9—4 欧拉公式的应用范围、经验公式 9—6提高压杆稳定性的措施详细版.ppt
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欧拉公式的适用范围1临界应力和柔度项目七压杆稳定2
P A
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
折减系数
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
压杆因在强度破坏之前便丧失稳定，故由降低强度许用应力来保证 杆件的安全 。 应用折减系数法作稳定计算时，首先要算出压杆的柔度λ，再按其 材料，由表12—2 查出折减系数值，然后按式进行计算。 当计算出的柔度值不是表中的整数值时，可用直线插方法得出相 应的折减系数值。
项目七
压杆稳定
三、提高压杆的稳定性的措施
2、改善杆端支承情况 因压杆两端支承越牢固，长度系数μ就越小，则柔度λ也小， 从而临界应力就越大。故采用μ值小的支承形式就可提高压杆的 稳定性。
3、减小杆件的相当长度 压杆的稳定性随杆长的增加而降低。因此，应尽可能减小杆的 相当长度。例如，可以在压杆的中间设置中间支承。
项目七
压杆稳定
二 压杆稳定计算
压杆的稳定条件 当压杆中的应力达到其临界应力时，压杆将要丧失稳定，因之， 正常工作的压杆，其横截面上的应力必须小于临界应力。为了保 证压杆具有足够的稳定性，还必须一定的安全储备，所以要有足 够的稳定安全系数。于是压杆的稳定条件为
Pcr Pcr nst
或
cr
p
z
y
项目七
压杆稳定
一、欧拉公式的适用范围 2、欧拉公式的适用范围
解（1）计算最大刚度平面内的临界应力和临界力
项目七
压杆稳定
（3）讨论 计算结果表明，木柱的最大刚度平面内临界力比最小刚度平面内临界力小， 将先失稳。此例说明当压杆在两个方向平面内支承情况不同时，不能光从 刚度来判断，而应分别计算后才能确定在哪个方向失稳。
小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式
16
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
第九章 压杆稳定要点
L
EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1且杆
将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EI L2
m
in
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2 EImin (L)2
(A) (Pcr )a (Pcr )b
(Pcr )c (Pcr )d
(C) (Pcr )a (Pcr )b
(Pcr )c (Pcr )d
(B) (Pcr )a (Pcr )b
(Pcr )c (Pcr )d
(D) (Pcr )a (Pcr )b (Pcr )c (Pcr )d
练习 图中四杆均为圆截面直杆,杆长相同,且均为轴向加载,比较其临
20.389200 (20.5)2
76
.8kN
§9–3欧拉公式的使用范围及经验公式 材料和直 径均相同
四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？ 能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？
三类不同的压杆 细长杆—发生弹性屈曲 中长杆—发生弹塑性屈曲 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服破坏
一、 基本概念 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
①P<<S 时：
cr ab
crab s
s a b
s
sP 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
②S< 时： cr s
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
9第九章 压杆稳定2
解: （1）计算xoz平面的临界力 和临界应力，横截面绕着y轴转。 如图（a）,截面的惯性矩应为： 12 203 Iy 8000cm4 12 Iy 8000 iy 5.77cm A 12 20 两端铰支时，长度系数： 1
F
F
y
z 12cm
20cm
7m
7m
z
y 20cm
2
两根槽钢图示组合之后: I z 2I z1
2 198.3 396.6cm4
I y 2[I y1 A1 ( z0 a / 2)2 ] （z1） 2 [25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
2E cr 2
2
a s 2 b
Eular公式
粗短杆λ<λ 2
1
大柔度杆λ>λ 1
L
i
2、压杆的分类
中柔度杆λ 2<λ<λ 1
(Buckling of Columns)
例题 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及
直径相等。问哪个杆先失稳。
F F F
