刚度矩阵

5.2 迭代法求频率、振型
2）计算动力矩阵 [D]=[K]-1[M] (6) 3）任意假设一个初始迭代向量{A}0 。 4）按式 {A}n+1=[D]{A}n (10) 由“初始向量”求“迭代向量”。 5）将{A}n+1个元素除以{A}n+1中最大元素值an+1,max进 行规格化。 6）以规格化后的向量作为新的“初始向量”再求 “迭代向量”。重复这个过程直到相邻两次结果达到 精度要求为止，规格化向量即为振型。 7）用 12=Ai,n/Ai,n+1 (i=1,2, … ) (11) 求频率。
6.1.7 Fourier分析的回顾
任意周期为T的函数X(t)均可展成Fourier级数
X ( t ) (ai cos i t bi sin i t )
i 1

(4)
6.1.7 Fourier分析的回顾
式中
i=2i/T
2 T2 a i T X ( t ) cos i tdt T 2 2 T2 bi T X ( t ) sin i tdt T 2
5.2 迭代法求频率、振型
5.2.4 求高阶振型和频率 从 {A}0=aiin{X}i (b) 可以看到，如果a1=0（初始向量不包含第一振型时） 像上小节证明，迭代将收敛于第二振型。如果a1=0、 a2=0，则将收敛于第三振型，其余可类推。 教材上利用振型正交性具体推导了滤去低阶振型的 过滤矩阵求法，限于学时，这里不再细说，仅给出过 滤矩阵和动力矩阵的一般公式 过滤矩阵 [Sj]=[Sj-1]-{Aj}{Aj}T[M] (14) 动力矩阵 [Dj+1]=[D][Sj] (15) 利用改造后的动力矩阵，进行迭代即可得到高阶频 率和振型。Vibra程序中包含这种解法。
5.1 能量法求基本频率
5.1.1 单自由度求频率 单自由度无阻尼自由振动解答为Asin(t+)， 当t+=n时位移等于零，因此势能为零，速度为 A，动能为m(A)2/2。 当t+=(n+1)/2时，速度为零、动能等于零，位 移为A，势能为kA2/2。 由无阻尼、能量守恒可得 Tmax=m(A)2/2=kA2/2=EP,max 设=1时最大动能为Tmax，由此即可得 =(EP,max/Tmax)1/2 (1)
6.1.3 随机过程的数字特征
1）随机过程X(t)的数学期望可用下式定义 概率密度函数 (1) E{ f [ X ( t )]} f ( x ) p( x , t )dx

当 f[X(t)]=Xk(t)时，称作随机过程的k阶矩,记为mk(t). 其中一阶矩为均值，二阶矩为均方值。 2）相关函数 2-1）互相关函数 两随机过程X(t)和Y(t)可用联合概率密度函数以下 式定义互相关函数
i 1 i 1 n n
C X ( t1 , t 2 ) C X ( t 2 , t1 );
C XY ( t1 , t 2 ) CYX ( t 2 , t1 )
(6-18)
C X ( t1 , t1 ) CY ( t 2 , t 2 ) 2C XY ( t1 , t 2 ) 这一性质可由 来证明。 设 g (t ) 是确定性函数，令
由上式定义的函数称为互协方差函数. 当X(t2)=Y(t2)时称为协方差函数,记作CX(t1,t2). 当t1=t2=t时的协方差称作方差,记作X2(t).而X(t)称 为均方差. 在概率论中已经知道,均值、方差、均方差等是随 机变量的重要统计特征。它们也是随机过程的重要数 字特征。
补充讲义里还介绍了相关系数、协方差的性质等， 请大家自行看一下。(P.2~3)
5.2 迭代法求频率、振型
下面介绍一种通过迭代求前几阶频率振型的方法。 5.2.1 迭代法求基本频率、第一振型 多自由度振型方程为 ([K]-2[M]){A}={0} 或 1/2{A}=[K]-1[M]{A} (5) 记动力矩阵 [D]=[K]-1[M] (6) = 1/2 (7) 则振型方程改为 {A}=[D]{A} (8) 由式(8)出发进行迭代，即可获得系统的基频和第 一振型。迭代公式为 {A}n+1=[D]{A}n (9) 5.2.2 迭代法求基本频率、第一振型的步骤 1）确定系统的质量、刚度矩阵。
RXY ( t1 , t 2 ) xypXY ( x , t1 ; y, t 2 )dx

(2)
2-2）自相关函数 当X(t2)=Y(t2)时,上式结果称相关函数,记作RX(t1,t2).
6.1.3 随机过程的数字特征
3）方差函数
E{[ X (t1 ) m X (t1 )][Y (t 2 ) mY (t 2 )]} C XY (t1 , t 2 ) (3)
(6-19)
E {([ X ( t1 ) m X ( t1 )] [Y ( t 2 ) mY ( t 2 )]) 2 } 0
则 （6-20） Y 特别当 g (t ) m X (t ) 时，则 (t ) 的均值将等于 零，但它们具有相同的协方差函数。
Y (t ) X (t ) g(t ) C X ( t1 , t 2 ) CY ( t1 , t 2 )
六、随机振动初步
有关的数学基础 单自由度体系的随机反应分析 几点结论

