能带中的电子运动
能带理论
能带理论能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。
具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，定性的阐明了晶体中电子运动的普遍性特点。
在本章中主要学习了布洛赫定理和近自由电子近似等相关知识。
一、布洛赫定理1.晶格的周期性势场(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子；(3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
2. 布洛赫定理当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：),(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+其中k 为电子波矢，332211n a n a n a n R ++=是格矢。
布洛赫函数的具体形式为： ()()r u r k r k i k ⋅=e ψ，()()n k k R r u ru +=。
3.近自由电子近似近自由电子近似是指如下的近似方法：依据能带理论，可以认为固体内部电子不再束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。
在远离布里渊区边界时，本征波函数的主部是动量的本征态，散射仅仅提供一阶修正。
近自由电子近似应用范围有限，只对碱金属适用。
正因为如此，这一类晶体的费米面近似为球形。
本章中近自由电子近似包括一维周期场和三维周期场中电子运动的近自由电子近似。
二、相关概念赝势指把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数。
费米面指金属中的自由电子满足泡利不相容原理，其在单粒子能级上分布几率遵循费米统计分布。
实际上，费米面可以理解为是最高占据能级的等能面，是当T=0时电子占据态与非占据态的分界面。
第五章 晶体中电子能带理论
第五章固体电子论基础在前面几章中，我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及热学性质以及晶体中缺陷与扩散，其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理论。
但要全面深入地认识固体，还必须研究固体中电子的状态及运动规律，建立与发展固体的电子理论。
固体电子理论的发展是从金属电子理论开始的。
金属具有良好的导热和导电能力，很早就为人们所应用的研究。
大约 1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气体中的粒子，电子与电子、电子与离子之间的相互作用都可以忽略不计。
后来洛仑兹又假设：平衡时电子速度服从麦克斯韦——玻耳曼兹分布律。
这就是经典的自由电子气模型。
自由电子的经典理论遇到根据性的困难——金属中电子比热容等问题。
量子力学创立以后，大约在 1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每个电子的运动由薛定谔方程描述，电子满足泡利不相容原理，故电子不服从经典的统计分布而是服从费米——狄拉克统计律。
这就是现代的金属电子理论——通常称为金属的自由电子模型。
这个理论得到电子气对晶体热容的贡献是很小的，解决了经典理论的困难。
但晶体为什么会分为导体、绝缘体和半导体呢？上世纪30年代初布洛赫和布里渊等人研究了周期场中运动的电子性质，为固体电子的能带理论奠定了基础。
能带论是以单电子在周期性场中运动的特征来表述晶体中电子的特征，是一个近似理论，但对固体中电子的状态作出了较为正确的物理描述，因此，能带论是固体电子论中极其重要的部分。
本章首先讲述了金属的自由电子模型；然后介绍单电子在周期场中的运动；并用两种近似方法——近自由电子近似和紧束缚近似，讨论周期场中单电子的本征值和本征态，得出能带论的基本结果；在讲述晶体中电子的准经典运动后，介绍了金属、绝缘体和半导体的能带模型等。
能带理论
能带理论(Energy band theory)的概念摘要: 本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论, 以期对能带理论的概念更细致的把握。
关键词: 能带理论能带理论的概念能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论;对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用, 是一种晶体周期性的势场。
能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子, 并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。
1、电子的共有化运动我们先来讨论电子的共有化运动。
我们知道,由于原子核对电子的静电引力,使得电子只能围绕原子核在一定的轨道上运动。
由于电子在空间运动的范围受到限制,电子在能量上就呈现出不连续的状态, 电子的能量只能取彼此分立的一系列可能值——能级。
晶体是由大量的原子在空间有规则地周期性地排列而成的。
相邻原子间距只有几个埃的能量级,例如,硅的原子间距为4.2 埃。
因此,晶体中的原子状态和孤立原子中的电子状态不同,特别是外层电子的状态会有显著的变化。
原子中的电子分列在内外层电子轨道上, 每一层轨道对应于确定的能量。
当原子间相互接近形成晶体时,不同原子的内外层个电子轨道之间就有一定的交迭,相邻原子最外层轨道上交迭最多,内层轨道交迭较少。
图一图二当原子组成晶体后,由于电子轨道间的交迭,电子不再完全局限于某一个原子中,他可以由一个原子转移到相邻的原子上去,而且可以从相邻的原子再转移到更远的原子上去,以致任何一个电子可以在整个晶体中从一个原子转移到另一个原子,而不再专属于哪一个原子所有,这就是晶体中电子共有化运动。
