用平面向量解三角形问题

第五编 平面向量、解三角形

§5.1 平面向量的概念及线性运算

基础自测

1.下列等式正确的是 （填序号）.

①a +0=a ②a +b =b +a ③+≠0 ④=++ 答案 ①②④

2.如图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论中正确的是 .

①= ②+= ③-= ④+=0 答案 ①②④

3.（20082广东理，8）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若=a ,=b ,则= .

答案

3

2a +31b 4.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB =a ，AD =b ，则= . 答案 b -2

1a 5.设四边形ABCD 中，有=2

1

，且||=||，则这个四边形是 . 答案 等腰梯形

例1 给出下列命题

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 . 答案 4

例2 如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形， AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知=a ， =b

，

=c

，试用

a 、

b 、

c 表示，，

+.

C D

∵MN =MD ++AN ， ∴=-21,=-,=2

1

, ∴MN =

21a -b -2

1c . +CN =+MN +CM +MN =2MN =a -2b -c .

例3 设两个非零向量a 与b 不共线， （1）若=a +b ,=2a +8b ,=3(a -b )， 求证：A 、B 、D 三点共线；

（2）试确定实数k ，使k a +b 和a +k b 共线. （1）证明 ∵=a +b ,=2a +8b ,=3(a -b ), ∴=+=2a +8b +3(a -b ) =2a +8b +3a -3b =5(a +b )=5. ∴、共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.

（2）解 ∵k a +b 与a +k b 共线， ∴存在实数λ，使k a +b =λ(a +k b ), 即k a +b =λa +λk b . ∴(k -λ)a =(λk -1)b .

∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k -λ=λk -1=0，∴k 2

-1=0. ∴k =±1.

例4 （14分）如图所示，在△ABO 中，=4

1

, =

2

1

,AD 与BC 相交于点M ，设=a ，=b .试 用a 和b 表示向量. 解 设OM =m a +n b ，

则=-=m a +n b -a =(m -1)a +n b . =-=

21-=-a +2

1b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线. ∴存在实数t ,使得=t ， 即(m -1)a +n b =t (-a +2

1

b ). 4分 ∴(m -1)a +n b =-t a +

2

1

t b . ??

???=-=-21t

n t m ，消去t 得：m -1=-2n . 即m +2n =1. ① 6分

∴

又∵CM =-=m a +n b -41a =(m -4

1

)a +n b . =-=b -

4

1a =-41

a +

b .

又∵C 、M 、B 三点共线，∴与共线. 10分 ∴存在实数t 1,使得=t 1, ∴(m -41)a +n b =t 1??

? ??+-41,

∴??

???

=-=-114141t n t m ， 消去t 1得,4m +n =1 ② 12分 由①②得m =71,n =7

3, ∴OM =71a +7

3

b . 14分

1.下列命题中真命题的个数为 . ①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ;

②若=，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点； ③若a =b ,b =c ,则a =c ; ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 答案 1

2.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ， 使DB =

3

1

OB .DC 与OA 交于E ，设=a ，=b ，用a , b 表示向量，. 解 因为A 是BC 的中点， 所以=

2

1

(+)，即=2-=2a -b ； =-=-

32=2a -b -32

b =2a -3

5b . 3.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ,t b ,

3

1

(a +b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设=a ，=t b ，=31

(a +b )，

∴=-=-32

a +3

1b ，=-=t b -a . 要使A 、B 、C 三点共线，只需AC =

λ

即-32

a +3

1b =λt b -λa a b

∴有 ???????=-=-t λλ3132，∴???????

==21

32t λ ∴当t =

2

1

时，三向量终点在同一直线上. 4.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上， 且AN =2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值. 解 方法一 设e 1=BM ,e 2=, 则=+CM =-3e 2-e 1， =+=2e 1+e 2.

=λ=-3λe 2-λe 1，

因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在实数μ、λ，使=μ=2μe 1+μe 2，∴=-=（λ+2μ）e 1+（3λ+μ）e 2，

另外=+=2e 1+3e 2，

??

