活用乘法公式巧解题
乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
例说乘法公式的活学活用
（ ） ６ ＝ （ 一 ６ 。 ２ ｂ ３ ｎ ＋ ： ｎ ＝ ）＋ ａ ； （ ） ｎ ６ （ 一 ６ ４ ｂ ４ （ ＋ ）～ 口 ）一 ａ．
一
丢㈣ ） （
一
—
【 ４ 已知（ 一． 。 ５ （ ＋ 。 ７求 ｘ 例 】 ｚ ｙ － ，ｚ ）－ ， ｙ的值． ）
【 ２ 计算 （＋１ （。 ）２＋１ （。 ） 例 】 ２ ） ２＋１ （ ） ２＋１．
分析 ： 因为 （—１ ＝ １ 所 以 ， ２ ）： ， ： 前面 配上 因式 （ —１ ２ ） 既不改变原式 的值又能连续运用平方差公式． 解： 原式一（ —１ （ ＋１ （ ）２ ＋１ （ ） ２ ）２ ） ２＋１ （ ） ２＋１
一
（ ｚ— ） 一 （ ＋ ） － ４ ｙ ｚ － ｘ
公式为基础 ， 能从 中看 到某 一公式 的“ 影子 ”这 时， ， 一
一 ５ 一 ４× ３ ＝ １． ３
般 的做法是把题 目进行适 当变形后套用公 式． 【 ０ 】 计算 （ 侈 １ ＋ ｚ ）（。 ）（ — ｚ ＋ ）．
［ｚ －ｙ） ＋ ） 用 掌握 了课 本 上 的几 个 公式 后 ， 注意 对公 式 进 行推
一（ －ｙ）
＝ － ２ ｘ Ｙ ＋ ．
广， 这样既深化了所 学知识 ， 又能为解 题带来很大 方便．
常见的推广公式有 ：
一
—
解 ：’ｚ ｙ ｚ ’（ ＋． 一（ — ）＝４ ｙ ． ） ｘ ，
且（ ｚ— ） 一 ５ （ ＋ ） ７ 。 ，ｚ 一 ，
２‘
（ 任编辑 责
金
铃）
８ ２ 中学教学参考 （ 上旬）２ １． ０ ０ ２总第 ４ ０期
Ｉ
(完整版)乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法公式 题型及拓展
乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，?x ?y ???y ?x ??x 2?y 2② 符号变化，??x ?y ???x ?y ????x ?2?y 2? x 2?y 2③ 指数变化，?x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4④ 系数变化，?2a ?b ??2a ?b ??4a 2?b 2⑤ 换式变化，?xy ??z ?m ???xy ??z ?m ????xy ?2??z ?m ?2?x 2y 2??z ?m ??z ?m ??x 2y 2??z 2?zm ?zm ?m 2??x 2y 2?z 2?2zm ?m 2⑥ 增项变化，?x ?y ?z ??x ?y ?z ???x ?y ?2?z 2??x ?y ??x ?y ??z 2?x 2?xy ?xy ?y 2?z 2?x 2?2xy ?y 2?z 2⑦ 连用公式变化，?x ?y ??x ?y ??x 2?y 2???x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4⑧ 逆用公式变化，?x ?y ?z ?2??x ?y ?z ?2???x ?y ?z ???x ?y ?z ????x ?y ?z ???x ?y ?z ???2x ??2y ?2z ???4xy ?4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法公式灵活运用
乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。
灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。
本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。
乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。
乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。
在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。
例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。
这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。
乘法公式还可以用于因数分解。
因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。
例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。
因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。
乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。
例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。
如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。
此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。
例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。
【例题讲解】活用乘法公式进行简便运算例完整版课件
再见
活用乘法公式进行简便运算
