第六章-概率分布Word版
教育与心理统计学第六章：概率分布
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
第六章概率分析
T 70 65 60 56
正态分布表的应用
①将原始数据整理为次数 分布表； ②计算各组上限以下累加 次数； ③计算各组中点以下累加 次数； ④计算各组中点以下累积 比率； ⑤查正态分布表，将概率 转化为Z分数； ⑥将正态化以后的Z值进行 线性转换：T=10Z+50
140135130125-
120115110105100959085807570-
122
117 112 107 102 97 92 87 82 77 72
28
16 16 8 9 8 7 6 6 5 5
0.14
-0.17 -0.40 -0.59 -0.73 -0.90 -1.06 -1.25 -1.46 -1.70 -2.12
51
48 46 44 43 41 39 38 35 33 29
分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；
先抽一白球、后抽一黑球。
3 2 2 3 P 0.48 5 5 5 5
例4
一枚硬币掷3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两
次或两次以上H的概率是多少？
解：可能出现的情况有：HHH HHT HTH THH TTH
THT HTT TTT共8种。每种情况出现的概率，为
根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为
离散型随机变量与连续型随机变量。
当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离
散型随机变量。如投掷一枚硬币4次，几次正面朝上？因 取值只能为0、1、2、3、4，故为离散型随机变量。
离散分布与连续分布
离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分
布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率 分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。
新版概率与概率分布
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[例 ] 为了研究父代文化程度对子代文 化程度旳影响，某大学统计出学生中爸爸 具有大学文化程度旳占30％，母亲具有大 学文化程度旳占20％，而双方都具有文化 程度旳占有10％，问从学生中任抽一名， 父代至少有一名具有大学文化程度旳概率 是多少？
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在抽样措施中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所
概率论起源于17世纪，当初在人口统计、人寿保险 等工作中，要整顿和研究大量旳随机数据资料，这就需 要一种专门研究大量随机现象旳规律性旳数学。
参赌者就想：假如同步掷两颗骰子 ，则点数之和为 9 和点数之和为10 ，哪种情况出现旳可能性较大？
例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发觉：将一枚骰子 连掷四次，出现一种6 点旳机会比较多，而同步将两枚 掷24次，出现一次双6 旳机会却极少。
事件B至少有一种事件发生所构成旳事件C称为A 与B旳事件和，记作
A B或A B
（2）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同步发生所构成旳事件C称为A与B 旳事件积，记作
AB或A B
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（3）事件旳包括与相等——事件A发生必然 造成事件B发生，则称为B包括A记作
600 202
3
总和
600120012 Nhomakorabea03000
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[例] 根据统计成果，男婴出生旳概率是 22/43，女婴出生旳概率是21/43，某单位有两
名 孕妇，问两名孕妇都生男婴旳概率是多少？都 生女婴旳概率是多少？其中一男一女旳概率是 多少？ [例] 某居民楼共20户，其中关键家庭为2 户，问访问两户都是关键家庭旳概率是多少？ 问访问第二户才是关键家庭旳概率是多少？
《概率分布》课件
06
概率分布的参数估计与假 设检验
参数估计方法
极大似然估计法
通过最大化样本数据的似然函数来估计参数，具有无偏性和一致 性。
最小二乘法
通过最小化误差的平方和来估计参数，适用于线性回归模型。
贝叶斯估计法
基于贝叶斯定理，通过先验信息和样本数据来估计参数，考虑了 参数的不确定性。
假设检验原理
零假设与对立假设
二项分布在统计学、可靠性工程、遗传学等领域有广泛应 用。
泊松分布
01
泊松分布描述了在单位时间内随机事件发生的次数 的概率分布情况。
02
泊松分布的概率函数为P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k! ，其中λ是随机事件发生的平均速率。
03
泊松分布在物理学、工程学、保险学等领域有广泛 应用。
相关系数
相关系数是协方差的归一化形式，用于衡量两个随机变量的线性相关程度，取值范围为 -1到1。
大数定律与中心极限定理
大数定律
大数定律是指在大量重复实验中，某一 事件发生的频率趋于稳定，并收敛于理 论概率。
VS
中心极限定理
