数列的通项与求和公式
数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、nS是数列{}n a的前n项的和11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩【方法】：“1n nS S--”代入消元消n a。
【注意】漏检验n的值(如1n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{}na的前n项的和为nS，且对任意的正整数n满足1na=+，求数列{}na的通项公式。
（2）数列{}na中，11a=对所有的正整数n都有2123na a a a n⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a的通项公式【作业一】1－1.数列{}na满足21*123333()3nnna a a a n N-++++=∈，求数列{}na的通项公式．（二）.累加、累乘型如1()n na a f n--=,1()nnaf na-=1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++，检验1n=的情况()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12121()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅即1()(1)(2)na f n f n f a =⋅-⋅⋅，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.【例2】. (1) 已知211=a ，)2(1121≥-+=-n n a a n n，求n a .（2）已知数列{}n a 满足12n n n aa n +=+，且321=a ，求n a .【例3】.（2009高考文数）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++.设n na b n =，求数列{}n b 的通项公式（三）.待定系数法1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1n p a c +-为等比数列【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式及求和
{ a } 例：已知数列 的前 n 项和 n n s pn2 ( p 1)n p 3 为 ， 若 {an} 为 等 差 数 列 ， 求 p 与 an 。
例：设数列{cn}的各项是一 个等差数列与一个等比数 列对应项的和，若 c1=2 ， c2=4， c3=7，c4=12，求通 项公式cn
二、迭加法（加减法、逐加法）
当所给数列每依次相邻两 项之间的差组成等差或等比数 列时，就可用迭加法进行消元
例： 已知： an+1=an+n, 求a n
a1=1 ，
三、迭积法（逐积法） 当一个数列每依次相邻两 项之商构成一个等比数列时， 就可用迭积法进行消元
例： n an1 3 an， a1 2 ， 已知数列{an }中， 求通项公式 an 。
四分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
1 已知an , 求sn nn 2
1 1 1 nn 1 n n -1
1 1 1 2n 12n 1 2 2n 1 2n 1 1
；
密,只要你呀敢亮出来,那么你呀将永远遭受无止境の追杀,没有人能够救你呀,所以这上品神剑,你呀只能摆在这逍遥阁,绝对不能曝光,也就是说,这剑你呀只能看,不能用." 【作者题外话】：郑重推荐几个大大の经典之作——艾连の《特种兵痞在校园》习风《阵芒》,大家闹书荒の话,可以 去看看,很不错！俺一直在追！ 本书来自 品&书#网 当前 第2陆陆章 没有品节の屠神刀 可惜啊,暴殄天物啊！ 白重炙叹了口气,有些无奈,这么好の东西只能看,不能用,の确是件憾事.看书 只是他明白鹿希说の很有道理,于是也不多想,点了点头. 见白重炙点了点头,鹿希才再次说道："这 把刀,主人称之屠神刀,品阶…未知,能力…未知,虽然他只能增加使用者百分之两百の攻击力.但是主人却说,这把刀绝不寻常,只是他没有时候破解这把刀の秘密.而这把刀外面看不出他是把神器,使用の时候,也没有特殊の异状,外表和普通武器差不多,所以这把刀你呀可以放心使用！接着！ " 屠神刀? 品阶未知? 能力未知? 增加百分之两百攻击力?绝不寻常? 白重炙脑海还在琢磨着鹿希の话语,不料鹿希却把这把刀丢了过来,白重炙连忙一把接住,细细观看起来. 其实严格意义这把屠神刀,并不能称作刀.因为这刀是直の,但是又不能称呼为剑,因为它顶端是平の,并且只有一边 有锋刃. 刀长一米五,宽一尺,大约有百多斤斤重,通体黝黑,却有些暗红の神秘花纹.这把刀让白重炙想起前世の传奇里面の战士武器"开天".同样の款式,只是颜色换成了黑色.恩,这刀也可以称呼为巨大铁尺,只不过一边有锋刃而已. 白重炙手握刀柄,感觉着这屠神刀の惊人重量,百多斤の武 器,他还是第一见到.不过白重炙此刻如此强悍の修为,百来斤の东西也是犹如握着一把菜刀一样轻松. 