a
A
1.3 a B
l
i
l
d 4
200
由于 > 1，所以前面
1
E
用欧拉公式进行试算是正
确的。
P
97
(Buckling of Columns)
练习1
AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端可视为铰支。
材料为Q235钢，弹性模量 E=200GPa。比例极限P =200MPa， 屈服极限 S =240MPa，由AB杆的稳定条件求[F]。(若用直线公
3
F
F
y
z 12cm
20cm
7m
7m
z
y 20cm
2
两根槽钢图示组合之后: I z 2I z1
2 198.3 396.6cm4
I y 2[I y1 A1 ( z0 a / 2)2 ] （z1） 2 [25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
2E cr 2
2
a s 2 b
Eular公式
粗短杆λ<λ 2
1
大柔度杆λ>λ 1
L
i
2、压杆的分类
中柔度杆λ 2<λ<λ 1
(Buckling of Columns)
例题 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及
直径相等。问哪个杆先失稳。
F F F
a
A
1.3 a B
l
i
l
d 4
200
由于 > 1，所以前面
1
E
用欧拉公式进行试算是正
确的。
P
97
(Buckling of Columns)
练习1
AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端可视为铰支。
材料为Q235钢，弹性模量 E=200GPa。比例极限P =200MPa， 屈服极限 S =240MPa，由AB杆的稳定条件求[F]。(若用直线公
3
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
第九章 压杆稳定
Fcr cr A 4源自 45 103 2
301106 478MPa
Fcr 478 nst 11.5 [nst ] Fmax 41.6
所以满足稳定要求。
[例5] 某液压油缸活塞直径 D 65mm ，油压 p 1.2MPa 。活塞 P 220MPa， 杆长度 l 1250 mm ，材料为35钢， E 210 GPa ，
长度系数μ
Fcr
2 EI
l2
μ=1
μ0.7
μ=0.5
μ=1
0.5l
[例2] 求下列细长压杆的临界力， 解：图(a) F
E 200GPa ,l 0.5m 。
F
10
50103 12 I min 10 4.1710 9 m 4 12
2 I min E 24.17200 Fcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
AB杆满足稳定性要求
P 280MPa， [例4] 空气压缩机的活塞由35钢制成， s 350MPa ，
E 210 GPa 。长度 l 703mm，直径 d 45 mm ，最大压力
Fmax 41.6kN ，规定安全系数为 [nst ] 8 ~ 10 。试校核其稳定性。
9.3 9.8 9.14
2E 2 210 109 97 对所用材料35钢来说： 1 6 P 220 10
由于 1 ，所以前面用欧拉公式进行的试算是正确的。
l
§9-5 提高压杆稳定性的措施
EI Fcr 2 ( l )
2
欧拉公式
Fcr
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束） 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） 增大弹性模量 E（合理选择材料）
301106 478MPa
Fcr 478 nst 11.5 [nst ] Fmax 41.6
所以满足稳定要求。
[例5] 某液压油缸活塞直径 D 65mm ，油压 p 1.2MPa 。活塞 P 220MPa， 杆长度 l 1250 mm ，材料为35钢， E 210 GPa ，
长度系数μ
Fcr
2 EI
l2
μ=1
μ0.7
μ=0.5
μ=1
0.5l
[例2] 求下列细长压杆的临界力， 解：图(a) F
E 200GPa ,l 0.5m 。
F
10
50103 12 I min 10 4.1710 9 m 4 12
2 I min E 24.17200 Fcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
AB杆满足稳定性要求
P 280MPa， [例4] 空气压缩机的活塞由35钢制成， s 350MPa ，
E 210 GPa 。长度 l 703mm，直径 d 45 mm ，最大压力
Fmax 41.6kN ，规定安全系数为 [nst ] 8 ~ 10 。试校核其稳定性。
9.3 9.8 9.14
2E 2 210 109 97 对所用材料35钢来说： 1 6 P 220 10
由于 1 ，所以前面用欧拉公式进行的试算是正确的。
l
§9-5 提高压杆稳定性的措施
EI Fcr 2 ( l )
2
欧拉公式
Fcr