用平方差公式简算： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 例 计算： 2020×1980 = 3999600 （ a ＋ b ）（ a － b ）＝a2－b2
（ 2000 ＋ 20 ）（ 2000 － 20 ）＝ 20002－202
用完全平方公式简算： a2±2ab＋b2 ＝(a±b)2 例 计算： 20202﹣2×2020×2019＋20192 =1
a2 － 2 a b ＋ b2 ＝ （ a － b ）2
20202－ 2 ×2020×2019 ＋20192 ＝ （2020－2019）2 利用乘法公式进行巧算，关键是要熟悉平方差与完全平方式的结构特点，计算中注意观察 算式的特点．
例 用简便方法计算 （1）20202＋1100²0﹣202××1200×220020
例 用简便方法计算 （1）20202＋100﹣20×2020
(2-1) （2）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（232＋1）
分析 添加因式（2−1）
多次运用平方差公式进行计算
解 由平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2 的结构特点：可将式子前添加因式（2－1） 则原式＝（2−1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）， ＝（22−1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1） ＝（24−1）（，24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）， ＝（28−1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）， ＝（216−1）（216＋1）（232＋1）， ＝（232−1）（232＋1）＝264−1． 本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解题时注意观察算式的特点，必要时可 以添加因式凑乘法公式，尤其出现连乘的算式时，需要连续多次运用平方差公4＋1）…（232＋1）
专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧 公开课一等奖课件
技巧 1 巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab 的值．
解： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4，
所以a2＋b2＝ 1 ×(7＋4)＝ 1 ×11＝ 11 ，
ab＝
1
2
×(7－4)＝
1
2
×3＝
3
.
2
4
4
4
同类变式
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝ 100 （100＋1） 2
＝5 050.
技巧 3 巧用乘法公式解决整除问题
4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？
解： 对任意正整数n，整式(3n＋1)•(3n－1)－(3－n)
2．已知x＋
1 ＝3，求x4＋ x
1 x4
的值．
解：
因为x＋
1 x
＝3，所以（x＋
1 x
）2＝9，
活用乘法公式
∥ ４－ ＋＋１ ２ （＋１ ＋ ２ —＝ ） － 一
咒 。 戈
２ （ ２－ － ： Ｘ－２１ ＇ － ｔ
。
一２）－２ （ ２ ：【 ＋ ）－ ２ 一 ２ ］ ｚ
例 ４ 已知 一 ＋１ ， ＝０ 求 ＋ １的值．
分析 ： ２ ＋１ Ｘ一 ＝Ｏ是一个一元二次方程 ，
的．
分析 ： ０ １０×９ ＝ （ ９ ８ ９ ＋１ （ ９ ） ９ —１ ， ） 恰好 然 后使 用公 式计算 ，从而 达 到化难 为 易 的 目 可用平方差公式计算 ．
解 ：９ 。 ０ ９一１０×９ －９ （ ９ １ （ ９ ８ ９一 ９ ＋ ） ９ —
１） ９一 （ ９一 １） ． ＝９ ９ ＝１
９２ ｂ＋４ ａ－ ６— ４；
分析： 本题前面 的连乘 中后一个 因式恰好 是前一个 因式里 两个数 的平方 和 ， 针对 这一特
（） ３ 原式＝［ 一３ ） ＋３ ） ＝（ 一 （ ｙ （ ，】 ，２
＋８ ｙ； １４
６ 点， 只要在连乘 因式前面添上 因式 （ —１ ， ２ ） 即 ９ ）＝ １ ｘ一７
１） ２ 一 ．
＝
＝
解 ：（ ） １ 原式 ＝ （ 一３） ＋３） Ｘ＋９ （ （２ ）
（ 一９）（ ＋９） 。 ＝ 一８ ； １
（ ） 式 ＝［ａ￣（ －２ 】 口 （ 一２ ］ ２原 ３ － ｂ ）【 一 ｂ ） － ３
（ ０ 一 （ ３） ｂ一２） ＿ ａ 一 （ ４ ｍ９ ２ ｂ － ｂ＋４）＝
原 式 通过 变 形 后 再 运用 乘 法
公式进行计算 ． 其变形 如下 ： 第
１ 小题 利用乘法交换 律 ，两次
使用平 方差公 式计算 ； ２小 第
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活用乘法公式巧解题
乘法公式是整式乘法的重要内容之一，是解题的重要依据，包括平方差公式
()()22b a b a b a -=-+以及完全平方公式()2222b ab a b a +±=±.学好乘法公式,不仅为今后的学习打下坚实的基础,同时也能提高解题的速度和正确率.学习乘法公式的关键在于理解公式的结构特征，善于正向运用、逆向运用、变形运用，把握公式的内在联系.
