质心运动定理
质心运动定理
质心运动定理
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式,可由质点系动量定理直接导出。
即将P＝Mvc代入质点系动量定理dP/dt＝∑Fe，得：Mdvc/dt＝∑Fe或Mac ＝∑Fe——称为质心运动定理.(∵ac＝dvc/dt)
即：质点系的质量M与质心加速度ac的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。
可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。
定理的推论
根据这个定理可推知：
①质点系的内力不能影响它的质心的运动；例如跳水运动员自跳板起跳后，不论他在空中再做何种动作，采取何种姿势，由于外力(重力)并未改变，所以运动员的质心在入水前仍沿抛物线轨迹运动；
②如果作用于质点系上外力的矢量和始终为零，则质点系的质心作匀速直线运动或保持静止；
③若作用于质点系上外力的矢量和在某轴上的投影始终为零，则质点系质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理，也称为质心运动定理，是物理学中的一个重要定理，用于描述系统总质量的质心在不受外力作用时的运动特性。
质心是一个系统的所有质点的质量加权平均位置。
在不受外力作用的情况下，质心的运动有一个重要的特性：系统的质心以恒定的速度直线运动。
质心运动守恒定理的表述如下：
在一个封闭系统中，如果系统内部没有外力作用，那么系统的质心将以恒定的速度沿着直线运动。
这意味着，如果一个系统内部没有物体离开或进入，系统的总质量保持不变，而且系统的质心在运动过程中不会改变速度或方向。
质心运动守恒定理是一个非常有用的工具，特别在研究大规模物体组成的系统时，如行星运动、天体运动等。
需要注意的是，如果系统受到外力作用，那么质心运动守恒定理将不再适用，质心的运动将会受到外力的影响。
因此，在具体问题中，需要根据情况来判断是否可以应用质心运动守恒定理。
1/ 1。
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
4.4 质心 质心运动定理
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
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第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
大学物理 第三次修订本
ri
rc
mi
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
§2-4质心 质心的运动定律
m1v1x m2v2 x mn vnx =常量
m1v1 y m2v2 y mn vny =常量
m1v1z m2v2 z mn vnz
=常量
太原理工大学物理系
例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们 将在何处相遇？
y
o
解：
l
x
人和船组成系统，水平方向上不受外力。原来质 心静止，在人走动过程中质心始终静止，因而质 心的坐标值不变。 太原理工大学物理系
m1 x1 m2 x2 当人站在船的左端时 xc m1 m2 m1 x'1 m2 x'2 当人站在船的右端时 x'c m1 m2
m1x1 m2 x2 m2 x2 xc xc y x 1 x l d x x
m2 O m1
x
解 把两个小孩和绳看作一个系统，系统在水平 方向不受外力作用，水平方向质心速度不变。开 始时质心静止，两个孩子在运动过程中质心的位 置始终不变，所以在质心处相遇。
太原理工大学物理系
m2 O
C
m1
x20
xC
x10
x
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
在初始位置时，取 x20 0
F Mac 质心运动定理
质心的运动只由合外力决定，内力不能改变质 心的运动情况。
太原理工大学物理系
质心处的质点（质点系总质量）代替质点系 整体的平动.
4.合外力为零时质心的运动 如果系统所受的外力之和为零
由质心运动定理 F Ma c 得到 ac 0
Fi 0
太原理工大学物理系
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质心运动定理
质心运动定理，也称为质心定理或重心定理，是指在一
个系统中，质心的运动轨迹与被控制的物体或系统所受的力的性质有关系。
简言之，就是一个物体或系统中质心位置的变化量与作用在系统上的合力的大小和方向成正比。
质心运动定理是物理学中一个非常基本的定理，其具体
表述为：一个物体或系统中的质心所受的外力F，可以完全等
效于作用在系统上质量为整个系统质量的质点上，该质点运动的加速度与整个系统的质心所受的加速度相等，即：
F = MA
其中F为作用在系统上的合力，M为整个系统的质量，A
为整个系统的质心所受的加速度。
质心运动定理的意义非常重要，它为研究物体或系统的
运动提供了很有用的计算工具。
在实际应用中，质心运动定理可以用于分析和预测物体或系统的运动轨迹、速度和加速度等。
此外，质心运动定理还被广泛应用于机器人控制、流体动力学、宇航学和机械设计等领域。
为更好地理解质心定理的实际意义，以下我们将介绍一
些具体的应用场景：
1. 火箭的运动轨迹计算
火箭运动轨迹计算是质心运动定理的典型应用之一。
在
火箭发射过程中，产生的反推力会使火箭向上加速，而重力则会使其向下偏转。
此时，可以用质心运动定理来计算火箭的运动轨迹。
火箭的运动可以看作是由两个质点组成的系统：一个是火箭自身，另一个是喷气口所排出的燃料。
如果将整个系统看作一个质点，它所受的外力就是火箭发射过程中的反推力。
根据质心运动定理，可以将这个质点的运动加速度确定为整个系统的质心运动加速度。
然后，我们可以根据质心位置的变化率来计算火箭在空间中的位置和速度。
如果将质心坐标系与地球坐标系对齐，就可以得到火箭的运动轨迹。
2. 物体保持平衡
在某些情况下，我们需要确定一个物体的重心位置，才能使其保持平衡。
例如，在建筑工地上，建筑工人需要确定装满土壤的草坪车的重心位置，才能确保它不会侧翻。
我们可以通过质心运动定理来计算草坪车的重心位置。
首先，我们需要将草坪车看作一个较大的系统，将其质心位置确定在车身的中心。
然后，通过计算草坪车车身上各个部位的质量，可以确定它的质心位置。
如果草坪车上装载的土壤质量分布不均，就需要重新计算它的重心位置以确保平衡。
3. 确定机器人运动规划
机器人运动规划是质心运动定理在工业自动化领域中的应用。
在机器人的运动控制中，我们可以使用质心运动定理来确定机器人的运动规划，以完成非常复杂的工作任务。
例如，在对汽车进行喷漆时，机器人需要准确地控制喷枪的运动轨迹和速度，以便均匀地喷涂整个汽车表面。
为了确定机器人的运动规划，我们可以将机器人看作为一个质点，在计算机视觉系统的控制下，根据质心运动定理，确定机器人的运动加速度和位置变化，从而实现运动规划。
此外，根据质心运动定理，我们还可以优化机器人的运动路径，
以最大限度地提高工厂的生产效率和质量。
4. 测量物体质量
在一些实验室实验中，我们需要测量物体的质量。
根据质心运动定理，我们可以将一个物体看作系统中的一个质点，通过施加一个已知的力F，测量它在水平方向上的加速度和质心位置变化。
根据质心定理，我们可以计算该物体的质量M。
综上所述，质心运动定理是物理学中的一个非常重要的定理，它与世界上所有物体和系统的运动有着直接的关系。
在实际应用中，质心运动定理已经被广泛应用于机器人控制、流体动力学、宇航学和机械设计等领域，并在各种实验室实验中起着关键作用。