弧微分与曲率
弧微分与曲率
弧微分与曲率
圆弧微分是一种应用微积分的技术，是计算曲线的斜率的一种方法。
它用于确定曲线的方向和变化率，也用于衡量曲线的曲率。
曲率是指曲线的弯曲程度，反映曲线的“弯曲程度”。
圆弧微分法是计算曲线曲率的一种方法。
它使用微分以计算曲线上任意两点之间的斜率，从而计算出曲线的曲率。
圆弧微分法可以用于计算曲线的曲率，也可以用于计算曲线上任意点的曲率值。
它可以用来识别曲线上的拐点和拐点的方向，也可以用来研究曲线的形状特征，从而为更深入的分析提供理论支持。
圆弧微分法可以用于解决各种物理问题，比如计算表面的曲率，比如研究复变函数在某点的曲率，也可以用来研究物体的运动轨迹和轨迹的曲率，甚至可以用来研究天体运行的轨道。
圆弧微分是一种有用的数学技术，可以帮助我们更深入地了解曲线的特性，可以用来解决实际问题，也可以用于研究复杂的物理问题。
它的应用可以为科学研究提供强大的支持，为工程设计提供有效的解决方案，也为科技发展做出重要贡献。
弧微分与曲率
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
K d
ds
又 故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 K y
注:参数方程下曲率的计算
设
x y
2
(
x
)2
x
(y
2
)2
MN MN
2
1
(y)2
x 2
s x
MN MN
2
1
(y)2
x2
N T
x x x
当x 0时, N M
lim
NM
MN MN
2
K
2 (1 4x2 )3/ 2
,
1 K
(1 4x2 )3/ 2 2
.
在点(0, 0),
Kmax
2,
min
1. 2
y
随着曲线 y x2
O2
自原点逐渐上升 (| x | 增大),
K 逐渐减小， 逐渐增大.
O1
A
O
y x2
x
求 y x2 的最小曲率半径时的曲率圆的方程.
下面求 s s( x) 的导数与微分
设N ( x x, y y)为曲线 上的另一点, s MN
y AM
s 2 x
MN x
2
MN MN
2
MN x
7.弧微分与平面曲线的曲率
1
,
19
三、曲率圆与曲率半径
曲率是表示曲线在一点 附近的弯曲程度的一 个数字特征.当给定曲线在某一点的 曲率，比如说 1 K ，我们还是不能很直观 地想象到曲线弯曲 3 的形象.但是，如果告诉我们某 一个圆的曲率为 1 1 K ，就可以由这个圆的半 径R 3而直观 3 K 地想象出他的弯曲形象 .因此要用具有相同曲率 的 圆来进一步刻画曲线在 某一点的弯曲程度.
2 由于ds 1 y dx , 所以
14
d K ds
y dx 2 1 y 1 y dx
2
y
y (1 y )
2 3 2
y' ' K (1 y'2 )3 2
o
曲线 C
M'
s
M0 s
M
x
15
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ), dy ( t ) d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) , . 2 3 dx ( t ) dx (t )
圆的弯曲程度处处相同 s 1 r s r 1 K r 圆的半径越小,K越大,圆弯 曲得越厉害.
s
M
13
下面推导曲率的计算公式. y 设 y f ( x ) 二阶可导,
曲线 C
M'
由导数的几何意义可知 ， s tan y' M0 s M arctan y' o x y d (arctany )dx dx 2 1 y
长度之比的极限等于 1，即 MN li m 1 x 0 MN
2 2
曲线的弧微分与曲率半径
曲线的弧微分与曲率半径弧微分和曲率半径是微分几何中经常遇到的概念，它们可以帮助我们研究曲线的特性和性质。
在曲线上，弧微分是描述曲线长度的微小增量，而曲率半径则是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
本文将详细介绍曲线的弧微分和曲率半径的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
首先，我们来定义曲线的弧微分和曲率半径。
对于平面曲线上的一小段弧长 ds，它的微分 ds 称为弧微分。
弧微分是描述曲线长度的微小增量，可以用微积分中的微分概念来解释。
曲线的弧微分可以表示为ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt，其中 dx 和 dy 分别是曲线上一点的横纵坐标的微分，dt 是曲线参数 t 的微分。
曲率半径是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
在平面曲线上，曲率半径可以定义为两个单位切向量之间的夹角的倒数。
具体来说，单位切向量是指切线方向的单位向量，可以表示为 T = (dx/ds, dy/ds)，其中 dx 和 dy 是曲线在某一点的坐标变化，ds 是曲线弧长的微小增量。
曲率半径可以表示为曲率半径R = 1/κ，其中κ 是曲率，即曲线在某一点上的弯曲程度。
曲率可以用公式κ = |dT/ds| 来计算，其中 dT/ds 是单位切向量的变化率。
接下来，我们将探讨如何计算曲线的弧微分和曲率半径。
对于给定的曲线方程 y = f(x)，我们可以通过对参数 t 的选取来得到参数方程 x = g(t) 和 y = h(t)。
在这个参数方程中，参数 t 通常是曲线上的弧长。
我们可以使用微分几何的知识来计算曲线的弧微分和曲率半径。
首先，我们计算曲线的弧微分。
根据曲线的参数方程，dx/dt = g'(t)和 dy/dt = h'(t)。
代入弧微分的定义公式，我们可以得到ds = √[(dx/dt)²+ (dy/dt)²] dt = √[g'(t)² + h'(t)²] dt。
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
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7
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
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5
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r1
，
1 K
．
r K 高校教育精品PPT
11
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
Dx0 | MM | M M | MM |
曲率
§6 曲 率
弧微分 曲率
曲率半径、曲率圆、曲率中心
导数的另一方面的应用——研究曲线的弯曲程度。 梁或轴因受外力作用而弯曲变形，火车转弯时， 为了安全，需要了解铁轨在弯道处的情况等等。
曲率
曲线弯曲的程度
例如，铁轨的曲率就是个关键问题：
一. 弧微分
1. 曲线方程：y f ( x )
y
单调增函数
s s( x ).
