网络图计算及优化
5、线路与关键线路：
B
2
2
4
F
A
1
1
D
5
4
6
C
G
5
E
3
3
5
5
线路： ①→②→④→⑥
8天
①→②→③→④→⑥
10天
①→②→③→⑤→⑥
9天
①→③→④→⑥
14天
①→③→⑤→⑥
13天
关键线路：时间最长的线路（决定了工期）。
次关键线路：时间仅次于关键线路的线路。
关键工作：关键线路上的各项工作。
(三)绘制规则
A
B
C
D
（6）A、B均完成后进行D， A、B、C均完成后进行E， D、E均完成后进行F。
A
B
D
C
E
F
2．在一个网络图中，只能有一个起始节点，一个
终了节点。否则，不是完整的网络图。
起始节点：只有外向箭杆，而无内向箭杆的节点；
终了节点：只有内向箭杆，而无外向箭杆的节点。
3．网络图中不允许有闭回路。
B
表示顺序的网状图。
2
挖土
3
垫层
3天
2天
第一节 双代号网络图
一、双代号网络图的绘制
（一）形式
工作(工序)名称
i
延续时间
j
开始节点
结束节点
节点编号
（二）五个要素
1、箭杆
作用：一条箭杆表示一项工作（施工过程、任务）
特点：消耗资源（如砌墙：消耗砖、砂浆、人工）
消耗时间 有时不消耗资源，只消耗时间
2、节点 用圆圈表示，表示了工作开始、结束或连接关系。
1．正确反映各工作的先后顺序和相互关系 （逻辑关系）；
――受人员、工作面、施工顺序等要求的制约
如：绘制逻辑关系图
（1）B、D工作在A工作完成后进行。
A
B
D
（2）A、B均完成后进行C。 A
B
C
（3）A、B均完成后进行C、D。
A
B
C
D
（4）A完成后进行C， A、B均完成后进行D。
ห้องสมุดไป่ตู้
A
C
B
D
（5）A完成后进行B， B、C均完成后进行D。
缺点：不能清晰地反映流水情况、资源需要量的变化情
况。
四、网络图的基本概念
1、网络图：
表示整个计划中各道工序的先后次序和所需时 间的网状图，由圆圈和箭号按一定规则组成。
2、类型：
(1)双代号网络图：两个圆圈和一个箭杆表示一项
工作 的网状图
挖土 3
4
垫层
•
3天
2天
5
(2)单代号网络图：一个圆圈表示一项工作，箭杆
特点：不消耗时间和资源。
3、编号 作用：方便查找与计算，用两个节点的编号
可代表一个工序。
编号要求：箭头号码大于箭尾号码，即：j > I
编号顺序：先绘图后编号；顺箭头方向；可 隔号编。
4、虚工作：时间为零的假设工作。用虚箭杆 表示；
特点：不消耗时间和资源。
作用：确切表达网络图中工作之间相互制约、 相互联系的逻辑关系。
2．“ 最迟时间”的计算 （ 1）本工作最迟必须结束时间（TLF）：
（
TLFi-j＝min{TLSj-k}
（ 2）本工作最迟必须开始时间（TLS）：
第十二章 网络计划技术
第一节 概述
一、网络计划网络计划
1、定义
是一种科学的计划方法，
是一种有效的生产管理方法。
2、发展 3、网络计划的基本原理
应用网络图的形式表述一项工程的各个施 工过程的顺序及它们间的相互关系，经过计算 分析，找出决定工期的关键工序和关键线路， 通过不断改善网络图，得到最优方案，力求以 最小的消耗取得最大效益。
三、网络计划方法的特点 横道计划法的优点：
简单、明了、直观、易懂； 各项工作的起点、延续时间、工作进度、总工期一目了然； 流水情况表示清楚，资源计算便于据图叠加。
缺点：不能反映各工作间的联系与制约关系；
不能反映哪些工作是主要的、关键的，看不出计划的潜力
网络计划法的优点：
组成有机的整体，明确反映各工序间的制约与依赖关系； 能找出关键工作和关键线路，便于管理人员抓主要矛盾； 便于资源调整和利用计算机管理和优化。
（ 一）概述
1．计算目的：求出工期； 找出关键线路； 计算出时差。
