结晶学课件 第4章 晶体的定向与结晶符号
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
第四章 晶体定向与结晶符号
三个结晶轴之轴单位的比率 a:b:c 。
5 ． 晶体常数 （ crystal constants ）： 轴角 、、 和 轴率 a:b:c 之合称。
是表征 晶体座标系统的一组基本 参数，同时可表征晶胞形状。
•6．晶胞参数（cell
parameters）：
• 、、 和 a0、b0、 c0 之合称。
各晶系选轴原则及晶体常数特点
选 择 原 则
以互垂的 3L4 或 3L2或 3Li4为X、Y、Z轴。 以 L4 或Li4 为 Z轴，以 ⊥Z 轴 且互垂的 2个L2 或 P的法线或晶棱的方向为X、Y轴。 以 L3 或 L6 或 Li6 为 Z 轴， 以 ⊥Z 轴 且彼此交于 120° 的 3个 L2 或 P 的法线或 晶棱的方向为 X、Y、U 轴。 以互垂的 3L2为 X、Y、Z轴；在L22P中， 以L2为Z轴，以2P的法线方向为为X、Y轴。 以 且 近于互垂的 2个主要晶棱方向为 Z、X轴。 以 不在 同一平面内、且 近于 互垂的 3个主要晶棱方向为 X、Y、Z 轴。 L2或P的法线方向为Y轴，以⊥Y轴 晶体常数特点
对称型
晶 系
晶 族
国际符号
1、平行Z轴有L4 ,垂直Z有P 4 /m 2、平行X、Y有L2，垂直X、Y有 P 2/m 3、平行于X、Y角平分线方向有L2 , 垂直于该方向有P 2/m 4 /m 2/m 2/m 或 4/m m m 1、平行于XYZ有L4，垂直于XYZ 有P 4/m 2、平行于a+b+c方向有L3 3 3、平行于XY或XZ或YZ角平分线 方向有L2，垂直方向有P 2/m 4/m 3 2/m 或 m 3 m
——
L ；
3 i
—— L
4 i
5 ． 晶体常数 （ crystal constants ）： 轴角 、、 和 轴率 a:b:c 之合称。
是表征 晶体座标系统的一组基本 参数，同时可表征晶胞形状。
•6．晶胞参数（cell
parameters）：
• 、、 和 a0、b0、 c0 之合称。
各晶系选轴原则及晶体常数特点
选 择 原 则
以互垂的 3L4 或 3L2或 3Li4为X、Y、Z轴。 以 L4 或Li4 为 Z轴，以 ⊥Z 轴 且互垂的 2个L2 或 P的法线或晶棱的方向为X、Y轴。 以 L3 或 L6 或 Li6 为 Z 轴， 以 ⊥Z 轴 且彼此交于 120° 的 3个 L2 或 P 的法线或 晶棱的方向为 X、Y、U 轴。 以互垂的 3L2为 X、Y、Z轴；在L22P中， 以L2为Z轴，以2P的法线方向为为X、Y轴。 以 且 近于互垂的 2个主要晶棱方向为 Z、X轴。 以 不在 同一平面内、且 近于 互垂的 3个主要晶棱方向为 X、Y、Z 轴。 L2或P的法线方向为Y轴，以⊥Y轴 晶体常数特点
对称型
晶 系
晶 族
国际符号
1、平行Z轴有L4 ,垂直Z有P 4 /m 2、平行X、Y有L2，垂直X、Y有 P 2/m 3、平行于X、Y角平分线方向有L2 , 垂直于该方向有P 2/m 4 /m 2/m 2/m 或 4/m m m 1、平行于XYZ有L4，垂直于XYZ 有P 4/m 2、平行于a+b+c方向有L3 3 3、平行于XY或XZ或YZ角平分线 方向有L2，垂直方向有P 2/m 4/m 3 2/m 或 m 3 m
——
L ；
3 i
—— L
4 i
结晶学课件 第4章 晶体的定向与结晶符号
选晶轴的原则:
1）与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要 素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为 90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择 晶轴的具体方法也不同,见表4-1(此表非常重要， 要熟记).
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
z
x 宏观形态
y 微观结构
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ), 这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和 晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以 知道轴单位之间的比值关系,即： a:b:c
例如, 等轴晶系的 a:b:c =? 四方晶系的 a:b:c =?
我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角,轴率 与轴角统称晶体常数.见表4－1.表中列出的是晶 体常数特点.因为根据晶体的宏观形态只能定出 晶体常数特点,不能定出晶体常数.