A
M
N T R
设 M ( x , y ), N ( x x , y y ), 如图，
MN 2 (x )2 (y )2
( MN ) y 2 1 ( x ) x
2 2
o
x0
x
x x
x
当 x 充分小时，如果 f ( x ) 具有连续导数，可用弧 长代替弦长，
3a 2 (1 cos ) K 2 2a 3 (1 cos )3/2
3 2 . 4a 1 cos
例7. 求椭圆
在何处曲率最大?
a sin t ; 解: x y b cos t ;
故曲率为
x a cos t y b sin t
3 2 2
.
b 显然, 当x 时, k最大 . 2a b b2 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
例4. 设函数 y y( x ) 有二阶导数，证明曲线 y y( x ) d sin 在点 M 处的曲率为 ，其中 是曲线在点 dx M 处的切线的倾角； 证明： y tan , ( , ) 2 2 y sin y cos 1 y 2
曲率及其应用
MN MN MT NT 当x 0时,
AM x0 x
N T R
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
NT y dy 0, 故 ds 1 y2 dx . 弧微分公式
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例3 飞机沿抛物线 y x2
S
M M 切线转角为 .
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
2.曲率的计算公式
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
d
y 1 y2
t , 3 此时k 最大，
22
谢谢
返回
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
曲线的弧微分和曲率分析
曲线的弧微分和曲率分析曲线是我们日常生活中常见的概念，指的是由一系列的点或者坐标连接而成的连续性图形。
学习曲线是计算机科学、数学、物理、工程学等领域必须掌握的基础知识。
本文将介绍曲线的弧微分和曲率分析，让大家更深入理解曲线中的形态和特征。
一、弧微分在学习曲线之前，我们需要了解一下微积分中的概念：导数。
导数是描述一个函数在某点处变化率的概念，计算导数的过程就叫做微分。
对于曲线，由于它特殊的连续性，我们可以在不断微分的基础上得到它的弧长，进而求得弧微分。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，则曲线从 $a$ 到 $x$ 的长度为$L(x)=\int_a^x\sqrt{1+(f'(t))^2}dt$对 $L(x)$ 进行微分，即可求出弧微分 $\Delta s$：$$\Delta s=\sqrt{1+(f'(x))^2}\Delta x$$二、曲率分析曲率是描述曲线形态的重要指标，它的概念是指曲线在某一点处形成的圆的半径，半径越小曲线越弯曲，反之曲线越平滑。
计算曲率的过程就叫做曲率分析。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，曲线上某一点的坐标为$(x_0,f(x_0))$，则通过一系列的推导，可以得到它在该点处的曲率为：$$K(x_0)=\frac{|f''(x_0)|}{[1+(f'(x_0))^2]^{3/2}}$$在计算曲率时，需要首先求出曲线的二阶导数，也就是 $f''(x)$。
对于不同类型的曲线，计算曲率的方法略有不同，但其本质是类似的。
比如对于圆弧，由于其表现为标准的圆形，曲率计算非常简单。
三、弧微分和曲率的重要意义曲线的弧微分和曲率是描述曲线特征的重要概念，它们不仅在计算机科学、物理、工程学等领域有着广泛的应用，而且在医学影像、地理信息科学等人文领域也有着重要的应用。
通过对曲线特征的描述和分析，可以更好地理解曲线的形态和变化，从而为人们提供更好的分析和决策基础。
弧微分与曲率
弧微分与曲率
曲率与微分：弧微分是一种在几何和数学领域中应用较为广泛的一种数学工具。
它可用来计算曲线某点的曲率，以及曲率的变化。
广泛应用于几何学中的曲率的测试，问题的判定和弧长的求解，也用来解决实际物理现象中的曲率问题。
弧微分定义：弧微分定义为求取曲线某点的曲率的一种方法。
它根据构成曲线的函数参数以及两个极限值来计算曲线的曲率，曲率大小取决于参数和极限值的变化。
弧微分应用：弧微分在几何学，物理学，数学等诸多领域中都有应用，是几何学，机械工程及物理学中最常用的数学工具之一。
在几何学中，弧微分用来测试几何图形的曲率，计算曲面的曲率，用来求解弧长等等问题，是非常重要的几何计算工具。
在机械工程领域，弧微分可以用来计算运动轨迹及其变化，从而用于机械设计，航空、汽车和其他机械产品的开发。
在物理学中，弧微分被广泛用来解决各种曲率问题，如重力、磁场和电场等实际物理现象中曲率分布的研究。
总结：弧微分是在几何和数学领域中广泛应用的一种数学工具，它可以用来计算曲线某点的曲率，以及曲率的变化。
弧微分的应用范围很广，几何学，机械工程及物理学中各有其用。
它能够有效地解决几何图形的曲率，计算曲面的曲率，求解弧长等问题，并广泛用于解决实际物理现象中的曲率问题。
它是非常重要的几何数学工具，是研究几何曲率及其变化最为重要的数学工具。
简明微积分 曲率
| 2a2 |
x3
[1
(
a2 x2
)2
3
]
2
2a2 (x4
| x3 | , x4 ) 32
因此在点(a,a)处
K
|(a,a)
(a
2a 4
2a3 a4)
3 2
1. 2a
例5 试判定曲线(抛物线)y ax2 bx c上哪一点处 的曲率半径最小？
解 由 y ax2 bx c ,可得y 2ax b, y 2a.
