控制系统工程案例分析-机器人技术(第三章-机器人动力学)
机器人运动学和动力学分析及控制
机器人运动学和动力学分析及控制引言随着科技的不断进步，机器人在工业、医疗、军事等领域发挥着越来越重要的作用。
而机器人的运动学和动力学是支撑其运动和控制的重要理论基础。
本文将围绕机器人运动学和动力学的分析及控制展开讨论，探究其原理与应用。
一、机器人运动学分析1. 关节坐标和笛卡尔坐标系机器人运动学主要涉及的两种坐标系为关节坐标系和笛卡尔坐标系。
关节坐标系描述机器人每个关节的转动，而笛卡尔坐标系则描述机器人末端执行器在三维空间中的位置和姿态。
2. 正运动学和逆运动学正运动学问题是指已知机器人每个关节的位置和姿态，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
逆运动学问题则是已知机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人每个关节的位置和姿态。
解决机器人正逆运动学问题对于实现精确控制非常重要。
3. DH参数建模DH参数建模是机器人运动学分析中的重要方法。
它基于丹尼尔贝维特-哈特伯格(Denavit-Hartenberg, DH)方法，将机器人的每个关节看作旋转和平移运动的连续组合。
通过矩阵变换，可以得到机器人各个关节之间的位置和姿态关系。
二、机器人动力学分析1. 动力学基本理论机器人动力学研究的是机器人在力、力矩作用下的运动学规律。
通过牛顿-欧拉方法或拉格朗日方程，可以建立机器人的动力学模型。
动力学模型包括质量、惯性、重力、摩擦等因素的综合考虑，能够描述机器人在力学环境中的行为。
2. 关节力和末端力机器人动力学分析中的重要问题之一是求解机器人各个关节的力。
关节力是指作用在机器人各个关节上的力和力矩，它对于机器人的稳定性和安全性具有重要意义。
另一个重要问题是求解末端执行器的力，这关系到机器人在任务执行过程中是否能够对外界环境施加合适的力。
3. 动力学参数辨识为了建立精确的机器人动力学模型，需要准确测量机器人的动力学参数。
动力学参数包括质量、惯性、摩擦等因素。
动力学参数辨识是通过实验方法，对机器人的动力学参数进行测量和估计的过程。
1机器人动力学拉格朗日方程
例2：如图所示为两杆平面机器人，为 了简单起见，我们假设每个杆件的质量集
中于杆件的前尾部，其大小为m1和m2。
解：每个杆件的质量中心 矢量为：
Pc1 l1Xˆ1, Pc2 l2 Xˆ 2
由于点质量假设， 每个杆件相对质心的惯 性张量为零，即：
Ic1 0, Ic2 0
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
系统拉格朗日方程为：
Qi
d dt
L q&i
L qi
i 1, 2,...n
式中： n ——系统的广义坐标数
qi ——第i个广义坐标
qi ——第i个广义速度
Qi ——作用在第i个广义坐标上的广义
速度分量为： x2 l1sin11 l2sin (1 2 )(1 2 )
y2 l1cos11 l2cos(1 2 )(1 2 )
则质量M2的速度平方为：
x22 y22 （l1sin11 l2sin (1 2 )(1 2 )）2
作用在关节上的广义力为：
Qi
n j i
k
j 1
Trace
Tj qk
Hj
TjT qi
q&&k Iai
q&&i
n
j i
k
j 1
j
Trace
m1
2T j qk qm
Hj
TjT qi
q&k q&m
n
j i
L
2
机器人控制中的力学和动力学分析
机器人控制中的力学和动力学分析随着科技的不断发展和进步，机器人控制已经成为了现代工业生产和科学研究领域中非常重要的一部分。
机器人的控制需要进行力学和动力学的分析，而这也是机器人控制中最为关键的一步。
在本文中，我们将会探究机器人控制中的力学和动力学分析，以及它对机器人控制的重要性。
一、机器人控制中的力学分析在机器人控制中，力学分析是非常关键的一个步骤。
它主要研究机器人在运动过程中所产生的力的大小、方向、作用点以及分布情况等。
力学分析还可以用来确定机器人的轨迹、加速度、速度和位移等物理量。