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束） 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） 增大弹性模量 E（合理选择材料）
《材料力学》第九章 压杆稳定
精确的挠曲线微分方程， 间确定的关系： 采用精确的挠曲线微分方程 可以得出F与 间确定的关系 采用精确的挠曲线微分方程，可以得出 与δ间确定的关系：
δ =
2 2l
π
F 1 F − 1 1 − − 1 F cr 2 F cr
精确解的F与 的关系如 所示。 在临界点 附近较为平坦， 的关系如AC所示 在临界点A附近较为平坦 精确解的 与δ的关系如 所示。AC在临界点 附近较为平坦， 且于直线AB相切 随着压力逐渐减小趋近于F 相切。 中点挠度δ趋 且于直线 相切。随着压力逐渐减小趋近于 cr时，中点挠度 趋 近于零。可见F 正是压杆直线平衡和曲线平衡的分界点。 近于零。可见 cr正是压杆直线平衡和曲线平衡的分界点。 注意现象：曲线AC在为临界点 附近较为平坦， 在为临界点A附近较为平坦 注意现象：曲线 在为临界点 附近较为平坦，当F略高于 略高于 Fcr时，挠度 急剧增加。如F=1.152Fcr时，δ=0.297l≈0.30l。这样 挠度δ急剧增加 急剧增加。 。 大的变形，除了比例极限很高的金属丝可以实现外， 大的变形，除了比例极限很高的金属丝可以实现外，实际压杆一 般不能承受，在达到如此大的变形之前， 般不能承受，在达到如此大的变形之前，杆件早已发生塑性变形 甚至折断。工程中常见的压杆一般都是小变形的，所以， 甚至折断。工程中常见的压杆一般都是小变形的，所以，在小挠 度的情况下，由欧拉公式确定的临界力是有实际意义的。 度的情况下，由欧拉公式确定的临界力是有实际意义的。 以上讨论是对理想压杆 理想压杆——认为压杆轴线是理想直线，压力 认为压杆轴线是理想直线， 以上讨论是对理想压杆 认为压杆轴线是理想直线 作用线与轴线重合，材料是均匀的。实际压杆是有缺陷的， 作用线与轴线重合，材料是均匀的。实际压杆是有缺陷的，这些 缺陷相当于压力有一个偏心距，使压杆很早就出现弯曲变形。 缺陷相当于压力有一个偏心距，使压杆很早就出现弯曲变形。所 实验结果略如曲线OF示 折线OAB可看作是它的极限情况， 可看作是它的极限情况， 以，实验结果略如曲线 示，折线 可看作是它的极限情况 说明理想压杆作为实际压杆的分析模型有实际意义。 说明理想压杆作为实际压杆的分析模型有实际意义。
欧拉公式的适用范围和经验公式
临界应力越小，使压杆产生失稳所需的压力越小，压杆的稳定性越
差。反之， 越小，压杆的稳定性越好。由上式，欧拉公式的适用
范围为
π2E
2
p
或
π2E p
Hale Waihona Puke 令p π2E
p
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p是对应于比例极限的柔度值。由上可知，只有对柔度 ≥ p
的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度 ≥ p的压杆称为大 柔度压杆或细长压杆。
p≈100。对于木压杆， p≈110。
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
1.2 抛物线公式
< p的压杆称为中、小柔度压杆。这类压杆的临界应力通常
采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的, 目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。本书仅介绍抛物线公式， 其表达式为
cr= sa 2 式中：s——材料的屈服极限，单位为MPa；
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 【例10.3】 图示压杆的横截面为矩形，h=80mm，b=50mm，
杆长l=2m，材料为Q235钢，s=235MPa, C=123。在图(a)所示平面
内，杆端约束为两端铰支；在图(b)所示平面内,杆端约束为两端固 定。试求此压杆的临界力。
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
86.6
压杆在xz平面内，杆端约束为两端固定，μ=0.5。惯性半径为
柔度为
iz
b 50103 m 14.43103 m
12
12
y
l
iy
0.5 2 14.43103
69.3
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 由于z>y，故压杆将在xy平面内失稳。
差。反之， 越小，压杆的稳定性越好。由上式，欧拉公式的适用
范围为
π2E
2
p
或
π2E p
Hale Waihona Puke 令p π2E
p
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p是对应于比例极限的柔度值。由上可知，只有对柔度 ≥ p
的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度 ≥ p的压杆称为大 柔度压杆或细长压杆。
p≈100。对于木压杆， p≈110。
