线性系统理论11离散线性系统理论

l .令 k l 1 ，则由已知 xl 1 和 ul 1 ， 从式（11.2.1）求得( l 为给定问题的时间区
间末时)
xl Gl 1xl 1 H l 1 ul 1
11.2.2 线性离散系统的运动规律 定义11.2.1 矩阵差分方程
x k 1 Gx k Hu k , x 0 x0 y (k ) Cx k Du k , k 0,1, 2,
其中
Ge
AT
T AT , H e dt B 0
推论11.3.1 时间离散化不改变系统的时变性 或定常性，即时变连续系统离散化后仍为时 变系统，而定常连续系统离散化后仍为定常 系统。 推论11.3.2 不管连续系统矩阵 At 或 A 是否为非奇异，但离散化系统的矩阵 G k 或 G 将一定是非奇异的。 其状态转移矩阵必是非奇异的。
11.1 离散动态系统的数学描述 11.1.1 离散系统的状态空间描述 定义11.1.1 对于系统（11.1.5） xk 1 Gxk Huk yk Cx k Duk 我们称满足 rank sI n G H n 的
s
为系统
xk 1 Gk xk H k uk , x0 x0 k 0,1,2,
所描述的线性时变离散系统，其状态 运动的表达式为
x k k ,0 x0 k , i 1H i ui
i 0 k 1
或 xk k ,0x0 k , k 1H k i 1uk i 1
11.2 离散动态系统的运动分析 从数学角度看，线性离散系统的运动分析， 归结为对时变的线性差分方程
x k 1 G k x k H k u k , x 0 x0 k 0,1, 2, 或定常的线性差分方程
xk 1 Gxk Huk , x0 x0 k 0,1,2,
并且两者的系数矩阵间存在如下的关系式：
其中， T 为采样周期；k 1, k 是连续系统
At x Bt u x y C t x Dt u t t 0 , t a x t 0 x0
G k k 1T , kT k 1, k k 1 T H k kT k 1T , B d C k C t t kT , Dk Dt t kT
k 1
x k G x0 G Huk i 1
k i i 0
k 1
11.3 线性连续系统的时间离散化 11.3.1 实现方法 下图是将连续时间系统化为离散时间系 统的一种典型情况。受控对象是连续时间 系统，其状态 xt ，输出 ut 和输入 yt 都是时间 t 的连续函数向量。控制装置由 数模转换器、数字计算机、模数转换器构 成。它只能输入离散时间变量 yk ，并输 出离散时间变量 uk ，其中离散时间序 列 k 0,1,2,。
11.3.3 基本结论 定理11.3.1 给定线性连续时变系统
At x Bt u x y C t x Dt u
t t 0 , t a x t 0 x0
则其在基本假设下的时间离散化模型为
x k 1 G k x k H k uk , k 0,1,2, , l y C k x k Dk uk , x 0 x0
定义11.4.9 离散系统 x k 1 f x k , k 的平衡点 x 0 称为是大范围指数稳定的。如果存在 0 ，并对任何 0 ，存在 N ，使当
x0
时，有 xk; x0 , h N x0e k t
对于离散系统x k 1 f x k , k ，如果存在一 个相对于x(k )的标量V x k , 且对任意x(k )满足： 1. V x k 为正定的； 2.V x k 为负半定的； 3.对由任意初态x(0)所确定的该系统的解x(k ) 的轨迹，V x k 不恒为零。 4.当 x k 时，有V x k 则原点平 衡状态即x 0为大范围渐进稳定。
其中， k , m , m 0,1,, k 是系统的状态转移矩阵。
xk 1 Gxk Huk , x0 x0
i 0
k 1
定理11.2.3 对于 k 0,1,2, 所描述的线性时变离散系统，其状态运动的
表达式为
或
k k i 1 x k G x0 G Hui i 0
和线性定常离散系统
xk 1 Gxk Huk , x0 x0 k 0,1,2,
的状态转移矩阵。
定理11.2.1 令 k , m 和 k m 分别为 线性时变离散系统
xk 1 Gk xk H k uk , x0 x0 k 0,1,2, 和线性定常离散系统
的状态转移矩阵， xk xt t kT
