结晶学课件 第4章 晶体的定向与结晶符号
例如：
通常用（hkl）表示. h,k,l 叫晶面指数.
u
但对于三方, 六方晶系来 说,可以用四轴定向, 要 用四个晶面指数h,k i,l, 晶面符号为（hkil）, 前面三个指数的代数 和等于0. 例如:（1120） （1011）等。
因为四指数晶面符号（hkil） 中，h+k+i = 0, 所以有些文献资料中也将（hkil） 简化为 （hkl），如 （1120）、（1011）也可简 化写成（110）、（101）。
垂 直 ， 则 两 者 之 间 以 斜 线 或 横 线 隔 开 ， 如 L2PC 以 2/m表示，L4PC以4/m表示(由此可以看出，对称中
心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面 定会产生一个C)。
具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三 个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要 素(序号位与方向对应，这是国际符号的最主要 的特色),对称意义完全相同的方向上的对称要素, 不管有多少,只写一个就行了（简化，这是国际 符号的另一特色）.
举例：在模型上定出晶体常数特点：等轴、四方、斜方
二、 对称型的国际符号
对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对 称要素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方 向性,3）但它不容易看懂.
特点是:一些可以派生出来的对称要素都省略了.
对称轴以 1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋 转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴
晶面在三根晶轴上的截距系数的倒数比，用 小括号括起来。
举例:
某晶面在X,Y,Z轴上的截距为 2a,3b,6c, 那么截距系数为 2, 3, 6, 倒数为1/2, 1/3, 1/6, 化简以后的倒数比为3:2:1, 写做(321),这就是该晶面的 米氏符号.
注意：三个晶轴上的轴单位 不一定相等，所以，截距 系数与截距不一定成正比。
2 . 晶带定律: 晶带: 交棱相互平行的一组晶面. 晶带轴:移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号.
举例:
晶体上的晶面是以晶带的形式发育的. 晶带定律: 任两晶带(晶棱)相交可决定一可能晶面,
z
行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ), 这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和 晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以 知道轴单位之间的比值关系,即： a:b:c
例如, 等轴晶系的 a:b:c =? 四方晶系的 a:b:c =?
我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角,轴率 与轴角统称晶体常数.见表4－1.表中列出的是晶 体常数特点.因为根据晶体的宏观形态只能定出 晶体常数特点,不能定出晶体常数.
对于斜方晶系，（100）垂直[100]，但（110）不垂直[110]， （111）不垂直[111] ，因为a =/ b =/ c。
具体的分析如图所示：
另外请注意：三、六方晶系的晶棱符号 有四个指数[1120][1011]等。它们也可以 转化成三指数符号，但转化关系要通过 计算，不是简单地将第三个指数去掉就 行了的。
第四章 晶体的定向与结晶符 号
本章要为晶体建立坐标体系，然后对晶 体上所有的面、线等的方位进行标定。
一、 晶体定向的方法
以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由 X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
Z
Y X 三个晶轴不一定垂直 那么,怎么选出这些晶轴?
Z U
Y
X
120º
四、 整数定律与晶带定律
1. 整数定律
晶面指数为简单整数. 为什么?
因为指数越简单的晶面 对应到内部结构是面 网密度大的面网,而面 网密度大的面网容易 形成晶面（因为能量 低容易形成晶面）,所 实际晶体上的晶面就 是晶面指数简单的晶 面.
整数定律是继面角守恒定律后的又一个在远古年代根据晶 体形态特点发现的规律.
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特 点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空间 格子的三个主要行列方向是一致的.
为什么?因为空间格子中三个主要行列 也是根据晶体的对称性,人为地画出来的. 而晶轴也是根据晶体的对称性,人为地选出 来的.晶体的内部对称与晶体的宏观对称是 一致的,所以 晶轴与三个行列就是一致的.
本教材的三、六方晶系都写四指数晶面符号。
在晶体模型上怎么写晶面符号?因为我们并不知道晶 面截晶轴的截距系数, 但我们可以知道截距大小相对关 系. 例如: 八面体（111）、四方双锥（hhl）斜方双锥（hkl） 立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴上的晶面指数为0）
2. 晶棱符号:
为直线符号, 表示这一直线的方向即可。 方法为：将晶棱（或其他直线）移至经过 晶体中心（即坐标原点）, 然后在直线上任 取一点,该点在三根晶轴上的坐标系数比值 写进方括号即可 ：[rst]
举例: 立方体、八面体垂直晶面的直线符号分 别:[100],[111]
晶面符号与晶棱符号的关系：
对于等轴晶系，所有同名轴与面是相互垂直的，如（100） 垂直[100]，（110）垂直[110]，（111）垂直[111] 。
对于四方晶系，有些同名轴与面是相互垂直的，如（100） 垂直[100]，（110）垂直[110]，但（111）不垂直[111] ，因为 a = b =/ c。
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全 不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全 不同,一定不要弄混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4－3(此表很重 要，要熟记！).