应该注意到,不同原子的相似轨道才有相近的能量,电子只能在相似轨道上进行转移。
因此, 产生共有化运动是由于不同原子的相似轨道间的交迭而引起的。
能带理论
能带理论维基百科，自由的百科全书（重定向自能带）晶体硅的能带结构示意图能带结构示意图三种导电性不同的材料比较，金属的价带与传导带之间没有距离，因此电子（红色实心圆圈）可以自由移动。
绝缘体的能隙宽度最大，电子难以从价带跃迁至传导带。
半导体的能隙在两者之间，电子较容易跃迁至传导带中。
能带理论（英语：Electronic band structure）是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。
是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。
它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。
自20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后，使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能（不过仍然非常耗时，一次典型的能带结构自洽计算在普通工作站上往往需要花几个小时甚至一周多的时间才能完成）。
能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。
∙∙∙固体材料的能带结构由多条能带组成，能带分为传导带（简称导带）、价电带（简称价带）和禁带等，导带和价带间的空隙称为能隙（即右边第二副图中所示的）。
能带结构可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。
材料的导电性是由“传导带”中含有的电子数量决定。
当电子从“价带”获得能量而跳跃至“传导带”时，电子就可以在带间任意移动而导电。
一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“能隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电，而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。
对于理想晶体，其原子服从晶格排列，具有周期性，因而可以认为离子实的势场也具有周期性。
晶体中的电子在一个周期性等效势场中运动，其波动方程为：其中为周期性等效势场，为波函数，为普朗克常数，为质量，为微分算符，为能量[编辑]近自由电子模型能带理论认为，固体内部的电子，不是被束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
电子能带理论
格矢量： E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
定 义： E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
倒格矢： E [n]T e[n]E e[n e]E e[n p ]T pE p pE 0
晶格的周期性
1 晶格周期性的描述 —— 原胞和基矢
注* ：我们把以原点为中心的第一能带所处的 k 值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 k值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
布里渊区：
• 布里渊区边界描述了晶体周期性边界（势场）对电子作用。
• 电子先填充低能级，对应等能面离布里渊区边界远，不受周期场 的影响，是球面；
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
• 在一定波长和角度时幅度为零（对应能隙）
• 其它位置原子能级被调幅（有增有减）成为能带。
问题：a、能带理论 b、能带模型
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
c、能隙的宽度可用来区分
（4）能带理论解释导体、半导体、绝缘体形成
4
2
(Eg3~6eV)
E
第二章复习要点
1.近自由电子近似的基本方法
2.能带形成及其解释
3.布里渊区理论
作业：1.什么是费米能？试解释温度升高 为什么费米能降低？ 2. 自由电子理论与近自由电子理论的主要结论 有哪些不同?
第三章 现代电子理论
一、密度泛函理论 材料科学基本物理原理：材料的性质取决于结构。
空带
禁带
No Image
满带
No Image
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
半导体器件中的电子输运与能带结构
半导体器件中的电子输运与能带结构在现代电子技术中，半导体器件起着至关重要的作用。
从手机到计算机，从汽车到航空航天，几乎所有现代科技产品都离不开半导体器件。
而半导体器件的性能和行为受到电子输运和能带结构的影响。
本文将简要介绍半导体器件中的电子输运与能带结构，并探索其实际应用。
首先，我们来看看电子在半导体中的输运行为。
半导体材料内部存在两类载流子：电子和空穴。
当半导体材料受到外界电场的作用，载流子将在晶体中移动，形成电流。
这种电流称为载流子输运。
对于电子而言，它们的输运主要遵循两种机制：漂移和扩散。
漂移是指电子在晶体中受到电场力的作用而移动，而扩散是指电子通过热运动的方式从高浓度区域向低浓度区域移动。
这两种机制共同决定了电子在半导体中的输运行为。
而能带结构则是影响电子输运的关键因素之一。
在固体物理学中，能带是描绘电子能量的概念。
它以离散的能级形式存在，且在能带间存在能隙。
半导体的能隙相对较小，介于导体和绝缘体之间。
根据能带结构，可以将半导体分为两类：P型和N型。
P型半导体中掺入了少量的三价杂质元素，例如硼，导致电子数目较少，形成“空穴”。
N型半导体中则掺入了五价杂质元素，例如磷，导致电子数目增多。
这种杂质导致了半导体中的电荷载流子的不平衡，也影响了电子在半导体中的输运行为。
