相似三角形课堂实录
9下27.5《三角形相似的判定(4)》课堂实录
27．2 相似三角形的判定（四）课堂实录【课前延伸】师：同学们，我们已经学习了相似三角形的哪几种判定方法？生：三种判定方法．它们是①平行于三角形一边的直线与三角形两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形全等．师：回答很全面．现在我们看课前预习的第一题，图中有哪些三角形相似？ 生：由四边形是平行四边形，可得两组对边分别平行，由相似三角形的判定的预备定理，可得∆EFC ∽∆EAB ∽∆AFD ，共有3对．师：第2题，怎样求DF 的长？ 生：当DFAC EF BC DE AB ==时，△ABC ∽△DEF ．由此可求出DF ＝3 cm ． 师：第3题呢？生：选C ．由于△ABC 与△BDC 有一公共角，当夹∠BCD 的两边对应成比例时，两三角形相似，即BCAC DC BC =，故选C ． 【评析】寓知识的复习于题目中，从相似三角形判定的预备定理、三边对应成比例、 两边对应成比例及夹角相等三种方法，选择三题作载体梳理知识，为学习新知识做知识方面的准备．【课内探究】【探究1】师：（出示探究1）如图，当∠ACD ＝∠B 时，△ACD 与△ABC 相似吗？也就是“两个角对应相等的两三角形相似”吗？生：相似？师：为什么？你能沿用前面三角形相似判定定理探究方法，验证结论的正确性吗？生：能．先画两个三角形△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，分别度量两个三角形的边长，计算AC CA C B BC B A AB ''=''=''，从而 △ABC ∽ △A ′B ′C ′．师：很好！改变三角形边长的大小，不改变它们的角的大小，再用同样的方法试一试，是否有同样的结论？生：有．师：由此，你能归纳出什么结论？生：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．师：你的文字语言可简化为“这是证明两三角形相似的又一方法，应用时书写的格式如下：∵ ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′．现在我们应用此判定定理，做下列判断题（小黑板出示题目）（稍等片刻，给学生思考的时间）这里还要特别说明，经度量、猜想得到的结论在一般情形下是否成立，尚需进行严格的逻辑论证，本定理仍可沿用前面证明方法进行一般性证明，由于证明的方法与前面判定定理证明方法完全类同，这里只作交代．〖评析〗学生通过经历画图思考、分析度量、动态观察、归纳推理结论，激发了学生的求知欲望，增强了学生的探究意识和学习数学的自信心并且得到成功的体验．结合图形写推理形式，有助于学生懂而会写．【概念辨析】师：所有的正三角形都相似吗？生：相似，因为所有的正三角形的内角都是60°．师：正确．两个等腰直角三角形是相似三角形吗？生：正确．因为所有的等腰直角三角形的内角都是90°、45°．师：回答得很好．两个直角三角形一定是相似三角形吗？生：不相似．因为任意两个直角三角形只有一个直角相等，所以不相似． 师：底角相等的两个等腰三角形相似吗？生：相似．底角相等的两个等腰三角形，其顶角必然相等，从而两个等腰三角形相似．师：两个顶角相等的等腰三角形是相似吗？生：相似．顶角相等的两个等腰三角形，其底角必然相等，从而两个等腰三角形相似．师：两个等腰三角形只要有一个角相等就相似吗？生：不相似．尽管两个角相等，但不一定对应．〖评析〗以口答的形式进行辨析，具有“短、平、快”的特点，适用于较简单和易错处，适当地使用不但巩固了知识，还能促进课堂气氛的活跃．师：回答得很好．证明相似只是证明比例式的一种手段，通过相似的证明，可以 达到证明比例式的目的．（小黑板出示例2）（学生思考）【探究2】师： 想到思路了吗？生：（学生举手后口述，教师边听边板书）∵ ∠A 和∠D 都是弧CB 所对的圆周角，∴ ∠A ＝∠D ，同理∠C ＝∠B ．∴ △P AC ∽△PDB ．∴ PBPC PD PA ． 即 P A •PB ＝ PC •PD ．师：思路清晰、流畅．还有其它方法吗？生：有．连接AD ，BC ．证明△P AD ∽△PBC ．师：对．现在我们总结一下证明比例式的思路：要证明等积式，常先把它化为比例式，再看四条线段分布的两个三角形相似，我们把这种方法称为“三点定形法”，归纳成口诀为“遇等积化等比，横找竖找定相似（板书）”．请大家完成下题（（小黑板出示练1）生：一生板演，余生同步在课堂作业本上．师：（讲评）同学们看看×××同学的过程，正确吗？∵ ∠2＝∠3，∠AOE ＝∠DOC ，∴ ∠E ＝∠C ．又∵ ∠1＝∠3，∴ ∠1＋∠DAC ＝∠3＋∠DAC ．即 ∠BAC ＝∠DAE ．∴ △ABC ∽△ADE ．生：正确．〖评析〗通过练习,及时反馈学生相似三角形判定定理的掌握情况，进一步优化教学，从而培养学生踏实、严谨的作风．【探究3】师：现在看一题有一定难度的题目（小黑板出示例3）生：（学生陷入沉思，稍后有小声议论，有学生开始举手）师：对于第一问，你是怎样思考的？ 