第六讲-晶体的定向
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
实验三晶体定向
整数定律：晶体上任意二晶面，在相交于一点且不在同一
平面内的晶棱上的截距的比值之比为简单整数比
晶体定向和确定晶面符号的方法
1. 找出晶体的全部对称要素，确定其所属的晶系
2. 根据晶轴定向原则进行定向
3. 根据整数定律和晶面符号的确定方法写出晶面符号
实验内容
对给定的晶体模型进行晶体定向(斜方双锥，三方双锥，四
方双锥，六方柱，八面体），并确定每个晶面的晶面符号
定 向
模型 晶面 对称型 晶系 号码 选轴原则和方法 晶体常数特点 符号
一、晶体定向——概念
轴长：
晶轴系格子构造中的行列，该行列上的结点间距称轴长 X、Y、Z轴上轴长分别用a0、 b0、 c0表示
轴率：
轴长的比率称为轴率a：b：c 不同物质的晶体结构不同，结点间距不同，轴长各异
晶体常数：
轴率a：b：c和轴角α、β、γ合成晶体常数
z
y
x
宏观形态
四方晶系
以L4或Li4为z轴；以垂直于z轴并互相垂直的L2或P的法线为X、Y轴，无L2或P
时，X、Y轴平行于晶棱选取 以L3 、L6 、Li6为z轴；以垂直z轴并彼此以120°相交（正端）的L2或P的法线 为X、Y、U轴，无L2及P时，X、Y、U轴平行晶棱选取 以互相垂直的三个L2为X、Y、Z轴；在L22P对称型中以L2为z轴，两个P的法 线为X、Y轴
一、晶体定向——概念
晶体定向：在晶体中确定坐标系统，既选定坐标轴
（晶轴）和确定各晶轴上单位长（轴长）之比（轴率）
晶轴：交与晶体中心的三条直线 X轴：前端+，后端-； Y轴：右端+，左端
Z轴：上端+，下端-； U轴：后端+，前端-
平面内的晶棱上的截距的比值之比为简单整数比
晶体定向和确定晶面符号的方法
1. 找出晶体的全部对称要素，确定其所属的晶系
2. 根据晶轴定向原则进行定向
3. 根据整数定律和晶面符号的确定方法写出晶面符号
实验内容
对给定的晶体模型进行晶体定向(斜方双锥，三方双锥，四
方双锥，六方柱，八面体），并确定每个晶面的晶面符号
定 向
模型 晶面 对称型 晶系 号码 选轴原则和方法 晶体常数特点 符号
一、晶体定向——概念
轴长：
晶轴系格子构造中的行列，该行列上的结点间距称轴长 X、Y、Z轴上轴长分别用a0、 b0、 c0表示
轴率：
轴长的比率称为轴率a：b：c 不同物质的晶体结构不同，结点间距不同，轴长各异
晶体常数：
轴率a：b：c和轴角α、β、γ合成晶体常数
z
y
x
宏观形态
四方晶系
以L4或Li4为z轴；以垂直于z轴并互相垂直的L2或P的法线为X、Y轴，无L2或P
时，X、Y轴平行于晶棱选取 以L3 、L6 、Li6为z轴；以垂直z轴并彼此以120°相交（正端）的L2或P的法线 为X、Y、U轴，无L2及P时，X、Y、U轴平行晶棱选取 以互相垂直的三个L2为X、Y、Z轴；在L22P对称型中以L2为z轴，两个P的法 线为X、Y轴
一、晶体定向——概念
晶体定向：在晶体中确定坐标系统，既选定坐标轴
（晶轴）和确定各晶轴上单位长（轴长）之比（轴率）
晶轴：交与晶体中心的三条直线 X轴：前端+，后端-； Y轴：右端+，左端
Z轴：上端+，下端-； U轴：后端+，前端-
晶体定向方法
晶体定向方法晶体定向方法是一种用来确定晶体中晶面、晶轴、晶方向等参数的实验方法。
它是固态物理学、材料科学等研究领域的基本工具之一，具有广泛的应用价值和理论意义。
本文将介绍晶体定向方法的原理、常用技术手段以及在材料科学中的应用。
晶体物质是由周期性排列的原子、离子或分子构成的。
晶体中的原子、离子或分子以一定的结构方式排列在晶格上，形成晶体的独特结构，这种结构对晶体材料的物理、化学、力学等性质都有很大的影响。
晶体定向方法的基本原理是利用晶体的周期性结构，通过测量晶体和X射线（或电子束）的互相作用，来确定晶体中的晶面、晶轴、晶方向等参数。
晶体定向方法主要涉及到晶体学、X射线衍射学和电子显微学等学科的知识。
二、晶体定向方法的常用技术手段1、X射线衍射法X射线衍射法是晶体定向方法中最常用的一种方法。
它利用X射线的波长与晶格常数之间的关系，以及物质对X射线的散射规律来测定晶体中的晶面间距和晶轴方向等参数。
在该方法中，需要使用衍射仪和光源等设备来进行实验。
2、拉格朗日点法拉格朗日点法是一种实验方法，它利用晶体表面原子结构的周期性重复性质，通过测量表面上原子的动态运动，来确定晶体中的晶面和晶轴等参数。