?=+=+3322μλμλ，∴???????==53

54μλ， ∴=

54

,=5

3,∴AP ∶PM =4∶1. 方法二 设=λAM ， ∵=21（+）=21+4

3

， ∴=

2λ

+4

3λ. ∵B 、P 、N 三点共线，∴-=t (-), ∴=(1+t )-t

∴???????-=+=t t λλ

4312 ∴2λ+43

λ=1，λ=5

4，∴AP ∶PM =4∶1.

一、填空题

1.下列算式中正确的是 （填序号）.

①++=0 ②-= ③02=0 ④λ（μa ）=λ2μ2a 答案 ①③④

2.（20082全国Ⅰ理）在△ABC 中，=c ，=b ，若点D 满足=2

，则= （用b ,c 表示）. 答案

32

b +3

1c

11是 . 答案 等腰梯形

4.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面 分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若 =a 1+b 2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 a 0,b 0.(用“＞”,“＜”或“=”填空) 答案 ＞ ＜

5.设=x +y ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过端点O ），则x +y = . 答案 1

6.已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若++=，则点P 在线段 上. 答案 AC

7.在△ABC 中，=a ，=b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则可用a 、b 表示为 . 答案 -32

a +3

1b 8.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2,=3

1

+λ,则λ= . 答案

3

2 二、解答题

9.如图所示，△ABC 中，=3

2

，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上中线，交DE 于N .设=a ，=b ，用a ,b 分别表示向量，，，，，.

解 ?

?

?

?

?

=BC DE 32//?=3

2

=

3

2

b . BC =AC -=b -a .

由△ADE ∽△ABC ，得=

32=3

2

(b -a ). 由AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，得 =

21

DE =3

1(b -a ). 而且=+=a +21=a +2

1

(b -a ) =

2

1

(a +b ). ??

?

??

=??ABM ADN 32?=3

2

=

3

1

(a +b ). 10.如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，=3

2

，=a ，=b . （1）用a 、b 表示向量、、、、； （2）求证：B 、E 、F 三点共线. （1）解 延长AD 到G ，使=2

1

， 连接BG 、CG ，得到 ABGC ，

∽

AD =21=21

(a +b ), =32

=31(a +b ). =

21=2

1b , =-=31(a +b )-a =31

(b -2a ). =-=

21b -a =2

1

(b -2a ). (2)证明 由(1)可知=

3

2

BF ,所以B 、E 、F 三点共线. 11.已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：=2

1

(+). 证明 方法一 如图， ∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，

∴+=0，FB +=0， 又∵+++=0，

∴=++ ① 同理=++ ② 由①+②得，

2=++（+）+（+）=+. ∴=

2

1

(+). 方法二 连结，，

则=+DC ， =+AB ，

∴=2

1

(+) =2

1

(+++) =

2

1

(+). 12.已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且=x ，=y ， 求

x 1+y

1

的值. 解 根据题意G 为三角形的重心， 故AG =

3

1

(+AC )， =-=

3

1

(+)-x

=(

31-x )+3

1

, =-=y -

=y -3

1

(+) =（y -

31）-3

1

, 由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知 =λ?(

31-x )+3

1

=λ???

???--AB AC y 31)31(，

??????

?-=-=-)31(3

13131

y x λλ?

3

1

31-

-x =3131

-y

?x +y -3xy =0两边同除以xy 得x

1

+

y

1

=3.

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示

基础自测

1.已知平面向量a =（1，1），b =(1,-1),则向量21a -2

3

b = . 答案 (-1,2)

2.（20082 安徽理）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则= . 答案 （-3，-5）

3.若向量a =(1,1)，b =(1,-1),c =(-2,1),则c = （用a ,b 表示）. 答案 -21a -2

3

b 4.已知向量a =???

??x 2`1,8,b =(x ，1)，其中x ＞0，若(a -2b ）∥(2a +b )，则x 的值为 .

答案 4

5.设a =??? ??

43,sin x ，b =??? ??x ，cos 2131，且a ∥b ，则锐角x 为 .

答案 4

π

例1 设两个非零向量e 1和e 2不共线.