表4-3: 国际符号举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
三、 晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
选晶轴的原则:
1）与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要 素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为 90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择 晶轴的具体方法也不同,见表4-1(此表非常重要， 要熟记).
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
通常用（hkl）表示. h,k,l 叫晶面指数.
u
但对于三方, 六方晶系来 说,可以用四轴定向, 要 用四个晶面指数h,k i,l, 晶面符号为（hkil）, 前面三个指数的代数 和等于0. 例如:（1120） （1011）等。
因为四指数晶面符号（hkil） 中，h+k+i = 0, 所以有些文献资料中也将（hkil） 简化为 （hkl），如 （1120）、（1011）也可简 化写成（110）、（101）。
垂 直 ， 则 两 者 之 间 以 斜 线 或 横 线 隔 开 ， 如 L2PC 以 2/m表示，L4PC以4/m表示(由此可以看出，对称中
心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面 定会产生一个C)。
具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三 个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要 素(序号位与方向对应，这是国际符号的最主要 的特色),对称意义完全相同的方向上的对称要素, 不管有多少,只写一个就行了（简化，这是国际 符号的另一特色）.
举例：在模型上定出晶体常数特点：等轴、四方、斜方
二、 对称型的国际符号
对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对 称要素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方 向性,3）但它不容易看懂.
特点是:一些可以派生出来的对称要素都省略了.
对称轴以 1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋 转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴
晶面在三根晶轴上的截距系数的倒数比，用 小括号括起来。
举例:
某晶面在X,Y,Z轴上的截距为 2a,3b,6c, 那么截距系数为 2, 3, 6, 倒数为1/2, 1/3, 1/6, 化简以后的倒数比为3:2:1, 写做(321),这就是该晶面的 米氏符号.
注意：三个晶轴上的轴单位 不一定相等，所以，截距 系数与截距不一定成正比。
2 . 晶带定律: 晶带: 交棱相互平行的一组晶面. 晶带轴:移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号.
举例:
晶体上的晶面是以晶带的形式发育的. 晶带定律: 任两晶带(晶棱)相交可决定一可能晶面,
z
行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ), 这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和 晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以 知道轴单位之间的比值关系,即： a:b:c
例如, 等轴晶系的 a:b:c =? 四方晶系的 a:b:c =?
我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角,轴率 与轴角统称晶体常数.见表4－1.表中列出的是晶 体常数特点.因为根据晶体的宏观形态只能定出 晶体常数特点,不能定出晶体常数.
对于斜方晶系，（100）垂直[100]，但（110）不垂直[110]， （111）不垂直[111] ，因为a =/ b =/ c。
具体的分析如图所示：
另外请注意：三、六方晶系的晶棱符号 有四个指数[1120][1011]等。它们也可以 转化成三指数符号，但转化关系要通过 计算，不是简单地将第三个指数去掉就 行了的。
第四章 晶体的定向与结晶符 号
本章要为晶体建立坐标体系，然后对晶 体上所有的面、线等的方位进行标定。
一、 晶体定向的方法
以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由 X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
Z
Y X 三个晶轴不一定垂直 那么,怎么选出这些晶轴?
Z U
Y
X
120º
四、 整数定律与晶带定律
1. 整数定律
晶面指数为简单整数. 为什么?
因为指数越简单的晶面 对应到内部结构是面 网密度大的面网,而面 网密度大的面网容易 形成晶面（因为能量 低容易形成晶面）,所 实际晶体上的晶面就 是晶面指数简单的晶 面.
整数定律是继面角守恒定律后的又一个在远古年代根据晶 体形态特点发现的规律.
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特 点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空间 格子的三个主要行列方向是一致的.
为什么?因为空间格子中三个主要行列 也是根据晶体的对称性,人为地画出来的. 而晶轴也是根据晶体的对称性,人为地选出 来的.晶体的内部对称与晶体的宏观对称是 一致的,所以 晶轴与三个行列就是一致的.