该方法一般使用扫描隧道显微镜等设备来进行实验。
3、反射高能电子衍射法三、晶体定向方法在材料科学中的应用晶体定向方法在材料科学中有广泛的应用。
在晶体研究、材料性能优化、晶体生长和发展等方面都有很大的作用。
1、晶体材料的结构表征利用晶体定向方法可以对晶体材料的结构进行表征。
通过测定晶体中的晶面和晶轴等参数，可以确定晶体材料的结晶方式、晶格常数以及原子间距等关键参数。
这对于研究晶体中的物理、化学、力学等性质具有重要的意义。
2、晶体生长和控制在晶体生长和控制中，控制晶体的定向是非常重要的。
通过使用晶体定向方法，可以控制晶体生长时晶面和晶轴的取向，使得晶体的性能和质量得到优化。
在光电子学领域中，通过控制晶体的定向可以制备具有特殊光学性质的晶体材料。
晶体定向和晶面符号
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴 三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
晶体定向和晶面符号
17
看三边折线下面一条线的朝向
18
三边折线最上面一条的朝向
19
单形和聚形
❖ 单形是由对称要素联系起来的一组晶面的总 合。换句话说，单形也就是藉对称型中全部 对称要素的作用可以使它们相互重复的一组 晶面。因此，同一单形的所有晶面彼此都是 等同的。所谓等同，是指它们具有相同的性 质以及在理想的情况下晶面彼此同形等大。 如下图中所示的单形为立方体，它的六个正 方形晶面同形等大，通过其对称型中的对称 要素的作用可以相互重复。
晶体定向：设置坐标系
晶面符号：用数学符号表示方位
1 晶体定向
选择坐标轴和确定各轴上轴单位的比值。 1.1 晶轴和晶体几何常数
晶轴：于晶体上所设置的坐标轴。
轴角：每两个晶轴正端之间的夹角。
＝Y∧Z
＝Z∧X
＝X∧Y
25
晶体定向的作用：
❖ 晶体定向后就可以对晶体上所有的面、线等 进行标定，给出这些面、线的晶体学方向性 符号；
晶体宏观形态上选择三根晶轴：X轴，Y轴，Z轴
晶体内部结构的晶胞及其所对应的晶轴
32
晶体中的坐标方向
33
question
❖ 请思考：晶体形态的三根晶轴上有：a, b, c， α，β，γ，内部结构的空间格子也有a, b, c，α， β，γ（即晶胞参数），它们之间有何联系？
34
❖ 对，它们有关系。因为三根晶轴对应到内部 结构中，恰好是晶胞的三个方向的棱。
49
❖ 零表示与晶轴的 ❖ 平行关系，负数 ❖ 表示与晶轴负端 ❖ 相交。
50
51
52
四轴：形式（hkil）且h+k+i＝0
h+
53
54
（三）单形符号
看三边折线下面一条线的朝向
18
三边折线最上面一条的朝向
19
单形和聚形
❖ 单形是由对称要素联系起来的一组晶面的总 合。换句话说，单形也就是藉对称型中全部 对称要素的作用可以使它们相互重复的一组 晶面。因此，同一单形的所有晶面彼此都是 等同的。所谓等同，是指它们具有相同的性 质以及在理想的情况下晶面彼此同形等大。 如下图中所示的单形为立方体，它的六个正 方形晶面同形等大，通过其对称型中的对称 要素的作用可以相互重复。
晶体定向：设置坐标系
晶面符号：用数学符号表示方位
1 晶体定向
选择坐标轴和确定各轴上轴单位的比值。 1.1 晶轴和晶体几何常数
晶轴：于晶体上所设置的坐标轴。
轴角：每两个晶轴正端之间的夹角。
＝Y∧Z
＝Z∧X
＝X∧Y
25
晶体定向的作用：
❖ 晶体定向后就可以对晶体上所有的面、线等 进行标定，给出这些面、线的晶体学方向性 符号；
晶体宏观形态上选择三根晶轴：X轴，Y轴，Z轴
晶体内部结构的晶胞及其所对应的晶轴
32
晶体中的坐标方向
33
question
❖ 请思考：晶体形态的三根晶轴上有：a, b, c， α，β，γ，内部结构的空间格子也有a, b, c，α， β，γ（即晶胞参数），它们之间有何联系？
34
❖ 对，它们有关系。因为三根晶轴对应到内部 结构中，恰好是晶胞的三个方向的棱。
49
❖ 零表示与晶轴的 ❖ 平行关系，负数 ❖ 表示与晶轴负端 ❖ 相交。
50
51
52
四轴：形式（hkil）且h+k+i＝0
h+
53
54
（三）单形符号
6第六讲晶体的定向和米氏符号
2 晶体定向的方法
以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三 轴组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与 六方晶系).