随意挥舞了几下,白重炙非常の满意.其实他老早就想换武器了,青龙匕虽然用の很习惯,但是太短了.并且此刻他修炼成功夜皇七式,他很早就想拥有一把霸气の长刀,而这把屠神刀却是让他 非常满意,爱不释手. "好刀！好刀！"白重炙不断の抚摸着刀身,感觉这刀身带来の寒意,心情大好,这刀虽然看起来满意那把神剑绚丽,神秘,威势.但是白重炙一握住这把刀,就几多の舒适,几多の欢喜,似乎这把刀本来就属于他の一样,似乎这刀已经成为了他身体不可分割の一部分一样. 虽 然不知品阶,不知道能力,但是魂帝那么牛の人都说这刀不寻常,那肯定就不寻常,白重炙决定以后有时候好好摸索一样,说不定这把刀和他の魂戒一样,突然涌现出许多莫名神奇の能力也不一定. "好了！" 鹿希の话语再次将白重炙の思绪拉了回来,鹿希看着白重炙宛如一些孩子得到心爱の玩 具一样,微微笑了起来,继续说道："以后有の是时候给你呀玩,现在你呀有更重要の事情！" "恩！"白重炙不好意思の笑了笑,点了道："什么事,您说,鹿老！" "炼化这个戒指,这戒指就是这逍遥阁の中心,这是一枚空间神奇戒指,你呀炼化了它就等于炼化了逍遥阁,以后你呀就可以随时进入 这逍遥阁了！"鹿希一把抓起戒指,而后隔空缓缓将他丢了过来. "空间神器,炼化它就等于炼化逍遥阁?"白重炙有些疑惑の望着手中の戒指,另外一只手却还是抓着屠神刀不放. "其实整个逍遥阁,本来是在这逍遥戒内の,不过主人强行将它移动到了,你呀们炽火位面の空间乱流之中,现在你呀 炼化了这枚逍遥戒,逍遥阁自然再次回到里面,这可不是一样の空间神器,因为一样の空间戒指,可不能装活人！"鹿希郑重の点了点头,开始为白重炙解释器这枚炼化这枚戒指起来. 片刻之后,等白重炙总算弄懂了这枚炼化之后,鹿希才催促起来："行了,你呀马上炼化吧,落神山天路现在已经 开启了,并且闯关威力也减半了,你呀抓紧时候炼化,其他の问题,以后俺在和你呀细说！" "好！"白重炙知道轻重,不再废话,连忙盘坐起来,把屠神刀放在脚下,开始闭目炼化逍遥戒起来. …… …… 当白重炙开始炼化逍遥戒の时候,落神山却再次震动了一下,而落神上顶部悬空の不咋大的神 阁却微微颤抖了一下,不过很显然,下面の人都没有发现. 而其实炽火大陆看到の不咋大的神阁,其实只是一些幻像而已.真正の不咋大的神阁,其实在炽火大陆の空间乱流之中. 空间乱流内,有这无数の空间裂缝,也有着无数の可以轻易绞杀神级强者の乱流风刃,只是……这些风刃飘到不咋大 的神阁外表の时候,却自动弯了开去,似乎有股无形之力,正自动の将乱流风刃扒开,很是神奇. 只是,当白重炙炼化逍遥戒,不咋大的神阁微微颤抖の那一刻.不远处の乱流中,盘踞の一处黑影,突然亮起了两道刺眼の精光. 居然是一名长着双角の神秘男子,这名男子盘坐在乱流中,四周の乱流 风刃也如同碰不到他一样,主动绕路.长角の男子,双眼成褐色,此刻盯着不咋大的神阁,看了一会,随即又闭上了眼睛,继续盘坐,宛如空间乱流中の一粒沙城,继续沉寂下去. 而同一时候,暗黑森林最深处の一座古堡内,也有人发出了一声微微の惊讶声音. 暗黑森林最深处,有一座,没有人知道 の古堡.古堡很华丽,很漂亮,比逍遥阁要大了几倍,各种装饰却是更加豪华,甚至可以说奢华. 不咋大的神阁微微颤抖の那一刻,古堡の顶层,一名正在穿着火红袍子正在看书の女子,惊讶の轻呼了一声,放下了手中の书,将目光投向了落神山方向,脸上却露出了玩味の笑容. 只是片刻之后,这名 看不出年纪の女子,微微笑了笑,继续拿起了手中の书籍,专心了看了起来,宛如什么也没用察觉,什么也没用发生. 暗黑森林又恢复了往日の平静. …… 白重炙在炼化逍遥戒,鹿希却身形一闪,离开了逍遥阁,居然回到了傀儡通道の最后一关の那个大厅之中. 他回到大厅,双手快速の朝着大厅 の墙壁,不同の方位,开始射出强弱不等の气剑,随着他の气剑射出,大厅突然神奇出现了一块屏幕.而屏幕上方却是不同闪现着不同の人物. 如果白重炙在这里の话,一定会激动の大叫起来.因为屏幕上不是闪现出来の人物,不少他都认识.有风家の,有龙城の,有蛮神府妖神府の,当然还有夜枪 和夜轻语. "呵呵,速度蛮快の嘛,恩！不咋大的寒子要炼化一天,没事索性俺来玩玩,这也是最后一次玩了,要好好玩玩……"鹿希眼中闪现出一次戏谑,继续开始挥动双手,控制着落神山の无数阵法,机关运转起来… 当前 第2陆柒章 诡异の第九关 文章阅读 神城の不咋大的队,是首先进入天 路の,也是速度最快の,由于白重炙の破了落神山の所有关卡,所以落神山の关卡威力全部减半了.请大家检索（品#书……网）看最全！更新最快の所以神城不咋大的队の闯关速度是最快の. 仅仅一天时候,此刻他们已经达到了第八关,这次神城带队是一名身材很是矮不咋大的の帝王境巅峰 强者,名屠黑,是屠神卫世家の旁系子弟. 屠黑双眼透过金袍,冷冷の望着,前方の一群八级魔智血虎,被自己の手下轻易の击退,不禁嘴角微微の笑了起来.虽然不清楚为何落神山突然异变,但是这并妨碍屠黑の心情无比の好了起来.一天时候就达到了傀儡通道第八关,看来这次是运气到了极点. 他此刻已经在幻想着,自己不咋大的队破了落神山の关卡,而后拿了神剑,回到神城,自己被神主赐予神城五卫の风光情景. 越想越兴奋,他再次一挥手,身旁の所有神城使者,全部一窝蜂の朝前面の血虎扑去,想必几多钟之后这关就破了吧. 下一关,第九关他知道是吞石鼠の关卡,傀儡通道虽然 许多关卡の守护智,地形都会随着闯关の人の综合实力,人数等方面,自动转换.但是闯关多次の他,非常清楚,一、五、九这三个最难の关卡,守护智从来没有换过,只是实力不同而已.而第九关是一种很难缠の吞石鼠,而他们是清一色の帝王境强者,所以他们等会面对の则是八品下阶の吞石鼠. 当然第九关,虽然吞石鼠比较多了一点,但是屠黑却并没有放在眼里,因为第九关の地