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全 不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全 不同,一定不要弄混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4－3(此表很重 要，要熟记！).
表4-3: 国际符号举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
三、 晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
四、 整数定律与晶带定律
1. 整数定律
晶面指数为简单整数. 为什么?
因为指数越简单的晶面 对应到内部结构是面 网密度大的面网,而面 网密度大的面网容易 形成晶面（因为能量 低容易形成晶面）,所 实际晶体上的晶面就 是晶面指数简单的晶 面.
4章 晶体定向与结晶符号
第四章晶体定向与结晶符号晶体定向(crystal orientation)就是在晶体中建立一个坐标系，这样晶体中各个晶面、晶棱以及对称要素就可以在其中标定方向，这种表示晶面、晶棱及对称要素等的方位的符号统称结晶符号(crystal indices)。
由于晶体的各种特性(形态、物性、结构等)都与晶体的方向有关，所以晶体定向是研究晶体的最基本的工作。
一、晶体定向晶体定向就是在晶体中以晶体中心为原点建立一个坐标系，这个坐标系一般由三根晶轴 X、Y、Z轴(也可用a、b、c轴表示)组成。
三根晶轴正端之间的夹角分别表示为α(Y∧Z)、β(Z∧X)、γ(X∧Y)。
对于三、六方晶系的晶体，通常要用四轴定向法，即要选出四根晶轴。
那么，究竟选择晶体中哪些方向上的直线作为晶轴呢?选择的原则有两点：① 与晶体的对称特点相符合（即一般都以对称要素作晶轴）；② 在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角=90°。
各晶系对称特点不同，具体选择晶轴的方法也不同，具体选择原则见表3－1。
表3－1 各晶系选择晶轴的具体方法及晶体常数特点请注意，这里在晶体宏观形态中按对称特点选出的晶轴，实际上与晶体内部结构中空间格子的三个不共面的行列方向一致。
二、晶胞参数及晶面符号、晶棱符号1 晶胞参数X、Y、Z三根晶轴方向上的行列上的结点间距分别表示为a0、b0、c0，称为轴长；三根晶轴正端之间的夹角α、β、γ称为轴角，轴长和轴角统称晶胞参数（cell parameter）。
在第一章我们就已知，a0、b0、c0以及α、β、γ决定空间格子中平行六面体的大小和形状。
但是，在晶体宏观形态上是定不出轴长的，只能根据对称特点定出a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c），这一比例称为轴率。
轴率与轴角统称晶体常数 (crystal constants)，晶体常数特点是可以在晶体宏观形态上体现出来的，例如：等轴晶系晶体对称程度高，晶轴X、Y、Z为彼此对称的行列，它们通过对称要素的作用可以相互重合，因此它们的轴长是相同的，即a=b=c，轴率a∶b∶c=1∶1∶1；中级晶族（四方、三方和六方晶系）晶体中只有一个高次轴，以高次轴为Z轴，通过高次轴的作用可使X轴与Y轴重合（在三方与六方晶系中可使X轴、Y轴、U轴重合），因此轴长a=b，但与c不等，轴率a∶c因晶体的种别而异；低级晶族（斜方、单斜和三斜晶系）晶体对称程度低，X、Y、Z轴不能通过对称要素的作用而重合，所以a≠b≠c，晶体的种类不同，轴率a∶b∶c数据不同。
第四章 晶体定向和晶面符号
r = 0×0-1×0 =0，s = 0×0-1×0 =0，t = 1×1-0×0 =1，即此晶带
的符号为(001)。
35
⒉ 求位于晶带[rst]和晶带[uvw]交点的晶面（hkl）。 因为： hr +ks +lt =0 hu +kv +lw =0 则与例（1）类比，可用下列行列式计算：
27
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
b0
b1
b2
(010)
晶面指数为简单整数.
ao
为什么?