2．计算条件：线路上每个工序的延续时间都是 确定的（肯定型）。 3．计算内容：
每项工序（工作）的开始及结束时间（最早、最迟） 每项工序（工作）的时差（总时差、自由时差）
4．计算方法：图上、表上、分析、矩阵 5．计算手段：手算、电算
(二）图上计算法：（工作计算） 1．“ 最早时间”的计算
紧前工作
本工作
h
i
紧后工作
j
k
（1)最早可能开始时间（TES）
1)计算公式： TESi-j=max{TEFh-i }=max{TESh-i+Dh-i }
2)计算规则：“顺线累加，逢圈取大”
（2)最早可能结束时间（TEF）： 本工作最早可能结束时间＝本工作最早
可能开始时间＋工作延续时间。
即TEFi-j＝TESi-j＋Di-j
A
23
2
44
F
1 11
C
D
4
5 66
G
E
3
32
5
55
4．不允许出现相同编号的工序或工作。
A
3
A
4
3
B 4
B 5
5．不允许有双箭头的箭杆和无箭头的线段。 6．严禁有无箭尾节点或无箭头节点的箭线。
（四）绘制要求与方法
1．尽量采用水平、垂直箭杆的网格结构（规 整、清晰）；
2．交叉箭杆及换行的处理：（尽量不交叉）
2
挖土3与垫层1无逻辑关系；
垫层3与砌筑1无逻辑关系（人员、工作面、工艺均无）
砌筑3与回填1无逻辑关系。
结论：出现“两进两出”及以上节点时，应特别注意逻辑 关系。一般可使用虚工序来避免这种节点。
改正如下：
11土
挖1 4
22
垫1 1
挖2
4
33
44
砌1
3 88
填1
2
垫2
55 1 66
99
砌2
3
1100
挖1
垫1
砌1
挖2
垫2
砌2
(五）示例
某基础工程，施工过程为：挖槽12天，打垫层3 天，砌墙基9天，回填6天；采用分三段流水施工 方法，试绘制双代号网络图。
1土 挖1
4
2 垫1 1
3 砌1
3
5 填1
2
挖2 4 垫2 6 砌2 8 填2
4
1
3
2
挖3
7 垫3 9 砌3 10 填3
11
逻辑关系错误！ 4
1
3
1122
填2
2
挖3
4
77
垫3
1
1111
砌3
3
1133
填3
2
1144
（六）网络图的编制步骤
1．编制工作一览表： 列项，计算工程量、劳动量、延续时间，确定施工组织 方式（分段流水、依次施工、平行施工）。 2．绘制网络图： 较小项目――直接绘图
较大项目――可按施工阶段或层段分块绘图，再行拼接
二、双代号网络图的计算
8
8
88
9
5
65
6
55
6
9 •
a.暗桥法
9
b.断线法
8
99
c.指向法
3．起始节点有多条外向箭线、终了节点 有多条内向箭线时，可采用母线法绘制。
．4、尽量使网络图水平方向长；
如分层分段施工时，水平方向可表示：
（ 1）组织关系――同一施工过程在各层段上的顺序；
挖1
挖2
挖3
垫1
垫2
垫3
（ 2）工艺关系――在同一层段上各施工过程的顺序。
网络图的概念及其参数计算
§5-1 网络图的概念及其参数计算③表示具体工序：如墩台施工中的支模、扎筋、浇混凝土等，用于绘制局部网络图。
箭线表示的具体内容取决于网络图的祥略程度。
箭线代表整个工作的全过程，要消耗时间及各种资源，一般在网络图上表注的是消耗时间的数量。
（2）节点：前后两工作（序）的交点，表示工作的开始、结束和连接关系。
是瞬间概念，不消耗时间和资源。
图中第一个节点，称始节点；最后一个节点称终节点；其它节点称中间节点。
节点沿箭线由左到右从小到大。
a 一项工作中与箭尾衔接的节点，称工作的始节点。
一项工作中与箭头衔接的节点，称工作的终节点。
b 其它工作的箭头与某工作的始节点衔接，该工作称紧前工作。
其它工作的箭尾与某工作的终节点衔接，该工作称紧后工作。
①②：a为b的紧前工作。
②③b为a的紧后工作。
图中用i、j两个编号表示一个工作，称双代号。
如用i一个节点序号表示一项工作，则称单代号。