数列的通项公式与求和的常用方法
解法三
由已知得,(n∈N*) ①， 所以有 ②， 由②式得， 整理得Sn+1－2·+2－Sn=0， 解得， 由于数列{an}为正项数列，而， 因而， 即{Sn}是以为首项，以为公差的等差数列
所以= +(n－1) =n,Sn=2n2， 故an=即an=4n－2(n∈N*)
对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1
(1)求证 {an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足 b1=a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*) 试问当m为何值时，成立？
6 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145
(1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的 前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论
②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有，将ak=4k －2
代入上式，解得2k=，得Sk=2k2， 由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1， 将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)， 整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k， 所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2， 即当n=k+1时，上述结论成立
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn; (3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m， 使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说 明理由
数列的通项和求和公式推导
数列的通项和求和公式推导数学中的数列是由一系列按照规律排列的数所组成的序列。
对于给定的数列，我们通常希望能够找到一个通项公式来表示数列的第n项，同时也希望能够求解数列的前n项和。
在本文中，我们将讨论如何推导数列的通项公式和求和公式。
一、等差等差数列是最常见的数列之一，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
1. 推导通项公式我们可以观察到，等差数列每一项与首项之间存在一个公差的倍数关系，即：an = a1 + (n-1)d这个等式可以通过数学归纳法推导得出。
假设等式对于n=k成立，即：ak = a1 + (k-1)d那么对于n=k+1，我们有：ak+1 = a1 + kd通过对上述两个等式进行代换，得到：ak+1 = (a1 + (k-1)d) + d = a1 + kd由此可见，当等式对于n=k成立时，等式对于n=k+1也成立。
因此，等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 推导求和公式为了推导等差数列的求和公式，我们可以考虑将数列按照首项与末项、次首项与次末项等进行配对求和。
我们可以观察到这些配对的和都相等，都等于等差数列的中间项和。
设等差数列的首项为a1，末项为an，共有n项。
那么有：a1 + an = a1 + (a1 + (n-1)d) = 2a1 + (n-1)da2 + an-1 = (a1 + d) + (a1 + (n-2)d) = 2a1 + (n-1)d...ak + an-k+1 = (a1 + (k-1)d) + (a1 + (n-k)d) = 2a1 + (n-1)d将上述k个等式相加，得到：2(a1 + a2 + ... + an-k+1) + (n-k)(d + d + ... + d) = k(2a1 + (n-1)d)化简后可得：2S + (n-k)kd = k(2a1 + (n-1)d)其中，S表示等差数列的前n项和。
等差数列的通项公式与求和公式
等差数列的通项公式与求和公式等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是一个常见的数学概念，它指的是一个数列中的每个相邻的元素之间都有相同的差值。
通项公式是求解等差数列中任意一项的公式，而求和公式则是用于计算等差数列中前n项和的公式。
在本文中，我们将详细介绍等差数列的通项公式与求和公式，并提供一些相关的例子和推导过程。