（1）如果=e 1-e 2，=3e

1

+2

e 2，=-8e 1-2e 2， 求证：A 、C 、D 三点共线；

121212（1）证明 =e 1-e 2，BC =3e 1+2e 2, CD =-8e 1-2e 2, =+=4e 1+e 2

=-

21(-8e 1-2e 2)=-2

1

, ∴与共线， 又∵与有公共点C ， ∴A 、C 、D 三点共线.

（2）解 =+=（e 1+e 2）+（2e 1-3e 2）=3e 1-2e 2， ∵A 、C 、D 三点共线，

∴与共线，从而存在实数λ使得=λ, 即3e 1-2e 2=λ(2e 1-k e 2)，由平面向量的基本定理，

得???-=-=k

λλ223，解之得λ=32，k =34.

例2 已知点A （1，0）、B （0，2）、C （-1，-2），求以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.

解 设D 的坐标为（x ,y ）. (1)若是 ，则由=DC 得

(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x ,y ), 即(-1,2)=(-1-x ,-2-y ),

∴???=---=--2

21

1y x , ∴x =0，y =-4. ∴D 点的坐标为（0，-4）（如图中的D 1）. （2，则由=CB 得 （x ，y ）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2）， 即(x -1,y )=(1,4).解得x =2,y =4. ∴D 点坐标为（2，4）（如图中的D 2）. （3，则由=得 （0，2-（1，0）=（x ,y ）-(-1,-2), 即(-1,2)=(x +1,y +2). 解得x =-2,y =0.

∴D 点的坐标为（-2，0）（如图中的D 3）.

综上所述，以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）. 例3 （14分）平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题： （1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k ;

(2)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d . 解 （1）∵（a +k c ）∥（2b -a ），

又a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 2分 ∴23(3+4k )-(-5)3(2+k )=0, 4分 ∴k =-13

16

. 6分 （2）∵d -c =(x -4,y -1),a +b =(2,4),

又(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,

∴()()()()??

???=-+-=---114012442

2y x y x ， 10分 解得???????+=+

=552155

4y x 或???

????-=-=5521554y x . 12分

∴d =???? ??++55255520，

或d =???

?

??--55255520，. 14分

1.如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM =c ，=d ，试用c ，d 表示，AD . 解 方法一 设AB =a ，AD =b ，

则a =+=d +??

? ??-b 21

b =+=

c +??

?

??-a 21

将②代入①得a =d +?

?

?

??-21??

??????? ??-+a c 21 ?a =

d 34

-3

2c ,代入② 得b =c+?

??

??-21=??? ??-c d 323

4

34c -32d

即=

34d-32c ，=34c -3

2d 方法二 设=a ，=b . 因M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以=

21b ，=2

1

a ， 因而???????

?

+=+=b a d a b c 2121???

???

?

-=-=)2(32)2(3

2d c b c d a , 即AB =

32(2d -c ), AD =3

2

(2c -d ). 2.已知A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）且CM =3，=2，求点M 、N 及的坐标. 解 ∵A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）， ∴=（1，8），=（6，3），

∴CM =3=（3，24），=2=

（

12

，

6). 设M （x ，y ），则有CM =（x +3，y +4），

∴???=+=+24433y x ，∴???==200y x ,

∴M 点的坐标为（0，20）.

同理可求得N 点坐标为（9，2），因此=（9，-18）， 故所求点M 、N 的坐标分别为（0，20）、（9，2）， 的坐标为（9，-18）.

3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=31，=3

1

. 求证：∥.

证明 设E 、F 两点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则依题意，得=（2，2），=（-2，3）， =（4，-1）.

AE =

31=??? ??32,32,BF =31=??

?

??-1,32 =(x 1,y 1)-(-1,0)= ??

? ??32,32,

=(x 2,y 2)-(3,-1)= ???

??-1,32.

一、填空题

1.已知向量a =(2,3),b =(-1,2)，若m a +n b 与a -2b 共线，则n

m

= . 答案 -2

1 2.设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知=2a +p b ，BC =a +b ，CD =a -2b .若A 、B 、D 三点共线，则 p 的值为 . 答案 -1

3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则

2

1

= . 答案 ??? ?

