线性离散系统的分析
自动控制原理例题详解线性离散控制系统的分析与设计考习题及答案
精心整理----------2007--------------------一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。
解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。
（要点：h s ωω2>）。
2．(3分)简述什么是最少拍系统。
解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。
3．(34．（x()∞5．(5解：(G 6．(5试用Z 解：二、（(i X s )z 图11．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数()()o i X z X z ； 2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。
解：1.101111111()(1)(1)11(1)1(1)()1e11e 1e G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e z -------⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥+⎣⎦=-----=---=-11010*******1e ()()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------==-++--=-+--=-+- 2．（5三、(8已知(z)1Φ=1．(3分)简述离散系统与连续系统的主要区别。
解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。
2．(3分)简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。
解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。
3．(3分)简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。
解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。
4．(5分)设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。
解：22522510252510()[[25e e (e e )eT T T T Tz z z G z Z Z s s z z z z -----=⨯==++---++ 5．(5分)已知系统差分方程、初始状态如下：0)(2)1(3)2(=++++k c k c k c ，c(0)=0，c(1)=1。
离散线性时不变系统分析
实验六 离散线性时不变系统分析一、 实验目的1. 掌握离散LSI 系统的单位序列响应、单位阶跃响应和任意激励下响应的MATLAB 求解方法。
2. 掌握离散LSI 系统的频域分析方法；3. 掌握离散LSI 系统的复频域分析方法；4. 掌握离散LSI 系统的零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理及方法1.离散LSI 系统的时域分析描述一个N 阶线性时不变离散时间系统的数学模型是线性常系统差分方程，N 阶LSI 离散系统的差分方程一般形式为)()(0i n x b k n y a Mi i N k k -=-∑∑== （6.1） 也可用系统函数来表示12001212120()()()()()1MiM ii M NNkN k k b zb b z b z b z Y z b z H z X z a z a z a z a z a z----=----=++++====++++∑∑ （6.2）系统函数()H z 反映了系统响应和激励间的关系。
一旦上式中k a ，i b 的数据确定了，系统的性质也就确定了。
特别注意0a 必须进行归一化处理，即01a =。
对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位序列或单位阶跃序列的线性叠加，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，即可得到复杂信号作用于系统的零状态响应。
因此，求解系统的单位序列响应和单位阶跃响应尤为重要。
由图6-1可以看出一个离散LSI 系统响应与激励的关系。
()h n ()H z ()x n ()X z ()()()Y z X z H z =()()*()y n x n h n =图6-1 离散LSI 系统响应与激励的关系(1) 单位序列响应（单位响应）单位响应()h n 是指离散LSI 系统在单位序列()n δ激励下的零状态响应，因此()h n 满足线性常系数差分方程(6.1)及零初始状态，即()()N Mkik i a h n k b n i δ==-=-∑∑， (1)(2)0h h -=-== (6.3)按照定义，它也可表示为()()()h n h n n δ=* (6.4) 对于离散LSI 系统，若其输入信号为()x n ，单位响应为()h n ，则其零状态响应()zsy n为()()*()zs y n x n h n = (6.5)可见，()h n 能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。
第七章--线性离散系统的稳定性分析
取反变换，得 g (k ) b0δ (t ) b1δ (t T ) bnδ (t nT )
• 上式表明，一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲， 如果在典型信号输入作用下，系统脉冲响应过程将在n个 采样周期内结束(对连续系统而言，理论上动态过程在 t→∞时才结束)，由于这种系统瞬态响应时间最短，故称
0.11K 0 1.1 0.095 K 0 2.9 0.015 K 0
因此，使系统稳定K值范围为
0 K 11.58
• 采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大， 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数 也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降
y* t
5
4
3
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位斜坡响应 暂态过程只要两个采样周期即可结束!