生：要证DHEH CH BH =，只需证明△BEH ∽△CDH ，注意到两直角∠BEH ＝∠CDH ＝90°，对顶角∠BHE ＝∠CHD ，根据“两角对应相等，两三角形相似”可证得结论．师：你应用了我们刚刚总结的证明比例式的思路，非常好．那么，怎样证明△ADE ∽△ABC ？生：（生现困惑状）师：（点拨）要证明△ADE ∽△ABC ，而两三角形有一个公共角相等，能再找到另一对角相等吗？生：（生摇头）找不到（集体回答）．师：（点拨）不能证明另一对角相等，能否用其它的判定方法证明△ADE ∽△ABC呢？生：（少数学生）证明夹公共角的两边对应成比例，证明ACAE AB AD =． 师：能证到吗？生：能．通过证明△ABD ∽△ACE 得到，由“两角对应相等，两三角形相似”可证到△ABD ∽△ACE ．〖评析〗1．进一步巩固“两个角对应相等，两三角形相似”的判定方法，深化提高， 形成体系；2．教者解题过程的示范，就是为了规范学生的解题过程，又给接受缓慢同学的第二次领会的机会．师：你的分析思路清晰，说明你已经能综合应用相似三角形的判定方法．下面，大家一起来完成练2（小黑板出示练2，给出思考时间）【训练2】生：（一生板演，余生在位子上静静思考）师：（生板演毕）大家看看×××同学的证明过程，有无错误？生：没有．师：请做对的同学举手．生：（教师扫视全班）生皆举手．师：今天我们证明到的关于直角三角形一个结论，同学们在今后的证明中可直接应用．有谁能用文字语言表述这个结论？生：直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似．师：你的表述准确严谨．在使用时，书写格式如下：∵ ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴ ∆ABC ∽∆CBD ∽∆ACD ．（师同步写在黑板上）请大家读一遍．生：（生齐生朗读）直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似．〖评析〗着眼于后继学习的需要，此处将“射影定理”以练习的形式加以渗透，教师引导学生总结出文字语言及符号语言，并说明以上结论在解题的过程中可直接应用．【探究4】师：有时在证明比例式时，按照“三点定形法”，找不出相似三角形，怎么办呢？（停顿片刻）我们可以通过作辅助线，构造相似三角形．大家思考下题． 生：（学生紧锁眉头，陷入思考）师：（等待片刻后）请大家互相讨论（小黑板出示例4）生：（学生讨论非常热烈，互相启发，此时课堂气氛达到高潮）师：请×××同学说一说，你是如何思考的？生：我是这样思考的：用分析法分析，要证明EB EC ED ⋅=2．就是要证EDEC EB ED =，但是，线段ED 、EB 、EC 在同一直线上，无法用三点定形法找到一对相似三角形来证明，考虑到题设中有EF 为线段AD 的垂直平分线，从而联想到线段垂直平分线的性质，连接EA ，有ED =EA ，将要证的比例式变为EAEC EB EA =，再用“三点定形法”确定证明△EAC ∽△E BA ，而两三角形有一个公共角，可证到∠EAC ＝∠B ，从而证得结论．师：你说得非常棒，说明你是个爱动脑筋的孩子，相信你的数学会越学越好！同学们听清楚了吗？生：（少数学生露出困惑状）师： 现在我把刚才×××同学的思路整理如下：现在我们是不是该把原来总结的证明等积式的思路修改一下呢？（等待片刻后）我们修改成：“遇等积化等比，横找竖找定相似，不相似，别生气，等线（等比）来代替（补充前面的板书）”为加深印象，同学们朗读一遍．生：（生齐生朗读，少数学生边读边露出微笑）“遇等积化等比，横找竖找定相似，不相似，别生气，等线（等比）来代替．”〖评析〗从等积式出发，用分析法逆向分析，用等线代替，仍用“三点定形法”，确定相似三角形．本题的难点在于证∠EAC ＝∠B ，进一步巩固深化相似三角形的判定．【训练3】师：下面请大家完成下题（小黑板出示练3）生：（生思考后，请一学生板演）生板演过程如下：（1） ∵ △ABC 是等边三角形∴ ∠C ＝∠A ＝60°，∴ ∠ABD +∠ADB ＝120°，∠ADB +∠EDC ＝120°，∴ ∠EDC ＝∠ABD∴ △DEC ∽ △BDA ．（2）∵ △DEC ∽ △BDA∴ AD EC AB DC =，即xy x --=444 ∴ =y 4412+-x x （0＜x ＜4）． 师：（学生板演后，全班同学抬头看黑板，师点拨）此题在证△DEC ∽ △BDA 时的关键是证∠EDC ＝∠ABD ，这位同学证得很好！在求函数关系式时，就是找y 与x 之间的关系等式，由相似三角形的对应边成比例可得．师：同学们，刚才我们从不同的角度应用相似三角形的判定方法，大家总结一下，有哪些思路可以证明两个三角形相似？生：（1）定义；（2）平行线法（预备定理）；（3）三边对应成比例；（4）两边对应成比例且夹角相等；（5）两角对应相等．师：总结得很好．（教师同时板书）师：通过本课的学习，除了学习了相似三角形的判定方法之外，你还有哪些收获？生：我们还学习了证明等积式的一般思路，这就是：（板书如下，部分学生齐读）师：同学们总结得很好，在今后的学习中要注意养成勤反思、勤总结． 