?

-214，

4.（

20072北京文）已知向量a =(2,4),b =(1,1),若向量b ⊥(a +λb )，则实数λ的值是

. 答案 -3

EF

EF

.

AB AB

的坐标为 .

答案 ??

? ??272，

6.设0≤θ＜2π，已知两个向量1=（cos θ，sin θ），2OP =（2+sin θ，2-cos θ），则向量21P P 长度的最大值是 . 答案 32

7.（20082全国Ⅱ文）设向量a =(1,2),b =(2,3)，若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线，则λ= . 答案 2

8.（20082菏泽模拟）已知向量m =(a -2,-2),n =(-2,b -2),m ∥n (a ＞0,b ＞0)，则ab 的最小值是 . 答案 16 二、解答题

9.已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）. 设=a ，=b ，=c ，且CM =3c ，=-2b ， （1）求：3a +b -3c ；

（2）求满足a =m b +n c 的实数m ，n .

解 由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). （2）∵mb +nc =（-6m +n ，-3m +8n ），

∴???-=+-=+-58356n m n m ，解得?

??-=-=11n m .

10.若a ,b 为非零向量且a ∥b ,λ1,λ2∈R ,且λ1λ2≠0. 求证：λ1a +λ2b 与λ1a -λ2b 为共线向量. 证明 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).

∵a ∥b ,b ≠0,a ≠0,∴存在实数m ,使得a =m b , 即a =(x 1,y 1)=(mx 2,my 2),

∴λ1a +λ2b =((m λ1+λ2)x 2,(m λ1+λ2)y 2) =(m λ1+λ2)(x 2,y 2)

同理λ1a -λ2b =(m λ1-λ2)(x 2,y 2), ∴(λ1a +λ2b )∥(λ1a -λ2b )∥b , 而b ≠0,∴(λ1a +λ2b )∥(λ1a -λ2b ).

11.中，A （1，1），=（6，0），点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P . （1）若=（3，5），求点C 的坐标； （2）当||=||时，求点P 的轨迹. 解 （1）设点C 坐标为（x 0，y 0）,

又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）, 即（x 0-1,y 0-1）=（9，5）， ∴x 0=10，y 0=6，即点C （10，6）. （2）由三角形相似，不难得出=2MP 设P （x ,y ），则

BP =-=（x -1，y -1）-（6，0）=（x -7，y -1）,

=AM +MC =

2

1

+3MP

=

21+3（-2

1

） =3-=（3（x -1），3（y -1））-（6，0）

=（3x -9，3y -3），

∵||=||为菱形， ∴AC ⊥BD ，

∴⊥BP ，即（x -7，y -1）2（3x -9，3y -3）=0. （x -7）（3x -9）+（y -1）（3y -3）=0， ∴x 2

+y 2

-10x -2y +22=0（y ≠1）. ∴（x -5）2

+（y -1）2

=4（y ≠1）.

故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y =1的两个交点. 12.A (2,3),B (5,4),C (7,10),=+λ.当λ为何值时， （1）点P 在第一、三象限的角平分线上； （2）点P 到两坐标轴的距离相等？

解 （1）由已知=（3，1），AC =（5，7）， 则+λ=(3，1)+λ(5，7)=（3+5λ，1+7λ）. 设P （x ，y ），则=（x -2，y -3），

∴???+=-+=-λλ713532y x ，∴???+=+=λλ7455y x . ∵点P 在第一、三象限的角平分线上， ∴x =y ，即5+5λ=4+7λ,∴λ=

2

1

. (2）若点P 到两坐标轴的距离相等， 则|x |=|y |,即|5+5λ|=|4+7λ|, ∴λ=21或λ=-4

3.

