线性离散系统基础
自动控制原理第7章线性离散控制系统
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
线性离散系统的分析
递关系。
➢ 例7-10：系统结构如下图所示，其中连续部分的 传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求该系统的脉冲传递函数 G(z。)
➢ 解一：连续部分的脉冲响应函数为
g(t) (1 e10t )
(t 0)
c(t) r(0)g(t) r(T )g(t T ) L r(nT )g(t nT ) L
➢ 在t=kT 时刻，输出的脉冲值为
c(kT ) r(0)g(kT ) r(T )g[(k 1)T ] L r(nT )g[(k n)T ] L
g[(k - n)T ]r(nT ) ➢ 根据卷积定n理0 ，可得上式的z变换
自动控制原理
第七章 线性离散系统的分析
➢ 7.1 引言 ➢ 7.2 信号的采样与保持
➢ 7.3 z变换理论
➢ 7.4 脉冲传递函数 ➢ 7.5 离散系统的稳定性和稳态误差 ➢ 7.6 离散系统的动态性能分析
7-4 脉冲传递函数
一、脉冲传递函数的定义
1. 脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系
z2 )(z
ebT
)
（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采样开关）
Go
(s)
H
(s)G(s)
(1
eTs
)
G(s) s
(1 eTs )G1(s) G1(s) eTsG1(s)
go (t) L1[Go (s)] g1(t) g1(t T )
Go (z) G1(z) z1G1(z) 1 z1 G1(z)
g(kT ) 1 e10kT
脉冲传递函数为
G(z) g(kT )zk 1 e10kT zk
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
第7章 线性离散控制系统分析
f * (t )
7. 3 Z 变换
7.3.1 Z变换的定义
连续信号 f (t ) 经过采样后的离散信号 f * (t ) 为
f * (t ) f (nT ) (t nT )
其拉普拉斯变换为 令
z e Ts
F (s) L[ f (t )] f (nT )e nTs
* * n 0
的根都位于[W] 的左半部。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.2开环增益和采样周期对离散系统稳定性的影响
开环增益与采样周期对离散系统稳定性的影响： （1）采样周期一定时，增大开环增益会使离散系统的稳 定性变差，甚至使系统不稳定； （2）开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越 多，离散系统的稳定性及动态性能变差，甚至使系
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中，
R( z ) z /( z 1)
。系统输出的变换式为
将上式按幂级数展开，进行Z反变换，可求出输出信号的 脉冲序列 c* (t ) ，绘制单位阶跃响应曲线 c* (t ) ，从而分析 离散系统的动态性能。若不能求出离散系统的闭环脉冲传 递函数 ( z ) ，而R( z) 是已知的，可直接写出 C ( z ) 的表达式。
在线性采样系统理论中，把初始条件为零情况下，系统的离 散输出信号的变换与离散输入信号的变换之比，定义为脉冲 C ( z) 传递函数，记为 G(z)
R( z)
系统输出采样的脉冲序列为 c* (t ) z 1[C ( z)] z 1[G( z) R( z)]
离散系统的状态空间描述状态方程
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
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得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
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1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )
自动控制原理胡寿松第七章解析
1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
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成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
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成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0
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成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
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成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
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第七章 线性离散系统基础
一．基本内容
1．了解离散控制系统基本概念、采样过程及采样定理；零阶保持器的传递函数、频率特性及应用特点。
2．掌握z 变换及z 反变换的求取方法；熟练掌握脉冲传递函的定义，开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数求解方法；
3．熟练掌握离散控制系统的稳定性分析； 4．熟练掌握离散控制系统的稳态误差计算
二．重点和难点
离散控制系统与连续控制系统的根本区别，在于连续控制系统中的信号都是时间的连续函数，而离散控制系统中有一处或多处的信号是脉冲序列或数码形式的。
把连续信号变为离散信号的过程叫做采样，实现采样的装置称为采样器（采样开关）。
反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。
离散控制系统的采样定理给出了从采样的离散信号恢复到原来连续信号所必须的最低采样频率（max 2ωω≥s ）。
