互斥事件与对立事件-高中数学知识点讲解
高二数学互斥事件、对立事件教案
互斥事件、对立事件【学习目标】1．理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据它们的定义来辨别一些事件是234【基础知识精讲】本节内容主要有两部分：一是互斥事件、对立事件的基本概念，二是互斥事件概率加法1如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A和B互斥（互不相容）．从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，则A∩B＝∅．易知，必然事件与不可能事件是互斥的．如果A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，那么我们就说，事件A1，A2，…，A n彼此互斥．从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此各不相交．例如，从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2件，其中：（1）“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件；（2）“至少有一件次品和全是次品”就不是互斥事件；（3）“至少有一件次品和再如，掷一个六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字的正方体玩具。
事件A：向上的数字大于4；事件B：向上的数字小于3；两种事件不可能同时出现，则A、B是互斥事件．若事件A向上的数字大于4，事件B向上的数字为偶数，则A、B两事件不是互斥的．因为向上的数字为6时，既是事件A发生，又是事件B2如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立（互逆）事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．也即满足条件：A∩B＝∅且A∪B＝U，通常事件A的对立事件记作A．由定义知，互斥事件是对立事件的必要不充分条件．即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．如掷正方体玩具向上的面的数字大于4和向上的数字小于3两个事件，A、B是互斥的但不是对立．因为A、B两个事件可以都不发生．若事件A是向上的数字为偶数，事件B是向上的数字为奇数，则A、B是对立事件，对立事件A和A的概率性质为P（A）＋P（A）＝1，即两个对立事件的概率和为13．互斥事件A与B由于集合是可以运算的，可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么“在同一试验中，A或B至少有一个发生”这一事件，则称为A与B的和，记作A＋B （或A∪B）．教材仅限于两互斥事件的和事件．推而广之，“A1＋A2＋…＋A n”表示这样一A2，…，A n个事件：在同一试验中，A4两互斥事件的和的概率，等于这两事件的概率的和．即P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．更一般地，有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和．即)()(11i ni n i i A P A P ∑∑===利用这一定理来求概率的步骤是：（1）要确定这诸事件彼此互斥；（2）这诸事件中有一发生；（3）先求出这诸事件分别发生的概率，再求其和．值得注意的是：（1）（2）两5对立事件的概率和等于1，即P （A ）＋P （A ）＝1．通常，当直接求某一事件的概率6在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，利用概率的可加性及对立事1互斥事件是不可能同时发生的事件，它可以是两个事件之间，也可以是多个事件之间；对立事件首先应［例1］某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E为“一种报也（1）A 与C ；（2）B 与E ；（3）B 与D ；（4）B 与C ；（5）C 与E解：（1）由于事件C “至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C不是互（2）事件B “至少订一种报”与事件E “一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故B 与E（3）事件B “至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与D（4）事件B “至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与C（5）由（4）的分析，事件E “一种报也不订”只是事件C 的一种可能，事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E2从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．而在对立事件中，由事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组［例2］如果事件A 、B 互斥，那么（A ．A ＋B 是必然事件B ．A ＋BC ．A 与B 一定互斥D ．