中心极限定理表明，无论独立随机变量的 分布是什么，它们的和的分布趋近于正态 分布。
自然现象模拟
自然现象模拟是概率分布应用的另一个领域。在自然科学中，许多自然现象都可 以通过概率分布进行描述和模拟，例如天气变化、地震和疾病传播等。
概率分布在自然现象模拟中主要用于描述自然现象的概率规律，进行模拟和预测 。例如，通过概率分布可以模拟地震发生的概率和强度，预测流行病的传播趋势 等。
人工智能算法
数学期望值是概率分布的中心 位置，表示随机变量的平均值
。
方差
方差是用来描述概率分布的离 散程度的数值。
钱小军《概率论与数理统计》chap06-normal distribution
P(0.0 z 1.0)
English Version: Appendix B A-4
标准正态分布表.xls 中文版：参加附赠CD
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Tsinghua-CUHK Finance MBA 2008
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-3
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0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
ab E ( x) 2
(b a) 2 Var( x) 12
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Tsinghua-CUHK Finance MBA 2008
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Normal Distribution 正态分布
Normal Distribution is one of the most important distributions in the probability statistics. One hand, it is very common in nature; the other hand, it has so many excellent properties. A lot of distributions can be described by it. 正态分布是概率统计中最重要的一种分布 。一方面，正态分布是 自然界最常见的一种分布; 另一方面，正态分布具有许多良好的 性质，很多分布可以用正态分布来近似描述。
Probability Density Function of Standard Normal
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-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
Probability of Standard Normal Distribution
第六章 6.4 转移概率的极限与平稳分布
(v) (nd j r v)
ij
jj
v1
除n时,p(jjn) 0. 仅当v ld j r时，
n
f p (ld j r ) ((nl )d j )
ij
jj
l 0
l 0，1， ,n有
p(nd j r v) jj
0)
n
即 p f p (nd j r) ij
(ld j r ) ((nl )d j )
一个平稳分布，如果有
j i pij , iS
或矩阵形式为
＝Ｐ
jS
其中 ={1,2, }, P ( pij )为X的转移概率矩阵。
显然 若概率分布{ j , j S}是齐次马氏链X
的平稳分布，则也有
j
p , (n) i ij
j S, n 1, 2,
iS
或矩阵形式为
＝Ｐn
总之，:当马氏链X={X n, n 0,1, }为不可约的遍历链时，
事实上若上式对某个j成立严格不等式则两边事实上若上式对某个j成立严格不等式则两边关于j求和得证极限满足条首先反复利用可以得到ikkjikkjikkj又由于转移概率一致有界因此令n又由于转移概率一致有界因此令nlimli最后证的唯一性唯一性得证例643设在任意一天里人的情绪是快乐的一般的和忧郁的
6.4 转移概率的极限与平稳分布
(n)不存在
jj
综上，转移概率的极限有不同的情况，为此，关于转 移概率极限问题的讨论做以下假设：
总假定 j是正常返且i是非常返 或者 j和i属于同一个正常返类
又考虑到，当j为正常返周期态时，lim n
p（jjn）不存在，
但是状态转移遵从周期链原则，为此, 一般讨论以下 形式的极限
lim
统计学习题 第六章 概率与概率分布
第六章 概率与概率分布第一节 概率论随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法第二节 概率的数学性质概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提第三节 概率分布、期望值与变异数概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或 )(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。
所不同的是，)(x F 累计的是（ 概率 ）。
3．如果A 和B （ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。
5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。
6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。
7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。