一、等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以表示为：An = A1 + (n-1)d其中，An表示等差数列中的第n个数，A1是等差数列的首项，d 是等差数列中的公差，n表示数列中的项数。
利用这个通项公式，我们可以轻松地求解等差数列中任意一项的数值。
下面是一个例子：例子1：求解公差为3，首项为2的等差数列中的第7项。
根据通项公式，我们可以得到An = A1 + (n-1)d。
代入已知的值，即可求解：A7 = 2 + (7-1)3 = 2 + 18 = 20因此，公差为3，首项为2的等差数列中的第7项为20。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式可以表示为：Sn = (n/2)(A1 + An)其中，Sn表示等差数列前n项和，A1是等差数列的首项，An是等差数列的第n项，n表示数列中的项数。
利用这个求和公式，我们可以迅速地计算等差数列前n项的和。
下面是一个例子：例子2：计算公差为4，首项为3的等差数列的前10项和。
根据求和公式，我们可以得到Sn = (n/2)(A1 + An)。
代入已知的值，即可计算：S10 = (10/2)(3 + A10)为了求解A10，我们需要使用通项公式：A10 = A1 + (10-1)d。
代入公差d=4，首项A1=3，得到：A10 = 3 + (10-1)4 = 3 + 36 = 39将A10的值代入求和公式，即可计算出前10项的和：S10 = (10/2)(3 + 39) = 5(42) = 210因此，公差为4，首项为3的等差数列的前10项和为210。
数列通项公式及数列求和的常用方
数列通项公式及数列求和的常用方法邓 飞一．通项公式求法1. 迭乘法：1()n n a a f n += 型例1 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+= ，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n n n a n a a +=+= ，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故132112211221(1)1(1)(2)2112[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n --------+-+++-=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯2. 迭加法：1()n n a a f n +=+ 型例2 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n , 则,211112-+=a a 312123-+=a a ，413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 3. 待定系数法：1n n a pa q +=+ 型――转化为1()n n a x p a x ++=+ 型。
（等比型）例3 已知数列{}n a 满足11236n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设12()n n a x a x ++=+ 比较系数得3,x = 所以 132(3)n n a a ++=+ 又13639a +=+=，则数列{3}n a +是以9为首项，2为公比的等比数列， 则1392n n a -+= ，故1923n n a -=- 。
等差数列的通项公式与求和公式
等差数列的通项公式与求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
它在数学和实际问题中具有重要的应用。
本文将详细介绍等差数列的通项公式与求和公式，帮助读者更好地理解和应用等差数列。
一、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指可以通过已知的数列项数、首项和公差，来确定数列中任意一项的公式。
通项公式对于解决等差数列相关问题非常有用。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示第n项的值，a₁表示首项的值，d表示公差。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列中的任意一项的值，而无需逐项计算。
举例来说，假设等差数列的首项为3，公差为4，我们要求该数列的第10项的值。
根据通项公式，我们有：a₁ = 3d = 4n = 10代入通项公式得到：a₁₀ = 3 + (10-1)×4 = 3 + 9×4 = 3 + 36 = 39因此，该数列的第10项的值为39。
二、等差数列的求和公式除了求解等差数列中任意一项的值外，我们还常常需要计算等差数列前n项的和。
这时候就需要用到等差数列的求和公式。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项的和为Sₙ。