〖评析〗从知识、思想、方法的角度引导学生梳理，让学生自由表述，其它学生补充，将知识系统化，以自己的方式进行知识结构建构．形成体系，将块块变成条条，生成知识系统树，有利于学生形成结构化了的知识，便于知识的储存和提取．【课后练习】今天的作业如下：1．填空：（填上“不一定”或“一定” ）（1）两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形_______相似；（2）如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形_______相似．2．如图，若∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形有（ ）A ． 2对B ． 3对C ． 4对D ． 5对321E DC B A3．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：△ABC ∽△AED ．4．已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ， 若AB ＝4，AD ＝5，AE ＝6，求DF 的长．5．已知：如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于点D ．（1）求证：AB AD AC ⋅=2；BA BD BC ⋅=2；BD AD CD ⋅=2．（2）若AD ＝2，DB ＝8，求CD ．21E D C B AF E D C B A C B A。
三角形的相似性与计算的课堂实录
三角形的相似性与计算的课堂实录在今天的数学课堂上，我们将探讨三角形的相似性与计算相关的内容。
通过实际操作、观察和计算，我们会形成更深刻的理解。
本次课堂实录如下：【引言】老师向同学们引入三角形相似的概念，并解释相似三角形的定义和性质，以及相似三角形的比例关系。
【课堂实录】老师：同学们，今天我们将学习三角形的相似性与计算。
首先，让我们从相似三角形的定义开始。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形之间的边长比例相等，并且对应角度相等。
那么，这其中的关系是怎么样的呢？举个例子，我将在白板上画出两个相似三角形，观察一下。
（老师在板书上绘制两个相似三角形ABC和DEF）学生A: 老师，我看到它们的形状确实相似，但是大小不同。
老师：没错，同学们请注意，相似三角形的比例关系是非常重要的。
在图中，我们可以注意到△ABC与△DEF的边长比例为AB：DE=BC：EF=AC：DF。
同时，对应的角也是相等的。
这是相似三角形的基本特征。
学生B: 那我们可以用这个比例关系来计算一些未知量吗？老师：非常好的问题！当我们知道一个相似三角形中的一些边长，可以利用比例关系来计算其他边长。
让我们来具体操作一下。
（老师在黑板上解题，并与学生们分享解题步骤）老师：以△ABC与△DEF为例，已知AB=4cm，BC=6cm，EF=9cm。
我们想要计算出DE的长度。
这个时候，我们可以设DE为x，然后写出比例关系：4/x=6/9。
学生C: 那我们怎么计算x的值呢？老师：非常好的问题！这就需要我们进行一些简单的运算。
通过交叉相乘，我们可以得到4*9=x*6。
即36=6x。
然后我们将方程两边都除以6，得到x=6cm。
学生D: 老师，我有一个类似的问题。
如果我们已知两个相似三角形的某一个边长比例，但并不知道具体的边长，我们能计算出其他边长吗？老师：当然可以！让我再给你举个例子。
假设我们已知△ABC与△DEF的比例关系为AB：DE=1：3，并且我们知道AB的长度为5cm。
相似三角形的判定课堂教学实录
相似三角形的判定(二)教学实况 师:上课生（齐鞠躬行礼):老师好。
师：（回礼）同学们好。
请坐。
师: 同学们，在上一节课的探索中，我们知道：如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
那么三角形 的相似还有没有其它条件呢？出示课题：27.2.1相似三角形的判定（二）[板书]师：下面请同学们回忆一下三角形全等条件—边角边（SAS ）的内容？ 生：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形全等。
教师板书：①两边对应相等 ②夹角相等师：如图，在ABC ∆和A B C '''∆中， A A '∠=∠.根据边角边（SAS ）判定条件来判断ABC ∆和A B C '''∆全等，还需要添加什么条件？生：还需要添加条件：AB A B ''=，AC A C ''= 教师板书：在ABC ∆和A B C '''∆中 因为A A '∠=∠AB A B ''=，AC A C ''=所以ABC ∆≌A B C '''∆师：如果把条件：AB A B ''=，AC A C ''=改写成：1AB ACA B A C ==''''。
那么ABC ∆和A B C '''∆是否还全等？（在刚才的板书中改写） 生：是的，因为条件AB A B ''=，AC A C ''=和条件1AB ACA B A C ==''''是等价 的，所以两个三角形仍然是全等的。