本教材的三、六方晶系都写四指数晶面符号。
在晶体模型上怎么写晶面符号?因为我们并不知道晶 面截晶轴的截距系数, 但我们可以知道截距大小相对关 系. 例如: 八面体（111）、四方双锥（hhl）斜方双锥（hkl） 立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴上的晶面指数为0）
2. 晶棱符号:
为直线符号, 表示这一直线的方向即可。 方法为：将晶棱（或其他直线）移至经过 晶体中心（即坐标原点）, 然后在直线上任 取一点,该点在三根晶轴上的坐标系数比值 写进方括号即可 ：[rst]
举例: 立方体、八面体垂直晶面的直线符号分 别:[100],[111]
晶面符号与晶棱符号的关系：
对于等轴晶系，所有同名轴与面是相互垂直的，如（100） 垂直[100]，（110）垂直[110]，（111）垂直[111] 。
对于四方晶系，有些同名轴与面是相互垂直的，如（100） 垂直[100]，（110）垂直[110]，但（111）不垂直[111] ，因为 a = b =/ c。
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全 不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全 不同,一定不要弄混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4－3(此表很重 要，要熟记！).
表4-3: 国际符号举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
三、 晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
选晶轴的原则:
1）与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要 素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为 90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择 晶轴的具体方法也不同,见表4-1(此表非常重要， 要熟记).
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
第四章 晶体定向与结晶符号
三个结晶轴之轴单位的比率 a:b:c 。
5 ． 晶体常数 （ crystal constants ）： 轴角 、、 和 轴率 a:b:c 之合称。
是表征 晶体座标系统的一组基本 参数，同时可表征晶胞形状。
•6．晶胞参数（cell
parameters）：
• 、、 和 a0、b0、 c0 之合称。
各晶系选轴原则及晶体常数特点
选 择 原 则
以互垂的 3L4 或 3L2或 3Li4为X、Y、Z轴。 以 L4 或Li4 为 Z轴，以 ⊥Z 轴 且互垂的 2个L2 或 P的法线或晶棱的方向为X、Y轴。 以 L3 或 L6 或 Li6 为 Z 轴， 以 ⊥Z 轴 且彼此交于 120° 的 3个 L2 或 P 的法线或 晶棱的方向为 X、Y、U 轴。 以互垂的 3L2为 X、Y、Z轴；在L22P中， 以L2为Z轴，以2P的法线方向为为X、Y轴。 以 且 近于互垂的 2个主要晶棱方向为 Z、X轴。 以 不在 同一平面内、且 近于 互垂的 3个主要晶棱方向为 X、Y、Z 轴。 L2或P的法线方向为Y轴，以⊥Y轴 晶体常数特点
对称型
晶 系
晶 族
国际符号
1、平行Z轴有L4 ,垂直Z有P 4 /m 2、平行X、Y有L2，垂直X、Y有 P 2/m 3、平行于X、Y角平分线方向有L2 , 垂直于该方向有P 2/m 4 /m 2/m 2/m 或 4/m m m 1、平行于XYZ有L4，垂直于XYZ 有P 4/m 2、平行于a+b+c方向有L3 3 3、平行于XY或XZ或YZ角平分线 方向有L2，垂直方向有P 2/m 4/m 3 2/m 或 m 3 m
——
L ；
3 i
—— L
4 i
5 ． 晶体常数 （ crystal constants ）： 轴角 、、 和 轴率 a:b:c 之合称。
是表征 晶体座标系统的一组基本 参数，同时可表征晶胞形状。
•6．晶胞参数（cell
parameters）：
• 、、 和 a0、b0、 c0 之合称。
各晶系选轴原则及晶体常数特点
选 择 原 则
以互垂的 3L4 或 3L2或 3Li4为X、Y、Z轴。 以 L4 或Li4 为 Z轴，以 ⊥Z 轴 且互垂的 2个L2 或 P的法线或晶棱的方向为X、Y轴。 以 L3 或 L6 或 Li6 为 Z 轴， 以 ⊥Z 轴 且彼此交于 120° 的 3个 L2 或 P 的法线或 晶棱的方向为 X、Y、U 轴。 以互垂的 3L2为 X、Y、Z轴；在L22P中， 以L2为Z轴，以2P的法线方向为为X、Y轴。 以 且 近于互垂的 2个主要晶棱方向为 Z、X轴。 以 不在 同一平面内、且 近于 互垂的 3个主要晶棱方向为 X、Y、Z 轴。 L2或P的法线方向为Y轴，以⊥Y轴 晶体常数特点
对称型
晶 系
晶 族
国际符号
1、平行Z轴有L4 ,垂直Z有P 4 /m 2、平行X、Y有L2，垂直X、Y有 P 2/m 3、平行于X、Y角平分线方向有L2 , 垂直于该方向有P 2/m 4 /m 2/m 2/m 或 4/m m m 1、平行于XYZ有L4，垂直于XYZ 有P 4/m 2、平行于a+b+c方向有L3 3 3、平行于XY或XZ或YZ角平分线 方向有L2，垂直方向有P 2/m 4/m 3 2/m 或 m 3 m
——
L ；
3 i
—— L
4 i
结晶学课件 第4章 晶体的定向与结晶符号
选晶轴的原则:
1）与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要 素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为 90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择 晶轴的具体方法也不同,见表4-1(此表非常重要， 要熟记).
