信用评价模型

《信用评价模型》

一， 某企业有五笔债务，其偿债能力和经营能力评分如下表所示

试用最短距离法对他们进行分类（距离采用绝对值距离），标准化方法为规格化变换。(A) 解：(1)规格化变换公式为：

}

{min }{max }

{min 111'

'ij n

i ij n

i ij n

i ij ij x x x x x ≤≤≤≤≤≤--=

（2）由于两个边来南国的数量水平不同，故先采用规格化变换将原始数据变换如下表

（3）样品间采用绝对值距离：

j i j i ij y y x x d -+-=

计算出初始距离阵)0(D 为

（4）初始距离矩阵)0(D 中最小的元素为对应的元素是

G 2}{G 1G 3G 21,34.01212，合并成新一类，记作与所以将===G d D

（5）再将Ｇ３与其它类的距离进行计算

03.1}03.1,37.1m in{),m in(231363===d d D .1.}1,34.1m in{),m in(241464===d d D 33.1.}67.1,33.1m in{),m in(251565===d d D

债务 偿债能力 经营能力

1

2

3 4 5 0 债务 1 2 3 4 5

债务能力 0 0 0．7 1 1 经营能力 1 0

?

??

???

?

?

??=067.0030.163.0067.1103.1033.134.137.134.0054321)0(G G G G G D G1 G2 G3 G4 G5

由此的距离阵)1(D 为

(6)找出距离矩阵)1(D 最小元素，它是63.034=D 所以将G3,G4合并，记作G7={ G3,G4},然后计算G7与其它各类的距离

1}1,63.1m in{),m in(646367===d d D 67.0}67.0,30.1m in{),m in(453575===d d D

由此的距离阵)2(D 为

(7)距离矩阵)2(D 中的最小元素为67.075=D ，所以将G7,G5合并，记作G8={ G7,G5},然后计算G8,G6的距离

1}33.1,1m in{),m in(567686===d d D

由此可得距离矩阵)3(D 为

(

8)最后将G6,G8合并最短距离法的聚类谱试图如图所示 G1 G2 G3 G4 G5 ???

?

?

??=067.0033.110G5G7G6)2(D G6 G7 G5

???

??

?

?

??=067.0030.163.0033.11

03

.105436)1(G G G G D G6 G3 G4 G5

???

?

??=0108686)

3(G G G G D

(9)有谱试图可以看出,五笔债务可以分成两组,G1,G2组成的组委偿债能力差的组,有G3,G4,G5组成的组委偿债能力强的组.分成3组时,可以分成偿债能力差的组(G1,G2),经营能力强且偿债能力强的组(G3,G4),经营能力差但偿债能力强的组(G5).

二，两类距离判别法 1,基本术语 随即样本()),,()()2()1('??==?n p n ij x x x x x

，

样本均值向量∑==n

i i x n x 1

)(_

1

样本叉积矩阵∑='--=

n

i i i x x x x

1

_

)(_)

())((A =()

p

p ij

a ?

样本协差矩阵 ()p p ij s A n

S ?==

1

2,判别函数与判别规则

等协方差矩阵:)()()(211

u u S u x x W T

--=- 非等协方差矩阵)]()()()[(2

1)(11

112122u x S u x u x S u x x W T T -----=

-- 判别规则 W(x)≧0,x ∈组1; W(x)< 0,x ∈组2 式中21,u u 为两组均值向量,u 为

)(2

1

21u u +，S1,S2为泄方差矩阵 (3)某公司债务分为按时偿还和不按时偿还两类.从按时偿还债务数据库汇总抽取4笔,从不按时偿还债务数据中抽取4笔,分别列出每笔债务在偿债能力所得分数和经营能力所得分数,其数据矩阵为:

??????? ??=8.394.373.365.25)

1(x ??????

? ??=0.386

.264.252.23)

2(x 试根据上述资料判断新债务x=(5,1)的偿还情况

(4)计算两类样本均值向量和二者的平均数向量

)25.3,75.6()

1(1

_

'=x )55.2,5.5()

2(2

_

'=x

)9.2,125.6(2

)

2(2_)

1(1__

'=+=

x x u

(5)计算两者的共同协方差阵和协方差的逆矩阵分别为

??????

? ??---=-=55.025.215.025.005.075.075.075.1)()1(_)

1()

1(0

_

ij ij

x x x ??????? ??---=-=45.05.205.05.015.05.035.05.2)()

2(_)2()2(0_ij

ij x x x

两样本各自的叉积矩阵分别为

???? ??='=89.055.255.275.8)1(0)1(01x x S ???