在此先介绍双代号网络图的绘制。
（3）线路：line指网络图中从原始节点到结束节点之间可连通的线路。
a 两节点间的通路称线段。
b 需工作时间最长的线路，称关键线路。
①②④⑤⑥c位于关键线路上的工作称关键工作。
3虚箭线的运用：从上面的图中大家可以看到一种虚箭线，它表示的是虚工作，是一项虚设的工作。
其作用是为了正确的反映各项工作之间的关系，虚工作即不占用时间也不消耗资源。
如上例中的虚工作仅表示扎筋1和扎筋2之间的关系。
即扎筋2不仅应支模2后开始，同时也应在扎筋1之后才能开始。
又例：a的紧后是c、d，b的紧后是d。
绘制网络关系图：A B C D引入虚箭线表示a、d的关系。
同时要注意半约束关系的绘制方法先绘制a的紧后工序c，b的紧后工序d，然后运用虚箭线表示出a和d的关系。
两工作的前后约束关系不一样，不能画在一个始（或终）节点上。
c的紧前工作是a、b，d的紧前工作是b。
A B C D总结：两工作的前约束关系不一样，不能画在一个始节点上；两工作的后约束关系不一样，不能画在一个终节点上。
网络计划图的绘制
GanttProject
适用范围
适用于中小型项目，尤 其是需要绘制甘特图的 项目。
优点
完全免费，无需购买许 可证；功能强大，支持 甘特图、任务分配、工 时记录等功能；操作简 单，易于上手。
缺点
相对于大型企业级项目 管理软件，功能较为基 础；定制性相对较弱。
Smartsheet
适用范围
适用于企业级项目管理，提供团队协作和任务管理功能。
解决方案
对关键路径上的活动进行重点关注和优 先处理，确保关键活动按计划进行。同 时，为关键路径上的活动预留一定的缓 冲时间，以应对不可预见的风险。
时间延误问题
问题描述
时间延误是指实际完成时间晚于计划完 成时间的情况，可能导致项目无法按时 交付。
VS
解决方案
加强进度监控，及时发现并解决延误问题 。对于已延误的活动，采取赶工、并行作 业等措施，尽量挽回延误的时间。同时， 分析延误原因，总结经验教训，优化后续 计划安排。
优点
界面友好，易于操作；支持甘特图、任务分配、工时记录 等功能；支持团队协作，方便团队成员共同参与项目管理。
缺点
需要购买许可证，成本较高；对于小型项目而言，可能存 在功能冗余的情况。
THANKS
感谢观看
03
网络计划图的应用
项目管理
项目进度管理
网络计划图可以清晰地展示项目的各个阶段和任务，帮助项目经理 更好地掌握项目进度，及时调整资源分配，确保项目按时完成。
资源优化配置
通过分析网络计划图，项目经理可以了解各项任务之间的关系和依 赖性，从而合理分配人力、物力和财力等资源，提高资源利用效率。
风险管理
背景
随着现代项目管理理论的不断发展，网络计划图在各类工程项目、企业管理、 日常任务管理等领域得到了广泛应用，成为一种重要的管理工具。
管理运筹学讲义 第6章 网络计划(6学时)
4
H,4
22
第二节 绘制网络图
三、网络图的绘制举例
【例】
工序 紧前工序 工序时间
A G、M
3 ②
B H
4
C
— 7
D L
3
E，5
M，3
E C
5
F A、E
5
G B、C
2
H
— 5 ⑦
I A、L
2
F，5
K F、I
1
L B、C
7
M C
3
C，7
⑩
I，2
K，1 11
①
H，5
⑤
G，2
A，3
⑥
⑨
D，3
③
23
B，4
④
7
I
8
C
H
21
OM:SM
第二节 绘制网络图
三、网络图的绘制举例 【例】
工 序 A — 2 B A 4 C B 4
2 A，2
D — 4.7
B,4
E — 7.2
5 G,6.2
F E 2
G D、 F 6.2
H D、 F 4
I H 4.3
紧前工序 工序时间
C,4
7 I,4.3 6
OM:SM
1
D，4.7 E,7.2 F,2 3