离散信号的恢复，是在系统中加入代替理想滤波器的实际保持器来实现的。
按恒值外推规律实现的零阶保持器，由于其实现简单，且具有最小的相移，被广泛的应用于离散控制系统中，其传递函数为
s
e s G Ts h --=1)(
1．脉冲传递函数
脉冲传递函数的定义：零初始条件下，线性定常离散系统输出离散信号的z 变换与输入离散信号的z 变换之比，称为脉冲传递函数。
比较常见的一种离散控制系统的结构形式如图7-1所示，其闭环脉冲传递函数为
)
(1)()()
(2121z H G G z G G z R z C +=
式中
，
)]()()([)(2121s H s G s G Z z H G G =
)]()([)(2121s G s G Z z G G =
图7-1典型离散控制系统的结构图 其中：)(21z H G G 为系统的开环脉冲传递函数。
2．离散系统分析 （1）离散系统的稳定性
离散系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在z 平面上以原点为中心的单位圆内。
即 ),2,1(1n i z i =<。
因此，可以通过求解闭环特征方程式的根来判断离散系统的稳定性。
但当系统的阶次较高或有待定常数时，采用此法不太合适，可以通过双线性变换
1
1
-+=
w w z 将z 平面上的单位圆内部分映射到w 平面的左半平面，即可使用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性。
（2）稳态误差
单位反馈的离散系统（即图7-1中1)(=s H ）的的稳态误差为：
)
(1)
()
1(lim )(1
z G z R z e z +-=∞→
其中)()(21z G G z G =为开环脉冲传递函数。
通常选用三种典型输入信号，即单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位抛物线信号，对应z 变换分别为
3
22)1(2)
1(,)1(,1
-+--z z z T z Tz z z
三．典型例题分析
)(1s G )
(s H )(s R T
)
(s E )
(s C )
(2s G
[例7-1]已知系统如图7-2所示，试分析系统的稳定性。
解：解题的关键是根据已知条件求出离散控制系统的特征方程（即闭环脉冲传递函数
的分母）。
系统的开环脉冲传递函数为：
))(1()1(1)1()]([)(T
T e z z e Kz s K s K
Z s s K Z s G Z z G -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+==
图7-2离散控制系统 其闭环脉冲传递函数为：
)
(1)()()(z G z G z R z C += 则
其
特
征
方
程
为
0)1())(1(,0)(1=-+--=+--T T e Kz e z z z G
因为T =1 s ，所以368.01=-e
1．当K=1时代入上式并整理得 482
.0368.0,
0368.0736.02,12j z z z ±-==+-
由于1607.0482.0368.0222,1<=+=z ，所以系统是稳定的。
2．当K=5时，特征方程为555.1237.0,0368.0792.1212-=-==++z z z z
由于1555.12>=z ，所以系统是不稳定的。
3．下面分析稳定时K 的取值范围 将1
1
-+=
w w z 代入特征方程为：0)1())(1(=-+----T T e Kz e z z
整理得 0)632.0736.2(264.1632.02=-++K w Kw
)
1(+s s K
)
(s R s
T 1=)
(s E )
(s C
列劳斯表： K
w w K
K w 632.0736.2264.1632.0736.2632.00
1
2
--
为使系统稳定，要求劳斯表中第一列的系数均大于零，于是有 32.40<<K
可以看出，当系统中没有采样器时，二阶连续系统0>K 总是稳定的。
有了采样器后，系统稳定时K 的范围就有了限制，加大K 会导致系统不稳定。
通常，减小采样周期T ，使系统工作尽可能接近于相应的连续系统，那么增益K 的取值范围可以加大。
[例7-2]试确定例7-1中系统对于单位阶跃输入、单位斜坡输入和单位抛物线输入时的稳态误差。
解：解题的关键是根据已知条件求出开环脉冲传递函数 系统的开环脉冲传递函数为
))(1()
1()]([)(T T e z z e Kz s G Z z G -----==
)
1())(1()
)(1()(11T T T e Kz e z z e z z z G ----+----=+
单位阶跃输入时的稳态误差为
01
)1())(1())(1()1(lim )
(1)
()
1(lim )(11=-⨯-+-----=+-=∞---→→z z
e Kz e z z e z z z z G z R z e T T T z z
单位斜坡输入时的稳态误差为
1)1()1())(1())(1()1(lim )(2
1=-⨯-+-----=∞---→z Tz e Kz e z z e z z z e T T T z
单位抛物线输入时的稳态误差为
∞=-+⨯-+-----=∞---→321)
1(2)
1()1())(1())(1()1(lim )(z z z T e Kz e z z e z z z e T T T z
四．习题
7-1 求下列函数的脉冲传递函数)(z G
)(1)()3()
()()2()()()1(2a s s K
s e s G a s s K
s G a s s K s G Ts +⨯
-=+=
+=
-
7-2 求图7-3所示系统的开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数)
()
()(z R z C z Φ=。
假定图中采样开关是同步的。
)(1s G )
(s H )
(s R T
)
(s E )
(s C )
(2s G
图7-3离散控制系统
7-3 求图7-4所示系统的开环脉冲传递函数)(z G 及闭环脉冲传递函数)(z Φ，其中
1,1==K a 。
s
e Ts
--1)
(s E s T 1=)
(s R )
(s C )
(a s s K
+
图7-4离散控制系统
7-4 已知系统结构如图7-4所示，5.0,2==T a 秒。
（1） 当8=K 时，分析系统的稳定性； （2） 求K 的临界稳定值。
7-5 已知系统结构如图7-2所示，试求1=T 秒及5.0=T 秒时，系统临界稳定时的K 值，并讨论采样周期T 对稳定性的影响。
7-6 已知系统结构如图7-2所示，其中1=K ，1=T 秒，输入为t t t u +=)(1)(，试求
其稳态误差。