? ??='=35.01.21.213)

2(0)2(02x x S

两类共同协方差矩阵的估计为

???

? ??=+-+==∑∧

2067.07750.07750.06250.3)(21

2121S S n n S 由此可得共同协差矩阵的逆矩阵

???

?

??--=∑

-∧4093.242174.52174.53913.11

（6）判别系数向量

?

??

?

??-=-∑=-∧∧

5610.109130.1)()2(0_

)

1(0_

1x x α 判别函数为：

9098.185610.109130.1)9.2(5610.10)125.6(9130.1)()(2121<-+-=-+--=-=∧

x x x x u x x W T

α 所以该债务属于不能按时偿还的债务。 三，多类距离判别法 设有k 类总体)()3()2()

1(,,,,k G G G G

??，若它们的均值不同，分别为

)()3()2()1(,,,,k μμμμ??，而协方差矩阵相同，有∑=∑=??=∑=∑k 21则这时判别

函数仍为线性函数k j i u u u u x x W j i T j i ??=-∑+-=-2,1,),()2

()()

()(1)()(ij

其判别规则为: 若x ∈)

(i G

,若)(ij x W 〉0，对于一切j ≠i 均成立，i=1，2……k

代判，若0)()()(ijr ij2ij1==??==x W x W x W ，1≦r ≦k 若有k 个总体，则有判别函数就需要算k(k-1)/2个。 四，两类费歇尔判别

（1）判别函数 判别规则：

2

)

()()

2()1(_

)2()1(1u u u u x x +=

-∑'=-μ? )}

()(:{)}()(:{)}

()(:{21μ??μ??μ??=<=>=x x x x D x x D 待判，

（2）具体协方差阵的计算 共同阵：)(2

1

2121S S n n S +-+=

=∑∧

不同阵：22111

-11-1S n S n S +=

=∑∧

（3）判别函数的具体形式，在共同阵的情况下)()()()

2(_)

1(_1

21x

x

S S x x -+'=-?

（4）某企业能够按时偿还和不能按时偿还两类债务数据如下，现有新债务待分类（6.4.5），

试判别该债务属于哪一类(B)

按时偿还

不按时偿还

债务

衡量指标 债务

衡量指标 偿债

经营 品德 偿债 经营 品德 1 9 8 7 1 4 4 4 2 7 6 6 2 3 6 6 3 8 7 8 3 6 3 3 4 8 5 5 4 2 4 5 5 9 9 3 5 1 2 2 6 8 9 7 7 7 5 6 合计

56

49

42

合计 16

19

20

()1876X '=（） ()3.2 3.8 4.0X '=（2）

两组产品的离差矩阵即中心化变换的数据矩阵为：

10111110002021123021120X ?? ?-- ?

? ?

=-- ? ?- ? ? ?--??

（） 00.80.200.2 2.222.80.811.20.212.2 1.82X ?? ?- ? ?=-- ?- ? ?

---??（2）

两类的叉积矩阵分别为：

11100

46261812116S X X -?? ?'==- ? ?--??（）（）

20014.80 1.2001.208.8090910S X X ??

?

'== ? ???

（2）（2）

由此可得两类的共同叉积矩阵及其逆矩阵为：

()1218.807.2027.2026.8082826S S S -?? ?

=+= ? ?-??

10.061970.019900.010890.019900.047480.016140.010890.016140.04427S --??

?=-- ? ?-??

（6）判别系数向量为：()()()

1

2

1

1 4.80.25563.20.02412.00.0892S

X X S --????

? ?-== ? ? ? ?????

判别函数为：()()()()

121

1230.25560.02410.0892x x S

X X x x x -'Φ=-=++ 两组均值向量为：()()()

()121 5.6 5.452

X X X '

'=

+= 判别函数的阈值为0075.250892.04.50241.06.52556.0)(=?+?+?=x ?

新债务判别值为：)(0075.20760.250892.040241.062556.0)(x x ??=>=?+?+?= 所以新债务应属于按时偿还这一类 五,多类费歇尔判别 设有k 类母体)()3()2()

1(,,,,k G G G G

??，各类均值向量分别为)()3()2()1(,,,,k μμμμ??，

协方差为k 21,,,∑??∑∑，样本组间叉积阵为∑='--=

k

i i i i x x x x

n 1

_

)(_)

())((B ，样本组内叉

积阵为∑∑=='--=

ik

n j i i j

i i j

k

i x x

x x

1

)

(_)()

(_)(1

))((E

设判别函数为m m x a x a x a x +??+='=11)(?组间平方和为B a a '，组内平方和为Ea a '