因为指数越简单的 晶面对应到内部结构是
a1
面网密度大的面网,而面
网密度大的面网容易形
成晶面,所以实际晶体上
的晶面就是晶面指数简
单的晶面。
b3
y
28
五、晶棱符号、晶带与晶带定律
1、晶棱符号：表征晶棱方向的 符号，所有平行的晶棱具有 同一个晶棱符号。
• 晶棱符号只涉及方向, 不涉及 具体位置。
• 截距系数比：表达为[rst]
r:s:t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[rst] = [123]
29
四轴定向时的晶棱符号 • 以[u v m w]的形式表达 • 也有三指数形式: [u v w] • 四指数和三指数
c 直立，b 左右， a 前后
a=bc ===90
11
斜方晶系
3L2 a b c 轴 1L2 c轴 2P法线 a b 轴
c 直立，b 左右， a 前后
abc == =90
12
单斜晶系
1L2/1P法线 b轴, 2晶棱 a c轴
c 直立，b 左右 a 前后但向前下方倾斜 使>90
第4章 晶体定向和晶体学符号
5
结晶学与矿物学
晶体定向方法
• 各晶系的晶体几何常数特点
– – – – – – 等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b ≠ c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c，a = b = 90，g = 120； 斜方晶系：a ≠ b ≠ c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a ≠ b ≠ g；
符号统称结晶符号
由于晶体的各种特性(形态、物性、结构等)都与晶 体的方向有关，所以晶体定向是研究晶体的最基本 的工作
2
一、晶体定向方法
晶体定向就是在晶体中以晶 体中心为原点建立一个坐标 系，这个坐标系一般由三根 晶轴X、Y、Z轴(也可用a、b、 c轴表示)组成。三根晶轴正 端之 间的夹角分别表示为 α(Y∧Z)、β(Z∧X)、 γ(X∧Y)。对于三、六方晶 系的晶体，通常要用四轴定 向法，即要选出四根晶轴
25
结晶学与矿物学
实际晶体之晶面
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结晶学与矿物学
晶带符号
• 晶带(zone)
– 交棱相互平行的一组晶面的组合
• 晶带轴(zone axis)
– 表示晶带方向的一根直线，即该晶带中各晶面交棱方 向直线，并移至过晶体中心
• 晶带符号(zone symbol)
– 晶带轴的符号就是晶棱符号。通常以晶带轴符号来表 示晶带符号
• 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交
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结晶学与矿物学
晶面符号
– 举例（3D）
c
C Z
x = (h k l) = ? y = (h k l) = ?
第四章晶体定向和晶面符号
§4.5
对称型的国际符号
对称面：m
一、国际符号中对称要素的表示法
对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号， 如 1 、 、 和 。 、 2 3 4 6 注意:由于1 L1i C ，习惯用 1 代表对称中心。
6、三方、六方晶系
对称特点：有且只有一个L3或L6或Li6。 选轴原则：以L6、Li6、L3为z轴，以垂直z轴并彼此相 交为1200的3个L2或P的法线或晶棱方向为x、y、u轴
z
u
y x
晶体常数特点 a＝b≠c，α＝β＝９０°γ＝１２０°
总结－晶体定向方法
1、根据晶体对称型，确定晶体属于何种晶系
整数比, 此时的h, k, l就称为晶面指数;
晶面符号写作（ h k l ）
注意：若晶面交于晶轴负端，则在相应指数上方加“－”号
Z
C
已知晶面ABC在X、Y、 Z轴上的截距为： OA=2a， OB=3b， OC=6c； 求晶面的米氏符号。
Oc a b A X
B
Y
截距系数的倒数比： 1/2∶1/3∶1/6 化整→ 3∶2∶1 去比例号，加小括号→(321)。
2、对应各晶系定向原则，确定相应的x轴、y轴、z轴
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z轴
§4.3晶面符号
一、 晶面符号
–所谓晶面符号就是根据晶面(或晶体中平行于 晶面的其他平面)与晶轴的空间关系，用简单 的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的的 一种晶体学符号; –目前国际上通用的都是米氏符号(Miller’s symbol)，亦称米勒符号。
等轴晶系
2 3 1
四方晶系
2 3 1 2 3 1 2 3
第4章 晶体定向与结晶符号(修改)
第四章 晶体定向与结晶符号
晶体定向——在晶体中建立一个坐标系，对晶 体中各晶面、晶棱以及对称要素标定方向。 结晶符号——表示晶面、晶棱及对称要素等的 方位的符号。
因晶体的各种特 本章内容——晶体定向的方法 性（形态、物性、 ——32种对称型各对称要素空间分布 结构等）都与晶体 ——国际符号，圣弗利斯符号 的方向有关，故晶 体定向是研究晶体 ——晶面符号及晶棱符号等 的最基本的工作。