一、正向应用
例1. 计算：2
(3)(3)(9)a a a +-+ 分析：
2(3)(3)(9)a a a +-+的前两项相结合可用平方差公式计算,其结果与2(9)a +相乘又可再用一次平方差公式.
解：222(3)(3)(9)(9)(9)a a a a a +-+=-+481a =-.
例2.试求2432(21)(21)(21)(21)1+++++的个位数字.
分析：经观察原式不符合公式的结构特征，不能运用公式进行计算，如果在原式的前面加一个因式(21)-，原式变形为：2432(21)(21)(21)(21)
(21)1-+++++，便可连续使用平方差公式.
解：2432(21)(21)(21)
(21)1+++++ =2432(21)(21)(21)(21)
(21)1-+++++ =22432(21)(21)(21)
(21)1-++++ =
=64(21)1-+=642=416(2)=1616
因此个位数字是6.
点评：解决这类题目时，先看式子的结构特征，如果不具备公式的特点就需要进行构造，在同一题目中，可以连续多次使用公式.
二、逆向应用
公式的逆向应用就是从左到右使用公式解决有关问题.
例3.计算：96
21-可以被60至70之间的哪两个整数整除?
分析：逆用两数的和乘以这两数的差的公式，将原式进行分解质因数.
解：9621-=4824848
(2)1(21)(21)-=-+
=482424(21)(21)(21)++-
=48241212(21)(21)(21)(21)+++-
=48241266(21)(21)(21)(21)(21)++++-
=482412(21)(21)(21)6563+++⨯⨯,
所以这两个整数为65和63.
例4.已知222214a b a b ab +++=,求a 、b 的值.
分析：222214a b a b ab +++=不符合公式的结构特征，不能直接运用公式求值.一般情况下，当一个等式中含有两个未知数，且未知数的最高次数是2时，要构造完全平方式，逆用完全平方公式，利用完全平方式的非负性解决问题.
解：因为222214a b a b ab +++=，所以2222140a b a b ab +++-=，
所以22222120a b ab a ab b -++-+=，
所以22(1)()0ab a b -+-=， 所以100ab a b -=⎧⎨-=⎩，所以11a b =⎧⎨=⎩
或11a b =-⎧⎨=-⎩. 点评：解决这类题目的关键是逆用公式，注意非负数的性质的应用.
三、变形应用
例5.已知12a a +
=，则221a a
+＝_______. 分析：将12a a +=两边平方，运用完全平方公式，可求出221a a +的值；还可将222()2a b a ab b +=++变形为222()2a b a b ab +=+-，利用变形公式求解.
解：解法一：∵12a a +
=,∴21()4a a +=,∴221124a a a a
+⋅⋅+=. ∴22124a a ++=，∴2212a a
+=. 解法二：221a a +=2211()2222a a a a +-⨯⨯=-=.
例6.已知2ab =，5a b +=，求下列各式的值:(1)22a b +；(2)2
()a b -. 分析：（1）由完全平方公式222()2a b a ab b +=++变形得：()ab b a b a 22
22-+=+.（2）由完全平方公式与平方差公式相结合得：22
()()4a b a b ab -=+-.
解：（1）()ab b a b a 2222-+=+=252225421-⨯=-=. （2）22
()()4a b a b ab -=+-=254225817-⨯=-=.
点评：解决这类题常用的方法：（1）运用公式将所求的代数式作适当变形，使其变为能用已知条件的形式；（2）将已知条件作恒等变形，使其变为待求的代数式的形式；（3）注意完全平方公式的变式的应用：2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+.。