Z
Z
U
Y X 三个晶轴不一定垂直
Y
X
120º
那么,怎么选出这些晶轴?
晶体定向的选轴原则
1）优先选对称轴作晶轴，例如具3L23PC对称型的晶体， 就选三根彼此垂直的L2作晶轴；
在Y轴上的指数，最后位置写晶面在Z轴上的指数。这个顺 序不可任意颠倒。 （2）如一晶面平行于某一晶轴，则可看成晶面与晶轴在无限 远相交，其截距系数为，则其倒数为0，故在该晶轴上的 晶面指数为0。显然，与X、Y轴平行，只与Z轴相交的晶 面，不论其与Z轴的截距有多大，按整数定律，其晶面符 号为（001）；其它类同。
Z
1.晶体定向的概念
Y
晶体定向实质—在晶
体中以晶体中心为原点 建立一个坐标系。
X
O
晶体定向就是在晶体中 选择坐标轴和确定晶体常 数，包括选定坐标轴和确 定轴单位。
复习 (1) 晶轴：是交于晶体中心的三条直线。为x、y、
z（三轴定向）。 (2) 轴角:α、β、γ (3) 轴长和轴率：晶轴 是晶体中格子构造中 的行列，轴单位是该 行列上的结点间距。 分别以 a、b、c表示， a:b:c为轴率。
3 各晶系选轴原则
• 其中三方和六方晶系采 用四轴定向（原因将在 单形符号一节介绍）
• 其余各晶系均采用三轴 定向
等轴晶系的定向:
晶体几何常数为: a = b = g = 90°, a = b = c
– 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
三个相互垂直的 L2为 z, x, y 轴; 或L2 为z轴, 相互垂直的 对称面法线为 x, y 轴。 z 轴直立， y 轴左 右水平，x 轴前后 水平。
3.晶体定向及晶面符号概述
其次节、单形和聚形
1、单形 〔1〕概念
由对称要素联系起来的一组晶面的 总合。
八面体
菱形十二面体
〔2〕特点
①. 在抱负状况下, 同一单形各晶面 同形等大； ②. 在实际晶体上, 同一单形各晶面 性质一样；
性质：〔晶面花纹；蚀象；物性：光、力、电等； 〕 ③ 通过对称要素的作用，各晶面可以 相互重合； ④ 一个单形的晶面符号中，晶面指数〔确定值〕一样 例：立方体：〔100〕、〔T00〕、〔010〕、〔0T0〕、
只有属于同一对称型的单形才能在同一晶体上消逝。
留意！
在聚形中，各单形的晶面数目及相 对位置都没有转变，但由于单形各晶面 彼此相互切割，使聚形中的晶面外形与 原来在单形中相比，可能会有所转变， 所以在聚形中不能据晶面外形来判定单 形，必需想象延长得出单形名称。
第三节、晶体的规章连生
〔一〕、平行连生—— 两个或两个以上的同种晶体， 其对应的晶面、晶棱完全平行的连生。
→ Z轴
★ 三方晶系： L3
→ Z轴
★ 四方晶系： L4、或Li4 → Z轴
★ 斜方晶系： L2
→ Z轴
★ 单斜晶系： 晶棱
→ Z轴
★ 三斜晶系： 晶棱
→ Z轴
〔2〕再确定 X、Y、U〔三、六方晶系〕 轴
应尽量选择X、Y、或U轴所在平面且与z轴垂直。
2、应尽量使X、Y、Z 轴相互垂直或趋于垂直，
或互成120° 〔三、六方晶系〕。
按双晶的形成方式分： a、生长双晶-----在晶体生长过程中同时形成双晶---晶芽
已按双晶系连生，然后长成双晶。 b、转变双晶----在同质多象转变过程中形成双晶。
β-石英 →α -石英 c、机械双晶-----晶体生成以后，由于受应力的机械作用，
晶体定向晶面符号和晶带定律课件
演示如何利用晶带定律判断晶体 的对称性和物理性质。
06
总结与展望
晶体定向、晶面符号与晶带定律的重要性和意义
1 2 3
晶体定向 对于材料科学和物理学的研究具有重要意义，能 够确定晶体在空间中的方位，为深入研究晶体结 构和性质提供了基础数据。
晶面符号 是晶体的一个重要特征，可以用来识别和区分不 同的晶体，同时对于晶体定向和晶带定律的研究 具有关键作用。
晶面符号