绪论中介绍动荷载时已指出，脉动风、地震地面运 动等等动荷载是非确定性荷载，在事件未发生前荷载 的大小、规律是不可预知的，因此对这样荷载激励下 的反应分析就无法用前面介绍的方法，而要用随机振 动理论来分析。 大家在工程数学“概率论”里已学习随机变量的概 率统计分析方法。本章在此基础上加以引伸，简单介 绍随机过程有关知识等，但它不是目的，它仅作为进 一步介绍单自由度随机反应分析的必要准备。 随机振动理论是结构动力学的一个分支，内容非常 丰富，本章只作最基本概念的介绍，为进一步学习打 一基础。想进一步学习的可参阅各种同样有 RX ( t1 , t 2 ) RX ( t 2 , t1 ); RXY ( t1 , t 2 ) RYX ( t 2 , t1 ) （6-17） 非负定性 h(t ), h * (t ) 为共轭的任意复函数，则 若
C X ( t i , t j )h( t i )h* ( t ) 0
五、实用计算方法

能量法求基本频率 迭代法求频率、振型 结论与讨论
由前两章的分析可以看到，频率、振型是动力系统 的重要动力特性，特别是对线性系统用振型分解法作 多自由度分析时，必须事先求出频率、振型。 作为数学的特征值问题，可以有很多方法求全部特 征值和部分特征值。对于本科初学者，由于一般结构 分析只需要很少的前几个振型即可获得足够的精度， 因此，本章仅介绍两种求频率振型的实用方法。 由于工程结构和各种构筑物的的阻尼比很小，从单 自由度d=(1-2)1/2 可见d。因此频率振型分析都 对无阻尼自由振动问题来进行。
5.3 结论与讨论
频率、振型是重要的动力特性，可用能量法通过假 设第一振型求第一频率。以自重下位移作近似振型可 得较好结果。 能量法求得的频率是实际频率的上限。 在能建立整体满足位移边界条件试函数情况下，可 利用里兹法，由试函数线性组合作为动位移幅值，从 而将系统化成有限个自由度的振动问题（这实际上就 是广义坐标法），求解自由度等于组合系数个数n的 多自由度特征对，即可得到系统的n个频率和振型近 似值，这称为里兹能量法。一般用它分析无限自由度 问题。 迭代法是一种求少量几个特征对的有效方法。它有
6.1.6 各态历经性简单说明
如果样本总体中各种状态在一个样本中都有反映， 从而使随机过程X(t)的数字特征可以通过分析它的一 个样本函数来得到，称此过程是各态历经的或称遍历 的。 如果X(t)是各态历经的，它一定是平稳的。但平稳 的随机过程X(t)并不一定是各态历经的，其样本的数 字特征可能是取决于样本的。
若连续随机变量不仅是随机事件的函数，同时还 是时间t的函数，则称此随机函数X(,t)为随机过程。 简记为X(t)。 随机过程X(,t)的任一次观察 i ，称作样本函数， 记作x(t) 。以后大写字母为过程，小写为样本。
6.1.2 随机过程的分布函数
定义 F(x,t)=P(X(t)<x) tT为随机过程X(t)的一维分 布函数。 二维、n维分布函数补充讲义上有定义，这里从略.
5.1 能量法求基本频率
5.1.2 多自由度求基本频率 由振型正交性进行振型分解可知，第i振型的频率 可由对应的广义刚度和广义质量按单自由度求的。但 真要如此来求，必须事先求得振型。这显然是不可能 的。 但是，根据化无限自由度为有限自由度的广义坐标 法思想，如果能够假设出满足位移约束条件的位移形 式{A}i作为第i振型近似解。则令 Mi*={A}iT[M]{A}i (2) Ki*={A}iT[K]{A}i (3) 可得第i振型的频率 i2=Ki*/Mi* (4) 此结果的近似程度完全取决于假设的振型，因此一般 只用它求基频的上界。如取自重沿运动方向作用的变 形曲线作假设振型，一般能得到很高精度的基频。
5.2 迭代法求频率、振型
5.2.3 任意初始向量均收敛于第一振型的证明 设 {A}0=ai{X}i [{X}i 为振型向量] (12) {A}1=[D]{A}0=ai[D]{X}i =aii{X}i (a) n次迭代后 {A}0=aiin{X}i (b) 上式除以1n=(1/12) n,由于1是最低频率,因此1是最 大值,所以当n足够大时=(i/1) n趋于零.也即 {A}0a11n{X}1 (13) 这就证明了不管初始向量如何假设，只要经过足够次 的迭代，总是收敛到第一振型。 从证明也可看到，在求解过程中出现计算错误也没 关系，无非增加一些迭代次数。
6.1 有关的数学基础包括
6.1.1 随机过程 6.1.2 随机过程的分布函数 6.1.3 随机过程的数字特征 6.1.4 随机过程按统计特征分类 6.1.5 平稳随机过程的时域特性 6.1.6 各态历经性简单说明 6.1.7 Fourier分析的回顾 6.1.8 平稳随机过程的谱密度