A 与B解：对于选项A ：事件A ＋B 相当于集合A ∪B ，显然它不一定为全集，故不一定为必然事件，不能选A对于选项B ：事件A ＋B 相当于集合)()()(B A U B U A U ⋂-=-⋃-，由于A 、B 互斥，故A ∩B ＝∅，所以U B A U =⋂-)(，即A ＋B 为必然事件，故选B对于选项C 、D 评注：利用集合思想可以帮助我们理解基本概念，也可以帮助我们判断一些命题的真假，其关键在于事件A 、B 所对应的集合与全集U3［例3］向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1解：设以A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P （A ）＝0.025，P （B ）＝P （C ）＝0.1又设D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 是互斥事件，因为∴P （D ）＝P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225评注：对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥值得注意的是，如果两个事件不互斥，就不能运用概率加法公式．例如把抛掷一个正方体玩具（各面分别标有数1～6）作为一次试验，事件A 表示出现奇数（指向上的数是奇数），事件B 表示向上的数不超过3，那么A 与B 就不互斥，因为如果出现1或3，都表示A 与B 同时发生了．现在再看A ＋B 这一事件，这个事件包括4种结果，出现1、2、3和5，所以 P （A ＋B ）＝32，而P （A ）＝21，P （B ）＝21，显然P （A ＋B ）≠P （A ）＋P （B 4所谓对立事件就是某事件的反面，用集合观点看就是某集合的补集，当某个事件包含的情况（即基本事件）太多时，或者含有“至多”“至少”这样的字眼时，可考虑对立事件．［例4］一批产品共100件，其中5件是废品,任抽10件进行检查，求下列事件的概率．（1）10（2）10策略：10件产品中恰有0、1、2、3、4、5解：设A i 为事件“10件产品中恰有i 件废品”，其中i ＝0、1、2、3、4、5，易知A i （i ＝0，1，…，5（1）设A 为事件“10件产品中至多有1件废品”，则有A ＝A 0＋A 1，又由于A 0与A 1互P （A ）＝P （A 0＋A 1）＝P （A 0）＋P （A 1）＝101009951510100109505C C C C C C +⋅＝0.923（2）（法一）设B 为事件“10件产品中至少有1件废品”，则有B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A 5，而且A 1，A 2，…，A5P （B ）＝P （A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A5＝P （A 1）＋P （A 2）＋P （A 3）＋P （A 4）＋P （A 5 ＝416.0C C C C C C C C C C C C C C C 10100595551010069545101007953510100895251010093515=⋅++⋅+⋅+⋅ （法二）由于B 的对立事件为“10件产品中无废品”，即B ＝A∴P （B ）＝1－P （B ）＝1－P （A 0）＝1－10100109505C C C ⋅＝0.416评注：抽查产品问题与摸球问题类似，是一类典型问题，应予以很好地理解和掌握．（1）“至多有一件废品”的意义是“可以有一件废品，也可以没有废品”，即m ≤1（又m ∈N ，∴m ＝0，1），其反面是“有2件以上废品”，即m ≥2（故m ＝2，3，4，5）．“至少有一件废品”的意义是“可以有一件废品，可以有两件废品，…，可以有五件废品”即m ≥1，（故m ＝1，2，3，4，5），其反面是“没有废品”，即m ≤0（故m ＝0）．要正确理解“至多”“至少”的含义，有时直接解简单，而有时用其反面去解简单．（2）注意求概率的直5互斥事件与对立事件的关系前面早有叙述，不再重复．等可能事件与互斥事件、对立事件不属于同一概念范畴，它们只是从不同的角度去研究问题，且等可能事件是计算互斥事件［例5］一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，求从中取1球得到的是（1）红或黑的概率；（2解：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取一球有12∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝43129=． （2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为P 2＝121112245=++【学习方法指导】根据事件的性质，把比较复杂的事件分解为几个简单的互斥事件，从而直接套用概率求［例1］某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10策略：射手射中9环、8环、不够8环彼此是互斥的，因此可用 解：记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A ，命中10环、9环、8环、不够8环分别记为A 1、A 2、A 3、A4∵A 2、A 3、A4∴P （A 2＋A 3＋A 4）＝P （A 2）＋P （A 3）＋P （A 4）＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76又∵A 