第13讲 函数的零点个数问题的求解方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】

一、方程的根与函数的零点

（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.

（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点.

（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有

0)()(

使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.

函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(

零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.

二、二分法

（1）二分法及步骤

对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(

第二步：求区间(,)a b 的中点1x .

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）

第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.

三、一元二次方程2

()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布

讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：

（1）a 的符号； （2）对称轴2b x a =-

的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.

四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入.

五、方法总结

函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.

【方法点评】

【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.

【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.

（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.

【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ． 7

【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点. ②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a -=-

+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点.

（ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a

-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点.