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
1.2 抛物线公式
< p的压杆称为中、小柔度压杆。这类压杆的临界应力通常
采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的, 目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。本书仅介绍抛物线公式， 其表达式为
cr= sa 2 式中：s——材料的屈服极限，单位为MPa；
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 【例10.3】 图示压杆的横截面为矩形，h=80mm，b=50mm，
杆长l=2m，材料为Q235钢，s=235MPa, C=123。在图(a)所示平面
内，杆端约束为两端铰支；在图(b)所示平面内,杆端约束为两端固 定。试求此压杆的临界力。
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
86.6
压杆在xz平面内，杆端约束为两端固定，μ=0.5。惯性半径为
柔度为
iz
b 50103 m 14.43103 m
12
12
y
l
iy
0.5 2 14.43103
69.3
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 由于z>y，故压杆将在xy平面内失稳。
压杆稳定
11500 173 p 100 30 i 2 3
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
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F cr
2 EI (l )2
F cr
2 EI (l)2
2
E
d
64
4
(l)2
求得: d = 24.6mm。 取 d = 25mm
.精品课件.
19
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
l i
d
l
200
4
1 E 97 P
由于 > 1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。
.精品课件.
20
例题：AB，AC两杆均为圆截面杆，其直径=0.08m，
4
4
i
I A
2.9 106 2.8 103
0.032m
.精品课件.
25
两端铰支 =1 l 13.5 109
i 0.032
p
2E p
2 200 109
200 106
100
p ∴ 可用欧拉公式
Fcr
2EI (l)2
4.67105 N
467kN
由稳定条件 n Fcr 3 N
只有在 cr F 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 临界力 Fcr（临界应力 cr ）。
cr
2E
2
P
或 2E P
令1
E
P
.精品课件.
3
1，当 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用 欧拉公式。
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可 取 E=206MPa，F=200MPa，得
1 E 100
P
2，
当
＜1
但大于某一数值 2
a s 的压杆不能应用欧拉
b
公式，用经验公式 cr a b （中等柔度的杆）
.精品课件.
4
当 2 （小柔度杆）时，按压缩的强度计算即
cr
F A
S
.精品课件.
5
临界应力总图
cr cr=s
sA B P
O 2
1 E 100
cr=ab
F
cr
A
cr
(a
b)
4
(D2
d
2)
155.5KN
.精品课件.
14
cr a b 301MFa
临界压力是
F cr cr A 478KN
活塞的工作安全因数
n
F cr
F
11.5
nst
所以满足稳定性要求。
.精品课件.
15
例题：油缸活塞直经 D = 65mm，油压 F =1.2MPa。 活塞杆长度 l =1250mm，材料为35钢，S = 20MPa， E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直经。
大柔度杆（细长压杆） 临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致 相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。
中柔度杆和小柔度杆
临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定 程度上可以提高压杆的稳定性。
.精品课件.
30
D2 d2
4
l i
4l D2 d2
P 100
lmin 100
0.052 0.042 4 1.精品课件.
1.6m
13
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
l
3 4
l min
1.2m
l 4l 75 1
i
D2 d2
2
a
b
S
304 240 1.12
57
用直线公式计算
z
y
30mm
.精品课件.