1＝432A A A ++∴P （A 1）＝1－P （A 2＋A 3＋A 4）＝1－0.76＝0.24A 1与A 2互斥，且A ＝A 1＋A2∴P （A ）＝P （A 1＋A 2）＝P （A 1）＋P （A 2）＝0.24＋0.28＝0.52即这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率是0.52评注：要注意理清各个事件之间的关系，分清哪些事件是互斥的，哪些不互斥，在将一当一个事件从正面考虑比较困难，比较繁杂时，它的反面肯定比较简单，这时我们可以先考虑反面，即先求其对立事件的概率，从而求出原事件的概率，这也是“正难则反”思想［例2］学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是216策略：可先设既会唱歌又会跳舞的人数为x ，则该队的队员人数为（5＋7－x ）人．如图10－6－110－6－1解：设该队既会唱歌又会跳舞的人有x 名，则该队中只会唱歌和只会跳舞的队员的人数为（12－2x ）名，只会唱歌的人有5－x 人，只会跳舞的人有7－x 人，从中选出3人，记A 为事件“至少有一位既会唱歌又会跳舞的人”，则A 的对立事件A 为“3人都只会唱歌或只∵P （A ）＝3123212C C x x --，∴P （A ）＝1－P （A ）＝1－2116C C 3123212=--xx ∴215)10)(11)(12()210)(211)(212(=------x x x x xx解得x ＝3．∴12－x ＝9．∴该文娱队共有9评注：（1）注意集合元素个数的计算方法：card （A ∪B ）＝card A ＋card B －card （A ∩B ）．（2）本题中出现了“至少”一词，可考虑从反面做，因为人数不知，所以从正面做较繁．［例3］从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（A ．至少有一个白球，都是白球 BC ．恰有1个白球，恰有2个白球 D解：至少有一个白球＝{（白，红）、（白，白）}（注：（白，红）表示一白一红两个球），都是白球＝{（白，白）}两集合的交集非空，故不能选A至少有一个白球＝{（白，红）、（白，白）}，至少有一个红球＝{（白，红）、（红，红）}，其交集也非空，不为互斥事件，不能选B恰有1个白球＝{（白，红）}，恰有2个白球＝{（白，白）}，交集为空集，两事件是互斥事件，又两集合的并集＝{（白，红）、（白，白）}≠{（白，白）、（白，红）、（红，红）}（此为全集），故两事件不对立．所以选C对于选项D ，也可以同法判定两事件对立，不选D评注：两事件互斥，必有A ∩B ＝∅；两事件对立，必有A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝U【知识拓展】［例1］证明：若事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生（即A 、B 中有一个发生）的概率等于事件A 、B分析：此结论课本上是用一个等可能事件的例子加以说明的．这个说明实质上已经给出证明：设在某一随机试验之下，共有N 种等可能出现的结果，其中有m 1个结果属于事件A （也就是这m 1个结果中任何一个发生都表示A 发生），有m 2个结果属于事件B ．这里，因A 与B 是互斥的，所以属于事件A 的m 1个结果与属于事件B 的m 2个结果中不存在相同的结果．事件A ＋B 的发生表示A 与B 中有一个发生，就是说，在上述属于A 的m 1个结果连同属于B 的m 2个结果中，有任何一个结果发生都表示A ＋B 发生．因此，P （A ＋B ）＝Nm m 21+． 又已知P （A ）＝N m 1，P （B ）＝Nm 2 P （A ＋B ）＝N m N m N m m 2121+=+＝P （A ）＋P （B说明：上述证明虽然是就等可能性事件证明的，但此公式对非等可能性的互斥事件仍然［例2］两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时可以离去，图10－6－2解：以x 、y 分别表示二人到达时刻（精确到分），0≤x ≤60，0≤y ≤60二人会面的充要条件为|x －y |≤20．这是一个几何概率问题．可能结果的全体为边长为60分的正方形，可能会面的点的区域为图10－6－2故所求概率为P ＝9560)2060(60222=--【同步达纲训练】1．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（A ．至多有一次中靶 BC ．两次都不中靶 D2．袋中5个白球、3个黑球，从中任意摸出4个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．73B ．1413C ．101D ．413．从4个男生、3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的概率是（A ．3512B ．3534C ．53D ．52 4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（A ．32024116C C C B ．32024216C C C C ．32031614216C C C C +⋅ D ．以上均不对5．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是80%，两人下成和棋的概率为50%，则甲获胜的概率为_______6．