yk yt t kT
uk ut t kT
定理11.3.2 在前述基本假设下，线性连续定
常系统
Ax Bu x y Cx Du
x 0 x0 , t 0
的时间离散化模型为
sI n G 的输入解耦零点；称满足 rank n C
的
s
为系统的输出解耦零点；
sI n G H r , m rank n min D C 的 s 为系统的传输零点。
称满足
11.1.2 脉冲传递函数矩阵 脉冲传递函数矩阵 G z 为 z 的有理分 式矩阵，并且通常只讨论 G z 为真的和严格 真的情况，因为非真的 G z 将不具有因果 性，即会出现还没有加入输入作用而已产生 输出响应的现象，这是不符合一般的物理可 实现性的。
定义11.4.7 该离散系统的平衡点 x 0 称为是大范围稳定的，如果它是稳定的，并 时趋 且方程的每个解当 k 于 零。 x0 定义11.4.8 该离散系统的平衡点 称为是大范围一致渐近稳定的，如果 1.它是一致稳定的； 2.方程的解是一致有界的； 3.对任何 0 ，任何 及 h R 存在 T , （与 h 无关），使得当 x0 时，有 xk; x0 , h 对于所有 k h T , 成立。
进行求解。
11.2.1迭代法求解线性离散系统的状态方程 样瞬时的输入u 0 , u 1 , u 2 ,，则系统 的状态可按照如下步骤迭代地进行计算。 1.令k 0，则由已知x 0 ，u (0), 从式 x k 1 G k x k H k u k , x 0 x0 k 0,1, 2, 求得x 1 G 0 x 0 H 0 u 0 2.令k 1, 则由已知x (1), u (1), 求得 x 2 G 1 x 1 H 1 u 1 给定系统的初始状态x(0) x0 ,以及各采
xk 1 Gxk Huk , x0 x0 k 0,1,2,
的状态转移矩阵，则其表达式分别为
k , m Gk 1Gk 2Gm
和
k m G
k m
其中 Gm 1 I , G I
0
定理11.2.2 对于式
x k; x0 , h 0 x0 时，有 lim k
定义11.4.3 离散系统x k 1 f x k , k 的平衡点 x 0 称为是一致渐近稳定的，如果它是一 致稳定的，同时对每个 0 及任意非负 整数 h ，存在一个 0 0（与 h 和 无关） 及一 T 0 （与 h 无关），使当 x
满足： 1. V xk 为正定的； 2. V xk V xk 1 V xk 负定； 3. 当 xk 时有 V xk 则原点平衡状态，即 x 0 为大范围渐近 稳定。
定理11.4.2(离散系统的大范围渐近稳定判据）
使当 x0 时有 x0 k; x0 , h e k t0
对于所有 k h 成立。
定义11.4.5 离散系统x k 1 f x k , k 的 平衡点x 0称为是不稳定的，如果定义 11.4.1中的条件不成立。 关于该系统的方程解的全局性质，我们 有如下定义。 定义11.4.6离散系统x k 1 f x k , k 的解 称为是一致有界的，如果对任何 0及非负 整数h, 存在一个 （ 0 与h无关），使 得当 x0 时，有 x k ; x0 , h 对于所有 k h成立。
0

对于所有 k t0 成立。
11.4.2 离散时间系统的Lyapunov主稳定 性定理 定理11.4.1（离散系统的大范围渐近稳定判据） 对于离散系统 xk 1 f xk , k 0,1,2, 如果存在一个相对于 x k 的标量函数 V xk ，且对任意 x k
, h 0
使当 x0 时，有 xk; x0 , h
对于所有 k h 成立。
定义11.4.2 离散系统
x k 1 f x k , k
的平衡点 x 0 称为是渐近稳定的，如果 它是稳定的，同时存在一个 h 0，使得当
和
k 1, m Gk k , m , m, m I
k m 1 Gk m , 0 I
的解阵 k , m 和 k m 分别称为线性 时变离散系统
xk 1 Gk xk H k uk , x0 x0 k 0,1,2,
推论11.3.3 对于连续系统的时间离散化系统，
11.4 离散时间系统的稳定性 11.4.1 离散时间系统的Lyapunov稳定性 定义11.4.1 离散线性系统 x k 1 f x k , k 的平衡点 x 0 称为是稳定的，如果对于任 给的 0 及任何非负整数 h ，存在