1.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 . 答案

565 2.在边长为1的正三角形ABC 中，设=a ，=c ，=b ，则a 2b +b 2c +c 2a = . 答案

2

1 3.向量a =(cos15°,sin15°),b =(-sin15°,-cos15°),则|a -b |的值是 . 答案 3

4.（20092常州市武进区四校高三联考）已知向量a =(2,1),b =(3,λ) (λ＞0),若(2a -b )⊥b ,则λ= . 答案 3

5.(20082浙江理)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足（a -c ）2（b -c ）=0，则|c |的最大值是 . 答案 2

例1 已知向量a =??? ??

x x 23sin ,23cos

b =??? ??-2sin ,2cos x x 且x ∈???

???-4,3ππ.

（1）求a 2b 及|a +b |;

(2)若f (x )=a 2b -|a +b |，求f (x )的最大值和最小值.

解 （1）a 2b =cos

23x cos 2x -sin 23

x sin 2

x =cos2x , a +b =??? ?

?

-+2sin 23sin 2cos 23cos x x ，x x

(2)由（1）可得f (x )=cos2x -2cos x =2cos 2

x -2cos x -1

∴当cos x =

21时，f (x )取得最小值为-2

3； 当cos x =1时，f (x )取得最大值为-1.

例2 已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0＜α＜β＜π). (1)求证：a +b 与a -b 互相垂直；

（2）若k a +b 与a -k b 的模相等，求β-α.(其中k 为非零实数) （1）证明 (a +b )2(a -b )=a 2

-b 2

=|a |2

-|b |2

=(cos 2α+sin 2α)-(cos 2β+sin 2

β)=0,

∴a +b 与a -b 互相垂直.

（2）解 k a +b =(k cos α+cos β,k sin α+sin β),a -k b =(cos α-k cos β,sin α-k sin β), b a +k =,1)cos(22+-+αβk k b a k -=.)cos(212k k +--αβ

b a +k =b a k -,

).cos(2)cos(2αβαβ--=-∴k k

又k ≠0,∴cos(αβ-)=0. 而0＜α＜β＜π,∴β-α=

2

π. 例3 （14分）设两个向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1与e 2的夹角为3

π

,若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹 角为钝角，求实数t 的范围.

解 由向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角， 得

()()2

1

2

1

212·72·72e

e e e e e e ++++＜0, 3分 即(2t e 1

+7

e 2)2(e 1+t e 2)＜0, 化简即得：2t 2

+15t +7＜0,

t e 1 t t t

解得-7＜t ＜-2

1

, 7分 当夹角为π时，

也有(2te 1+7e 2)2(e 1+t e 2)＜0,

但此时夹角不是钝角，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2反向. 9分 设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2),λ＜0,

可求得???

??<==072λλλ

t t ，∴?????-=-=21414t λ 12分

∴所求实数t 的范围是???

? ??-

-2147, ???? ??--21,214. 14分

1.向量a =(cos23°,cos67°),向量b =(cos68°,cos22°). (1)求a 2b ；

（2）若向量b 与向量m 共线，u =a +m ,求u 的模的最小值. 解 （1）a 2b =cos23°2cos68°+cos67°2cos22° =cos23°2sin22°+sin23°2cos22°=sin45°=2

2

. （2）由向量b 与向量m 共线， 得m =λb (λ∈R ）， u =a +m =a +λb

=(cos23°+λcos68°,cos67°+λcos22°) =（cos23°+λsin22°，sin23°+λcos22°）， |u |2

=(cos23°+λsin22°)2

+(sin23°+λcos22°)2

=λ2

+2λ+1=2

22???

? ??+λ +21， ∴当λ=-

22时，|u |有最小值为2

2. 2.已知平面向量a =???

?

??-23,

21,b =(-3,-1). (1)证明：a ⊥b ;

(2）若存在不同时为零的实数k 、t ,使x =a +(t 2

-2)b ,y =-k a +t 2

b ,且x ⊥y ，试把k 表示为t 的函数. (1)证明 a 2b =???

?

??-23,

212()

1,3-- =???

??-213(-3)+233(-1)=0,

∴a ⊥b .

(2)解 ∵x ⊥y ,∴x 2y =0, 即［a +(t 2

-2)b ］2（-k a +t 2

b ）=0.