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
z
x 宏观形态
y 微观结构
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ), 这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和 晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以 知道轴单位之间的比值关系,即： a:b:c
例如, 等轴晶系的 a:b:c =? 四方晶系的 a:b:c =?
我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角,轴率 与轴角统称晶体常数.见表4－1.表中列出的是晶 体常数特点.因为根据晶体的宏观形态只能定出 晶体常数特点,不能定出晶体常数.
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全 不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全 不同,一定不要弄混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4－3(此表很重 要，要熟记！).
表4-3: 国际符号举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
三、 晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
四、 整数定律与晶带定律
1. 整数定律
晶面指数为简单整数. 为什么?
因为指数越简单的晶面 对应到内部结构是面 网密度大的面网,而面 网密度大的面网容易 形成晶面（因为能量 低容易形成晶面）,所 实际晶体上的晶面就 是晶面指数简单的晶 面.
4章 晶体定向与结晶符号
第四章晶体定向与结晶符号晶体定向(crystal orientation)就是在晶体中建立一个坐标系，这样晶体中各个晶面、晶棱以及对称要素就可以在其中标定方向，这种表示晶面、晶棱及对称要素等的方位的符号统称结晶符号(crystal indices)。
由于晶体的各种特性(形态、物性、结构等)都与晶体的方向有关，所以晶体定向是研究晶体的最基本的工作。
一、晶体定向晶体定向就是在晶体中以晶体中心为原点建立一个坐标系，这个坐标系一般由三根晶轴 X、Y、Z轴(也可用a、b、c轴表示)组成。
三根晶轴正端之间的夹角分别表示为α(Y∧Z)、β(Z∧X)、γ(X∧Y)。
对于三、六方晶系的晶体，通常要用四轴定向法，即要选出四根晶轴。
那么，究竟选择晶体中哪些方向上的直线作为晶轴呢?选择的原则有两点：① 与晶体的对称特点相符合（即一般都以对称要素作晶轴）；② 在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角=90°。
各晶系对称特点不同，具体选择晶轴的方法也不同，具体选择原则见表3－1。
表3－1 各晶系选择晶轴的具体方法及晶体常数特点请注意，这里在晶体宏观形态中按对称特点选出的晶轴，实际上与晶体内部结构中空间格子的三个不共面的行列方向一致。
二、晶胞参数及晶面符号、晶棱符号1 晶胞参数X、Y、Z三根晶轴方向上的行列上的结点间距分别表示为a0、b0、c0，称为轴长；三根晶轴正端之间的夹角α、β、γ称为轴角，轴长和轴角统称晶胞参数（cell parameter）。
在第一章我们就已知，a0、b0、c0以及α、β、γ决定空间格子中平行六面体的大小和形状。
但是，在晶体宏观形态上是定不出轴长的，只能根据对称特点定出a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c），这一比例称为轴率。
轴率与轴角统称晶体常数 (crystal constants)，晶体常数特点是可以在晶体宏观形态上体现出来的，例如：等轴晶系晶体对称程度高，晶轴X、Y、Z为彼此对称的行列，它们通过对称要素的作用可以相互重合，因此它们的轴长是相同的，即a=b=c，轴率a∶b∶c=1∶1∶1；中级晶族（四方、三方和六方晶系）晶体中只有一个高次轴，以高次轴为Z轴，通过高次轴的作用可使X轴与Y轴重合（在三方与六方晶系中可使X轴、Y轴、U轴重合），因此轴长a=b，但与c不等，轴率a∶c因晶体的种别而异；低级晶族（斜方、单斜和三斜晶系）晶体对称程度低，X、Y、Z轴不能通过对称要素的作用而重合，所以a≠b≠c，晶体的种类不同，轴率a∶b∶c数据不同。
第四章 晶体定向和晶面符号
r = 0×0-1×0 =0，s = 0×0-1×0 =0，t = 1×1-0×0 =1，即此晶带
的符号为(001)。
35
⒉ 求位于晶带[rst]和晶带[uvw]交点的晶面（hkl）。 因为： hr +ks +lt =0 hu +kv +lw =0 则与例（1）类比，可用下列行列式计算：
27
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
b0
b1
b2
(010)
晶面指数为简单整数.