我们并不知道晶面截晶轴的截距系数, 但我 们可以知道截距大小相对关系。 例如: 八面体（111）、立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴 上的晶面指数为0）
27
17
注意事项：
晶面符号的书写有一定的规定：
括号内第一个位置写晶面在X轴上的指数，中间写晶面在Y轴上的指 数，最后位置写晶面在Z轴上的指数。这个顺序不可任意颠倒。
国际符号中： 1,2,3,4,6——对称轴； 1, 2 , 3 , 4 , 6 ——旋转反伸轴，m——对称面。 2 若对称面与对称轴垂直，以斜线或横线隔开，如L2PC——2／m(或 ）
m
(可见，对称中心C不必再表示出来了，因为偶次轴垂直 对称面定会产生一个C)。
27 10
具体写法
设置三个位序（最多只有三个）,每个位序规定了写什么 方向上的对称要素。 位序与方向对应，是国际符号最主要特色 对称意义完全相同方向上的对称要素,不管有多少,只写 一个即可，即在对称型的国际符号中凡是可以通过其它对 称要素可以派生出来的对称要素都省略了。 简化，是国际符号的另一特色
晶带
27
24
晶带定律
晶带——交棱相互平行的一组晶面的组合。 晶带轴——表示晶带方向的直线，即过晶体中心该晶带 各晶面交棱方向直线。晶带轴的符号就是晶棱符号。 通常以晶带轴符号来表示晶带符号，如晶带[001]，表示 以[001]直线为晶带轴的那一组交棱相互平行的晶带。
晶体定向——在晶体中建立一个坐标系，对晶 体中各晶面、晶棱以及对称要素标定方向。 结晶符号——表示晶面、晶棱及对称要素等的 方位的符号。
因晶体的各种特 本章内容——晶体定向的方法 性（形态、物性、 ——32种对称型各对称要素空间分布 结构等）都与晶体 ——国际符号，圣弗利斯符号 的方向有关，故晶 体定向是研究晶体 ——晶面符号及晶棱符号等 的最基本的工作。
我们并不知道晶面截晶轴的截距系数, 但我 们可以知道截距大小相对关系。 例如: 八面体（111）、立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴 上的晶面指数为0）
27
17
注意事项：
晶面符号的书写有一定的规定：
括号内第一个位置写晶面在X轴上的指数，中间写晶面在Y轴上的指 数，最后位置写晶面在Z轴上的指数。这个顺序不可任意颠倒。
国际符号中： 1,2,3,4,6——对称轴； 1, 2 , 3 , 4 , 6 ——旋转反伸轴，m——对称面。 2 若对称面与对称轴垂直，以斜线或横线隔开，如L2PC——2／m(或 ）
m
(可见，对称中心C不必再表示出来了，因为偶次轴垂直 对称面定会产生一个C)。
27 10
具体写法
设置三个位序（最多只有三个）,每个位序规定了写什么 方向上的对称要素。 位序与方向对应，是国际符号最主要特色 对称意义完全相同方向上的对称要素,不管有多少,只写 一个即可，即在对称型的国际符号中凡是可以通过其它对 称要素可以派生出来的对称要素都省略了。 简化，是国际符号的另一特色
晶带
27
24
晶带定律
晶带——交棱相互平行的一组晶面的组合。 晶带轴——表示晶带方向的直线，即过晶体中心该晶带 各晶面交棱方向直线。晶带轴的符号就是晶棱符号。 通常以晶带轴符号来表示晶带符号，如晶带[001]，表示 以[001]直线为晶带轴的那一组交棱相互平行的晶带。
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例如：
通常用（hkl）表示. h,k,l 叫晶面指数.
u
但对于三方, 六方晶系来 说,可以用四轴定向, 要 用四个晶面指数h,k i,l, 晶面符号为（hkil）, 前面三个指数的代数 和等于0. 例如:（1120） （1011）等。
因为四指数晶面符号（hkil） 中，h+k+i = 0, 所以有些文献资料中也将（hkil） 简化为 （hkl），如 （1120）、（1011）也可简 化写成（110）、（101）。
垂 直 ， 则 两 者 之 间 以 斜 线 或 横 线 隔 开 ， 如 L2PC 以 2/m表示，L4PC以4/m表示(由此可以看出，对称中
心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面 定会产生一个C)。
具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三 个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要 素(序号位与方向对应，这是国际符号的最主要 的特色),对称意义完全相同的方向上的对称要素, 不管有多少,只写一个就行了（简化，这是国际 符号的另一特色）.
举例：在模型上定出晶体常数特点：等轴、四方、斜方
二、 对称型的国际符号
对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对 称要素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方 向性,3）但它不容易看懂.
特点是:一些可以派生出来的对称要素都省略了.