如前所述，晶面符号是用来表示晶面在晶体中的相对位置和方向的 符号。
关系
晶面符号与晶带定律之间存在密切关系，通过晶带定律可以确定晶 面符号在晶带上的相对位置和方向。
晶体定向、晶面符号与晶带定律的综合应用
综合应用
在晶体学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律是相互关联的基本概念，它们共同构成了晶体学的基础知识。
晶带定律 揭示了晶体中晶面的排列规律，对于理解晶体结 构和性质、以及材料性能的优化具有重要意义。
三者在材料科学和物理学中的应用前景
材料科学
在材料科学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律的应用广泛，例如在材料合成、晶体工程、复合材料 等领域，可以用来指导材料的设计和制备，提高材料的性能。
物理学
在物理学中，这些理论可以用来研究晶体的物理性质，如光学、电学、热学等，预测新材料的性质， 以及为开发新的物理现象提供理论基础。
晶体定向晶面符号 和晶带定律课件
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶带定律 • 晶体定向、晶面符号与晶带定律的关系 • 实验操作与演示 • 总结与展望
01
晶体定向
定义与概念
晶体定向的定义
晶体定向是确定晶体中各晶面的方位和晶向的几何过程。
晶体定向的概念
晶体定向是研究晶体结构和性质的重要手段，通过对晶体的 定向研究，可以获得晶体中各晶面的方位和晶向的信息，从 而了解晶体的对称性、结构特征和物理性质等。
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2019/11/29
三轴直角坐标系
8
三斜晶系： ≠ ≠≠90°
单斜晶系： ==90° > 90° ② 对于三方和六方晶系，采取
四轴定向：X，Y，U，Z
YΛZ= ; XΛZ= ; XΛY = = =90° =120° 三轴正端夹角互为120°
2019/11/29
2019/11/29
简单的
晶面截晶轴于结点 整数比25
整数定律
实际晶体上的晶面指数为简单整数，因为指数越简 单的面网，是面网密度大的面网，而面网密度大的面网 容易形成晶面（因为能量低容易形成晶面），所以实际 晶体上的晶面就是晶面指数简单的晶面
注意 :
晶面符号中一般不能同时出现数字和符号
晶面与晶面负端相交，其指数为负 晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数为0
1L4：c轴 2L2 / 2P /2晶棱：a b轴
c：直立，b：左右，a：前后
13
斜方晶系 abc == =90 3L2/3P a b c 轴
1L2：c轴 2P法线/2晶棱：a b 轴
c：直立，b：左右，a：前后
单斜晶系 abc ==90 >90
1L2/1P法线：b轴, 2晶棱：a c轴
AC a c hl
r 1 ( )a b c
h
kl
对于平行与晶面族(hkl)的晶带[UVW]
Ua Vb Wc 1 ( )a b c
h
kl
hU ( ), kV lW
hU kV lW 0
七大晶系轴率的特点：
等轴： a0=b0=c0
a：b：c=1：1：1
四方： a0=b0≠c0
a：b：c= a：c
三方、六方：a0=b0≠c0
a：b：c= a：c
斜方： a0 ≠ b0≠c0 a：b：c= a：1：c
三斜、单斜：a0 ≠ b0≠c0 a：b：c= a：1：c
11
三、晶体定向的原则
1、晶轴的选择
单胞
x = (1 1 0) y = (2 1 0)
a x b y
a axial ratio = a:b = 1.60
21
晶面符号
c
x = (1 1 1)
C
y = (h k l) = ?