判别效率Ea

Ba

)(L a a a ''=

a 的求法：判别系数a 应为样本组间叉积矩阵B 相对于样本组内叉积矩阵E 的特征向量，即：解线形方程组0(1

=--a B E I ）λ 判别规则 x ∈)

(i G

，若)()(min )()()

(_1)

(_j k

j j x

x x

x ????-=-≤≤

待判，若)()()()()

(_)

(_j i x

x x x ????-=-

六,Bayes 判别

使用距离判别法,当多类时,需建立k(k-1)/2个判别函数,而使用Bayes 判别法,则要简化的多 (1) 设有k 类母体)()3()2()

1(,,,,k G G G G

??，分别具有m 维分布密度

),,()(),(),(2,121m k x x x x x p x p x p ，，其中??='??

(2) 设k q q q ，??,,2,1是一个样本被随即地选择为属于)()3()2()

1(,,,,k G G G G

??的各个

概率,即将k 个母体混合,并随机的从这个单一混合母体中抽取一个样品,抽出的该样品将来自)

(i G

的概率为i q .

(3) 贝叶斯判别的解为

k j k l x p q x p q x D l l l

j j j ??=??===,2,1},,2,1),(m ax )(:{

或者写成: 令

k j k l x G P x G P x D i l

j j ??=??===,2,1},,2,1),/(max )/(:{)()(

(4) 具体实例:一般假定)()3()2()

1(,,,,k G G G G ??均服从正态分布

(两类的情况)

判别函数: )()()()2()

1(1

_

u u u x x -∑'-=-?

判别规则为:

)

/ln()()(})/ln()()(:{})/ln()()(:{12)2()1(1_

12)2()1(1_

212)2()1(1_

1q q u u u x q q u u u x x D q q u u u x x D >-∑'-<-∑'-=>-∑'-=---待判： (5) 具体实例(多类的情况) 判别函数)(1)(1)

(2

1ln )(l l l l l u u x u q x --∑'

-∑'

+=?

判别规则

k j k l x x x D l l

j j ??=??===,2,1},,2,1),(max )(:{??

某企业有三类债务，信用等级好的4笔债务，信用等级普通5笔债务，信用等级差4种债务，衡量指标有偿债能力，经营能力，品德情况，相关数据如下表，试根据该资料建立贝叶斯判别函数，现有一新债务，各项指标评分为偿债能力，经营能力，品德评分660。试评价该债∑==

k

j j j

l l i x p q

x p q x G P 1

)

()

()

()/(

务属于哪一类 等级分类 债务序号

偿债能力

经营状况

品德评分 好

A 3 290

B 7 680

C 4 390 D

6 540 普通

E 8 820

F 7 670

G 9 900

H 6 530 I

5 480 差

J 2 200 K 4 390 L 5 480 M

3

290

(6) 计算各均值得估计值

3,2,1,11

)

()

(_)

(===∑=∧l x n x

u l n i l i l l 信用好：)475,0.5,3.8()

1(_)

1('==∧x

u 信用普通)680,0.7,7.7()

2(_)

2('==∧x u

信用差：)340,5.3,1.6()

3(_)3('==∧x

u

(7)计算各类样本协方差矩阵和共同协方差矩阵 各类样本协方差矩阵估计公式

))(()

(_)()

(_1

)('--∑=l l i

l n i l i

x x

x x

l

共同协方差矩阵估计公式

∑∑==∧

'---=∑l l k l n i l l i l l i x x x x k n 11)

(_

)

()

(_)())((1 由样本数据和样本均值，有

????

?

??=∑∧

262502535.842535.27.05.847.0794.0

(8)计算各类出现的先验概率，可根据样本中各类的数目估计，即有

(9)求判别函数

k l u x u

q x l l l l ??=-∑'

+=∧-∧

,2,1),2/(ln )()

(1)(?

3

21332123

2113922.01894.365219.172698.51)(4771.03409.454111.203545.76)(5641.02478.524240.241850.99)(x x x x x x x x x x x x -++-=-++-=-++-=∧

∧

∧

???

（10）对新债务进行判别

8256.65)(,6375.69)(,2143.65)(321===∧

∧∧x x x ???