力学分析是机器人控制中最为基础的一部分。
在力学分析中，我们需要对机器人的各个零部件进行研究和分析，例如机械臂、传感器和执行机构等。
在这个过程中，我们需要研究机器人所受到的各种力和力矩，以及机器人运动所产生的各种力学变量。
通过这些分析，我们可以得出机器人的工作状态、工作可靠性和工作效率等方面的数据。
二、机器人控制中的动力学分析与力学分析相比，机器人控制中的动力学分析则更加复杂和深奥。
动力学分析主要研究机器人在运动过程中所产生的力和加速度，以及机器人的动态特性和运动规律等。
动力学分析不仅需要考虑机器人的运动学特性，还需要考虑机器人的惯性和运动引起的所产生的力。
在动力学分析中，我们需要对机器人的所有零部件进行力学分析，包括驱动器、电机、传动系统和机械臂等。
我们还需要对机器人的动态特性进行研究，例如机器人的惯性、转动惯量和质心位置等。
通过这些分析，我们可以得出机器人的动态方程，进而预测机器人的运动规律和运动速度等信息。
三、机器人控制中力学和动力学分析的重要性在机器人控制中，力学和动力学分析是非常重要的一部分。
通过力学和动力学分析，我们可以了解机器人的工作状态、工作可靠性和工作效率等方面的数据。
同时，力学和动力学分析可以帮助我们预测机器人的运动规律和运动速度等信息，从而优化机器人的运动控制。
在机器人的工作过程中，由于机器人所受到的各种力和力矩的不同，机器人的零部件和传动系统也会出现不同程度的磨损和老化。
机器人动力学PPT课件
表示E成k (q：, q)
Ek
(q,
q)
1 2
qT
D(q)q
式中， D(q是)nxn阶的机器人惯性矩阵
13
3．机器人系统势能
设连杆i的势能为 ，Ep连i 杆i的质心在O坐标系中的位置矢 量为 ，重pc力i 加速度矢量在坐标系中为g，则：
Epi mi gT pci
机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即：
？简述用拉格朗日方法建立 机器人动力学方程的步骤。
28
2019/10/18
29
dt q q q
16
[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯 量矩阵为：
Ixx1 0 0
1 I1
0
I yy1
i
0 0 Izz1
Ixx2 0 0
2 I2
0
I yy2
i
0 0 Izz2
4
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最 优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中需根 据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负载大小 进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算 设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和 路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要 以机器人动力学模型为基础。
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
机器人控制系统中的动力学建模与控制算法
机器人控制系统中的动力学建模与控制算法机器人控制系统是指利用计算机技术和相关算法对机器人完成任务进行控制和指导的一种系统。
动力学建模与控制算法是机器人控制系统中的重要组成部分，它们对机器人的运动特性和动作执行起着关键作用。
动力学建模是通过对机器人的力学特性和运动学关系进行建模，以描述机器人在不同条件下的运动规律和行为。
在机器人控制系统中，动力学建模主要包括刚体动力学建模和非刚体动力学建模两个方面。
刚体动力学建模主要研究机器人在理想刚性条件下的力学特性和运动学关系。
它基于牛顿运动定律，通过描述机器人的质量、惯性、力矩等参数，建立起机器人的动力学模型。
刚体动力学建模可以帮助我们分析机器人的惯性特征、力矩传递以及运动轨迹规划等方面的问题，为后续控制算法的设计提供基础。