师：回答的很好！那么这两个三角形除了是全等关系外，还是什么关系？（学生思考）……生：相似吧，因为全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。
相似三角形中的分类讨论实录加反思
无可奈何“落去”，似曾“相似”归来——“一题一课”模型下的相似复习课课堂实录与反思背景介绍“一题一课”，倡导一个题目上一节课，就是围绕着说题时抽到的那一题来上一节课。
我抽到的题是第18题，主要考查相似三角形的判定与性质，涉及到分类讨论。
这道题对学生来讲说不上难，因为从学生接触相似三角形开始就已经在接触这类题了；可也说不上简单，毕竟分类讨论不是每个学生都能理解的了的。
可光就这个题目讲上一节课，是根本不可能的。
对这课我最初的设想是由浅入深，先温习或做些铺垫性的问题，把起点放在相似三角形的判定的复习上，编制单一的不涉及分类的相似题目，再重点像讲课文例题那样去启发分析，最后拓展提炼。
因此刚开始花了大量的时间去寻找合适的题目，无果之后又尝试着自己去改编题目：赋予△ABC为等腰三角形的背景下，DE∥BC，在BC边上寻一点F，使△DEF与△ABC相似。
试上之后，这道题反响还不错，引入等方面修正完善一下就好。
杭州听课回来还没缓过神来连着清明放假三天，期间我仔细思考教学设计中的这道题目，总觉得偏离了“一题一课”的理念。
可是箭在弦上不得不发，没机会再试上再磨课了！比赛当天，心里还是隐隐觉得不好，于是开始两手准备：一方面将这个课再次仔细整理准备上课；另一方面再次去找寻其他题目，最终决定只将该题作为课后拓展题让学生拓展提升。
感谢教研组听课的同事，每一位都给出了非常宝贵的意见和建议，帮我不断修正与完善。
在磨课的过程中，我受益良多。
课堂实录师：今天这节课我们一起探讨相似三角形中的分类讨论。
首先我们拿出练习纸，动手画画看。
（媒体显示题目，学生动手作图）如图，△ABC中，AB=12，AC=15。
D为AB 边上一点，过点D作一条截线交AC于点E，使△ADE与△ABC相似，你能作出几条？请画出图形。
师：谁来说说看你是怎么画的？生：先做BC的平行线，交AC于点E。
还有一个是做的那条线和AD相等……师：做的那条线和AD相等？生：作AD=AE师：在AC上取一点E，使得AD=AE师：说说看你是怎么想的?（学生回答不出）为什么这种情况下这两个三角形相似？生：因为平行师：依据的是什么？生：相似三角形中（学生说不出来师补充）师：作DE∥BC时，就是说∠ADE与∠ABC相等。
相似三角形的判定课堂实录
27.2相似三角形的判定（二）课堂实录一、创设情境，导入新课。
老师提问：同学们，我们已经学习了哪些判定两个三角形相似的方法？ 王一方：相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的三角形是相似三角形。
李文：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似许可：三边对应成比例的两个三角形相似。
老师：三位同学回答的很好。
导入新课：第三种方法三边对应成比例是我们类比用SSS 判定两个三角形全等得到的，那我们继续类比用SAS 判定三角形全等，看能否通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？二、实践探究，交流新知探究活动：让学生利用刻度尺和量角器画两个三角形⊿ABC 和⊿A ′B ′C ′，使量一量第三条对应边BC 和B ’C 的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．你能得出什么结论？[学生活动] 学生在练习本上画，两名学生许心雨和陈增美上黑板画图测量。
在黑板上板书的学生画完后，教师点评。
老师：许心雨画的∠A=∠A ′=45°,AB:A ′B ′=AC:A ′C ′=2，她求得BC:B ′C ′=2，得AB:A ′B ′=AC:A ′C ′=BC:B ′C ′，从而得到⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′。
陈增美画的∠A=∠A ′=60°,AB:A ′B ′=AC:A ′C ′=3，她求得BC:B ′C ′=3，得AB:A ′B ′=AC:A ′C ′=BC:B ′C ′，从而得到⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′。
如果我们改变∠A 和k 值得大小，两个三角形还相似吗？学生回答：相似。
老师提问：哪位同学能总结由这个探究你能得出什么结论？王一方：如果两个三角形满足两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
老师：王一方同学总结的非常好。
如果两个三角形满足两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
这就是我们今天要学习的相似三角形的又一个判定定理。
相似三角形的性质数学优秀教学设计案例实录能手公开课示范课