ds
(1
y2
)
3 2
例2 求直线L上任意一点处的曲率. 解 不妨认为直线L的方程为y=ax+b.
可得 y a, y 0. 由曲率公式可知，直线上任意一点处的曲率K=0.
例3 求圆周 (x a)2 ( y b)2 R2 上任意一点处的 曲率.
解 设M(x,y)为圆周的任意一点，则由平面几何知 识可知
度都是 ，但弯曲的程度并不一样，短弧段比长
弧段弯曲得厉害.
曲线y=f(x)在点M(x,f(x))处切线的倾角 满足
y tan , arctan y,
因此
d
1
1 y2
ydx.
而弧长的微分 ds 1 y2dx ，因此，曲线y=f(x)在点 M(x,f(x))处的曲率为
K | d | | y | .
s R. 因此 K lim | | lim 1 1 .
s0 s x0 R R
即圆周上各点处的曲率相同，皆等于该圆半径的 倒数.
例4 求曲线xy a2 (a 0)在点(a,a)处的曲率.
解 由xy a2可得y a2 . x
y
a2 x2
,
y 2a2 , x3
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求此缓和曲线在其两个端点
处的曲率.
解: 当 x [0,l ]时,
y 1 x2 l 0 2 Rl 2 R
y 1 x Rl
K y 1 x Rl
显然
K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
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例3 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 弧长微分 ds 1 y2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:
x y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为 ds x2 y2 d t
y
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
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二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
第七节
第四章
弧微分与平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式
三、 曲率圆与曲率半径
M M M
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
s x
且
求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心
的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为 y
D( , )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
3
)2
K
y
, 满足方程组
(x )2 ( y )2 R2
y
x y
R
T
C
M (x, y)
o
x
(M (x, y)在曲率圆上 ) (DM MT )
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转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
tan y (设 )
2
2
得 arctan yd (arct Nhomakorabean y)dx
K d
ds
又 故曲率计算公式为
y
K
(1
y
2
)
3 2
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 K y
M M
M M
MM x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
MM
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
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ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
设0 b a , 则t 0 , , 2 时
y
f (t) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
b
这说明椭圆在点( a, 0) 处曲率 a
ax
最大.
b
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D( , )
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
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说明:
(1)
若曲线由参数方程
x y
x(t) y(t)
给出, 则
xy xy K ( x2 y2 )32
(2) 若曲线方程为 x ( y),则
x
K
(1
x
2
)
3 2
y
K
(1
y
2
)
3 2
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例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
CR
T
M (x, y)
DM R 1
o
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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设曲线方程为
求驻点:
f (t) 2a2 sin t cost 2bcost sin t (a2 b2)sin 2t
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f (t) (a2 b2)sin 2t
令 f (t) 0, 得 t 0, , , 3 , 2
22
计算驻点处的函数值:
t
02
3
2
2
f (t) b2 a2 b2 a2 b2
点击图中任意点动画开始或暂停
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
y
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a
2
sin
2
t
b2
cos
2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点
处的曲率.
点击图片任意处播放\暂停
说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
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例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x a sin t ; x a cost x表示对参
y b cost ; y bsin t
数 t 的导数
故曲率为
x y xy K ( x2 y2 )32
ab
(a
2
sin
2
t
b2
cos
2
t
)
3 2
K 最大
f (t) a2 sin2 t b2 cos2 t 最小
由此可得曲率中心公式
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
y
D( , )
C
R
T
M (x, y)
o
x
(注意 y 与 y异号 )
当点 M (x , y) 沿曲线
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
曲率中心公式可看成渐
屈线的参数方程(参数为x).