Z
y = (12 3 4)
A
O
X
Y
a
B b
22
晶面符号
请写出其他晶面
b
(1 1 0) (2 1 0) (1 0 0) a
晶带定律的应用
• 已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带的符号 • 求同时属于某二已知晶带的该晶面的晶面符号 • 判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带 • 由四个互不平行的已知晶面, 或四个已知晶带, 求出晶体
上一切可能 的晶面与晶带(即晶棱)
45
晶带定律的应用
• 举例：若已知属于同一晶带的两晶面为(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)， 求晶带符号。
－
(1011)
U+
Z+
(11－21)
－-
Y+
(1010)
X+
E
U
P2
P2 P1 P3
D A2019/11/29 X
根据四轴定向时3个水平结晶轴的正端
互成120交角的关系，应当有：
P2
h+k+－i=0
Y B
即：3个水平结晶轴相应的晶面指数，它
们的代数和(h永ki远l 可为以0 简化为(hkl)
28
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15
晶体的四轴定向
U
适用于六方晶系和三方晶系的晶体
Y
对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3
或包含有L3
X
选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴
L3/L6：c轴， 3L2 / 3P /3晶棱 ：a b u轴
Z
a b u 轴正向之间的夹角为120
X 2019/11/29
c 轴上下直立 b 轴左右水平，右正左负 a 轴左前—右后水平，正端朝前偏左30 Y u 轴左后—右前水平，正1前6 朝后偏左30
c：直立，b：左右
a：前后但向前下方倾斜 使>90
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三斜晶系 abc 90
选择3个显著的、而且相互间较接 近于90的晶棱方向作为a b c轴
c：直立 b：左右 并朝右下方倾斜 a：大致前后方向 并使之朝前下方倾斜
使>90,>90， 则可为钝角，亦可为锐角
第五次课 晶体的定向和晶面符号
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6
一、为何要进行晶体定向
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的
晶体的具体形态取决于晶体的晶面与对称要素之 间的位置关系
2019/11/29
7
二、晶体定向
晶体定向：就是在晶体内部建立坐标系统。（建立坐
• 晶带符号(zone symbol)
– 在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示
41
晶带符号
• 例如 – (1-10), (100), (110), (010)… 的交棱相互平行，组成一个 晶带; 直线CC’即可表达为此 晶带的晶带轴 – 此组晶棱的符号,即该晶带 轴的符号，为[001]（或者 [00-1]）晶带 – 在wulff网上的投影？
hx+ky+lz=0
因(h k l)晶面属于[u v w]晶带, 故直线[u v w]上的任一点均满足平 面方程, 即用u, v, w替代x, y, z, 便得到上述的晶带方程。
43
晶带方程证明——卞
任何平行与晶面（hkl）的向量 r 可以通过以下方式 表示：
r AB AC
AB a b hk
hu1 + kv1 + lw1 = 0
(1)
hu2 + kv2 + lw2 = 0
(2)
h : k : l (V1W2 V2W1) : (W1U2 W2U1) : (U1V2 U2V1)
U1 V1 W1 U1 V1 W1
U2 V2 W2 U2 V2 W2
晶带定律的应用
晶面指数的Байду номын сангаас对值越大，晶面在晶轴上截距系数 值（绝对值）越小
两个晶面指数的绝对值、对应的轴单位都相等时， 则晶面与此二结晶轴等角度相交
同一晶体中，若晶面指数的绝对值相等、正负号 相反，两晶面必相互平行
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四轴定向的晶面符号（hk－il)
从数学角度来看，3个水平结晶 轴中必有1个是多余的，三者之 间具有某种的关系，由其中的任 意两者必能确定第三者。
37
晶棱符号
• 四轴定向时的晶棱符号
– 以[u v m w]的形式表达 – 也有三指数形式: [u v w] • 四指数和三指数之间的比较
38
晶带及晶带符号