相似三角形的性质A、教学目标1、知识目标：理解相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线周长的比等于相似比。
2、情感目标：让学生踊跃参与到课堂中来，创设良好的课堂气氛。
3、德育目标：激发学生学习兴趣，培育学生良好的学习适应。
B、教学重点：掌握相似三角形的性质：即相似三角形中所有对应线段的比都等于相似比。
C、教学难点：正确理解相似三角形的性质。
D、教学关键：引导学生用观察发觉法，得出相似三角形的性质。
E、教学预备：三角板、小黑板、相似三角形纸板、彩色粉笔F、教学方式：观察、分析、发觉、归纳等G、教学进程：一、温习提问1、由学生的学具温习相似三角形的判定方式？2、由学生回答的结果师生彼此补充二、新课导入导言：由相似三角形的概念可知，相似三角形有什么性质？（学生答师板书）相似三角形的对应相等，对应边成比例师言：除用概念得出相似三角形的性质外，还有那些性质呢？本节课就来研究相似三角形的其他性质？（板书课题）三、新课讲解1、 出示小黑板，明确两个图形是相似三角所示：A A ˊˊ D 已知：如图△ABC ～△A’B’C’ ’D’是对应高ABC 与△A ’B ’C ’的相似比K求证:K D A AD '' (1) 引导学生分析并口述证明进程(2) 由学生按照证明的结论取得:相似三角形的对应高的比等于相似比 并板书2.师提问你按照相似三角形相似的这一性质,你还有哪些发觉?(可拿出自己的图形演示,同桌之间可探讨)并证明你的发觉 师板书性质:相似三角形的对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比 由学生独立完成证明进程后还有什么发觉?让学生继续探索指名说出后,教师板书性质相似三角形的周长的比也等于相似比(学生自己证明进程)3.教师可按照性质引导学生归纳总结:相似三角形的所有对应线段的比都等于相似比4.师:除这些性质是不是还有其他性质?(还有)如面积的比等于多少?可留课后试探题5.应用这些性质:出示例:已知:如图△ABC ～△A ’B ’C ’它们的周长别离为60cm 和 72cm, 且AB=15cm B’C’=24cm .求 BC,AC,A’B’,A’C’.(1) 由学生讨论分析后，教师板书 生口述解：∵△ABC ～△A ’B ’C ’∴7260''''==C B BC B A AB (相似三角形的周长比等于相似比) 把AB=15(cm),B’C’=24(cm)代入上式解得A’B’=18(cm) BC=20(cm)∴AC=60－15－20=25(cm)四、课堂练习：1、 填空：1）已知两个相似三角形对应边的比为3:4若其中较小三角形一边上的高为4cm ，则另一较大的三角形相对应的高为（ ）（2）已知：△ABC ～△A ’B ’C ’ △ABC 的周长是6cm ，△A ’B ’C ’ 的周长为12cm ，△ABC 的最长边为，则 △A ’B ’C ’的最长边为（ ）（3）三角形的中位线把三角形分成两个三角形周长比为（ ）2、 判断：（1）相似三角形的高线之比等于相似比（ ）（2）两个相似三角形，对应中线的比为1:4，则这两个三角形的相似比1;43、 选择：（1）已知△ABC～△A’B’C’的相似比为K（K≠1）那么K等于（D）A．AB:A’B’ B. ∠A:∠A’C. S△ABC:S△A’B’C’D. C△ABC:C△A’B’C’(C为周长)(2)已知△ABC～△A’B’C’且△ABC的三边别离为 4.5.6△A’B’C’的最长边与最短边的差为1,则△A’B’C’的周长为A..B. 7.5C. 9D. 10五、课下练习：（！）一个三边的长度比为2:3:4,三边中点连线组成的三角形的周长为27cm，则原三角形三边别离为（）六、课堂小结：由学生总结后（教师可作补充）七、作业：1.探讨，相似三角形的面积比等于什么？～206 4.5.6板书设计§相似三角形的性质所有对应线段的比角相等例题示范相似三角形对应边成比例高线角平分线的比等于相似比中线周长的比教跋文：。
北师大版数学八下《相似三角形的性质》课堂实录（优质实录配套课件配套讲学稿配套）课件
难
关键：思路分析
点
对于一个三角形，我们可以研究 它些什么？
问题一：
如图∆ABC≌△A′B′C′,AD、 A′D′分别是两个三角形对应边 上的高,那么AD、 A′D′有怎样 的数量关系？
相等 那么全等 三角形对应角平分 线,对应中线又会 怎样呢? 相等
猜一猜：
如图∆ABC∽ △A′B′C′,AD、
对应角_相__等___
对应角__相__等_
对应高_相__等___
对应高的比等于_相__似__比_____
对应中线__相__等_ 对应中线的比等_相__似__比____
对应角平分线_相__等_ 对应角平分线的比等于相__似__比___
周长_相__等__
周长的比______?__________
面积__相__等__
x 40 x
对应边 高
B
P DQ
60
C 对应边 高
变式练习
如图,矩形PNMQ的顶点Q、M在BC上 N、P分别在AC，AB上，QM=2MN BC=21mm，△ABC的高AD=14mm 求矩形PNMQ的 周长和面积。