展开得-k a 2

+［t 2

-k (t 2

-2)］a 2b +t 2

(t 2

-2)b 2

=0,

∵a 2b =0,a 2

=|a |2

=1,b 2

=|b |2

=4, ∴-k +4t 2

(t 2

-2)=0,∴k =f (t )=4t 2

(t 2

-2).

3.设a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且a 与b 具有关系|k a +b |=3|a -k b |(k ＞0). （1）用k 表示a 2b ；

（2）求a 2b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角. 解 （1）∵|k a +b |=3|a -k b |， ∴(k a +b )2

=3(a -k b )2

，且|a |=|b |=1， 即k 2

+1+2k a 2b =3(1+k 2

-2k a 2b )， ∴4k a 2b =k 2

+1.∴a 2b =

k

k 41

2+(k ＞0）. （2）由（1）知：∵k ＞0 ∴a 2b =

k

k k k 1

··2·41414≥+ =21.

∴a 2b 的最小值为

2

1

(当且仅当k =1时等号成立) 设a 、b 的夹角为θ，此时cos θ=

b a b a ·=2

1

. 0≤θ≤π,∴θ=

3

π. 故a 2b 的最小值为2

1，此时向量a 与b 的夹角为3π.

一、填空题

1.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA 2OB =OB 2 OC =OC 2OA ，则点O 是△ABC 的 心. 答案 垂

2.若向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则a 2b +b 2b 的值为 . 答案 5

3.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=4,且a 2b =2,则a 与b 的夹角为 . 答案

3

π

4.若a 与b -c 都是非零向量，则“a 2b =a 2c ”是“a ⊥（b -c ）”的 条件. 答案 充要

5.已知a ，b 是非零向量，且满足（a -2b ）⊥a ，（b -2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是 . 答案

3

π

6.（20092成化高级中学高三期中）已知3a +4b +5c =0,且|a |=|b |=|c |=1,则a 2(b +c )= . 答案 5

3-

7.（20082天津理，14）如图所示，在平行四边形ABCD 中，

=（1，2），=（-3，2），则2= .

答案 3

8.（20082 江西理，13）直角坐标平面内三点A （1，2）、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F 为线段BC 的三等分点，则2= . 答案 22 二、解答题

9.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：（a -b ）⊥c ;

(2)若|k a +b +c |＞1 (k ∈R )，求k 的取值范围. （1）证明 ∵（a -b ）2c =a 2c -b 2c

=|a |2|c |2cos120°-|b |2|c |2cos120°=0, ∴（a -b ）⊥c .

（2）解 |k a +b +c |＞1?|k a +b +c |2

＞1,

?k 2

a 2

+b 2

+c 2

+2k a 2b +2k a 2c +2b 2c ＞1.

∵|a |=|b |=|c |=1，且a 、b 、c 的夹角均为120°, ∴a 2

=b 2

=c 2

=1，a 2b =b 2c =a 2c =-2

1

， ∴k 2

+1-2k ＞1,即k 2

-2k ＞0,∴k ＞2或k ＜0.

10.已知a =??? ??-=??? ??32cos ,32sin ,34cos ,34sin θθθθb ,且θ∈???

???π30,.

（1）求

b

a b

a +·的最值； （2）若|k a +

b |=3|a -k b | (k ∈R ),求k 的取值范围. 解 （1）a 2b =-sin

34θ2sin 32θ+cos 34θ2cos 3

2θ=cos2θ， |a +b |2

=|a |2

+|b |2

+2a 2b =2+2cos2θ=4cos 2

θ.

∵θ∈??????3,0π，∴cos θ∈???

???1,21，∴|a +b |=2cos θ.

∴

b

a b a +·= θθcos 22cos =cos θ-θcos 21. 令t =cos θ,则21≤t ≤1,??? ??

-t t 21′=1+2

21t ＞0, ∴t -t 21

在t ∈??

????121，上为增函数.