由于)(2x ∧

?最大，故判为第二类，属于信用普通。 七，Z-Score Model 原理（之一） 利用序关系分析法确定权重 1）确定序关系

定义1：若评价指标1x 相对于某评价准则（或目标）的重要性程度大于（或不小于）j x ，则记为1x 〉 j x

定义2：若评价指标m x x x ??,,21相对于某评价准则 （或目标）具有关系式

**2*1m x x x >??>> 时，则被评价指标m x x x ??,,21之间“>”确定了序关系。这里*

i

x 表示{*

i x }，按序关系“>”排定顺序后的第i 个评价指标}（i=1,2……m ）对于评价指标集{m x x x ??,,21}可按下列步骤建立序关系

(1) 专家(或决策者)在指标集{m x x x ??,,21}中,选出认为是最重要(关于某评价规则)的一

个(只选一个)指标记为*

1x ;

(2) 专家(或决策者)在余下的m-1个指标中，选出认为是最重要的(关于某评价规则)的一个

(只选一个)指标记为*2x ; 13

4,135,13413454.4,5,4,3,2,1,3213211

=

===++======

=

∧∧∧

=∧

∑q q q n n n n l n

n n

n q l

k

j j

l

l

……

(k)专家(或决策者)在余下的m-(k-1)个指标中，选出认为是最重要的(关于某评价规则)的一个(只选一个)指标记为*

k x ; ……

(m)经过m-1次挑选剩下的评价指标记为*

m x

这样，就唯一确定了一个序关系，为书写方便不失一般性，仍记为

**2*1m x x x >??>>

2）给出判断间相对重要程度的比较和k k x x 1-

设专家关于评价指标间相对重要程度和k k x x 1-之比k k /W W 1-的理性判断分别为

2,2,1,,/W W 1??--==-m m m k r k k k

当m 比较大时，由序关系可取1=m r

k r 的赋值可参考下表

k r

说明

指标k k x x 和1-具有相同重要性 指标k k x x 比1-略微重要 指标k k x x 比1-明显重要 指标k k x x 比1-强烈重要

指标k k x x 比1-极端重要

定理

1：若m x x x ??,,21具有序关系，则k k r r 和1-必满足k

k r r 11>

- 2,2,1,??--=m m m k

3)权益系数k W 的计算

定理2 若专家（或决策者）给出的k r 的理性赋值满足关系定理1，则m W 为

)1(W 2'+=∑∏==m m m

k

i i m r 而2,2,1,,W W 1??--==-m m m k r k k k

Logit 模型

（1）Logit 变换

人们常常要研究某一事件A 发生的概率p ，p 值的大小与某些因素有关，例如：银行存款的数量与企业的信用状况之间的关系就是一个例子，信用程度p 随着银行存款x 的增大自然是增长的，但因p 的值一定是在[0,1]区间内，所以p 不可能是x 的线性函数或二次函数，一般的多项式函数也不适合，这样就给这一类的回归带来很多困难，另一方面，当p 接近0或1时，一些因素即使有很大改变，p 值得变化也不可能大。例如，像高可靠性的系统，可靠性p 已是，即使在改善条件，工艺和系统结构，它的可靠性增长智能在小数点后的第三位或第四位上；又如灾害性天气发生的概率很小，很接近于0，即使能找到一些灾害发生的前兆，也不可能将p 值降低很多。从数学角度，就是函数p 对x 的变化在p=0或1的附近是不敏感的，是缓慢的，而且非线性的程度较高。于是要寻求一个p 的函数)(p θ，使得它在p=0

或p=1附近时变化幅度较大，而函数的形式又不是太复杂。因此用

dp

p d )

(θ来反映)(p θ在p 附近的变化是合理的，在p=0或1时，

dp

p d )

(θ应有较大的值，这自然要考虑 )

1(1

)(p p dp p d -∝θ（∝表示成正比） 将上式取成等式，就有

p p p p dp p d -+=-=111)1(1)(θ 得 dp p

dp p p d -+=11

1)(θ 两边积分

dp p dp p p d -+=??

?11

1)(θ p

p

p p p -=--=1ln

)1ln(ln )(θ 上式相应变换成为Logit 变换 （2）Logistic 线性回归 根据上面的思想，当因变量是一个二元变量，只取0和1两个值时，因变量取1的概率p(r=1)就是要研究的对象，如果有很多因素影响y 的取值，这些因素就是自变量记为k x x x ??,,21,这些i

x 中既有定性变量,也有定量变量.最重要的一个条件是:

k k x b x b b p p

+??++=-1101ln

也即)

(1)(ln y E y E -是k x x x ??,,21的线性函数.

满足上面条件的称为logistic 线性回归.

Logistic 变换的非线性特征使得在古籍模型的时候采用极大似然古籍的迭代方法,找到系数的”最可能”的估计.这样在计算整个模型你和度的时候,就采用似然值而不是利差平方和. logistic 回归只需我们知道一件事情是否发生了,然后再用二元值作为我们的解释变量.从这个二元值中,程序预测出事件发生或者不发生的概率.如果预测概率大于,则预测发生,反之则不发生.从程序中可以计算出Logistic 系数,比较事件发生与不发生的概率比.