对称轴以 1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋 转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴
晶面在三根晶轴上的截距系数的倒数比，用 小括号括起来。
举例:
某晶面在X,Y,Z轴上的截距为 2a,3b,6c, 那么截距系数为 2, 3, 6, 倒数为1/2, 1/3, 1/6, 化简以后的倒数比为3:2:1, 写做(321),这就是该晶面的 米氏符号.
注意：三个晶轴上的轴单位 不一定相等，所以，截距 系数与截距不一定成正比。
2 . 晶带定律: 晶带: 交棱相互平行的一组晶面. 晶带轴:移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号.
举例:
晶体上的晶面是以晶带的形式发育的. 晶带定律: 任两晶带(晶棱)相交可决定一可能晶面,
z
行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ), 这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和 晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以 知道轴单位之间的比值关系,即： a:b:c
例如, 等轴晶系的 a:b:c =? 四方晶系的 a:b:c =?
我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角,轴率 与轴角统称晶体常数.见表4－1.表中列出的是晶 体常数特点.因为根据晶体的宏观形态只能定出 晶体常数特点,不能定出晶体常数.
对于斜方晶系，（100）垂直[100]，但（110）不垂直[110]， （111）不垂直[111] ，因为a =/ b =/ c。
具体的分析如图所示：
另外请注意：三、六方晶系的晶棱符号 有四个指数[1120][1011]等。它们也可以 转化成三指数符号，但转化关系要通过 计算，不是简单地将第三个指数去掉就 行了的。
第四章 晶体的定向与结晶符 号
本章要为晶体建立坐标体系，然后对晶 体上所有的面、线等的方位进行标定。
一、 晶体定向的方法
以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由 X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
Z
Y X 三个晶轴不一定垂直 那么,怎么选出这些晶轴?
Z U
Y
X
120º
四、 整数定律与晶带定律
1. 整数定律
晶面指数为简单整数. 为什么?
因为指数越简单的晶面 对应到内部结构是面 网密度大的面网,而面 网密度大的面网容易 形成晶面（因为能量 低容易形成晶面）,所 实际晶体上的晶面就 是晶面指数简单的晶 面.
整数定律是继面角守恒定律后的又一个在远古年代根据晶 体形态特点发现的规律.
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特 点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空间 格子的三个主要行列方向是一致的.
为什么?因为空间格子中三个主要行列 也是根据晶体的对称性,人为地画出来的. 而晶轴也是根据晶体的对称性,人为地选出 来的.晶体的内部对称与晶体的宏观对称是 一致的,所以 晶轴与三个行列就是一致的.
本教材的三、六方晶系都写四指数晶面符号。
在晶体模型上怎么写晶面符号?因为我们并不知道晶 面截晶轴的截距系数, 但我们可以知道截距大小相对关 系. 例如: 八面体（111）、四方双锥（hhl）斜方双锥（hkl） 立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴上的晶面指数为0）
2. 晶棱符号:
为直线符号, 表示这一直线的方向即可。 方法为：将晶棱（或其他直线）移至经过 晶体中心（即坐标原点）, 然后在直线上任 取一点,该点在三根晶轴上的坐标系数比值 写进方括号即可 ：[rst]
举例: 立方体、八面体垂直晶面的直线符号分 别:[100],[111]
晶面符号与晶棱符号的关系：
对于等轴晶系，所有同名轴与面是相互垂直的，如（100） 垂直[100]，（110）垂直[110]，（111）垂直[111] 。
对于四方晶系，有些同名轴与面是相互垂直的，如（100） 垂直[100]，（110）垂直[110]，但（111）不垂直[111] ，因为 a = b =/ c。
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全 不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全 不同,一定不要弄混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4－3(此表很重 要，要熟记！).
表4-3: 国际符号举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
三、 晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
选晶轴的原则:
1）与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要 素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为 90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择 晶轴的具体方法也不同,见表4-1(此表非常重要， 要熟记).
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
通常用（hkl）表示. h,k,l 叫晶面指数.
u
但对于三方, 六方晶系来 说,可以用四轴定向, 要 用四个晶面指数h,k i,l, 晶面符号为（hkil）, 前面三个指数的代数 和等于0. 例如:（1120） （1011）等。
因为四指数晶面符号（hkil） 中，h+k+i = 0, 所以有些文献资料中也将（hkil） 简化为 （hkl），如 （1120）、（1011）也可简 化写成（110）、（101）。
垂 直 ， 则 两 者 之 间 以 斜 线 或 横 线 隔 开 ， 如 L2PC 以 2/m表示，L4PC以4/m表示(由此可以看出，对称中
心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面 定会产生一个C)。
具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三 个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要 素(序号位与方向对应，这是国际符号的最主要 的特色),对称意义完全相同的方向上的对称要素, 不管有多少,只写一个就行了（简化，这是国际 符号的另一特色）.