8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。
如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。
9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ 互斥 ）事件。
10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。
二、单项选择1．古典概率的特点应为（A ）A 、基本事件是有限个，并且是等可能的；B 、基本事件是无限个，并且是等可能的；C 、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 、基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。
第六章(三)常用连续型随机变量的理论分布
(一)抽样分布的含义与无偏估计量 1、抽样分布的含义：统计推断是以总 体分布和样本抽样分布的理论关系为 基础的。 由总体中随机地抽取若干个体组成样 本，即使每次抽取的样本含量相等， 其统计量也将随样本的不同而有所不 同。因而样本统计量也是随机变量， 也有其概率分布，我们把统计量的概 率分布称为抽样分布。
如果总体是无限总
体，那么可以得到 无限多个随机样本。
随机样本1 2 3
……
无穷个样本
图 总体和样本的关系
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的 样本，那么一共可以得到 N n个样本(所有可能的样本个数)。 抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能 的样本都被抽取后可以得到许多平均数。 如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构
正态分布的分位点的定义：
3、正态分布分位点计算
标准正态分布 N (0,1) 密度函数图形为：
x 图中的点 称为标准正态分布的 (1 )% 的分位点，相当于已知
F(x ) p( X x ) 1
求其中的 x
4、单侧概率与双侧概率 •统计学中，把随机变量 x 落在区间 (μ-kσ,μ+kσ)之外的概率称为双侧(两 尾)概率，记作α。 •对应于双侧概率可以求得随机变量x 小于μ－kσ或大于μ+kσ的概率，称为 单侧概率，记作α／2。
2、无偏估计 • 在统计学上，如果所有可能样本的 某一统计数的平均数等于总体的相 应参数，则称该统计数为总体相应 参数的无偏估计值。
• 设有一N=3的总体，具有变量3，4， 5；求得μ=4，σ2=0.6667， σ=0.8165 • 现以n=2作独立的回置抽样，总共得 Nn=32=9个样本。 • 抽样结果列入下表：
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第六章概率分布一、单选题180，一个随机样本n=16，其均值大于85的概率是（）。
A. 2.52%B. 4.78% c. 5.31% D. 6.44%2．让64位大学生品尝A.、B两种品牌的可乐并选择一种自己比较喜欢的。
如果这两种品牌的可乐味道实际没有任何区别，有39人或39人以上选择品牌B的概率是（不查表）：（）A.2.28%B.4 .01%C.5.21%D. 39.06%3. 某个单峰分布的众数为15，均值是10，这个分布应该是( )A．正态分布 B．正偏态分布 C．负偏态分布 D．无法确定4．一个单项选择有48单侧检验标准，至少应对多少题成绩显著优于单凭猜测（）。
A．16题 B．17题 C．18题 D.19题5. 在一个二择一实验中，被试挑12次，结果他挑对10次，那么在Z值等于（）A.4.05B.2.31C.1.33D. 2.026. 某班200人的考试成绩呈正态分布，其平均数=l2，S=4分，成绩在8分和16分之间的人数占全部人数的（）。
A.34.13%B.68.26%C.90%D. 95%7. 在一个二择一实验中，被试挑12次，结果他挑对10次，那么在Z=（X-M）/S这个公式中X应为（）A.12B.10C.9.5D. 10.58. 在处理两类刺激实验结果时，在下列哪种情况下不可以用正态分布来表示二项分布的近似值？（）A.N<10B.N>=10C.N>30D. N>109. t分布是平均数的对称的分布，当样本n趋于∞时，t分布为（）A. 二项分布B. 正态分布C. F分布10. 概率和统计学中，把随机事件发生的可能性大小称作随机事件发生的（）A.概率B.频率C.频数D. 相对频数11. 在一次实验中，若事件B的发生不受事件A的影响，则称AB两事件为（）A.不影响事件B.相容事件C.不相容事件D. 独立事件12. 正态分布由（）于1733年发现的A.高斯B.拉普拉斯C.莫弗D. 高赛特13. 在正态分布下，平均数上下1.96个标准差，包括总面积的（）A.68.26%B.95%C.99%D. 34.13%14. 在次数分布中，曲线的右侧部分偏长，左侧偏短，这种分布形态可能是（）A．正态分布 B．正偏态分布 C．负偏态分布 D．常态分布15. 一个硬币掷10次，其中5次正面向上的概率是（）A．0.25 B．0.5 C．0.2 D．0.416. t分布是由（）推导出来的A.高斯B.拉普拉斯C.莫弗D. 高赛特17. 一个硬币掷3次，出现两次或两次以上正面向上的概率是（）A．1/8 B．1/2 C．1/4 D．3/818. 有十道正误题，答题者答对（）题才能认为是真会？A．5 B．6 C．7 D．819. 有十道多项选择题，每题有5个答案，其中只有一个是正确的，那么答对（）题才能认为是真会？A．4 B．5 C．6 D．720. 正态分布的对称轴是过（）点垂线。