KM
课堂小结
全等三角形与相似三角形性质比较
全等三角形
相似三角形
对应边_相__等_
对应边_成__比__例_
二 ∠A 角平分线 组 ∠A 角平分线
三 BC边上中线 组 BC边上中线
线段长度 B´C´边上高线 A´C´边上高线 ∠A´角平分线 ∠B´角平分线 B´C´边上中线 A´C´边上中线
比值
AD:A′D′ AD:B′D′ AD:A′D′ AD:B′D′ AD:A′D′ AD:B′D′
小拓展：
分别做BC边上的三等分点D、E, B´C´
9下27.10《相似三角形复习》课堂实录
第二十七章相似《相似三角形》复习课（课堂实录）〖预习反馈〗师：请同学们回顾一下如何来定义相似三角形的？又如何来定义相似三角形的相似比？生：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形；对应边的比称为相似比．师：（微笑地）回答很好！那么位似的定义又是怎样的呢？位似与相似之间有何关系呢？生1：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心,这时两个图形的相似比又称为位似比．生2：位似是特殊的相似，其特点有（1）两个图形相似；（2）每组对应点所在的直线交于一点；（3）对应边互相平行或在同一条直线上．师：相似三角形有哪些判定方法？生：三条边对应成比例的两个三角形相似、两个角对应相等的两三角形相似、两条边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．师：相似三角形有什么性质？生：相似三角形对应高之比、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；相似三角形周长比等于相似比；相似三角形面积比等于相似比的平方．〖点拨〗（1）用相似比k刻画相似三角形的主要性质，以便使学生对性质的把握更能抓住本质．（2）对相似三角形判定的梳理要结合图形分别用文字语言、符号语言加以表达．（3）在学生回答的基础上，由师生共同完成本章知识框图的构建：〖内化本质〗师：全等三角形与相似三角形之间有何联系？生1：特殊与一般的关系．生2：可以由全等三角形的性质与判定类比得到相似三角形的性质和判定．师：常见的相似三角形的基本图形有哪些？（在小组充分讨论、全班热烈交流后，采用师生合作的方式，画出相似三角形判定的常见基本图形）〖点拨〗为了便于学生记忆和抓住基本图形的特征，可加注一些名称，比如：平行类的两个图形分别称为“A字型”、“X字型”；相交类中的下面和右边的两个图形分别叫做“共角共边”、“两垂直”（即就是射影定理基本图）的基本图形．此外，在研究基本图形时要注意将“X 字型”与相交类中上面的图形加以比较，认识到两者间的差别；要帮助学生明确“共角共边”、“两垂直”基本图形中的公共边是比例中项这一规律．师：通过上面的复习，你对知识之间的联系，获得知识的方法，所用到的数学思想有什么新的感悟？生：特殊到一般、类比、转化的思想．〖评析〗所设问题突出的就是运用类比、化归将新知与旧知联系起来，意在建立知识间的内在联系，从中感受转化的思想、类比的思想及“从特殊到一般”的研究方法，让学生在数学学习活动中掌握全章的知识要点．〖合作探究〗师：刚才同学们通过相互合作回顾了本章的知识要点并梳理出了相似三角形中的一些常见的基本图形．下面我们利用上述知识解决例1（电脑投影例1）．（学生思考、讨论）生1：第（1）小题中△END ∽△EBC 、△END ∽△BNA 、△AMN ∽△CMB 、△ABM ∽△CEM ，共四对．生2：不对，少了一对全等三角形：△ABC ∽与△CDA ．师：讲得很好，全等是特殊的相似．生3：由于△END ∽△EBC 、△END ∽△BNA ，因此△EBC 与△BNA 也相似． 师：（赞许）△END 、△EBC 、△BNA 是同一类相似三角形，我们在计数时，应将它们罗列在一起，用“∽”符号连接，这样统计时才能做到既不重复，也不遗漏．共有6对相似三角形． 生4：第（2）小题有3条符合要求的直线．师：你是如何思考的？生4：（生画图加以表达）由于本题相似三角形的对应关系不明确，故要分类讨论，考虑“A 字型”与“X 字型”的基本图形，如图所示．师：回答得很好！对应顶点不明确的相似三角形判定问题往往要进行分类，过点D 所画的直线与直角边平行具有多样性．〖评析〗第（1）小题先让学生自行寻找，在学生充分讨论交流的基础上着重在为什么会出现遗漏现象和如何使思维有序上进行点拨．引导学生抓住平行四边形所提供的两组平行线，从多角度去寻找，在计对数时要指导方法：将同一类AB DE A B C D E A D E C B A B C D E ABCDC BA D 相交类平行类AB CD E F G的相似三角形用“∽”符号写在一起，这样统计时才能做到既不重复，也不遗漏．另外，还要提高学生的“免疫力”，明确全等三角形是相似三角形．第（2）小题放手让学生去画图，展示结果，然后由学生进行自我总结．师：接下来我们来研究例2（电脑投影例2）（学生思考、推证、计算）生1：第（1）问我找到了两对相似三角形：△DMG∽△DBM、△EMF∽△EAM，它们是“共角共边”的相似三角形．