13
OM:SM
第二节 绘制网络图
一、网络图中工序间的表达方式
1、当工序a完工后b和c可以开工
○
2、当工序a和b完工后c才能开工
○
a
b
○
○
a
○
c
c
○
○ ○
b
3、工序c在工序a完工后就可以开工， 但工序d必须在a和b都完工后才能开工
如何在Excel中使用NetworkDiagram进行网络图分析
如何在Excel中使用NetworkDiagram进行网络图分析在Excel中使用NetworkDiagram进行网络图分析Excel作为一款功能强大的电子表格软件，不仅可以方便地进行数据处理和数据分析，还提供了多种工具和函数来帮助用户完成各种任务。
其中，NetworkDiagram（网络图）是Excel中的一个强大的功能，可以帮助用户进行网络图的分析和可视化。
本文将介绍如何在Excel中使用NetworkDiagram进行网络图分析。
一、什么是网络图分析？网络图分析是一种用来描述和分析事物之间相互关系的方法。
它将事物及其相互之间的联系表示为一个图形网络，使得我们可以更清晰地了解事物之间的关联和影响。
在项目管理、供应链管理、社交网络分析等领域，网络图分析被广泛应用。
二、准备数据在开始进行网络图分析之前，我们首先需要准备好相应的数据。
在Excel中，我们可以使用电子表格进行数据的录入和整理。
一般来说，网络图的数据主要包括节点和边。
节点表示事物，边表示事物之间的关系。
可以使用表格、列表或图表等形式进行数据的输入。
三、创建网络图在Excel中，我们可以通过使用NetworkDiagram来创建网络图。
首先，我们在工作表中插入一个Shape，用于表示节点。
然后，我们可以使用线条工具来连接不同的节点，表示节点之间的关系。
可以根据需要设置线条的颜色、粗细和样式等属性。
通过不断添加节点和连接线条，我们可以创建一个完整的网络图。
四、调整网络图的布局在创建好网络图之后，我们可能需要对其进行一些调整，以便更好地展示数据和分析结果。
在Excel中，我们可以使用布局和样式选项来调整网络图的布局和样式。
例如，我们可以选择不同的布局算法来自动调整节点的位置，使得网络图更加美观和易读。
我们还可以改变节点的形状、大小和颜色等属性，以及线条的样式和箭头等属性。
五、进行网络图分析完成网络图的创建和调整后，我们可以开始进行网络图的分析。
双代号网络图计算
双代号网络图计算双代号网络图计算是一种用于解决复杂问题的数学工具，它通过将问题抽象成网络图的形式，利用图论和代数方法进行计算和推导。
本文将对双代号网络图计算进行详细介绍，包括其基本概念、原理和应用。
一、双代号网络图计算的基本概念1. 双代号网络图：双代号网络图是由节点和边组成的有向图，其中节点表示问题的元素或条件，边表示节点之间的关系或约束。
双代号网络图是一种抽象模型，可以描述复杂的问题。
2. 节点：节点是网络图中的基本元素，它可以表示问题的变量、参数、状态或操作。
节点可以用不同的图形表示，常见的有圆形、方形、椭圆等。
3. 边：边是节点之间的连接，它表示节点之间的关系或约束。
边可以是有向的，也可以是无向的。
有向边表示一种顺序或方向关系，无向边表示一种无序或对称关系。
4. 权重：权重是边的一个属性，用于表示节点之间的关系的强度或重要性。
权重可以是实数或非负整数。
5. 路径：路径是节点之间的连接序列，表示从一个节点到另一个节点的通路。
路径可以是有向的，也可以是无向的。
二、双代号网络图计算的原理双代号网络图计算基于图论和代数方法，通过建立网络图模型，利用图的性质和代数运算进行计算和推导。
主要包括以下几个步骤：1. 网络图建模：将问题抽象成网络图的形式，确定节点和边的类型及其关系。
根据具体问题的特点，选择合适的图形表示节点，确定有向还是无向边，并为边赋予适当的权重。