将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号 r (t ) 1(t )
则系统的输出信号的z变换为
1 Y ( z ) GB ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 z 1 2 z 1 z 2 z 3 L z n L 此时动态过程也可在两个采样周期内结束，但在t=T时超 调量为100%。
映射稳定区域左半s平面不稳定区域右半s平面临界稳定区域虚轴上单位圆内部单位圆外部单位圆上线性离散系统稳定的充分必要条件离散系统极点分布与稳定性的关系由由s平面与z平面的映射关系及连续系统的稳定性理论可知离散系统极点分布与其稳定性的关系如下极点分布稳定情况z单位圆内稳定z单位圆外不稳定z单位圆上临界稳定线性离散系统的稳定判据由前面的分析可知只要知道系统的极点分布即可判断系统的稳定与否但这里要解决的问题是如何知道闭环系统的极点分布
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
第7章 线性离散控制系统分析
f * (t )
7. 3 Z 变换
7.3.1 Z变换的定义
连续信号 f (t ) 经过采样后的离散信号 f * (t ) 为
f * (t ) f (nT ) (t nT )
其拉普拉斯变换为 令
z e Ts
F (s) L[ f (t )] f (nT )e nTs
* * n 0
的根都位于[W] 的左半部。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.2开环增益和采样周期对离散系统稳定性的影响
开环增益与采样周期对离散系统稳定性的影响： （1）采样周期一定时，增大开环增益会使离散系统的稳 定性变差，甚至使系统不稳定； （2）开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越 多，离散系统的稳定性及动态性能变差，甚至使系
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中，
R( z ) z /( z 1)
。系统输出的变换式为
将上式按幂级数展开，进行Z反变换，可求出输出信号的 脉冲序列 c* (t ) ，绘制单位阶跃响应曲线 c* (t ) ，从而分析 离散系统的动态性能。若不能求出离散系统的闭环脉冲传 递函数 ( z ) ，而R( z) 是已知的，可直接写出 C ( z ) 的表达式。
在线性采样系统理论中，把初始条件为零情况下，系统的离 散输出信号的变换与离散输入信号的变换之比，定义为脉冲 C ( z) 传递函数，记为 G(z)
R( z)
系统输出采样的脉冲序列为 c* (t ) z 1[C ( z)] z 1[G( z) R( z)]
随机序列通过离散线性系统分析_-两种分析方法
问题：给定输入和离散线性系统的特性；求解：输出的统计特征。
✓冲激响应法✓频谱法]离散线性时不变系统的描述方法：✓单位样值响应✓系统传递函数⏹冲激响应法⏹频谱法⏹常用时间序列模型][][][][][]k Y n h k X n k h n X n +∞=−∞=−=∗∑系统输出：均值:[]([])([()])[][]Y X m n E Y n E L X n h n m n ===∗X m []Y n[,][][][,]121212Y X R n n h n h n R n n =∗∗[,]([][])[][,]1212212XY X R n n E X n Y n h n R n n ==∗相关函数:][][][][][]k Y n h k X n k h n X n +∞=−∞=−=∗∑系统输出：[][][]XY X R m h m R m =−∗[][][][]Y X R m h m h m R m =−∗∗[]()0Y X X k m m h k m H +∞=−∞=∑若X [n ]平稳：则输出平稳，而且输入输出联合平稳2. 频谱法若X [n ]平稳：2()()()|()|()Y XY X G H G H G ωωωωω==*()()()XY X G H G ωωω=1()()()XY X G z H z G z −=1()()()()()()Y XY X G z H z G z H z H z G z −==若用z 变换表示：则输出平稳，而且输入输出联合平稳只适用于平稳随机序列的分析例1：一个平稳随机序列X[n]的自相关函数为，线性系统的单位样值响应是, 求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。
2[]m σδ[],nh n r =0,||1n r ≥<[][][][]Y X R m h m h m R m =−∗∗2[][]h m h m =−∗σ222201mm k k r r r r ∞==−∑σσ[解]20k m kk r r ∞+=⋅∑σ当m ≧0时，例1：一个平稳随机序列X[n]的自相关函数为，线性系统的单位样值响应是, 求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。
自动控制原理胡寿松第七章解析
1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
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成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
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第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0
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第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
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第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
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01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
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递关系。