非刚体动力学建模主要研究机器人在非刚性条件下的变形特性和运动规律。
这种情况下，机器人的构件或材料可能存在弹性变形、稳定性问题等。
非刚体动力学建模要考虑机器人的柔顺性、弹性劲度等因素，从而更准确地反映机器人的运动行为。
动力学建模的目的是为了深入了解机器人的运动特性，为后续的控制算法设计提供准确的模型和参考。
在机器人控制系统中，动力学建模是实现精确控制的基础。
控制算法是机器人控制系统的关键组成部分，可以分为开环控制和闭环控制两种形式。
开环控制是指在不考虑外部环境变化的情况下，通过预先确定的轨迹和动作参数，直接控制机器人的运动。
开环控制无法根据实时反馈信息进行调整，容易受到噪声、摩擦等因素的影响，因此在实际应用中较少使用。
闭环控制是指根据机器人在执行任务过程中实时反馈的信息，通过比较实际状态和期望状态的差异来调节机器人的动作。
闭环控制通过不断修正控制命令，使机器人能够适应环境变化和误差修正，并实现更精确的控制效果。
闭环控制算法常用的有PID控制算法、自适应控制算法、模糊控制算法等。
PID控制算法是最常用和经典的闭环控制算法之一。
它根据实时误差信号的比例、积分和微分项来调整控制命令，以实现机器人位置、速度或力矩的精确控制。
机器人技术及应用-机器人控制系统举例
机器人技术及应用-机器人控制系统举例机器人技术及应用机器人控制系统举例在当今科技飞速发展的时代，机器人已经成为了我们生活和生产中不可或缺的一部分。
从工业制造中的自动化生产线，到医疗领域的手术机器人，再到家庭服务中的智能机器人，机器人的应用范围越来越广泛。
而机器人能够如此高效、精准地完成各种任务，离不开其核心的控制系统。
机器人控制系统就像是机器人的“大脑”，它负责指挥机器人的动作、感知环境、处理信息以及做出决策。
一个优秀的机器人控制系统能够使机器人更加灵活、智能和可靠，从而更好地满足各种应用需求。
接下来，让我们通过几个具体的例子来深入了解一下机器人控制系统。
首先，我们来看工业机器人中的控制系统。
以汽车生产线上的焊接机器人为例，它需要在快速移动的同时，精确地将焊点焊接在指定的位置上，并且要保证焊接的质量和稳定性。
为了实现这一目标，其控制系统通常采用了高精度的运动控制算法和传感器反馈技术。
在运动控制方面，控制系统会根据预设的焊接路径和速度，计算出机器人各个关节的运动轨迹和速度指令。
通过精确控制电机的转速和转角，实现机器人手臂的平稳、快速运动。
同时，为了应对生产过程中的各种不确定性因素，如工件的尺寸偏差、装配误差等，控制系统还会实时监测机器人的实际位置和姿态，并与预设值进行比较，通过反馈控制算法对运动指令进行调整，以确保焊接的精度和质量。
在传感器方面，焊接机器人通常配备了激光测距传感器、视觉传感器等设备，用于感知工件的位置、形状和焊缝的特征。
这些传感器采集到的数据会实时传输给控制系统，控制系统经过处理和分析后，能够根据实际情况对焊接参数进行优化，例如调整焊接电流、电压和焊接时间等，从而提高焊接的效率和质量。
除了工业机器人，服务机器人中的控制系统也有着独特的特点和应用。
以家用扫地机器人为例，它需要在复杂的家庭环境中自主移动、避开障碍物，并完成清扫任务。
扫地机器人的控制系统通常采用了基于地图构建和路径规划的算法。
机器人应用中的动力学与控制技术研究
机器人应用中的动力学与控制技术研究机器人是人工智能领域的一个热门研究方向。
随着科技的不断发展，机器人已经广泛应用于制造业、医疗等领域。
在这些应用中，机器人的动力学与控制技术是非常重要的，它关系到机器人的精度、效率等方面。
本文将对机器人应用中的动力学与控制技术进行探讨。
一、机器人动力学机器人动力学主要研究机器人在运动过程中的力学特性。
它包括机器人的运动学、动力学和控制等方面。
在机器人应用中，动力学是机器人能否完成任务的关键。
机器人运动学是指描述机器人运动的数学模型。
在运动学中，常用的参数有位置、速度和加速度等。
机器人的运动学一般分为正运动学和逆运动学，正运动学是通过力学方程和几何关系求解机器人的位姿。
而逆运动学是给定机器人的位姿，求解所需关节角度和长度等参数。
机器人动力学是研究机器人运动中的力学特性。