一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，3…，9．从中任取两张，其号数至少有一个为奇数的概率为_______7．一个口袋内装有3个红球和n 个绿球，从中任取3个，若取出的3个球中至少有一个是绿球的概率是3534，则n ＝_______8．口袋里放了12个大小完全一样的球，其中3个是红色的，4个是白色的，5个是蓝色的，从袋里取出4（1（2参考答案一、1．解析：“至少有一次中靶”包括一次中靶、两次中靶两种情况．A ：至多有一次中靶也包括有一次中靶的情况，故不能选．同理B 不能选，“两次都不中靶”显然与“至少有一次中靶”不能同时发生，故选C答案：C2．解析：摸出的4个球全为白色的概率141705C C 48451===P ．∴所求概率P ＝1－P 1＝1413． 答案：B3．解析：所求概率35343511C C 14744=-=-=P 答案：B4．解析：所求概率P ＝1－320316142161411632034C C C C C C C C +⋅+⋅=答案：D二、5．解析：因为甲不输包括甲胜与战和两种情况，故甲获胜的概率应为80%－50%＝30%．答案：30%6．解法一：一奇一偶的概率P 1＝95C C C 291415=；二个全为奇数的概率P 2＝185C C 2925=∴所求概率P ＝P 1＋P 2＝6518595=+解法二：两个数全为偶数的概率P 0＝61C C 2924= ∴所求概率P ＝1－P 0＝1－6561= 答案：65 7．解析：据题意3333C C 13534+-=n ，∴n ＝4 答案：4三、8．解：（1）设从12个球中取出4个球至少是两种颜色的事件为A ，A 的对立事件为A ，其中全为白色的有1种，全为蓝色的有5种，则P （A ）41241251C C +=＝165249554951=+ ∴P （A ）＝1－P （A ）＝1－1651631652= 答：取出的球的颜色至少是两种的概率为165163（2）设取出4球中，1个红色、1个白色、2个蓝色的事件为A 1；1个红色、2个白色、1个蓝色的事件为A 2；2个红色、1个白色、1个蓝色的事件为A 3，且事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，所以所求的P （A 1＋A 2＋A 3）＝P （A 1）＋P （A 2）＋P （A 3）412151423412152413412251413C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=＝1164956049590495120=++ 答：取出的球的颜色是三种的概率为116。
对立事件与互斥事件
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
非互斥非对立
（3）至少有1名男生和全是男生；
非互斥非对立
（4）至少有1名男生和全是女生.
互斥，对立
典型例题
例1 从一项产品中随机地抽取一件产品，设事件 A=“抽到的是一等品”，事件B=“抽到的是二等 品”，事件C=“抽到的是三等品”，且已知 P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05, 求下列事件的概率： （1）事件D=“抽到的是一等品或三等品”； （2）事件E=“抽到的是二等品或联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳 双人舞，独唱，朗诵等。指定3男，2女，把5人标 号，1,2,3男4,5女。随机抽取： （1）为了取出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡 片，求取出的2人不全是男生的概率。 （2）为了取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观 察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从 中抽取第二张卡片，求： （a）独唱和朗诵由同一个人表演的概率； （b）取出的2人不全是男生的概率。
事件D+E表示 什么？
例题2 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴 趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些 成员参加了不止1个小组，具体情况如下图所示： 随机选取1个成员： （1）他至少参加2个小组的概率是多少？
（2）他参加不超过2个小组的概率是多少？
例3 小明的自行车用的是密码锁，密码锁 的四位数密码由4个数字2,4,6,8按一定的 顺序构成。小明不小心忘记了密码，试问： 随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数， 不能打开锁的概率是多少？
第三章 概 率
互斥、对立事件
自主探究
1. 什么是互斥事件，对立事件？如何判 断两个事件是否是互斥事件呢？
2. 事件A+B发生指的是什么？ 3. 互斥事件，对立事件概率计算公式：
互斥事件与对立事件的公式
互斥事件与对立事件的公式在我们学习概率的奇妙世界里，互斥事件和对立事件可是两个相当重要的概念，它们还有着各自独特的公式呢。
先来说说互斥事件。
互斥事件就像是两个互相看不顺眼的家伙，绝对不会同时出现。
比如说，你今天要么选择吃苹果，要么选择吃香蕉，不可能既吃苹果又吃香蕉，这“吃苹果”和“吃香蕉”就是互斥事件。
互斥事件的概率公式很简单，就是 P(A∪B) = P(A) + P(B) 。