2. 网络图分析：对网络图进行分析，研究节点之间的关系和路径的特点。
使用图的性质和算法，如最短路径算法、最小生成树算法等，进行图的计算和推导。
3. 代数方法：将网络图转化为代数表达式，利用代数运算进行计算和推导。
通过节点之间的关系和约束，建立代数方程组或矩阵，利用方程组的解或矩阵的特征进行计算和推导。
4. 结果解释：根据计算和推导的结果，对问题进行解释和分析。
将结果转化为实际问题的解释或推论，提出可能的应用或改进。
三、双代号网络图计算的应用双代号网络图计算是一种通用的数学工具，可以应用于各种领域和问题的求解。
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
CLICK HERE TO ADD A TITLE
1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
网络图基础知识
连通性：判断网络图中是否存在连通子图
网络流：计算网络图中的最大流和最小割
网络稳定性：分析网络图的稳定性如鲁棒 性、抗毁性等
网络优化：优化网络图的结构如最小生成 树、最短路径等
网络图的优化目标
最小化网络 最大化网络 优化网络图 优化网络图 优化网络图 图的总成本 图的总收益 的路径长度 的节点数量 的连通性
工作计划制定中的应用案例
制定项目计划：使用网络图进行项目进度管理明确任务分工和时间节点 资源分配：根据网络图分析资源需求合理分配资源提高工作效率 风险管理：通过网络图识别潜在风险制定应对措施降低项目风险 进度监控：利用网络图监控项目进度及时发现和解决问题确保项目按时完成
生产调度中的应用案例
生产计划制定：通过网络图分 析生产流程制定合理的生产计 划
网络图的组成元素
节点：表示网络中的实体或对象 边：表示节点之间的连接或关系 权重：表示边的强度或重要性 方向：表示边的方向性或流动方向 颜色：表示节点的类别或属性 标签：表示节点的名称或描述
网络图的作用和意义
网络图是一种图形化的表达方式可以直观地展示各种关系和联系。 网络图可以帮助我们更好地理解和分析复杂的系统例如社交网络、供应链、生态系统等。 网络图可以揭示系统中的关键节点和关系帮助我们找到解决问题的关键。 网络图可以提供一种可视化的方法帮助我们更好地理解和记忆复杂的信息。
MindMnger： 界面友好操作 简单适合初学
者使用
XMind：开源 免费支持多种 格式导出适合 团队协作使用
EdrwMx：支 持多种图形绘 制支持云存储 适合个人和企
业使用
网络图软件工具的使用方法
选择合适的网 络图软件工具
网络图的优化分析
——费用优化
1.基本概念
（1）费用优化
又称工期成本优化。是指寻求工程总成本 最低时的工期或按要求工期寻求最低成本的
计划安排过程。
工程的成本是由直接费用、间接费用、 赶工费用等构成的。
直接费用由材料费、人工费、施工机械 使用费等构成。由于所采用的施工方案 不同，它的费用差异很大。
1
4
5
6
15(5)
12(9)
正常
最短
9.2(10.7) 3
7(4)
6.5(7.5) 持续
10(5)
时间
持续 时间
（１）按工作正常持续时间画出网络计 划，找出关键线路、工期、总费用；
工期T＝37天
总费用＝直接费用＋间接费用 ＝（7.0＋9.2＋5.5＋11.8＋6.5＋8.4）＋14.1 =62.5万元
3.费用优化的方法与步骤
（１）画出网络计划，求出关键线路、工期、 总费用；
（２）计算各工作的成本斜率ΔCｉ－ｊ （３）压缩工期；
（４）计算压缩后的总费用：
CTCTCijTij 间接费 T用 ij
（５）重复３、４步骤，直至总费用最低。
压缩工期时注意事项