它主要涉及机器人的惯性、质量、力学参数等。
机器人动力学可以根据机器人的运动学模型建立动力学模型，通过动力学模型来研究机器人在运动过程中的各种现象。
为了保证机器人在运动过程中的精度和稳定性，机器人动力学需要应用到机器人控制技术中。
二、机器人控制技术机器人控制技术是指对机器人进行控制的方法和技术。
机器人控制技术可分为开环控制和闭环控制。
开环控制是一种简单的控制方式，它只是根据规定的输入信号来控制机器人的动作，没有反馈控制的过程。
这种控制方式适用于一些简单的操作，如拾取、移动等。
闭环控制是一种更为复杂的控制方式，它需要通过测量机器人的输出信号来调整机器人的输入信号，从而使机器人达到所需的控制目标。
闭环控制通常可以通过PID控制算法实现。
PID控制算法是一种基于误差的控制算法，其输出信号根据目标值与实际值的差异来调整机器人的输入信号。
机器人控制技术是机器人应用中的关键技术。
在机器人应用中，控制技术不仅决定了机器人的性能和精度，也影响了机器人的应用场景和效率。
因此，机器人的控制技术也需要结合机器人的动力学来进行优化。
机器人学基础机器人动力学蔡自兴课件
contents
目录
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学建模 • 机器人运动学与动力学关系 • 机器人动力学仿真与实验验证 • 机器人动力学在智能控制中应用 • 总结与展望
01
机器人动力学概述
机器人动力学定义 01 02
机器人动力学研究内容01源自动力学建模机器人运动学与动力学关系分析
运动学方程与动力学方程的关系
运动学方程描述了机器人的运动学特性，而动力学方程描述了机器人的动态特性，两者相互关联，共同决定了机 器人的运动行为。
运动学参数对动力学性能的影响
机器人的运动学参数，如连杆长度、关节角度范围等，对机器人的动力学性能有重要影响，如惯性、刚度等。
基于运动学的机器人动力学控制策略
仿真结果展示与分析
轨迹跟踪性能
01
动态响应特性
02
关节力矩变化
03
实验验证方案设计与实施
实验平台搭建 实验参数设置 数据采集与分析
05
机器人动力学在智能控制中应用
智能控制算法在机器人动力学中应用
模糊控制
01
神经网络控制
02
遗传算法优化
03
基于深度学习的机器人动力学控制策略
深度学习模型构建 数据驱动控制 自适应控制
基于运动学的轨迹规划
基于动力学的控制策略
04
机器人动力学仿真与实验验证
机器人动力学仿真方法介绍
动力学模型建立
根据拉格朗日方程或牛顿-欧拉方程，建立机器 人的动力学模型。
仿真软件选择
选择MATLAB/Simulink、ADAMS等仿真软件 进行动力学仿真。
参数设置与初始条件
设定机器人的物理参数、运动范围、初始状态等。
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x
θ1
m2
图3.1 两连杆的机械手
3. 2. 1 动能和势能 ( The Kinetic and Potential Energy )
动能的一般表达式为 K =
1 2 mv ，质量m1的动能可直接写出 2
K
1
1 = m 1 d 1 2ϑ 1 2 2
(3.3)
势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ写出
第三章 动力学
Chapter Ⅲ Dynamics
3.1 引言 3.2 拉格朗日力学 3.3 机械手的动力学方程
3.1 引言 ( Introduction )
动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究机 械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是一种 复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特 性。由于拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动 力学方程，本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学 问题。本章的主要内容如下： 运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程； 介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤； 推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程。