ao
为什么?
因为指数越简单的 晶面对应到内部结构是
a1
面网密度大的面网,而面
网密度大的面网容易形
成晶面,所以实际晶体上
的晶面就是晶面指数简
单的晶面。
b3
y
28
五、晶棱符号、晶带与晶带定律
1、晶棱符号：表征晶棱方向的 符号，所有平行的晶棱具有 同一个晶棱符号。
• 晶棱符号只涉及方向, 不涉及 具体位置。
• 截距系数比：表达为[rst]
r:s:t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[rst] = [123]
29
四轴定向时的晶棱符号 • 以[u v m w]的形式表达 • 也有三指数形式: [u v w] • 四指数和三指数
c 直立，b 左右， a 前后
a=bc ===90
11
斜方晶系
3L2 a b c 轴 1L2 c轴 2P法线 a b 轴
c 直立，b 左右， a 前后
abc == =90
12
单斜晶系
1L2/1P法线 b轴, 2晶棱 a c轴
c 直立，b 左右 a 前后但向前下方倾斜 使>90
第4章 晶体定向和晶体学符号
5
结晶学与矿物学
晶体定向方法
• 各晶系的晶体几何常数特点
– – – – – – 等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b ≠ c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c，a = b = 90，g = 120； 斜方晶系：a ≠ b ≠ c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a ≠ b ≠ g；
符号统称结晶符号
由于晶体的各种特性(形态、物性、结构等)都与晶 体的方向有关，所以晶体定向是研究晶体的最基本 的工作
2
一、晶体定向方法
晶体定向就是在晶体中以晶 体中心为原点建立一个坐标 系，这个坐标系一般由三根 晶轴X、Y、Z轴(也可用a、b、 c轴表示)组成。三根晶轴正 端之 间的夹角分别表示为 α(Y∧Z)、β(Z∧X)、 γ(X∧Y)。对于三、六方晶 系的晶体，通常要用四轴定 向法，即要选出四根晶轴
25
结晶学与矿物学
实际晶体之晶面
26
结晶学与矿物学
晶带符号
• 晶带(zone)
– 交棱相互平行的一组晶面的组合
• 晶带轴(zone axis)
– 表示晶带方向的一根直线，即该晶带中各晶面交棱方 向直线，并移至过晶体中心
• 晶带符号(zone symbol)
– 晶带轴的符号就是晶棱符号。通常以晶带轴符号来表 示晶带符号
• 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交
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结晶学与矿物学
晶面符号
– 举例（3D）
c
C Z
x = (h k l) = ? y = (h k l) = ?