➢ 例7-10：系统结构如下图所示，其中连续部分的 传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求该系统的脉冲传递函数 G(z。)
➢ 解一：连续部分的脉冲响应函数为
g(t) (1 e10t )
(t 0)
c(t) r(0)g(t) r(T )g(t T ) L r(nT )g(t nT ) L
➢ 在t=kT 时刻，输出的脉冲值为
c(kT ) r(0)g(kT ) r(T )g[(k 1)T ] L r(nT )g[(k n)T ] L
g[(k - n)T ]r(nT ) ➢ 根据卷积定n理0 ，可得上式的z变换
自动控制原理
第七章 线性离散系统的分析
➢ 7.1 引言 ➢ 7.2 信号的采样与保持
➢ 7.3 z变换理论
➢ 7.4 脉冲传递函数 ➢ 7.5 离散系统的稳定性和稳态误差 ➢ 7.6 离散系统的动态性能分析
7-4 脉冲传递函数
一、脉冲传递函数的定义
1. 脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系
z2 )(z
ebT
)
（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采样开关）
Go
(s)
H
(s)G(s)
(1
eTs
)
G(s) s
(1 eTs )G1(s) G1(s) eTsG1(s)
go (t) L1[Go (s)] g1(t) g1(t T )
Go (z) G1(z) z1G1(z) 1 z1 G1(z)
g(kT ) 1 e10kT
脉冲传递函数为
G(z) g(kT )zk 1 e10kT zk
k 0
k 0
z z 1
z z e10T
(z
z(1 e10T ) 1)(z e10T
)
解二： 查表得
G(s) 1 1 s s 10
G(z)
z z 1
z z e10T
(z
z(1 e10T ) 1)(z e10T
G1
(
z
)
Z
1 s
G(s)
例7-13：系统结构如上图所示，采样周期为1秒，求 其开环脉冲传递函数。其中
G(s) K s(s 1)
➢ 解：
G1(s)
1 G(s) s
K
1 s2
1 s
1 s 1
Go (z)
(1
z 1 )G1 ( z )
K
[1
z 1 ]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(z
z 1)2
z
z 1
z
z eT
)
通过采样系统的差分方程，求脉冲传递函数。 例7-11: 若描述采样系统的差分方程为
y(k 2) 0.7 y(k 1) 0.1y(k) 5x(k 1) x(k)
试求其脉冲传递函数。
解：对上面差分方程进行z变换，并令初始条件为0， 有
z2Y (z) 0.7zY (z) 0.1Y (z) 5zX (z) X (z) G(z) Y(z) 5z 1
函数，其中
解：
G1 ( s)
s
1
a
1 G2 (s) s b
G1 ( s)G2
(s)
b
1
a
s
1
a
s
1
b
G(z) G1G2 (z)
b
1
a
(z
z(eaT ebT ) eaT )(z ebT
)
(2)串联环节间有采样开关且同步时的脉冲传递函数
G1 ( z )
G(z)
G2 (z)
X (z) z2 0.7z 0.1
3．串联环节的脉冲传递函数
（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数
R(s)
R*(s)
G1(s)
T
G(z) X (s)
G(s) G2 (s)
C*(s) C(s)
G(z) Z[G1(s)G2 (s)] G1G2 (z)
➢ 例7-11：系统结构如上图所示，求开环脉冲传递
后离散信号g *(t)的z变换。
(2) 系统响应速度越快，g(t)衰减越快，G(z)展开式
中包含项越少。
(3) 如果已知R(z)和G(z)，则在零初始条件下，线
性定常离散系统的输出采样信号为：
c(t) Z 1[C(z)] Z 1[G(z) R(z)]
注意：经虚设采样开关得到的脉冲序列 c (反t) 映的
C(z) G(z)R(z)
G(z) g(nT )zn Z[g(t)] Z{L1[G(s)]} @Z[G(s)] n0
可见：
G(z) g(nT )zn Z[g(t)] Z{L1[G(s)]} @Z[G(s)] G(s) sz n0
(1) 脉冲传递函数是系统单位脉冲响应g(t)经采样
➢ 此时，脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积。
➢ 例7-12：系统结构如上图所示，求开环脉冲传递函数，
其中
➢ 解：
G1
(s)
s
1
a
,
G2
(s)
s
1
b
由于 所以
G1
(z)
Z[G1
(s)]
z
z eaT
z G2 (z) Z[G2 (s)] z ebT
G(
z)
G1
(z)gG2
(z)
(
z
eaT
统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之
比。
c(nT )zn
G(z)
C(z) R(z)
n0
r(nT )zn
n0
虚拟采样开关
2. 单个环节脉冲传递函数的推导
➢ 当输入信号为如下的脉冲序列时
r(t) r(nT ) (t nT ) n0
➢ 根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之和，即
e (z)
E(z) R(z)
1
1 GH (z)
R*(s)
R(s) + E(s)
-
Y (s)
E*(s)
T
G(s) H (s)
C*(s) C(s)
C(s) G(s)E(s)
Y
(s)
G(s)
H
(s
)
E
(s)
E(s) R(s) Y (s)
K (ze1 1 2e1) (z 1)(z e1)
0.368K(z 0.717) (z 1)(z 0.368)
4.闭环脉冲传递函数(闭环离散系统没有唯一结构)
R*(s)
R(s) + E(s)
-
Y (s)
E*(s)
T
G(s) H (s)
C*(s) C(s)
(z) C(z) G(z) R(z) 1 GH (z)
R(s)
R*(s)
X (s)
X *(s)
G1(s)
T
G2 (s)
T
C*(s) C(s)
C(s) X (s)
G2 (s) G1(s)
X *(s) R* (s)
取z变换
C(z)
X
(
z)
G2 (z) G1(z)
X (z) R(z)
G(z) Z[G1 (s)]gZ[G2 (s)] G1 (z)gG2 (z) G1 (z)gG2 (z) G1 G2 (z)