p 2 = − m 2 gd 1Cos (ϑ1 ) − m 2 gd 2 Cos (ϑ1 + ϑ 2 )
(3.11)
3. 2. 2 拉格朗日算子 ( The Lagrangian ) 拉格朗日算子 L = K – P 可根据式(3.3)、(3.4)、(3.10)和(3.11)求得
L = 1 1 ( m 1 + m 2 ) d 1 2ϑ 1 2 + m 2 d 2 2 (ϑ 1 2 + 2 ϑ 1 2 ϑ 2 2 + ϑ 2 2 ) 2 2
速度的直角坐标分量为
x 2 = d 1 Cos (ϑ 1 )ϑ 1 + d 2 Cos (ϑ 1 + ϑ 2 )( ϑ 1 + ϑ 2 )
(3.7)
y 2 = d 1 Sin (ϑ 1 )ϑ 1 + d 2 Sin (ϑ 1 + ϑ 2 )( ϑ 1 + ϑ 2 )
速度平方的值为
(3.8)
V 2 = d 1 ϑ 1 + d 1 (ϑ1 + 2ϑ1 ϑ 2 + ϑ 2 )
2 2 2 2 2 2 2 2
+ 2 d1d 2 Cos (ϑ1 ) Cos (ϑ1 + ϑ 2 )(ϑ12 + ϑ1ϑ 2 )
+ 2 d 1 d 2 Sin (ϑ1 ) Sin (ϑ1 + ϑ 2 )(ϑ1 + ϑ1ϑ 2 )
2
= d 1 ϑ1 + d 1 (ϑ1 + 2ϑ1 ϑ 2 + ϑ 2 ) + 2 d 1 d 2 Cos (ϑ 2 )(ϑ1 + ϑ1ϑ 2 )
哥氏力系数 D112 = D121 = - m2 d1 d2 sin(θ2 ) D212 = D221 = 0 重力项 D1 = (m1 + m2) g d1 sin(θ1 ) + m2 g d2 sin(θ1 +θ2 ) D2 = m2 g d2 sin(θ1 +θ2 ) (3.32) (3.33) (3.30) (3.31)
+ [ m 2 d 2 2 + m 2 d 1 d 2 Cos (ϑ 2 )]ϑ 2
− 2 m 2 d 1 d 2 Sin (ϑ 2 )ϑ 1ϑ 2 − m 2 d 1 d 2 Sin (ϑ 2 )ϑ 2
2
（3.14）
∂L = − ( m 1 + m 2 ) gd 1 Sin (ϑ 1 ) − m 2 gd 2 Sin (ϑ 1 + ϑ 2 ) ∂ϑ1
− 2 m 2 d 1 d 2 Sin (ϑ 2 )ϑ 1ϑ 2 − m 2 d 1 d 2 Sin (ϑ 2 )ϑ 2
2
+ ( m 1 + m 2 ) gd 1 Sin (ϑ 1 ) − m 2 gd 2 Sin (ϑ 1 + ϑ 2 )
（3.16）
用拉格朗日算子对 2和ϑ2 求偏微分，进而得到关节2的力矩方程 ϑ
D22 4 4 4 4
IL 18 10 2 10
If 2 3 2 3
180 270
表3.3 m1 = 2， m2 = 100，d1 = 1，d2 = 1
θ2
0
Cosθ2 1 0 -1 0
D11 402 202 2 202
D12 200 100 0 100
D22 100 100 100 100
∂L 2 2 = m 2 d 2 ϑ 1 + m 2 d 2 ϑ 2 + m 2 d 1 d 2 Cos ( ϑ 2 ) ϑ 1 ∂ϑ 2
d ∂L 2 2 = m 2 d 2 ϑ 1 + m 2 d 2 ϑ 2 + m 2 d 1 d 2 Cos (ϑ 2 )ϑ 1 dt ∂ ϑ 2
(3.17)
− m 2 d 1 d 2 Sin ( ϑ 2 ) ϑ 1ϑ 2
p1 = − m1 gd 1Cos (ϑ1 )
分，以便得到速度
(3.4)
对于质量m2，由图3.1，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微