压缩关键工作的持续时间； 不能把关键工作压缩成非关键工作； 选择直接费用率或其组合（同时压缩 几项关键工作时）最低的关键工作进 行压缩，且其值应≤间接费率。
由于将某项作业时间缩短到比正常时间短， 此时所用的成本往往会比正常成本高，达到 赶工点时，其成本最高。
直接成本与作业时间的关系为一曲线， 接近于赶工点与正常点的连线，该连线 的斜率，其意义是每缩短一个单位时间 所需增加的费用。
计算公式为：成本斜率＝（赶工成本-正 常成本）/（正常时间-赶工时间）
一级建造师项目管理网络图计算讲解图文并茂有习题
习题与解答
总结词
提供一些关于网络图计算的习题，并给出详细的解答过程。
详细描述
给出几个关于网络图计算的习题，包括计算时间参数、确定关键路径和总时差等。然后逐一给出详细的解答过程， 并解释每一步的思路和计算方法。
04 网络图计算软件应用
软件选择与使用
01
02
03
选择合适的软件
根据项目需求和资源，选 择适合的网络图计算软件， 如Microsoft Project、 Primavera P6等。
风险监控与调整
在网络图计算过程中，对已识别的风险进行实时监控，并根据实际 情况调整风险管理策略。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
逻辑关系时，如工作之 间的先后关系，容易出现判断错误。
VS
详细描述
逻辑关系判断错误可能是由于对工艺流程 的理解不准确，或者在绘制网络图时出现 错误。解决这个问题的方法是仔细理解工 艺流程，并确保网络图的绘制正确。
工艺关系理解不准确
总结词
在理解网络图的工艺关系时，如工作之间的 衔接方式，容易出现理解不准确的情况。
一级建造师项目管理网络图计算讲 解
目录
• 网络图计算基础 • 网络图计算方法 • 网络图计算实例 • 网络图计算软件应用 • 网络图计算常见问题与解决 • 网络图计算在项目管理中的实际应用
01 网络图计算基础
节点与箭线
节点
表示一项工作的开始和结束，用 圆圈表示。
箭线
表示工作之间的逻辑关系或工艺 关系，用带箭头的直线表示。
复杂实例解析
总结词
通过一个复杂的网络图计算实例，介绍如何处理网络图中的 各种复杂情况，如搭接关系、并行工作等。
工程网络图时间参数最简单计算方法
不要死记，只要你学会英文，就能迅速帮你记住它们。
合计机动
EarlyStartEarlyFinishTatalizeFree
ESEFTF
简写为
LateStartLateFinishFreeFree
自由有“机动”含义
LSLFFF
，我的方法一定得是上图所示格式位置，这样才能计算出正确结
是“12”，我告诉你们“逆迁徙”的游戏要求从“12”、“10”中
选最小值，顺便再在其左边格子中填入“4”、“5”、“4”；同理
③---①、④---①中填入“4”、“4”，顺便算出“0”、“2”，“逆
迁徙”的游戏结束。
通过这种方式可以求出ES、EF、LS、LF，“正漂移”时把最大
的数值“漂”过去；“逆迁徙”时把最小的“迁”过去。这跟玩
关键工作。
3、通过时间参数的计算，可以明确各项工作的机动时间。
4、网络计划可以利用电子计算机进行计算优化、调整。
由于网络图有上述优点，因此得到普遍应用。
大家在大学里可能学过相关知识，但由于未经常性使用，
就又忘掉了。即便没忘，也可能不会在具体的工程中使用，
通过这次讲座，起到抛砖引玉的作用，学员参加注册监理工
①③
4
⑤⑦
53
LSLFFF
2410 15
410
④
⑥
265
“15”紧挨着的左边的格子既是：15－5＝10，15－3＝12，
15－5＝10，将其相应填入，继续“逆行”，②---①、③---⑤、
⑥---④“LF”位的格子中应该填入“10”、“10”、“10”，大家不
明白的地方时③---⑤，“LE”位的格子中为什么填入“10”而不