这个公式就好像是把两个互斥事件各自的可能性加起来，得到它们一起出现的可能性。
再聊聊对立事件。
对立事件那可就像是一对死对头，有你没我，有我没你。
比如说抛硬币，正面朝上和反面朝上就是对立事件。
对立事件的概率公式是 P(A) = 1 - P(¬A) 。
这就好像是说，一件事情发生的概率，等于 1 减去它不发生的概率。
记得有一次，我在课堂上给学生们讲这两个概念。
当时我举了个有趣的例子，假设学校要举办运动会，小明报名参加了跑步比赛和跳远比赛。
参加跑步比赛和参加跳远比赛这两个事件就是互斥的，因为小明在同一时间只能参加一项比赛。
我让同学们计算小明参加这两项比赛的概率，有的同学一开始还搞混了，把互斥事件当成了对立事件。
我就耐心地引导他们，让他们想象小明在操场上奔跑和跳跃的场景，慢慢地理清思路。
最后，大家都掌握了互斥事件的概率计算方法。
咱们继续深入聊聊互斥事件。
如果有多个互斥事件 A1、A2、A3……An ，那么它们的并集的概率就是 P(A1∪A2∪A3∪……∪An)= P(A1) + P(A2) + P(A3) + …… + P(An) 。
这就好比是一群互不相容的小伙伴，各自有着自己的特点和出现的可能性，把它们的可能性统统加起来，就是它们一起出现的可能性。
对立事件呢，其实是互斥事件的一种特殊情况。
互斥事件只是说两个事件不能同时发生，但对立事件不仅不能同时发生，而且必然有一个会发生。
就像白天和黑夜，不是白天就是黑夜，没有第三种可能。
《互斥事件》 讲义
《互斥事件》讲义在我们的日常生活和数学学习中，常常会遇到各种各样的事件。
有些事件之间存在着特殊的关系，比如互斥事件。
那么，什么是互斥事件呢？让我们一起来深入了解一下。
一、互斥事件的定义互斥事件，简单来说，就是指在一次试验中，不可能同时发生的两个事件。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为在一次抛硬币的过程中，不可能既正面朝上又反面朝上。
再比如，从一个装有红球和蓝球的盒子中随机摸出一个球，摸到红球和摸到蓝球就是互斥事件。
为了更准确地理解互斥事件，我们可以用数学语言来表述。
设事件A 和事件B 是两个事件，如果事件 A 发生时事件 B 一定不发生，事件B 发生时事件 A 一定不发生，那么我们就说事件 A 和事件 B 是互斥事件，记作A∩B ＝∅（其中“∩”表示交集，“∅”表示空集）。
二、互斥事件的特点1、互不相容性互斥事件的最主要特点就是它们不能同时发生。
这是互斥事件的本质特征，如果两个事件有可能同时发生，那么它们就不是互斥事件。
2、非此即彼对于互斥事件 A 和 B，如果在一次试验中事件 A 不发生，那么事件 B 就一定发生，或者事件 A 发生，事件 B 就一定不发生。
不存在其他可能性。
3、概率计算当事件 A 和事件 B 互斥时，它们的概率之和等于它们的并集的概率，即 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
这是互斥事件在概率计算中的一个重要性质。
三、互斥事件与对立事件的区别在学习互斥事件的过程中，很多同学容易将其与对立事件混淆。
其实，对立事件是互斥事件的一种特殊情况。
对立事件是指两个互斥事件中，必有一个发生，且只有一个发生。
比如，抛硬币时正面朝上和反面朝上就是对立事件。
而互斥事件只是说两个事件不能同时发生，但不一定必有一个发生。
比如，从装有 1 个红球、1 个蓝球和 1 个白球的盒子中随机摸出一个球，摸到红球和摸到蓝球是互斥事件，但不是对立事件，因为还有可能摸到白球。
四、互斥事件的实际应用互斥事件在实际生活中有很多应用。
互斥与对立事件的计算公式
互斥与对立事件的计算公式在我们的数学世界里，互斥与对立事件就像是两个性格迥异的小伙伴，它们有着独特的脾气和规律。
而搞清楚它们的计算公式，就像是拿到了打开数学宝藏的钥匙。
咱们先来聊聊互斥事件。
互斥事件呢，简单说就是两个事件不能同时发生。
比如说，今天下午要么下雨，要么不下雨，这就是互斥事件。
要是用数学语言来表示，假设事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们同时发生的概率为 0 ，也就是P(A∩B) = 0 。
而计算事件 A 或者事件 B 发生的概率，就用 P(A∪B) = P(A) + P(B) 。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了这样一道题：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，问取出红球和取出蓝球是不是互斥事件。
有个学生一开始还迷糊着呢，觉得可能同时取出红球和蓝球。
我就拿着袋子亲自演示了一遍，告诉他，每次只能取一个球，要么是红球，要么是蓝球，不可能同时取到两个颜色的球。
这一下子，那学生恍然大悟，其他同学也都明白了互斥事件的概念。
再来说说对立事件。
对立事件是一种特殊的互斥事件，两个事件不仅不能同时发生，而且它们的并集是整个样本空间。
比如说，扔一个骰子，出现奇数点和出现偶数点就是对立事件。
用公式表示就是 P(A)+ P(B) = 1 ，而且 P(A) = 1 - P(B) 。
就像有一次考试，有一道关于对立事件的选择题，好多同学都选错了。
我在讲解的时候，就举了个大家都熟悉的例子，比如咱们班参加运动会，要么赢得比赛，要么输掉比赛，这就是一个对立事件，没有第三种可能。
这么一解释，同学们纷纷点头，下次再遇到类似的题目就不会出错啦。
在实际应用中，互斥事件和对立事件的计算公式能帮助我们解决很多问题。