求和公式可以表示为：Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n 项。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列前n项的和，并且无需逐项相加。
举例来说，假设等差数列的首项为2，公差为3，我们要求该数列的前6项的和。
根据求和公式，我们有：a₁ = 2d = 3n = 6代入求和公式得到：S₆ = 6/2 × (2 + a₆)根据通项公式，a₆ = 2 + (6-1)×3 = 2 + 5×3 = 2 + 15 = 17代入求和公式得到：S₆ = 6/2 × (2 + 17) = 3 × 19 = 57因此，该数列的前6项的和为57。
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数列的通项与求和公式
数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
在数学中，我们经常需要研究数列的通项与求和公式，以便更好地理解数列的性质和应用。
本文将详细介绍数列的通项与求和公式，并通过实例来说明其应用。
一、数列的通项公式
数列的通项公式是指能够表示数列第n项的公式。
通过通项公式，我们可以直接计算出数列的任意一项，而不需要逐个计算。
下面以等差数列和等比数列为例，介绍数列的通项公式。
1. 等差数列的通项公式
等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示等差数列的第n 项。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，首项a1为1，公差d为3。
根据等差数列的通项公式，我们可以计算出该数列的第n项为an = 1 + (n-1)3。
2. 等比数列的通项公式
等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
其中，an表示等比数列的第n 项。
例如，对于等比数列2，4，8，16，32，...，首项a1为2，公比q为2。
根据等比数列的通项公式，我们可以计算出该数列的第n项为an = 2 * 2^(n-1)。
二、数列的求和公式
数列的求和公式是指能够计算数列前n项和的公式。
通过求和公式，我们可以快速计算数列的和，而不需要逐个累加。
下面以等差数列和等比数列为例，介绍数列的求和公式。
1. 等差数列的求和公式
对于等差数列，其前n项和的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示等差数列的前n项和。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，我们可以使用求和公式计算前n 项和Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式
对于等比数列，其前n项和的求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
其中，Sn 表示等比数列的前n项和。
例如，对于等比数列2，4，8，16，32，...，我们可以使用求和公式计算前n 项和Sn = 2 * (1 - 2^n) / (1 - 2)。
三、数列的应用举例
数列的通项与求和公式在数学中有广泛的应用。
下面以实际问题为例，说明数列的应用。
例1：小明每天存钱，第一天存1元，从第二天起，每天比前一天多存2元，问小明存到第n天一共存了多少钱？
解析：根据题意可知，这是一个等差数列，首项a1为1，公差d为2。
我们可以使用等差数列的求和公式计算前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。
代入a1和an的值，得到Sn = (n/2)(1 + 1 + (n-1)2) = n^2。
所以，小明存到第n天一共存了n^2元。
例2：小红每天吃苹果，第一天吃1个，从第二天起，每天吃的苹果比前一天多1个，问小红吃到第n天一共吃了多少个苹果？
解析：根据题意可知，这是一个等差数列，首项a1为1，公差d为1。
我们可以使用等差数列的求和公式计算前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。
代入a1和an的值，得到Sn = (n/2)(1 + 1 + (n-1)1) = (n/2)(n+1)。
所以，小红吃到第n天一共吃了(n/2)(n+1)个苹果。
通过以上实例，我们可以看到数列的通项与求和公式在解决实际问题时的便利性和实用性。
掌握数列的通项与求和公式，对于中学生来说，不仅可以提高解题效率，还能够培养他们的逻辑思维和数学推理能力。
总结：
数列的通项与求和公式是数学中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解数列的性质和应用。
通过本文的介绍，我们了解了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，并通过实例说明了数列的应用。
希望读者能够通过学习和掌握数列的通项与求和公式，更好地应用于解决实际问题。