依据所给(离散的)数据()4,3,2,1,0,==k x f y k k ,用()10=i x ϕ, ()j j x x =1ϕ在去构造最小二乘曲线故用∑求和代替积分.另外，如果只用S ={}x span ,1，即以bx a y +=最小二乘拟合公式(重点)时，我们可以解以下方程√⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∑∑∑∑∑=====k m k k m k k mk k m k k mk k y x y b a x x x m 0002001 其中1+m 是指共有1+m 个插值点. [习题8] 已知()x f y x =,间关系如表所示,建立经验公式,用最小二乘法求系数.解:根据⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∑∑∑∑∑=====k m k k m k k m k k mk k mk k y x y b a x x x m 0002001,得⎩⎨⎧=+=+3.10117628.283596.396145896.3966b a b a , 解出⎩⎨⎧==23.235.95b a 所以, x y 23.235.95+=.√6.数值积分在[a,b]的函数()x f ，对于1+n 个数据对：()(),,00x f x ()(),,11x f x ……()(),,n n x f x 由拉格朗日插值公式得()()k nk x f x f ∑==0()()x r x l n k +，两边在[a,b]上积分，得()()dx x f f I ba⎰==()knk bax f ∑⎰=0()()dx x r dx x l n bak⎰+≈()knk bax f ∑⎰=0()dx x l k=()()dx x l x f k baknk ⎰∑=0=()k K n k x f A ∑=0，这里()dx x l A k bak ⎰=是常数.故()k K nk x f A ∑=0就是数值积分.k1-k 1+k()k x f(x f x0n(1)1=n 为梯形公式;记为T 形()()dx x f f I b a ⎰=()()()b f a f ab +-≈2(2)2=n 为幸普森公式Simpson(也称抛物线公式),记为S形√()()dx x f f I ba⎰=()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++-≈b f b a f a f a b 246 (3)4=n为Cotes 公式 (也称抛物线公式),记为S 形()()dx x f f I b a ⎰=()()()()()()b f x f x f x f a f ab 7321232790321++++-≈●代数精度的概念如果求积公式对于一切次数≤ m 的多项式是准确成立, 但对于m + 1 次多项式不准确，则称它具有m 次代数精度.直接验证知：①梯形公式具有一次代数精度；②辛普生公式具有3 次代数精度；③Cotes 公式 具有（偶数时）1+n 次；（奇数时）n 次. √[习题9]用T 形及S 形数值积分公式计算()dx xx I+=⎰111. √ [==2ln (实际)0.6931] 解: 用T 形数值积分公式()()()b f a f a b T +-=2=4321121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0.75 用S 形数值积分公式 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++-=b f b a f a f a b S 24636252138!6!=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=≈0.6944 [习题10]确定下列求积公式中的待定系数,使代数精度尽量高,并指明所构造出的数值求积公式所具有的代数精度. (1)()()()()h f A f A h f A dx x f hh!010++-≈--⎰√解;判断数值求积公式中的待定系数,通常用多项式的基:1, ,,,32x xx 逐个代入公式两端,看是否精确相等(注意不能出现近似相等).例如,将1代入两端精确相等,将x 代入两端精确相等, 将2x 代入两端精确相等,但将3x 代入两端时公式仍成立,但将4x 代入时,公式不成立了,则该公式的代数精度为3次.现令()1=x f ,则10!21A A A h dx hh ++==--⎰,而 ()x x f =,则h A h A xdx hh 1!0+-==--⎰,而()2x x f =,则212!3232h A h A h dx x hh +==--⎰,而解之, h A 31!=-, h A 340= , h A 311=. 故()()()()h f f h f dx x f h h 3103431++-≈⎰- ⊙式 令()3x x f =,分别代入⊙式两侧, 左=03=⎰-dx x h h , 右=()0310*******=++-h h .即⊙式两端精确相等.令()4x x f =,分别代入⊙式两侧. 左=5452h dx x h h =⎰-, 右=()4444323103431h h h =++-即⊙式两端不等.所以,该数值求积公式代数数度为3.次●复化数值求积法将[a,b]进行n 等分，每个子区间的长度nab h-=，对每个子区间[]1,+k k x x ()1,,1,0-=n k 运用T 形公式，即 ()dx x f k k x x ⎰+1()()()12++≈k k x f x f h则()dx x f ba⎰=()dx x f k kx x n k ⎰∑+-=11()()()112+-=+≈∑k k n k x f x f h =()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=∑b f x f a f h k n k 11022 =()()()⎪⎭⎫⎝⎛++-+-=∑b f x f a f n a b k n k 11022•复化梯形公式()()()⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-=∑b f x f a f n a b T k n k n 11022。