生2：我还猜想△AMF与△BGM有可能相似，但证不出来．生3：关键是证明∠AFM＝∠BMG，可如此解决：∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG．师：同学们回答得真棒！同学们在识图时应仔细观察图形，大胆进行猜想．请同学们独立完成△AMF∽△BGM的证明．生4：第（2）问，我由α＝45°可知△ABC是等腰直角三角形，又据AB、AF的数值可求出CF的长为1，下面我无法解决了．生5：要求FG的长，可考虑利用勾股定理，必须求出CG的长，即求BG 的长，想到用△AMF∽△BGM来解决．师：这是采用的“两头凑”的分析问题的方法，即由两头往中间走，是处理几何综合题常用和有效地方法，希望同学们在学习的过程中加以运用．请生5到黑板上板演．〖评析〗中考中相似三角形部分的解答题侧重对综合能力的考查，其形式往往先推理再计算，重点检测学生分析问题、形成思路的能力．故在复习时要高度关注这一命题趁势，本题就是一道融识图、证明、计算于一体的典型例题，尽管图形并不复杂，但由于所要找的相似三角形图形交错，对学生观察能力提出了较高的要求，又因已知条件与所要计算之间跨度大，思路难以形成．因此，此题有利于训练学生如何结合条件、未知（结论）来综合分析问题．师：同学们对以上复习的知识和方法掌握的如何呢？请独立解决下面这道练习（电脑显示）．（学生独立解决，投影学生解答过程并加以评析）〖评析〗作为以上例题的巩固练习题，应给足学生思考的时间，放手让学生独立解决．根据学生解答情况，可简要分析第（2）问，强调相似是处理几何计算问题的最常用的方法、总结方程的思想等．〖拓展提高〗通过以上例题和练习的研究，发现同学们基本功较为扎实，相似三角形的知识有着广泛的应用，我们一起来研究例3（电脑投影例3）．（学生思考、计算，讨论交流）生1：第(1)问很简单，只需利用同一时刻物高与影长成比例，学校旗杆的高度是12m，第(2)问还没想到．生2：关键是能得到△OMN∽△HGN、将ON用半径的代数式表示．易得GN＝208，由勾股定理得NH＝260．设⊙O的半径为r cm，由△OMN∽△HGN得OM ONHG HN=．又ON＝OK+KN＝OK+(GN－GK) ＝r+8．所以8156260r r+=，解得r＝12．师：回答得很精彩！本题是利用相似的知识解决实际测量的典型例子，第一个问题是课本中的练习题，第（2）问的已知条件、解题要求有了较大的变化，不可生搬硬套、简单效仿，需找出与第（1）问差异所在，把解决旧问题的方法迁移到新问题中来．〖总结反思〗师：通过本节课的复习，同学们有哪些收获？（学生归纳总结发言）师：还有哪些疑惑？（师生聆听同学的收获，解决学生的疑惑）〖课堂反馈〗分层设置一组课堂反馈训练题，要求数学水平一般的学生只选1，中等的完成1后再思考2，数学水平高的可直接选3．〖评析〗第1题要注意相似三角形面积比等于相似比的平方；第2题抓矩形相似的关键是长与宽成比例；第3题应将实际问题数学化，鼓励学生一题多解，寻求最优方法．〖课后练习〗课堂复习不能也没有必要穷尽所有知识点和题型，课后练习题的选择既要对本节课所复习重点和难点起到强化训练的作用，也是达到查漏补缺的效果．比如第1题补上“黄金分割”这一重要知识、第2题则是挖掘出以等边三角形为背景的相似基本图形、第3题是本课复习重点“位似作图”的再强化、第4题则是热点题型“方案设计问题”的训练．以上4题可让学生据自身学习情况自主选择解答．〖评析〗教师对课后练习题进行批改检查，然后将具体情况记录在教案上，主要包括整体完成情况、学生答题存在的主要问题及形成原因，同时设计适量的有针对性的变式训练及时纠偏．。
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《相似三角形》课堂实录
师：上课!
班长：起立！
生：（齐声）老师好！
师：同学们好！请坐！
师：上节课我们学习的相似多边形的对应角和对应边各有什么关系？
生：对应角相等，对应边成比例.
师：相似多边形的形状、大小又怎样呢?
生：形状相同，大小不等.
(学生回答后，我立即出示形状相同、大小不等的特殊的三角板发给每个小组.)
师：请同学们观察、比较角、边，你会发现什么?
(学生通过测量得到对应边成比例，对应角相等.)
师：这样的两个三角形叫相似三角形.(板书课题)
(二)合作学习，探究新知
1.相似三角形的定义及表示方法
(学生根据观察和体验的过程，归纳定义，提高语言表达能力)
师：你能根据我们学习的相似多边定义来定义相似三角形吗?
生：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
师：你能根据图形找出对应角和对应边吗?
生：∠A和∠Aʹ、∠B和∠Bʹ、∠C和∠Cʹ分别是对应角；AB和AʹBʹ、AC和AʹCʹ、BC和BʹCʹ分别是对应边．
师：你能根据定义写出对应角和对应边的关系吗?
生：∠A=∠Aʹ 、∠B=∠Bʹ 、∠C=∠Cʹ ；AB：AʹBʹ=AC:AʹCʹ=BC:BʹCʹ(或： AB： AC：BC=AʹBʹ ： Aʹ Cʹ ：BʹCʹ )．
师：若AB：AʹBʹ=k,那么k叫相似比.