举例：在模型上定出晶体常数特点：等轴、四方、斜方
二、 对称型的国际符号
对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对 称要素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方 向性,3）但它不容易看懂.
特点是:一些可以派生出来的对称要素都省略了.
对称轴以 1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋 转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴
晶面在三根晶轴上的截距系数的倒数比，用 小括号括起来。
举例:
某晶面在X,Y,Z轴上的截距为 2a,3b,6c, 那么截距系数为 2, 3, 6, 倒数为1/2, 1/3, 1/6, 化简以后的倒数比为3:2:1, 写做(321),这就是该晶面的 米氏符号.
注意：三个晶轴上的轴单位 不一定相等，所以，截距 系数与截距不一定成正比。
2 . 晶带定律: 晶带: 交棱相互平行的一组晶面. 晶带轴:移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号.
举例:
晶体上的晶面是以晶带的形式发育的. 晶带定律: 任两晶带(晶棱)相交可决定一可能晶面,
z
行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ), 这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和 晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以 知道轴单位之间的比值关系,即： a:b:c
例如, 等轴晶系的 a:b:c =? 四方晶系的 a:b:c =?
我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角,轴率 与轴角统称晶体常数.见表4－1.表中列出的是晶 体常数特点.因为根据晶体的宏观形态只能定出 晶体常数特点,不能定出晶体常数.
对于斜方晶系，（100）垂直[100]，但（110）不垂直[110]， （111）不垂直[111] ，因为a =/ b =/ c。
具体的分析如图所示：
另外请注意：三、六方晶系的晶棱符号 有四个指数[1120][1011]等。它们也可以 转化成三指数符号，但转化关系要通过 计算，不是简单地将第三个指数去掉就 行了的。
第四章 晶体的定向与结晶符 号
本章要为晶体建立坐标体系，然后对晶 体上所有的面、线等的方位进行标定。
一、 晶体定向的方法
以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由 X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
Z
Y X 三个晶轴不一定垂直 那么,怎么选出这些晶轴?
Z U
Y
X
120º
四、 整数定律与晶带定律
1. 整数定律
晶面指数为简单整数. 为什么?
因为指数越简单的晶面 对应到内部结构是面 网密度大的面网,而面 网密度大的面网容易 形成晶面（因为能量 低容易形成晶面）,所 实际晶体上的晶面就 是晶面指数简单的晶 面.
整数定律是继面角守恒定律后的又一个在远古年代根据晶 体形态特点发现的规律.
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特 点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空间 格子的三个主要行列方向是一致的.
为什么?因为空间格子中三个主要行列 也是根据晶体的对称性,人为地画出来的. 而晶轴也是根据晶体的对称性,人为地选出 来的.晶体的内部对称与晶体的宏观对称是 一致的,所以 晶轴与三个行列就是一致的.
本教材的三、六方晶系都写四指数晶面符号。
在晶体模型上怎么写晶面符号?因为我们并不知道晶 面截晶轴的截距系数, 但我们可以知道截距大小相对关 系. 例如: 八面体（111）、四方双锥（hhl）斜方双锥（hkl） 立方体（100）
（晶面与某晶轴平行，该晶轴上的晶面指数为0）
2. 晶棱符号:
为直线符号, 表示这一直线的方向即可。 方法为：将晶棱（或其他直线）移至经过 晶体中心（即坐标原点）, 然后在直线上任 取一点,该点在三根晶轴上的坐标系数比值 写进方括号即可 ：[rst]
举例: 立方体、八面体垂直晶面的直线符号分 别:[100],[111]
晶面符号与晶棱符号的关系：
对于等轴晶系，所有同名轴与面是相互垂直的，如（100） 垂直[100]，（110）垂直[110]，（111）垂直[111] 。
对于四方晶系，有些同名轴与面是相互垂直的，如（100） 垂直[100]，（110）垂直[110]，但（111）不垂直[111] ，因为 a = b =/ c。
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全 不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全 不同,一定不要弄混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4－3(此表很重 要，要熟记！).
表4-3: 国际符号举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
三、 晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
选晶轴的原则:
1）与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要 素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为 90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择 晶轴的具体方法也不同,见表4-1(此表非常重要， 要熟记).
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)