比如说在概率统计中，计算各种可能性的大小；在决策分析中，评估不同方案的风险等等。
总之，搞懂互斥与对立事件的计算公式，就像是在数学的海洋里有了一艘坚固的小船，能带着我们驶向更广阔的知识天地。
同学们，加油吧，让我们一起在数学的世界里畅游！。
随机事件的互斥与对立性质
随机事件的互斥与对立性质随机事件是指在一定条件下发生的不确定性事件，其结果无法事先确定。
在概率论中，我们常常会遇到一些互斥事件和对立事件。
互斥事件是指在同一次试验中不能同时发生的事件，而对立事件则是指在同一次试验中只能发生一个的事件。
本文将探讨随机事件的互斥与对立性质，并阐述它们在概率计算中的应用。
一、互斥事件的性质互斥事件在同一次试验中不能同时发生，即它们之间是互相排斥的。
以投掷一枚骰子为例，事件A为出现奇数点数的情况，事件B为出现偶数点数的情况。
显然，事件A和事件B是互斥的，因为在同一次投掷中，骰子的点数只能是奇数或偶数，不可能同时出现奇数和偶数。
互斥事件的概率计算相对简单，只需将各事件发生的概率相加即可。
以事件A和事件B为例，假设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，那么互斥事件A和B同时发生的概率为0，即P(A∩B) = 0。
而事件A或事件B发生的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
互斥事件在现实生活中也有广泛应用。
比如在天气预报中，通常会预报明天的天气为晴天、雨天或多云天。
这三种天气情况是互斥的，明天只可能出现其中一种天气，不可能同时出现晴天、雨天和多云天。
二、对立事件的性质对立事件在同一次试验中只能发生一个事件，即它们是互相补充的。
以抛硬币为例，事件A为出现正面的情况，事件B为出现反面的情况。
事件A和事件B是对立的，因为在同一次抛硬币中，硬币的一面只可能是正面或反面，不可能同时是正面和反面。
对立事件的概率计算也较为简单。
以事件A和事件B为例，假设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，那么对立事件A和B同时发生的概率为0，即P(A∩B) = 0。
而事件A或事件B发生的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
在概率论中，对立事件也常用于计算概率。
比如在扑克牌游戏中，计算获得同花顺的概率可以通过计算获得非同花顺的概率，然后用1减去该概率即可。
三、互斥与对立事件的区别互斥事件和对立事件都是描述了事件之间的关系，但它们有着不同的性质。
§233互斥事件与对立事件
8.经临床验证，一种新药对某种疾病的治愈率为54%，现效率为22%，有效率为12%，其余为无效。则某人患该病使用此药后无效的概率
4.某人射击射中10环，9环，8环的概率依次为0.2，0.25，0.3，则他打1枪至少8环的概率为
5.口袋中有若干红球、黄球与蓝球。摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33，则摸出红球或黄球的概率摸出蓝球的概率
6.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未完全击毁的概率
⑴．
⑵．1张奖券的中奖概率；
⑶．1张奖券不中特等奖或一等奖的概率。
自我挑战三
我的知识网络图——归纳总结 串联整合
规律方
法总结：
创新思维能力培养反思体验过程
自我评价——激励创新思维意识
1.你完成本节学习设计方案的情况为（ ）
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
2.你今天所学的重要数学知识是：
课题
§2.3.3互斥事件与对立事件
第3课时
第8周
学习目标
1.进一步理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。能熟练应用概率运算法则解决简单的概率问题。
2.通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
⑴A与B⑵A与C⑶A与D
2.有一批小包装食品，其中重量在90~95g的有40袋，重量在95~100g的有30袋，重量在100~105g的有10袋。从中任意抽取一袋，则此袋食品的重量在95~100g的概率为；此袋食品的重量不足100g的概率为；此袋食品的重量不低于95g的概率为
§232互斥事件与对立事件
自己所提的问题：
质疑交流——激发创新思维火花
议题1：5件产品中有2件次品，从中任取2件。
（1）判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件，如果不是对立事件，再分别说出它们的对立事件。
（a）“恰有一件是次品”与“恰有两件次品”。
（b）“至少有一件次品”与“全是次品”
（c）“至少有一件正品”与“至少有一件次品”
自我挑战一
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.30.3Fra bibliotek0.10.04
(1)至少3人排队等候的概率是多少?
(2)有人排队等候的概率是多少?
自我挑战二
某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 和 .试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率.
5.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事件 、 各表示什么?
