博弈论考题与答案

一、假设市场上有三个垄断企业，企业无生产成本，问达到纳什均衡时的产量为多少？假设市场的价格和数量之 间 P=a — b*Q
解：
二、 什么是纳什均衡，你是如何理解纳什均衡的？
答：纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种战略组合由所有参与人的最优战略组成，也就是说，给定别人战略 的情况下，没有任何单个参与人有积极性选择其他战略使自己获得更大利益，从而没有任何人有积极性打破这种 均衡。

当然，“纳什均衡”虽然是由单个人的最优战略组成，但并不意味着是一个总体最优的结果。

如上述， 在个人理性与集体理性的冲突的情况下，各人追求利己行为而导致的最终结局是一个“纳什均衡”，也是对所有人 都不利的结局。

三、 构建一个博弈，说明如何杜绝学生考试作弊现象（参考高薪养廉博弈）
答：
四、 给出该博弈的纳什均衡，并用消除劣势战略法，找出
（R1, C3）这个纳什均衡。

C1 C2 C3 R1
2,12 1,10 1,12 R2
0,12 0,10 0,11 R3 0,12 0,10 0,13
五、两个老朋友在一起喝酒，每个人有四个纯战略：杠子、老虎、鸡和虫子，输赢规则是：杠子降鸡，鸡吃虫子， 虫子降杠子，两人同时出令。

如果一个打败另一个，赢的效用为 1,输的效用为-1,否则效用为0,写出这个博弈 的支付矩阵，计算其混合战略纳什均衡。

答：设S 为棒子T 为老虎C 为鸡W 为虫子，则其支付矩阵为:
设1、2出STCW 的概率分别为P1P2P3P4和Q1Q2Q3Q4,贝U 矩阵达到均衡时，2的期望收益必须满足:
0*p1 — 1*p2+0*p3+1*p4=1*p1+0*p2 — 1*p3+0*p4=0*p1+1*p2+0*p3 — 1*p4= — 1*p1+0*p2+1*p3+0*p4
整理为 一p2+p4=p1 — p3= — p1+p3
由于上式为对称的，所以，p 仁p2=p3=p4,又 p1+p2+p3+p4=1，可得 p 仁p2=p3=p4=0.25.同理 q 仁
q2=q3=q4=0.25 综上所述，混合战略的纳什均衡为： A1 （0.25,0.25,0.25,0.25 A2 （0.25,0.25,0.25,0.25
六、5个海盗抢到了 100颗宝石，每一颗大小和价值都一样他们决定这么分：抽签决定自己的号码（1、2、3、4、
5）。

首先，1号提出分配方案。

然后大家5人进行表决，当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被 扔人大海喂鳌鱼。

如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家 4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意 时，按照他的提案进行分配，否则将被扔人大海喂鳖鱼。

以次类推。

假定每个个强盗都是经济学假设的 “理性人”，
假定每个判决都能顺利执行。

那么，如果你是第一个强盗，你该如何提出分配方案才能够使自己的收益最大化 ？ 七、假设选民政治态度是成线性均匀分布的，说明为什么两党政治具有欺骗性，如果是三党政治情况如何，为什 么？
答：政党和政治家争取选民情况实际上就和杂货铺定位博弈一样。

工党一定要打出劳工代言人的旗帜， 所以他是 站在左边的，左边是他的地盘。

但是只有左边一半的选民，还不足以保证胜出。

为了在竞选中获胜，他要想办法 把中间的在两党之间摇摆的选民争取过来。

最好的办法，就是使自己的竞选纲领向“右”的方向靠过去一点，就 是在竞选中宣布也要照顾中产阶级的利益。

移过去一点，地盘就可能大一点。

同样，原来立党之本是在“右”边 的保守党，在竞选的过程中，也要往左边靠，争取更多的选民。

这样斗法的结果，在漫长的竞选过程中，虽然两 党的漫骂不断升级，但是实际纲领却不断靠近，直到两个政党在中点紧挨在一起，才是稳定的纳什均衡。

这个政党纲领向中点移动的机制，也说明西方两党政治的欺骗性。

竞选的时候，怎样有利于拉票就怎样讲， 当选以后，可以忘得一干二净。

在这个意义上，我们说不要以为哪个政党上台这些西方国家的态度就会改变，确 实很有道理。

政党政治，本来在理论上有促使政治家个人操守不可太放肆的优点。

但是在西方国家，小学生都知 道政治家说的话不可靠，无奈制度决定了，每次竞选，人们只能在那少数政治家之间作出他信非常有限的选择。

为什么第三个政党难成气候？这是因为，如果三个政党的位置不相同，不在同一个点上，那么他们都有向中点 S T C
S 0,0 1,-1 0,0
1 T -1,1 0,0 1,-1
C 0,0 -1,1 0,0
W 1,-1 0,0 -1,1 W -1,1 0,0 1,-1 0,0 2
M挤压的动机，所以这时候不是稳定的局面，如果三个党都位于中点M，那么谁跳开一点点，谁就会取胜，所以
也是不稳定的局面。

这是因为从M跳开一点儿走到D的时候，至少D以外的选民都会投他的票，而D的另一边的选民要由留在M点的两个政党来瓜分，这两个党各自的得票，就都比不上跳开的那个党。

三个党全在中点不稳定，有一个不在中点也不稳定，总起来一句话，三党政治不会稳定。

八、假设纳税人应纳税金额为A，税收机关检查成本为C,如果纳税人偷税被税收机关检查到，则罚金为F。

纳税人有两种策略行为：纳税和偷税；税收机关有两种策略行为：检查和不检查。

构建一个收益矩阵，并说明如何处于纳什均衡？
解：假定C<A+F。

不存在纯战略纳什均衡。

纳税人
逃税不逃税
税收机关检查A-C+F,-A-F A-C,-A
不检查0,0 A，-A
S为税务机关检查的概率，E为纳税人逃税概率。

给定E,税收机关选择检查与否的期望收益：
K(1,E)=(A-C+F)E+(A-C)(1-E)
=EF+A-C
K(0,E)=0E+A(1-E)=A(1-E)
解K(1,E)= K(0,E)，得：E=C/(A+F)纳税人逃税概率小于E,税收机关的最优决策是不检查，否则则反。

给定S,纳税人选择逃税与否的期望收益是：
K(S,1)=(-A-F)S+0(1-S)=-(A+F)S
K(S,0)=-AS+(-A)(1-S)=-A
解K(S,1)= K(S,0)，得S=A/(A+F)即，如果税收机关检查的概率小于S,纳税人的最优选择是逃税，否则交税。

混合纳什均衡是S,E,即税收机关以S的概率查税，而纳税人以E的概率逃税。