x2 = d1Sin (ϑ1 ) + d 2 Sin (ϑ1 + ϑ2 )
y2 = − d1Cos (ϑ1 ) − d 2Cos (ϑ1 + ϑ2 )
(3.5) (3.6)
2 2 2 2 2 2 2 2
(3.9)
从而动能为
K
2
=
1 1 m 2 d 1 2ϑ 1 2 + m 2 d 2 2 (ϑ 1 2 + 2 ϑ 1 2 ϑ 2 2 + ϑ 2 2 ) 2 2
+ m 2 d 1 d 2 Cos ( ϑ 2 )( ϑ 1 + ϑ 1ϑ 2 )
2
(3.10)
质量的高度由式(3.3)表示，从而势能就是
∂L 2 = − m 2 d 1 d 2 Sin (ϑ 2 ) ϑ 1 + ϑ 1ϑ 2 − m 2 gd 2 Sin (ϑ 1 + ϑ 2 ) ∂ϑ 2
(3.18)
(
)
(3.19)
于是关节2的力矩为
T2 = [m 2d
2 2
+ m 2 d 1 d 2 Cos ( ϑ 2 )] ϑ 1 + m 2 d
2 2
ϑ
2
2 + m 2 d 1 d 2 Sin ( ϑ 2 ) ϑ 1 + m 2 gd 2 Sin (ϑ 1 + ϑ 2 )
（3.20）
将式(3.16)和(3.20）重写为如下形式
T1 = D11ϑ1 + D12ϑ 2 + D111ϑ1 + D122 ϑ 2 + D112 ϑ1ϑ 2 + D121ϑ 2ϑ1 + D1 （3.21）
θ2
Cosθ2 1 0 -1 0
D11 3 4 2 4
D12 2 1 0 1
D22 1 1 1 1
IL 3 4 2 4
If 2 3 2 3
0
90
180
270
表3.2 m1 = 2 ，m2 = 4 ，d1 = 1，d2 = 1
θ2
0
90
Cosθ2 1 0 -1 0
D11 18 10 2 10
D12 8 4 0 4
0 下面给两连杆机械手赋予具体数值，并且对于静止状态（ ϑ 1 = ϑ 2 = ）和 在无重力环境中的机械手求解方程(3.21)和(3.22)。求解在下列两种条件下进 0 行: 关节2处于锁定状态（ ϑ 2 =）；关节2处于自由状态（T2 = 0）。在第一种
条件下, 方程(3.21)和(3.22)简化为
∂L = ( m 1 + m 2 ) d 1 2ϑ 1 2 + m 2 d 2 2ϑ 1 2 + m 2 d 2 2ϑ 2 2 ∂ ϑ1
+ 2 m 2 d 1 d 2 Cos (ϑ 2 )ϑ 1 + m 2 d 1 d 2 Cos (ϑ 2 )ϑ 2
（3.13）
d ∂L = [( m 1 + m 2 ) d 1 2 + m 2 d 2 2 + 2 m 2 d 1 d 2 Cos (ϑ 2 )] ϑ 1 dt ∂ ϑ 1
T 1 = D 11 ϑ 1
(3.34) (3.35)
T 2 = D 12 ϑ 1
在第二种条件下，T2 = 0 ，我们可以由方程(3.22)解出 ϑ2 ，再把它代入方 程(3.21)，得到T1
T 2 = D 12 ϑ 1 + D 22 ϑ 2 = 0
于是
ϑ2 = −
D 12 ϑ1 D 22
代入方程(3.21)有
2 2
T2 = D12ϑ1 + D 22ϑ 2 + D 211ϑ1 + D 222 ϑ 2 + D 212 ϑ1ϑ 2 + D 221ϑ 2ϑ1 + D 2 （3.22）
2 2
在方程（3.21）和（3.22）中各项系数 D 的含义如下： Dii — 关节 i 的等效惯量（Effective inertia）系数 关节 i 的加速度使关节 i 产生的力矩 D ii ϑ i Dij — 关节 i 与关节 j 之间的耦合惯量（Coupling inertia）系数 关节 i 或关节 j 的加速度分别使关节 j 或 i 产生的力矩 Dijϑi 和 Dijϑ j Dijj —向心力（Centripetal force）系数 关节 j 的速度产生的作用在关节 i 上的向心力 Dijjϑ j Dijk —哥氏力（ Coriolis force）系数 关节 j 和关节 k 的速度作用在关节 i 上的复合向心力 Dijk ϑ jϑ k + Dijk ϑ kϑ j Di — 作用在关节 i 上的重力（Gravity）