9
z
解：
1 E 99
P
30mm
iy
Iy A
1 (0.030.023)
12
0.0058m
0.03 0.02
iz
I z 0.0087m A
μ y 0.5
μz 1
.精品课件.
y
10
y y l 86 iy
z z l 115 iz
因为 z > y , 所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 > 1，用
i
2
2E (l )2
2E ( ) 2
i
l
i i I
A
σ
cr
π2E λ2
F Cr A Cr
柔度（长细比） 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易
失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算
压杆的临界应力 cr 。
.精品课件.
2
二， 欧拉公式的应用范围
欧拉公式计算临界力。
2E
F cr A
A
cr
2 89.5KN
z
.精品课件.
11
例题：外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支， 材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。试求：
（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；
（2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界 应力。
§ 9—4 欧拉公式的应用范围 • 经验公式
一、临界应力 1. 欧拉公式临界应力
压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 的平衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算。
F
cr
(
2 EI
l)2
为长度系数 l 为相当长度
.精品课件.
1
cr
Fcr A
2E (l)2
I A
2E (l)2
活塞杆
D
F
d
活塞
.精品课件.
16
D
F
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力应为
F D2 F 3980 N
4
.精品课件.
活塞杆
d
17
D
F
活塞
活塞杆承受的临界压力应为
F cr nst F 23900 N
把活塞的两端简化为铰支座。
.精品课件.
活塞杆
d
i I A
λ μl
i
18
用试算法求直径
（1）先由 欧拉公式 求直径
C
cr
2 2E 2
a
P
s
b
D
1
0 < 2 称为小柔度杆，cr = s
2 <
> 1
1 称为中柔度杆，cr = a b 称为大柔度杆（细长杆），cr
.精品课件.
=
2E 2 6
例题 ：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量 E 2.03105 MPa ,σ P 300MPa ，杆的直径d=100mm, 杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？
E=200GPa，P=200MPa，容许应力[]=160MPa。 由稳定条件求此结构的极限荷载Fmax
F
A
600
300
B
C
4m
.精品课件.
21
解： 由平衡方程
N
AB
F 2
N AC
3F 2
计算出
l 2 3m AB
l 2m AC
F
A
600
300
B
C4mFຫໍສະໝຸດ .精品课件.NAB
A
NAC
22
P
E 99
A
C
2m
F B 3m
D
.精品课件.
24
解：（1） 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向 压力的关系为：
xA A
C
2m
yA
N
F
B 3m
F5N2 0 F2N 5
（2） I (D4 d 4 ) (1004 804 ) 1012 2.9106 m4
64
64
A (D2 d 2 ) 2 (1002 802 ) 106 2.8103 m2
（1） 尽可能使I增大；（2） 尽可能使各方向值相等。
.精品课件.
28
2、改变压杆的约束条件 细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比， 所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。
比如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中 间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。
.精品课件.
29
3、合理选择材料
N Fcr 467 156kN 33
.精品课件.
26
[N] 156kN
[F ] 2 [N ] 62.4kN 5
.精品课件.
27
§ 9—6 提高压杆稳定性的措施
1.压杆的合理截面
合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。
l i I
i
A
所以在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比 较大的截面。比如空心杆等。
已知： E = 200 GPa， P = 200 MPa ， S = 240 MPa ， 用直线公式时，a = 304 MFa， b =1.12 MFa。
.精品课件.
12
（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；
P E 100 P
压杆的 = 1
(D4 d 4)
i
I A
64 (D2
d 2)
1 4
解：
P E 87.1 P
i d 0.025m 4
l 40l
i
μ 1
.精品课件.
7
用欧拉公式计算该杆的临界力的条件为
P
40 l 81.7
l 2.04m
.精品课件.
8
例题： 压杆截面如图所示。若绕 y轴失稳可视为两端 固定，若绕 z轴失稳,可视为两端绞支。已知:杆长 l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。 求压杆的临界应力。
P
i D 0.02m 4
AB