学习建议：（用15分钟时间独立完成，并注意规范书写）
1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件？是否为对立事件？
2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：
（1）求他参加不超过2个小组的概率是多少？
（2）求他至少参加2个小组的概率是多少？
话题2：某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
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互斥事件与对立事件
1．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，A n 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…A n 彼此互斥．
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A 和B 是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A 与B 互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n 彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，A n 中有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+A n）＝P（A1）+P（A2）+…+P（A n）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A 的对立事件记做퐴．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A 与퐴只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
1/ 4
（2）对立事件的概率公式：
P（퐴）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例 1：从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有 1 个红球”
D．“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A 不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B 不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有 1 个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有 2 个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，
得到所有事件为“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”以及“恰有 2 个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，
∴D 正确
故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
2/ 4
例 2：下列说法正确的是（）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B 中至少有一个发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B 同时发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事
件之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
1 1
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
23
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，且푃(퐴)=1
2
，푃(퐵)=
1
3
，则乙不输即
为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，
则푃(퐴)=1
2
，푃(퐵)=
1
3
，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=1
2+
1
3=
5
6
5
故答案为：
6
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3/ 4
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A 与B 是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0 B.0.4 C.0.6 D.1
分析：根据对立事件的概率公式p（퐴）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（퐴）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
4/ 4。