第四章晶体定向和晶面符号
§4.5
对称型的国际符号
对称面：m
一、国际符号中对称要素的表示法
对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号， 如 1 、 、 和 。 、 2 3 4 6 注意:由于1 L1i C ，习惯用 1 代表对称中心。
6、三方、六方晶系
对称特点：有且只有一个L3或L6或Li6。 选轴原则：以L6、Li6、L3为z轴，以垂直z轴并彼此相 交为1200的3个L2或P的法线或晶棱方向为x、y、u轴
z
u
y x
晶体常数特点 a＝b≠c，α＝β＝９０°γ＝１２０°
总结－晶体定向方法
1、根据晶体对称型，确定晶体属于何种晶系
整数比, 此时的h, k, l就称为晶面指数;
晶面符号写作（ h k l ）
注意：若晶面交于晶轴负端，则在相应指数上方加“－”号
Z
C
已知晶面ABC在X、Y、 Z轴上的截距为： OA=2a， OB=3b， OC=6c； 求晶面的米氏符号。
Oc a b A X
B
Y
截距系数的倒数比： 1/2∶1/3∶1/6 化整→ 3∶2∶1 去比例号，加小括号→(321)。
2、对应各晶系定向原则，确定相应的x轴、y轴、z轴
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z轴
§4.3晶面符号
一、 晶面符号
–所谓晶面符号就是根据晶面(或晶体中平行于 晶面的其他平面)与晶轴的空间关系，用简单 的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的的 一种晶体学符号; –目前国际上通用的都是米氏符号(Miller’s symbol)，亦称米勒符号。
等轴晶系
2 3 1
四方晶系
2 3 1 2 3 1 2 3
第4章 晶体定向与结晶符号(修改)
第四章 晶体定向与结晶符号
晶体定向——在晶体中建立一个坐标系，对晶 体中各晶面、晶棱以及对称要素标定方向。 结晶符号——表示晶面、晶棱及对称要素等的 方位的符号。
因晶体的各种特 本章内容——晶体定向的方法 性（形态、物性、 ——32种对称型各对称要素空间分布 结构等）都与晶体 ——国际符号，圣弗利斯符号 的方向有关，故晶 体定向是研究晶体 ——晶面符号及晶棱符号等 的最基本的工作。
我们并不知道晶面截晶轴的截距系数, 但我 们可以知道截距大小相对关系。 例如: 八面体（111）、立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴 上的晶面指数为0）
27
17
注意事项：
晶面符号的书写有一定的规定：
括号内第一个位置写晶面在X轴上的指数，中间写晶面在Y轴上的指 数，最后位置写晶面在Z轴上的指数。这个顺序不可任意颠倒。
国际符号中： 1,2,3,4,6——对称轴； 1, 2 , 3 , 4 , 6 ——旋转反伸轴，m——对称面。 2 若对称面与对称轴垂直，以斜线或横线隔开，如L2PC——2／m(或 ）
m
(可见，对称中心C不必再表示出来了，因为偶次轴垂直 对称面定会产生一个C)。
27 10
具体写法
设置三个位序（最多只有三个）,每个位序规定了写什么 方向上的对称要素。 位序与方向对应，是国际符号最主要特色 对称意义完全相同方向上的对称要素,不管有多少,只写 一个即可，即在对称型的国际符号中凡是可以通过其它对 称要素可以派生出来的对称要素都省略了。 简化，是国际符号的另一特色
晶带
27
24
晶带定律
晶带——交棱相互平行的一组晶面的组合。 晶带轴——表示晶带方向的直线，即过晶体中心该晶带 各晶面交棱方向直线。晶带轴的符号就是晶棱符号。 通常以晶带轴符号来表示晶带符号，如晶带[001]，表示 以[001]直线为晶带轴的那一组交棱相互平行的晶带。
晶体定向——在晶体中建立一个坐标系，对晶 体中各晶面、晶棱以及对称要素标定方向。 结晶符号——表示晶面、晶棱及对称要素等的 方位的符号。
因晶体的各种特 本章内容——晶体定向的方法 性（形态、物性、 ——32种对称型各对称要素空间分布 结构等）都与晶体 ——国际符号，圣弗利斯符号 的方向有关，故晶 体定向是研究晶体 ——晶面符号及晶棱符号等 的最基本的工作。
我们并不知道晶面截晶轴的截距系数, 但我 们可以知道截距大小相对关系。 例如: 八面体（111）、立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴 上的晶面指数为0）
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注意事项：
晶面符号的书写有一定的规定：
括号内第一个位置写晶面在X轴上的指数，中间写晶面在Y轴上的指 数，最后位置写晶面在Z轴上的指数。这个顺序不可任意颠倒。