• 晶带(zone)
– 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合
• 晶带轴(zone axis)
– 用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的 所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交 棱方向
23
晶面符号
b
(0 1 0) (1 1 0)
(2 1 0)
-a (1 0 0)
(1 1 0) (2 1 0)
(1 0 0) a
(2 1 0) (1 1 0)
-b (0 1 0)
(2 1 0)
(1 1 0)
24
整数定律
Integer law
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
2h i
2k i
Since i is negative. But a=b=d
1 1 1 hk hi ki
hki 0
晶面族和晶向族
等效晶面-通过平移操作可以重合
• Equivalent planes: planes that are identical to each other by virtue of the ordinary translational symmetry of the lattice;
三轴坐标系 Z
U Y
X
9
2. 建立度量单位（轴单位）
晶轴应与行列平行 以结点间距作度量单位 采用结点间距a0、b0、c0的比值
OH:OK:OL= a0:b0:c0 a:b:c 轴率：即轴单位的比值。
3. 晶体常数
、 、 a:b:c 轴角 + 轴率
晶体常数一定，知其形状、不知大小
晶胞常数： 、 、 a0、b0、c0 已知，则 ：形状大小确定
– 根据晶带方程hu + kv + lw = 0，可以得出：
• h1u + k1v + l1w = 0
(1)
• h2u + k2v + l2w = 0
(2)
– 解联立式(1)和式(2)的方程组，可得
[u v w] = u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1)
42
晶带定律
• 晶带定律(zone law)
– 任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0---晶带方程
• 简单的证明
– 三维空间的一般平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0
系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点的距离。 那么过坐标原点且平行于(h k l)的平面方程则可以表达为
三轴直角坐标系
8
三斜晶系： ≠ ≠≠90°
单斜晶系： ==90° > 90° ② 对于三方和六方晶系，采取
四轴定向：X，Y，U，Z
YΛZ= ; XΛZ= ; XΛY = = =90° =120° 三轴正端夹角互为120°
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简单的
晶面截晶轴于结点 整数比25
整数定律
实际晶体上的晶面指数为简单整数，因为指数越简 单的面网，是面网密度大的面网，而面网密度大的面网 容易形成晶面（因为能量低容易形成晶面），所以实际 晶体上的晶面就是晶面指数简单的晶面
注意 :
晶面符号中一般不能同时出现数字和符号
晶面与晶面负端相交，其指数为负 晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数为0
1L4：c轴 2L2 / 2P /2晶棱：a b轴
c：直立，b：左右，a：前后
13
斜方晶系 abc == =90 3L2/3P a b c 轴
1L2：c轴 2P法线/2晶棱：a b 轴
c：直立，b：左右，a：前后
单斜晶系 abc ==90 >90
1L2/1P法线：b轴, 2晶棱：a c轴
AC a c hl
r 1 ( )a b c
h
kl
对于平行与晶面族(hkl)的晶带[UVW]
Ua Vb Wc 1 ( )a b c
h
kl
hU ( ), kV lW
hU kV lW 0
七大晶系轴率的特点：
等轴： a0=b0=c0
a：b：c=1：1：1
四方： a0=b0≠c0
a：b：c= a：c
三方、六方：a0=b0≠c0
a：b：c= a：c
斜方： a0 ≠ b0≠c0 a：b：c= a：1：c
三斜、单斜：a0 ≠ b0≠c0 a：b：c= a：1：c
11
三、晶体定向的原则
1、晶轴的选择
单胞
x = (1 1 0) y = (2 1 0)
a x b y
a axial ratio = a:b = 1.60
21
晶面符号
c
x = (1 1 1)
C
y = (h k l) = ?