更深入地讲，当半导体形成p-n结时，电子和空穴将发生复杂的相互作用。
在p-n结的接触面上，电子会从N型区域流向P型区域，而空穴则从P型区域流向N型区域。
这种电子和空穴的再组合会产生电流，即使没有外界电场的作用。
这个现象被称为二极管效应，是现代电子学中最基本的元器件之一。
除了二极管外，半导体材料还可以用于制造场效应晶体管（FET）和电子元器件等复杂器件。
在FET中，电子输运的机制与二极管有所不同。
FET的基本结构包括源极、栅极和漏极。
通过在栅极上施加电场，可以控制源极和漏极之间的电流。
这种控制性能使得FET在集成电路设计和信号放大器中得到广泛应用。
第二章能带理论ppt课件
能级
能带 E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
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dv 1 * F dt x , y , z m
1 2 1 , * 2 m k k
, x, y , z
有效质量和质量的区别
自由电子 质量 标量 常数 正值 晶体中的电子 有效质量 张量 是k的函数 值有正有负，或无穷大
第3章 金属电子理论
3.5 能带中的电子运动
能带结构 * 周期性势场中电子运动 * 能量与状态的关系——(k)、本征函数 有关电子运动的问题： 电子统计相关问题：电子比热、热激发等 电子相关的量子跃迁问题：光吸收、电子散射等 晶体中电子在外场中的运动
晶体电子在外场下的运动
晶体电子在外场作用下的运动？
T
2
准经典描写
——波包看成一个准粒子——晶体电子
一维晶体，设电子占有的空间范围为x，根据测 不准关系
xp xk h
2 k x
电子的粒子性可以由波矢相近（k~k+ k）的许多 布洛赫波的叠加来表示。
ik r k ( r ) e uk ( r )
* 薛定谔方程中加外场？ 电子状态随时间的变化！
准经典描写
* 外场（经典），周期性势场（能带结构） 晶体电子的速度、晶体电子的有效质量 Bloch电子（晶体电子）——准粒子——由波包描述
波包
两简谐波形成的波包
1 A cos(1t k1 x)
1 2 1 or 2 ,
a
v(k)
c
k
a
1 d v k dk
k
m*(k)
如： GaS导带底部的曲率半径比 Si小，比Si更适合用于高速电子 器件。
1 d 2 2 * m k dk 1
2
k
作业：
求简立方对称晶体中s态电子的 1. 速度和有效质量； 2. 平均速度的极大、极小值； 3. 能带底和能带顶的有效质量。
v k v k k k
v(k ) k
k v(k )
5.3.2 有效质量m*与波矢k的关系
准经典：电子受外场作用状态变化，外场所作功 转化为电子能量的增加
d Fvdt
• 能量的变化由状态的变化决定 d d dk dk F = dk Fv v dt dt dk dt dt • 另一方面，加速度
量子状态的经典描述由这些波的叠加得到的波包 代表。坐标用r+ r、动量用k+ k来描写
准经典模型的适用范围
把波包当作准粒子的条件是什么？ 由于布洛赫波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围 k应是很小的量，又布洛赫波有独立的物理意义要求k被 限制在简约布里渊区内，因此 k<<2/a，x>>a（a为晶格常数）
FBZ中能量、平均速度、有效质量随k的变化曲线
带底a：v=0，m*>0 b 拐点c：v为极大值，m* 带顶b：v=0，m*<0 外力F作用： a Fdt Fdt Fl dt m* m m * 能带宽， v大，m*小 * 能带窄， v小，m*大
(k)
b
c
2 A cos(2t k2 x)
k1 k2 k1 or k2
2 2 2 A cos(mt km x)cos( t kx)
Am ( x)cos( t kx)
m 1 2
2 k1 k2 1 2 k1 k2 , km , ,k 2 2 2
晶体中运动的电子为准粒子，称为“晶体电子”。
有效质量的物理解释
晶体中电子除受外场力F作用外，还要受晶格内部相互作 用力Fl的作用: dv 1 F Fl dt m 考虑到未知的晶格力作用，而引入电子的有效质量取代真 正质量。 dv 1 F dt m * 晶体电子对外力的响应就象具有质量为m*的自由电子。 Fdt Fdt Fl dt m* m m
dv 1 d d 1 d 2 dk 1 d 2 2 2F 2 dt dt dk dk dt dk
有效质量
比较经典运动方程，如果
1 1 d 2 2 2 * dk m
• 周期性势场中电子在外电场中的运动，就好象 质量为有效质量m*的经典的带电粒子在外电场 中的运动，服从
1
150
x
- 0.5
- 1.0
2
波包
1
50
100
150
-1
-2
Am 2 A cos(mt km x)
群速 相速
v g m k m
vp k
Am ( x)cos( t kx)
波包的相速度和群速度
t 0
t T /2 t T
即波包的大小比原胞尺度大得多，波包中心的位置相当于粒子的位 置。
外场的适用条件： 外场波长：>>a 外场频率：ħ <<g（禁止带间跃迁）
3.5.1 电子速度v(k)与波矢k的关系
电子运动的平均速度即为波包的群速
一维： 三维：
d / 1 d d v vg dk dk dk 1 v k k
说明：
晶体中的电子由于被周期势场加速或减速，具有空间周期 性的瞬时速度。这个群速度是平均速度，为宏观可测量。 电子平均速度对t和r是常数，电子不会被晶体中静止的原 子所散射，严格周期性晶体的电阻率为零。
速度和能带的关系
速度的方向沿等能面的法向，不一 定和k同向。 在能带顶和能带底，(k)取极值，电 子速度为零。
dv F m dt
*
准经典粒子的 动力学方程
• 三维时，有效质量为张量形式
2 dvx 2 dt k x 2 dv 1 y 2 dt k k x y 2 dv z k k dt x z 2 k x k y 2 2 k y 2 k y k z 2 k x k z Fx 2 Fy k y k z Fz 2 k z2