异面直线所成角公开课课件
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高中数学必修二《异面直线所成的角》PPT
数学是思维的体操
异面直线在生活中处处可见
《异面直线的自白》
我们是异面直线 不能平行亦无法相交 不曾有过交集 不能仰望同一片蓝天 无论如何努力地伸长臂膀 也无法交握我们的双手
2.1.2 异面直线所成的角(2)
探究一：异面直线所成的角的概念
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. (2)问题提出
谢谢各位老师到场指导!
D1 A1
C1
B1
思路2
D
A
E
C F B
问题:上面两种办法哪种更优,为什么? 需要注意什 么?
变式2 求异面直线 D1B 与 EF 所成角的大小．
D1 A1
D AE
C1 B1
C F B
D1 A1
C1
思路1
B1 N
M
D
C F
A
E
B
D1
A1 M
C1
思路2
B1
D O
C F
A
E
B
D1 A1
C1 B1
(2)求 AA1 与 BC1所成的角是多少？
D
A
C1 B1
C B
探究二：求异面直线所成的角
例题 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 变式1 若 E、F 分别是 AB 与BC 的中点,求EF 与BC1 所成的
角是多少?
D1
C1
A1
B1
D AE
C F B
D1 A1
D
A
E
C1
B1
思路1
G
C F B
在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB 与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
异面直线在生活中处处可见
《异面直线的自白》
我们是异面直线 不能平行亦无法相交 不曾有过交集 不能仰望同一片蓝天 无论如何努力地伸长臂膀 也无法交握我们的双手
2.1.2 异面直线所成的角(2)
探究一：异面直线所成的角的概念
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. (2)问题提出
谢谢各位老师到场指导!
D1 A1
C1
B1
思路2
D
A
E
C F B
问题:上面两种办法哪种更优,为什么? 需要注意什 么?
变式2 求异面直线 D1B 与 EF 所成角的大小．
D1 A1
D AE
C1 B1
C F B
D1 A1
C1
思路1
B1 N
M
D
C F
A
E
B
D1
A1 M
C1
思路2
B1
D O
C F
A
E
B
D1 A1
C1 B1
(2)求 AA1 与 BC1所成的角是多少？
D
A
C1 B1
C B
探究二：求异面直线所成的角
例题 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 变式1 若 E、F 分别是 AB 与BC 的中点,求EF 与BC1 所成的
角是多少?
D1
C1
A1
B1
D AE
C F B
D1 A1
D
A
E
C1
B1
思路1
G
C F B
在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB 与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线所成的角求法课件
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
高二数学异面直线及其所成角PPT优秀课件
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
C ´
B ´
D
C
A
B
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
DC、D´C´。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(1)哪些棱所在直线与直线AA´垂直； (2)求直线BA´和CC´的夹角的度数；
(3)求直线BA´和AD´的夹角的度数；D
´ A ´
C ´
B ´
D A
C B
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中 E、 F分别是A´B´、BB´的中点， 1 求证BE 与C´F是异面直线
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
异面直线所成角ppt课件
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
解答：(1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所
H
求.
E
o
F
R(2t)△∵EFBGF∥中，AE求得∠EGF = 45
2 2 3D
∴∠FBG（或其补角）为所求,
பைடு நூலகம்
A
23
B
Rt△BFG中，求得∠FBG
=
o
60
ppt课件
G C
10
典例展示
例2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A A1= AB
平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.
ppt课件
2
知识探究
异面直线所成的角
O
(1)旧识回顾
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们
的夹角, 如图.
(2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
B1 A1
C1 D1
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
D O
A
C B
ppt课件
14
课堂小结
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
求角
定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
D1
C1
A1
B1
E
G
A
ppt课件
D F
C
B
异面直线及其所成角PPT课件
C ´
B ´
D
C
2020年10月2日
A
B
3
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
2020年10月2日
4
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
DC、D´C´。
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
2020年10月2日
5
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
2020年10月2日
1
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 _直__线__B__C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
2020年10月2日
异面直线所成角(公开课)ppt课件
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ
注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π- θ
可编辑课件
18
b
O
a’
a
α
借助于平面α,使两条异面直线移动到相交,
是研究异面直线所成的角时必备法宝.
可编辑课件
19
思路整理：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
B
o
D
M 可编辑课件
14
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
N
B
o
D
M 可编辑课件
15
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
（3）求异面直线AM、CN所成的角。
N
B
D
E
M 可编辑课件
16
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练习1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M 、 N分别是
AB、CD的中点
（1） M N=
C1 N
A1
M
D
B1
C
B
N
C
2.1.2异面直线所成角公开课优秀课件非常好
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(1)求异面直线BC1和AC所成的
角
D1
直接C1平移法
A1
B1
D A
C B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(2)若M、N分别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所
成的角
D1
（2）补形法 可扩大平移的范围
方法整理：
1、解立体几何计算题的“三步曲”：
作
证
算
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ
体现了立几的“降维思想”
新课讲解：
异面直线所成角的求法
求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
中位线平移法
A1 E
B1
D
C
o
A
B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例2.已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，AA1=AD=1, AB2 =
求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
补形平移法
A1
B1
D
C
A
B
方法整理：
3、异面直线所成角的两种求法：
（1）平移法 ①常用中位线平移 ②借助于平面平移
C1
p
M
B1
R
R
N
D
C
C
A
Q
BQ
新课讲解：
异面直线所成角的求法
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异面直线所成角公开课
复习： 1、异面直线的画法（平面衬托法）
β
b b
a
α
α
a
b
a
α
复习： 2、异面直线所成角的定义 图像演示
a,b是两条异面直线,经过空间任意 一点o,分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直 线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a和b所成的角。
（1）角的大小与O点位置无关。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
N
B
o
D
M C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
（3）求异面直线AM、CN所成的角。
是研究异面直线所成的角时必备法宝.
