材料力学-第十二章-图形互乘法
6.5 图形相乘法 结构力学
C A0 ql2/8 A2
B A C y0
1
B 1
M 2图
MP图
将MP图与 M 2 图相乘，则得 A0 y 0 ql 2 1 2 l qB ( l ) EI EI 3 8 2 ( ql )3 24EI
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【例6-8】试求图示悬臂梁跨中截面C的挠度DCV。已知EI=常数。
其中
M图
l
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当MP或图的竖标a、b或c、 d不在基线同侧时，如图619b所示，处理原则仍和上 面一样，可将MP分解为位 于基线两侧的两个三角形 （其中A1在上侧，A2在下 侧），按上述方法，分别图 乘，然后叠加。
1 1 A1 al, A2 bl 2 2 2 1 2 1 y01 c d , y02 d c 3 3 3 3
二梁杆 竖杆
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1 qa2 2 a 1 qa2 1 a a) ( ) 2 ( a) ( ) 0 2 ( 2 4 3 2 2 4 3 2 3qa4 () 24EI 1 EI
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如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写 为
Ay0 MM P Δ ds EI EI
三、应用图乘法的注意事项
(6-17)
1）y0只能取自直线图形，而A应取自另一图形。
2）当A与y0在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在 异侧时，应取负号。
y03 y 04
MP图 y01
1
材料力学图乘法
材料力学图乘法材料力学图乘法是材料力学中的一种重要计算方法，它可以帮助工程师和科研人员快速准确地计算材料的性能参数，为材料的设计和应用提供重要参考。
在材料力学图乘法中，我们需要了解一些基本概念和计算步骤，下面将对材料力学图乘法进行详细介绍。
首先，我们需要了解什么是材料力学图。
材料力学图是用来描述材料在外力作用下的性能变化规律的图表，通常包括应力-应变曲线、拉伸性能曲线、压缩性能曲线等。
通过材料力学图，我们可以直观地了解材料在不同应力下的应变变化情况，从而评估材料的力学性能。
接下来，我们来介绍材料力学图乘法的计算步骤。
首先，我们需要准备两个材料的力学图，分别记为A和B。
然后，我们将这两个力学图进行叠加，即将A图的应力-应变曲线与B图的应力-应变曲线进行对应相乘。
这样，我们就可以得到一个新的力学图，用来描述两种材料叠加后的性能。
在进行材料力学图乘法计算时，我们需要注意一些细节。
首先，要保证A图和B图的坐标轴尺度一致，这样才能进行准确的叠加计算。
其次，要注意叠加计算的顺序，通常是先进行应力的叠加，然后再进行应变的叠加。
最后，要对叠加后的新力学图进行分析，得出叠加后材料的性能参数，如弹性模量、屈服强度、断裂强度等。
通过材料力学图乘法，我们可以更加深入地了解材料的性能特点。
例如，当我们需要设计一个复合材料结构时，可以通过材料力学图乘法来评估不同材料叠加后的性能，从而选择合适的材料组合方案。
另外，材料力学图乘法还可以帮助我们预测材料在复杂加载条件下的性能表现，为工程实践提供重要参考。
总之，材料力学图乘法是材料力学中一种重要的计算方法，它可以帮助我们快速准确地评估材料的性能参数，为材料的设计和应用提供重要参考。
通过深入学习和应用材料力学图乘法，我们可以更好地理解材料的性能特点，为工程实践和科研工作提供有力支持。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地掌握材料力学图乘法的基本原理和计算方法，为相关领域的工作提供帮助。
材料力学 能量法
3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4
可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C
用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)
C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)
材料力学12
max m min
r
min 0 max
max
2
a m
a
t
3）静循环
m max min
min r 1 max
t
a 0
m max min
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力 1）对称循环应力
max1 max 2
r
N0—循环基数
S-N曲线
r—材料持久限
r—循环特性 1 —对称循环持久极限应力
N
N0 107
—钢材的循环基数
N1 N2
N0
钢材达到 N0 107 而未疲劳的 最大应力值为钢材的疲劳极限
§12-3 疲劳极限
二、疲劳极限(材料持久极限) 3）“条件”持久极限 有色金属没有明显趋于水平直线部分，通常规定循 环基数为 N0 108 对应且不引起疲劳的最大应力。
1）对称循环应力
max
min
M y Iz
max
M Wz
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力
1）对称循环应力
min r 1 max
max m min
a max
m 0
t
a
T
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力 2）脉动循环应力
max2 b 60%
. . . .