Z
y = (12 3 4)
A
O
X
Y
a
B b
22
晶面符号
请写出其他晶面
b
(1 1 0) (2 1 0) (1 0 0) a
晶带定律的应用
• 已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带的符号 • 求同时属于某二已知晶带的该晶面的晶面符号 • 判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带 • 由四个互不平行的已知晶面, 或四个已知晶带, 求出晶体
上一切可能 的晶面与晶带(即晶棱)
45
晶带定律的应用
• 举例：若已知属于同一晶带的两晶面为(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)， 求晶带符号。
－
(1011)
U+
Z+
(11－21)
－-
Y+
(1010)
X+
E
U
P2
P2 P1 P3
D A2019/11/29 X
根据四轴定向时3个水平结晶轴的正端
互成120交角的关系，应当有：
P2
h+k+－i=0
Y B
即：3个水平结晶轴相应的晶面指数，它
们的代数和(h永ki远l 可为以0 简化为(hkl)
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晶体的四轴定向
U
适用于六方晶系和三方晶系的晶体
Y
对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3
或包含有L3
X
选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴
L3/L6：c轴， 3L2 / 3P /3晶棱 ：a b u轴
Z
a b u 轴正向之间的夹角为120
X 2019/11/29
c 轴上下直立 b 轴左右水平，右正左负 a 轴左前—右后水平，正端朝前偏左30 Y u 轴左后—右前水平，正1前6 朝后偏左30
c：直立，b：左右
a：前后但向前下方倾斜 使>90
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三斜晶系 abc 90
选择3个显著的、而且相互间较接 近于90的晶棱方向作为a b c轴
c：直立 b：左右 并朝右下方倾斜 a：大致前后方向 并使之朝前下方倾斜
使>90,>90， 则可为钝角，亦可为锐角
第五次课 晶体的定向和晶面符号
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一、为何要进行晶体定向
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的
晶体的具体形态取决于晶体的晶面与对称要素之 间的位置关系
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二、晶体定向
晶体定向：就是在晶体内部建立坐标系统。（建立坐
• 晶带符号(zone symbol)
– 在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示
41
晶带符号
• 例如 – (1-10), (100), (110), (010)… 的交棱相互平行，组成一个 晶带; 直线CC’即可表达为此 晶带的晶带轴 – 此组晶棱的符号,即该晶带 轴的符号，为[001]（或者 [00-1]）晶带 – 在wulff网上的投影？
hx+ky+lz=0
因(h k l)晶面属于[u v w]晶带, 故直线[u v w]上的任一点均满足平 面方程, 即用u, v, w替代x, y, z, 便得到上述的晶带方程。
43
晶带方程证明——卞
任何平行与晶面（hkl）的向量 r 可以通过以下方式 表示：
r AB AC
AB a b hk
hu1 + kv1 + lw1 = 0
(1)
hu2 + kv2 + lw2 = 0
(2)
h : k : l (V1W2 V2W1) : (W1U2 W2U1) : (U1V2 U2V1)
U1 V1 W1 U1 V1 W1
U2 V2 W2 U2 V2 W2
晶带定律的应用
晶面指数的Байду номын сангаас对值越大，晶面在晶轴上截距系数 值（绝对值）越小
两个晶面指数的绝对值、对应的轴单位都相等时， 则晶面与此二结晶轴等角度相交
同一晶体中，若晶面指数的绝对值相等、正负号 相反，两晶面必相互平行
2019/11/29
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四轴定向的晶面符号（hk－il)
从数学角度来看，3个水平结晶 轴中必有1个是多余的，三者之 间具有某种的关系，由其中的任 意两者必能确定第三者。
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晶棱符号
• 四轴定向时的晶棱符号
– 以[u v m w]的形式表达 – 也有三指数形式: [u v w] • 四指数和三指数之间的比较
38
晶带及晶带符号
• 晶带(zone)
– 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合
• 晶带轴(zone axis)
– 用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的 所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交 棱方向
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晶面符号
b
(0 1 0) (1 1 0)
(2 1 0)
-a (1 0 0)
(1 1 0) (2 1 0)
(1 0 0) a
(2 1 0) (1 1 0)
-b (0 1 0)
(2 1 0)
(1 1 0)
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整数定律
Integer law
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
2h i
2k i
Since i is negative. But a=b=d
1 1 1 hk hi ki
hki 0
晶面族和晶向族
等效晶面-通过平移操作可以重合
• Equivalent planes: planes that are identical to each other by virtue of the ordinary translational symmetry of the lattice;
三轴坐标系 Z
U Y
X
9
2. 建立度量单位（轴单位）
晶轴应与行列平行 以结点间距作度量单位 采用结点间距a0、b0、c0的比值
OH:OK:OL= a0:b0:c0 a:b:c 轴率：即轴单位的比值。
3. 晶体常数
、 、 a:b:c 轴角 + 轴率
晶体常数一定，知其形状、不知大小
晶胞常数： 、 、 a0、b0、c0 已知，则 ：形状大小确定
– 根据晶带方程hu + kv + lw = 0，可以得出：
• h1u + k1v + l1w = 0
(1)
• h2u + k2v + l2w = 0
(2)
– 解联立式(1)和式(2)的方程组，可得
[u v w] = u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1)
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晶带定律
• 晶带定律(zone law)
– 任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0---晶带方程
• 简单的证明
– 三维空间的一般平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0
系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点的距离。 那么过坐标原点且平行于(h k l)的平面方程则可以表达为