D1
C1
A1 E
B1
D
C
o
A
B
借助平面平移
方法整理：
1、解立体几何计算题的“三步曲”：
作
证
算
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ
体现了立几的“降维思想”
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例2.已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，AA1=AD=1, AB2 = 求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
补形法
A1
B1
D
C
A
B
方法整理：
3、异面直线所成角的两种求法：
（1）平移法 ①常用中位线平移 ②借助于平面平移
（2）补形法 可扩大平移的范围
新课讲解：
异面直线所成角的求法
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(1)求异面直线AA1与BC所成的
角
D1
C1
A1
B1
D A
C B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(2)求异面直线BC1和AC所成的
角
C1
A1
B1
D A
C B
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
A
N
B
o
D
M C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
N
B
D
E
M
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练习1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M 、 N分别
是AB、CD的中点
（1） M N=
2 2
AD,求异面直线AD
与BC所成的角。
（1） M N= 3AD,求异面直线AD 与BC所成的角。
2
A
M
B
D
练习2.《金版》活学活用2、3
N
C
方法整理： 体现了“降维思想”
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(2)求异面直线BC1和AC所成的
角
D1
C1
A1
B1
D A
C B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(3)若M、N风别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所
成的角
（2）“引平行线”也可看作“平移直线到 a”。
复习： 2、异面直线所成角的定义
a,b是两条异面直线,经过空间任意 一点o,分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直 线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a和b所成的角。
（3）异面直线所成角的范围： (0o, 90o]
（4）特别的：当角为90时o ，称直线a,b互相 垂直，记为： a b
D1
C1 N
A1
M
D
B1
C
B
N
C
N
A
Q PB
PB
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(3)若M、N分别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所
成的角
D1
C1
p
A1
M
B1
R
R
N
D
C
C
A
Q
BQ
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练 习 . 已 知 ABCD-A1B1C1D1 是 长 方 体 ， AA1=AD=21, A求B=异面直线BD1和AC所成的角
1、异面直线所成角的两种求法： （1）平移法 常用中位线平移 （2）补形法
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形） 求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π- θ
b
O
a’
a
α
借助于平面α,使两条异面直线移动到相交,
复习： 1、异面直线的画法（平面衬托法）
β
b b
a
α
α
a
b
a
α
复习： 2、异面直线所成角的定义 图像演示
a,b是两条异面直线,经过空间任意 一点o,分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直 线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a和b所成的角。
（1）角的大小与O点位置无关。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
N
B
o
D
M C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
（3）求异面直线AM、CN所成的角。
是研究异面直线所成的角时必备法宝.
D1
C1
A1 E
B1
D
C
o
A
B
借助平面平移
方法整理：
1、解立体几何计算题的“三步曲”：
作
证
算
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ
体现了立几的“降维思想”
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例2.已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，AA1=AD=1, AB2 = 求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
补形法
A1
B1
D
C
A
B
方法整理：
3、异面直线所成角的两种求法：
（1）平移法 ①常用中位线平移 ②借助于平面平移
（2）补形法 可扩大平移的范围
新课讲解：
异面直线所成角的求法
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(1)求异面直线AA1与BC所成的
角
D1
C1
A1
B1
D A
C B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(2)求异面直线BC1和AC所成的
角
C1
A1
B1
D A
C B
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
A
N
B
o
D
M C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
N
B
D
E
M
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练习1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M 、 N分别
是AB、CD的中点
（1） M N=
2 2
AD,求异面直线AD
与BC所成的角。
（1） M N= 3AD,求异面直线AD 与BC所成的角。
2
A
M
B
D
练习2.《金版》活学活用2、3
N
C
方法整理： 体现了“降维思想”
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(2)求异面直线BC1和AC所成的
角
D1
C1
A1
B1
D A
C B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(3)若M、N风别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所
成的角
（2）“引平行线”也可看作“平移直线到 a”。
复习： 2、异面直线所成角的定义
a,b是两条异面直线,经过空间任意 一点o,分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直 线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a和b所成的角。
（3）异面直线所成角的范围： (0o, 90o]
（4）特别的：当角为90时o ，称直线a,b互相 垂直，记为： a b
D1
C1 N
A1
M
D
B1
C
B
N
C
N
A
Q PB
PB
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(3)若M、N分别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所
成的角
D1
C1
p
A1
M
B1
R
R
N
D
C
C
A
Q
BQ
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练 习 . 已 知 ABCD-A1B1C1D1 是 长 方 体 ， AA1=AD=21, A求B=异面直线BD1和AC所成的角
1、异面直线所成角的两种求法： （1）平移法 常用中位线平移 （2）补形法
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形） 求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π- θ
b
O
a’
a
α
借助于平面α,使两条异面直线移动到相交,