N1
N2
. . . .
. .
. .
max n
. .
Nn
第n根试件
§12-3 疲劳极限
一、疲劳试验 光滑小试件的弯曲疲劳试验 max1 max 2 2）疲劳试件 3）疲劳试验 一组光滑小试件（6~10根） 第一根试件 第二根试件
6.5 图形相乘法 结构力学
=
MA
MB
+
MA B A dx a qa2/8 MB
MA MA A MB a q B MB
=
+
qa2/8
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四、应用图乘法的计算步骤
1）作实际荷载弯矩图MP图； ）作实际荷载弯矩图 图 2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图； ）加相应单位荷载，作单位弯矩图图； 3）用图乘法公式（6-17）求位移。 ）用图乘法公式（ ）求位移。 所示简支梁跨中截面C的挠度 例6-7】试求图 】试求图6-21a所示简支梁跨中截面 的挠度CV和B端的 所示简支梁跨中截面 端的 已知EI=常数。 常数。 转角θB。已知 常数
O
M =xtanα
α
x A x0
M
M图
x
式中， 式中，dA=MPdx为MP图中有阴影线的微分面积，而 xdA即为 为 图中有阴影线的微分面积， 整个M 图的面积对y轴的静矩 轴的静矩。 表示M 的形心至y轴的距 整个 P图的面积对 轴的静矩。用x0表示 P的形心至 轴的距 离，则有 xdA = Ax (b)
1
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5 140 (45) A1 D
y02 y01 12 y03
C
4m C 4m
D
y04 y05
A
MP图(kNm)
M 图(m)
y 01
1 = ×12 = 6 2
2 y02 = × 12 = 8 3
y 03 = y 04 = y 05 = 12
MP图 l y03 y 04 y01
A
1
B
y02
C
M图
吉林大学材料力学真题1995——2016及2002——2011真题答案
吉林大学材料力学考研真题1995至2016最新版及2002至2011真题答案缺2015年2014年真题2014年真题2016年考研真题吉林工大材料力学试题1995年 考试时间：1995.1.15.下午【一】、选择题（共四道小题） 1.（5分）低碳钢拉伸经过冷作硬化以后，以下四种指标中哪种得到提高： （A ）、强度极限；（B ）、比例极限；（C ）、断面收缩率；（D ）、伸长率（延伸率）。
正确答案是_________。
2.（5分）两简支梁的材料，截面形态及梁中点承受的集中载荷均相同，而两梁的跨度2121=l l ，则其最大挠度之比为： （A ）、21max 2max 1=y y ；（B ）、41max 2max 1=y y； （C ）、61max2max1=y y ；（D ）、81max 2max 1=y y 。
正确答案是_________。
题【一】2图3.（5分）图示以角速度ω旋转的圆轴。
需在其表面打上钢印，从疲劳强度考虑打钢印最适合处有四种选择： （A ）、AB 段；（B ）、BC 段；（C ）、CD 段；（D ）、DE 段。
正确答案是_________。
题【一】3图4.（5分）图示单元体处于纯剪切应力状态，关于45=α方向上的线应变，现有四种答案： （A ）、等于零；（B ）、大于零；（C ）、小于零；（D ）、不能确定。
正确答案是_________。
题【一】4图【二】、填空题（共四道小题） 1.（5分）图示铸铁圆轴受扭时，在_________面上发生断裂，其破坏是由_________应力引起的。
在图上画出破坏的截面。
题【二】2图 2.（5分）图（a ）、（b ）、（c ）为三根材料相同的圆截面直杆，受到重量相同，且从同一高度H 自由下落的冲击，若动荷系数可按std HK δ2=计算，则他们的动荷系数由大到小的顺序是__________________，它们的最大 冲击应力由大到小的顺序是__________________ 。
同济大学材料力学考研题解_第十二章
12-8 ................................................................................................................................................................5
12-33 ............................................................................................................................................................23
12-34 ............................................................................................................................................................24
(也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解)
12-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷 F 作用。试计算板件的总伸长。板件的厚度为 δ ，
长度为 l，左、右端的截面宽度分别为 b1 与 b2，材料的弹性模量为 E。
解：由题图可知，
题 12-2 图
1
A(x)
=δBiblioteka b1+b2
− l
b1
x
σ (x) =
F
12-26 ............................................................................................................................................................17
材料力学习题(7)第十二章 哈工业大材料力学本科生试卷和课后题目
材料力学习题(7)第十二章哈工业大材料力学本科生试卷和课后题目材料力学习题第12章12-1 一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。
钢丝绳的横截面面积为10mm2。
起重杆与钢丝的许用力均为[?]?120MPa，试校核二者的强度。
习题2-1图习题12-2图12-2 重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。
AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[?]st=160MPa。
BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[?]al= 60MPa。
已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。
12-3 图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。
若钢丝的许用应力[?]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。
若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[?] =160MPa，试选定所需角钢的型号。
12-4 图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。
[?]st = 160MPa，[?]cop = 100MPa，试求许用载荷[F]。
习题12-3图习题12-4图12-5 图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[?] = 160MPa，杆BC为hb= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[?] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求：（1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？习题12-5图习题12-6图12-6 图示螺栓，拧紧时产生?l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。
已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa,[?]=500MPa。
12-7 图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW和P3=221kW。
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在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形 式的积分：
M(x) M 0 (x)
l
EI
dx
对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外， 故只需计算积分
M(x) M 0 (x) dx
l
M直0杆(x的) Mx0(xt)g图必定是直线或折线。
M (x) M 0 (x) dx
l
tg x M (x) dx
CL12TU38
解：
vC
3 EI
Pa 2 2
2a
3
Pa 3 EI
例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两 截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的 相对线位移 ΔAB 。
CL12TU39
解：
AB
2 Pa3 EI
1 8
12 3
1 2
21
2 Pa 3
3EI
AB 0
例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转 角及E截面的挠度。
CL12TU34
解：
vC
1 EI
l2 8
m 2
ml 2
16E I
l/4
A
1 EI
ml 2
1 3
ml 顺时针
6E I
B
1 EI
ml 2
2 3
ml 逆时针
3E I
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。
CL12TU35
解：
ql 2
vB
1 EI
l
3
ql 2 2
3l
CL12TU37
解：(1)
ql 2 / 8
vC
1 EI
Xal 2
2a 3
Xa 2 2
2a 3
ql 3 12
a
2
0
ql 3 X
8a(l a)
(2) ql 2 / 8
C
1 EI
Xal 2
2 3
Xa 2 2
1
ql 3 12
1
2
0 ql 3
X 4a(2l 3a)
例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的 铅垂位移。
l
tg xC
M
0 C
CL12TU20
M(x) M 0 (x)
dx
l
EI
M
0 C
EI
顶点 顶点
2lh
3
二次抛物线
1lh
3
CL12TU21
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。
CL12TU31
解：
M(x) M 0(x)
vB
l
EI
dx
M
0 C
EI
1 Pl 2 2l
ql 3
24E I
ql 2 / 8
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度 和最大转角。
CL12TU33
解：
v max
2 EI
1 2
l 2
Pl 4
6l
Pl 3
48E I
Pl / 4 l/4
max
1 EI
1 2
l
Pl 4
1 2
Pl 2
16E I
Pl / 4
例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠 度和A、B截面的转角。
CL12TU40
解：
A
Pa 2 EI
1 2
5 6
1 2
16
Pa 2 2E I
2
21
Pa 2 EI
vE
Pa 3 EI
1 2
1 3
2
Pa 2E
3
I
3 2
1
13Pa 3 12EI
例：图示刚架，EI=const。求A截面的水 平位移 ΔAH 和转角θA 。
CL12TU41
解： AH
qa 4 EI
4
2
ql4 8E I
ql 2
B
1 EI
l
3
ql 2 2
1
2
ql 3
顺时针
6E I
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的 铅垂位移。
CL12TU36
解：
vC
1 EI
l2 8
m
ml2 8E I
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载 荷q及集中力X作用。用图乘法求：
(1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
EI 2 3
Pl 3
3E I
B
1 EI
Pl 2 2
1
Pl 2
顺时针
2EI
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度 和最大转角。
CL12TU32
解：
vmax
2 EI
2
3
l 2
ql 2 8
5l
32
5ql 4
384E I
ql 2 / 8
l/4
max
1 EI
2
l
3
ql 2 8
1 2
1 4
2 3
1 3
85
3qa 4 8E I
qa 2
qa qa 2 qa / 2
2