国际符号中： 1,2,3,4,6——对称轴； 1, 2 , 3 , 4 , 6 ——旋转反伸轴，m——对称面。 2 若对称面与对称轴垂直，以斜线或横线隔开，如L2PC——2／m(或 ）
m
(可见，对称中心C不必再表示出来了，因为偶次轴垂直 对称面定会产生一个C)。
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具体写法
设置三个位序（最多只有三个）,每个位序规定了写什么 方向上的对称要素。 位序与方向对应，是国际符号最主要特色 对称意义完全相同方向上的对称要素,不管有多少,只写 一个即可，即在对称型的国际符号中凡是可以通过其它对 称要素可以派生出来的对称要素都省略了。 简化，是国际符号的另一特色
晶带
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晶带定律
晶带——交棱相互平行的一组晶面的组合。 晶带轴——表示晶带方向的直线，即过晶体中心该晶带 各晶面交棱方向直线。晶带轴的符号就是晶棱符号。 通常以晶带轴符号来表示晶带符号，如晶带[001]，表示 以[001]直线为晶带轴的那一组交棱相互平行的晶带。
第四章 晶体定向和晶面符号
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
5.单斜晶系
（4） 常 见 聚 形
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
6.三斜晶系
⑴ 对称特点
无对称轴和对称面，共有2个对称型， 常见晶体多为C对称型。
⑵ 晶体定向
选三个近于相互垂直的晶棱方向为XYZ 轴。晶体常数特点为a≠b≠c， α≠β≠γ≠90°。
几何结晶学基础
第四章
一、晶体定向
4.晶体常数
晶体定向和晶面符号
各晶系的对称特点不同，因而选择晶轴 的方法及晶体常数的特点也不同。由于确定 晶轴和轴单位的方法和在晶体构造中划晶胞 的原则或确定平行六面体的原则一致，所以 各晶系晶体常数和格子参数完全吻合。
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
二、晶面符号
晶带定律（zone law）
任意两晶棱（晶带）相交必可决定一可能 晶面，而任意两晶面相交必可决定一可 能晶棱（晶带）
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
四、晶带及晶带符号
2.晶带的表示方法—晶带符号 表示晶带的空间方位的符号称为晶带符号。 晶带符号是以晶带轴的符号来代表的，而 晶带轴的符号又与该晶带中晶棱的符号相 同，故晶带符号可以用晶棱符号代替。
几何结晶学基础
第四章
一、晶体定向
3.晶轴的摆法
晶体定向和晶面符号
x轴：前后放置，前端为正；
y轴：左右放置，右端为正；
z轴：上下放置，上端为正；
三方、六方晶系还要层增加u轴， u轴的前端为负，后端为正，x、y、 u的正端之间的交角为120定向
4.晶体常数
晶体定向和结晶符号
实验2. 晶体定向和结晶符号一、目的要求掌握不同晶系晶轴选择的原则，确定模型中单形的名称及其符号。
二、基本原理为了获得晶体形态的完整描述，需要确切地表示晶面在空间的相对位置。
在晶体学中，确定晶面在空间的位置是按晶体的对称特征选择坐标系，将晶体按对称特征放置于该坐标系中(晶体定向)，再以一种符号表示法表示出晶面在空间的位置。
晶体定向就是给晶体选择坐标轴(晶轴)和确定坐标轴上的轴单位。
在七个晶系中，有五个晶系（立方、四方、斜方、单斜、三斜）采用三轴定向，即选择交于晶体中心的三条直线，它们分别记为a、b、c轴(或X、Y、Z轴)。
相应b与c间轴角为α，a与c间轴角为β，a与b间轴角为γ。
三方、六方晶系一般采用四轴定向，即在ab平面上增加了一个d轴，使水平面三轴间正向的轴角形成120°，以满足该类晶系对称性的要求。
晶体放置的取向原则是要反映晶体的对称性，从晶体的外形上讲，对称轴、倒转轴、对称面的法线及晶棱是与晶体构造中的行列重合的，因此晶体与坐标轴的相对取向按对称轴、倒转轴、对称面的法线、晶棱的优先顺序作晶轴方向。
轴单位是晶轴上的单位长度。
由于所选定的晶轴都是格子构造中的行列方向，所以晶轴的轴单位就是该行列的结点间距。
a、b、c轴上的轴单位分别以a o、b o、c o表示，有时也直接用a、b、c表示，其间比率a：b：c称为轴率(或称轴单位比)。
轴率a：b：c和轴角α、β、γ合称为晶体几何常数。
在晶体定向的基础上，我们就可以确定晶体各种结晶几何参数在空间的位置。
表示这些参数在空间位置所用的符号称为结晶符号，结晶符号主要有晶面符号、晶向符号、单形符号和晶带符号。
表示晶面在空间位置的符号称为晶面符号。
晶面符号有几种，通常多采用米氏符号，又称米勒指数或晶面指数，是英国学者米勒(W．H．Miller)于1839年提出。
本实验通过在晶体模型上确定米勒指数和单形符号，达到掌握晶体定向和确切表示晶面族在空间的相对位置的方法。