假定事件发生的概率为p,又是比率可以表示为:. k

k x b x b b e p

p +??++=-1101

(3) logistic 线性回归求解理论分析

如果某一事件E 发生的概率p 依赖于一些自变量k x x x ??,,21(定性,定量均可)对x=(k x x x ??,,21)’观察了m 组果,在第a 组中,共试验了a n 次,E 发生了a r 次，于是E 发生的概率a p 可以用a

a

a n r p =

∧

来估计。假定a p 是合乎logistic 线性回归的线性关系式，即： m a x x p p ak k a a

a ??=+??++=-,2,1,1ln 110βββ （1） ai x 分别是i x 在第a 组所取的值。用a p ∧

代替（1）式中的a p ，就得关系式

m a x x p p a ak k a a

a ??=++??++=-∧

∧

,2,1,1ln

110ξβββ (3)

其中a ξ是随机误差项.记?????

?

?

???????

????

?=+?mk m k k m x x x x X 1111

)1(11 a a

a p p y ∧∧-=1ln ),,(21'??=m y y y y ,假定E a ξ=0,V(a ξ)=a V , 1ξ,……，m ξ相互独立，于是就有

Ey=ββββX X k ?????

??

?

???21,Var （y ）=v=?????

???????m v v 001 (3)

这是典型的线性模型。因此β的最小二乘估计（因V 不是单位阵，应该相应的加权）∧

β有公式 ∧

βy v x x x 1

1

-1

)v (--''= (4)

a V 的估计值)

1(1

1a a a a p

p n V ∧

∧

∧

-?=

(4)具体实例(A)

在一次住房展销会上，与房地产商签订初步购房意向书的共有n=325名顾客,在随后的3个月的时间内,只有一部分顾客确实购买了房屋,购买了房屋的顾客记为1,没有购买房屋的顾客序号

年家庭收入(万元)x 签订意向人数

i n

实际购房人数

i m

实际购房比例

i i i n m p /=

逻

辑

变

换

)1ln(

i

i i p p p -=' 权

宜

)1(i i i i p p n W -=

1 25 8

2 32 1

3 3 58 26

4 52 22

5 43 20

6 39 22

7 2

8 16 8 21 12 9

15

10

解: logistic 回归方程为

))

ex p(1)

ex p(11010x x l

p i i ββββ+++= i=1,2……m

式中，m 为分组数据的组数，本例中，m=9

进行逻辑（logit ）变换，得变换后的线性回归模型为：

i i i x p ξββ++='10 )1ln(

i

i

i p p p -=' 由公式∧

βy v x x x 1

1

-1

)v (--''= 得经验回归方程为：x p 156.0886.0+-='

∧

所以 Logistic 回归方程为：

))

156.0886.0ex p(1)

156.0886.0ex p(x x l

p +-++-='∧

利用上式可对购房比例作预测，例如x=8,则有

590.0))

8156.0886.0ex p(1)

8156.0886.0ex p(=?+-+?+-='∧

l

p

这表明在住房展销会上与房地产商签订初步购房意向书的年收入在8万元的家庭中，预计实际购房比例为59%，或者说，一个签订初步购房意向书的年收入8万元的家庭，其购房概率为59%。

六Probit 回归模型

Logistic 回归模型假定解释为被解释变量之间的关系类似于S 形曲线。而Probit 变换则与正态分布相联系。

记标准正态分布函数为Φ22

2u t e

du π

-

-∞

我们把Φ(t)的反函数记为1-Φ(t)。如果因变量的概率分布是由正态分级得到的，即：

()()i i X 'P =Φβ， i=1，2，…，m ()i X 是自变量x 相应于第i 级的观察值，β是一组参

数，于是有

11())(())i i X --'Φ(P =ΦΦβ i=1，2，…，m 实际上我们不能观察到i P ，只能得到i P 的估计值?i

P ，因而 ?i

P = i P + ε，ε是相应的误差，i=1，2，…，m ，这样就有 1?)i

-Φ(P = 1)i i -Φ(P +ε= 1i -Φ(P )+ ()

i i εΦP 其中(i ΦP )是标准的正态密度函数。如果把上述近似式看成等式，就有

1?)i

-Φ(P =i i X β+σ ()

i

i i d ε=ΦP i=1，2，…，m

且2

(1)

()(())

i i i i i p p Var n -σ=

ΦP i=1，2，…，m 其中i n 相应于()i X 的独立观察次数。