A．平均数 B．众数 C．中数 D．无法确定21．在正态分布下Z=1以上的概率是（）A. 0.34 B．0.16 C．0.68 D. 0.3222. 在正态分布下Z=-1.96到Z=1.96之间的概率为（）。
A. 0.475 B．0.95 C．0.525 D. 0.0523. 从n= 200的学生样本中随机抽样，已知女生为132人，问每次抽取一人，抽到男生的概率是（）A. 0.66 B．0.34 C．0.33 D. 0.1724. 两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是（）A. 0.17B. 0.083C. 0.014D. 0.02825. 如果由某一次数分布计算得SK>0，则该次数分布为（）A．高狭峰分布 B．低阔峰分布 C．负偏态分布 D．正偏态分布26. 在正态总体中随机抽取样本，若总体方差已知，则样本平均数的分布为（）A．t分布 B．F分布 C．正态分布 D27.( )A.正态分布分布 D.F分布28. 下面各组分布中，不因样本容量的变化而变化的分布是（）A.正态分布分布D.F分布29. t分布是关于平均值0对称的分布，当样本容量n t分布为（）A.正态分布B. t分布D. F 分布30. 总体呈正态分布，方差已知时，样本平均数分布的方差与总体方差间的关系为（）31. F分布是一个正偏态分布，其分布曲线的形式随分子、分母自由度的增加而（）A. B.渐近二项分布 C.渐近t分布 D. 渐近正态分布32. 设A、B为两个独立事件，则P(A·B)为（）A. P(A)B. P(B)C. P(A)·P(B)D. P(A)+P(B)33. 样本容量均影响分布曲线形态的是（）A. 正态分布和F分布B. T分布和T分布C. 正态分布和T分布 D.34. 正态曲线与x轴所围成区域的面积为（）A. 0.5B. 0.99C. 1D. 0.9535. 对随即现象的一次观察为一次（）A. 随机实验B. 随机试验C. 教育与心理实验D. 教育与心理试验36. 如果由某一次数分布计算得SK=0，则该次数分布为（）A. 对称分布B. 正偏态分布C. 负偏态分布D. 低阔峰分布37. t分布比标准正态（）A. 中心位置左移，但分布曲线相同B. 中心位置右移，但分布曲线相同C. 中心位置不变，但分布曲线峰高D. 中心位置不变，但分布曲线峰低，两侧较伸展38. 一批数据中各个不同数值出现次数情况是（）A. 次数分布B. 概率密度函数C. 累积概率密度函数D. 概率参考答案1.B2.B3.C4.B5.B6.B7.B8.A9.B 10.A 11.D 12.C 13.B 14.B 15.A 16.D 17.B 18.D 19.B 20.A 21.B 22.B 23.B 24.A 25.D 26.C 27.C 28.A 29.A 30.A 31.D 32.C 33.B 34.C 35.B 36.A 37.D 38.D二、多选题l、依分布函数的来源，可把概率分布划分为（）A. 离散分布 B．连续分布 C．经验分布 D. 理论分布2．使用正态分布表，可以进行的计算有( )A．根据Z分数求概率 B．根据概率求Z分数C. 根据概率求概率密度D. 根据Z值求概率密度3. 检验次数分布是否正态的方法有（）A. 皮尔逊偏态量数法 B．累加次数曲线法 C．峰度偏度检验法 D. 直方图法4. 正态分布中，如果平均数相同，标准差不同，那么（）A. 标准差大的正态曲线形式低阔 B．标准差大的正态曲线形式高狭C. 标准差小的正态曲线形式低阔 D．标准差小的正态曲线彤式高狭5. 正态分布曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数量关系，即（），A. 平均数上下一个标准差包括总面积的34.13%B. 平均数上下1.96个标准差包括总面积的95%C. 平均数上下2.58个标准差包括总面积的99%D. 平均数上下3个标准差包括总面积的99.99%6. 二项实验满足的条件有（）A. 任何一个实验恰好有两个结果B. 共有n次实验，并且n是预先给定的任一整数C. 每次实验可以不独立D. 每次实验之间无相互影响7. 下列关于二列分布正确的是（）A. 当p=q时图形是对称的B. 二项分布不是离散分布，概率直方图是越阶式的C. 当时图形呈偏态D. 二项分布的极限分布为正态分布8. 下列条件下的样本平均数的分布为正态分布的是（）A．总体分布为正态，总体方差已知B．总体分布非正态，总体方差已知，样本n >30C．总体分布为正态，总体方差未知D．总体分布非正态，总体方差未知，样本n >309．下列条件下的样本平均数的分布为t分布的是（）A. 总体分布为正态，总体方差已知B. 总体分布非正态，总体方差已知，样本n>30C．总体分布为正态，总体方差未知D．总体分布非正态，总体方差未知，样本n> 3010. 下列关于t分布正确的是（）A．t分布的平均数是0B．t分布是以平均数0左右对称的分布C．当样本容量趋于无穷大时t分布为正态分布，方差为lD．当n-1>30以上时，t分布接近正态分布，方差小于111. ( )AD. 如果df >2df12. 下面是F分布特点的是（）A．F分布是一个正偏态分布B．F分布具有可加性，F分布的和也是一个F分布C．F总为正值D．当组间自由度为1时，F检验与t检验的结果相同13. 心理与教育研究中，最常用的统计分布类型有（）A. 正态分布 B．t分布 C D. F分布14. 以下各分布中，因样本容量的变化而变化的分布是（）A. 正态分布 B．t分布 C D. F分布参考答案：1.CD 2.ABCD 3.ABCD 4.AD 5.BCD 6.ABD 7.ACD 8.AB 9.CD 10.ABC 11.CD 12.ACD 13.ABCD 14.BCD（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。