(为了使学生认识定义所揭示的相似三角形的本质属性，教师打出思考题.)
师：如图，△ABC∽△ADE，那么哪些角是对应角，哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?
生：∠ADE和∠B、∠A和∠A、∠AEC和∠C是对应角，AD和AB、AE 和AC、DE和BC是对应边.
师：下面我们一起研究特殊的三角形是否相似.
2．议一议
两个全等三角形一定相似吗?为什么?
两个直角三角形一定相似吗?为什么?
两个等腰直角三角形一定相似吗?为什么?
两个等腰三角形一定相似吗?为什么?
两个等边三角形一定相似吗?为什么?
(学生分组讨论，给学生思考空间．)
生1：全等三角形一定相似，因为对应边的比为1，对应角相等.
生2：两个直角三角形不一定相似.(他拿出一副三角板演示)
生3：两个等腰直角三角形一定相似，因为对应角相等，每个等腰直角三角形的三边比都为1；1：．
生4：两个等腰三角形不一定相似.(他画出一个锐角等腰三角形和一个钝角等腰三角形)
生5：两个等边三角形一定相似．对应角相等，都等于60度，每个三角形三边的比为1.
师：同学们回答的都很好，对相似三角形的定义理解的深刻，对于不相似的三角形，能够用图形表示，这是数学中一种说明方法，叫举反例，我们以后还会深入研究，下面我们总结一下，哪些特殊的三角形一定相似呢?
生：
1．全等的三角形.
2.等腰直角三角形.
3.等边三角形．
师：同学们回答的很好，下面请同学们完成一组练习题.
(三)练一练
1．在下面的两组图中，各有两个相似三角形，试确定x、y、m、n 的值.
(培养学生观察图形，运用知识的意识，学生口答.)
2．有一块呈现三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度.
(学生笔答，一名学生板演，教师利用投影仪反馈.)
师：解这题的依据是什么?
生：图纸上的图形与实际图形是相似的．
(每一类问题都有客观存在的解题方法，学生只有掌握它的解决方
法，就可以学会解这一类问题.)
3.如图，已知：△ABC∽△ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°．求：
⑴∠AED和∠ADE的大小；
⑵ DE的长．
(通过练习，培养学生能运用相似三角形的对应角相等，对应边成比例的性质正确计算.自己先做一做，然后交流．)
师：从这题中看出，求线段长和角的度数我们可以借助三角形的相似来求解.我将上题的图形变换一下，请问学们解出此题．
4.如图，已知△ABC∽△AED，AE=50cm，AD=60cm，BC=70cm，
∠BAC=45°，∠ACB=40°.求：
(1)∠AED和∠ADE的大小；
(2)求DE的长.
(图形稍做变换，因此对应关系也改变了，让学生认识到几何图形的变化无穷，但解题方法是不变的，这样多题一解是学习几何的一种方法.)
想一想
在练习3的条件下，图中有哪些线段成比例?图中有互相平行的线段吗?
(先想一想，后小组讨论，在活动中感悟知识的生成，教师在参与活动的同时引导.)
(四)总结反思，拓展升华
1.通过这节课的学习你有什么收获?
2.在运用相似三角形的对应角相等，对应边成比例时应注意什么?
3.有哪些特殊的三角形是相似三角形?
(学生自由回答，培养学生的语言表达力)
教师补充：相似三角形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上．我们又多了一种求线段长和角的度数的方法，而这种方法是我们以后解题常用的方法．
(五)布置作业
教材116页习题4.6第1、2题.
六、教学后记
在教学中我努力尝试把课堂还给学生，做到以学生为主，教师只是起引导作用，尽力体现自主、合作、探究的学习方式．这节课我认为基本做到了以下几点：
1.为学生提供了自主学习、自主操作、自主活动的机会.新课开始，
学生通过测量、观察得出三角形是相似的，调动了学生探索新知的兴趣，还设计议一议让学生充分地讨论，使每一个学生都参与教学，体现学生是学习的主人．
2.学生根据相似多边形的定义来定义相似三角形，提高学生的概括能力，从而学生认识到相似三角形与相似多边形之间的内在联系，体现数学每章每节不是孤立的，而是有一定的联系.
3.在教学中教会学生总结解题方法．有的学生觉得数学难学，尤其是相似．实际上他没有掌握学习数学的方法，有许多问题都是一种思路，一种解题方法．学生会做一道题不是目的，总结解这类问题的解题方法是关键，因此，在"议一议"后，及时让学生总结你得出哪些结论，有利于以后的知识应用，再有做练一练中2题，总结解题方法，使学生认识到以后遇到这类问题，都用此方法解决．
不足方面:
1.由于平时对学生的语言训练不到位，学生在语言叙述方面有待于提高，多训练学生语言的严谨性、精练性。
2.学生对于图形变换题，做起来不太灵活，认识图形的能力还要加强，这也是以后教学的努力方向.。