∴-

21≤t -t

21

≤21，

即所求式子的最大值为

21，最小值为-2

1

. （2）由题设可得|k a +b |2

=3|a -k b |2

, ∴(k a +b )2

=3(a -k b )2

又|a |=|b |=1,a 2b =cos2θ，∴cos2θ=k k 412

+.

由θ∈??

?

???π30,，得-21≤cos2θ≤1.

∴-

21≤k

k 412

+≤1.解得k ∈［2-3，2+3］ {-1}. 11.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.

解 由|m |=1，|n |=1，夹角为60°，得m 2n =

2

1. 则有|a |=|2m +n |=2)2(n m +=2244n n ·m m ++=7. |b |=2)32(m n -=229124m n m n +?-=7. 而a 2b =（2m +n ）2（2n -3m ）=m 2n -6m 2

+2n 2

=-2

7

， 设a 与b 的夹角为θ，

则cos θ=b

a b

a ··=727

-

=-21.故a ，b 夹角为120°.

12.已知向量a =??? ?

?=??? ??-222323x sin ，x cos ,x sin ，x cos b ,x ∈???

???20π，.若函数f (x )=a 2b -21λ|a +b |的最小值为-23，求实数λ的值.

解 ∵|a |=1，|b |=1，x ∈???

???20π，，

∴a 2b =cos

23x cos 2x -sin 23x sin 2

x =cos2x ， |a +b |=2)(b a +=222b b a a +?+ =x 2cos 22+=2x cos =2cos x .

∴f （x ）=cos2x -λcos x =2cos 2

x -λcos x -1

=22

4cos ??? ?

?

-λx -82λ-1，cos x ∈［0，1］.

①当λ＜0时，取cos x =0,此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min =-1≠-2

3

,不合题意. ②当0≤λ≤4时，取cos x =4

λ, 此时f (x ）取得最小值， 并且f (x )min =-

8

2

λ-1=-

2

3

,解得λ=2. ③当λ＞4时，取cos x =1,此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min =1-λ=-2

3, 解得λ=

2

5

,不符合λ＞4舍去,∴λ=2. §5.4 正弦定理和余弦定理

1.（20082陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则

a = . 答案 2

2.（20082福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2

+c 2

-b 2

）tan B =3ac ，则角B 的值为 . 答案

3π或3

2π 3.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解 ②△ABC 中，a =30,b =25,A =150°，有一解 ③△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解 ④△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解 答案 ①③④

4.在△ABC 中，A =60°，AB =5，BC =7，则△ABC 的面积为 . 答案 103

5.（20082浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若（3b -c ）cos A =a cos C ，则cos A = . 答案 3

3

例1 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c . 解 ∵B =45°＜90°且a sin B ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sin A =

b B a sin =2

45sin 3?

=23, 则A 为60°或120°.

①当A =60°时，C =180°-(A +B )=75°, c =

B C b sin sin =??45sin 75sin 2=??+?45sin )3045sin(2=2

2

6+. ②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°, c =

B C b sin sin =??45sin 15sin 2=?

?-?45sin )

3045sin(2=2

2

6-. 故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =2

2

6+或 A =120°,C =15°,c =

2

2

6-. 例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c

a b

+2.

（1）求角B 的大小；

（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.

解 （1）由余弦定理知：cos B =ac b c a 22

22-+，

cos C =

ab

c b a 22

22-+.

将上式代入

C B cos cos =-c

a b

+2得:

ac b c a 2222-+22222c

b a ab -+=-

c a b +2

整理得:a 2+c 2-b 2

=-ac

∴cos B =ac

b c a 2222-+=ac ac

2- =-21

∵B 为三角形的内角，∴B =3

2

π. （2）将b =13,a +c =4,B =

3

2

π代入 b 2

=a 2

+c 2

-2ac cos B ,得b 2

=(a +c )2

-2ac -2ac cos B

∴b 2

=16-2ac ??? ??-211,∴ac =3.

∴S △ABC =

21ac sin B =4

33. 例3 （14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2

+c 2

-a 2

+bc =0. （1）求角A 的大小；

（2）若a =3，求bc 的最大值； （3）求

c

b C a --?)

30sin(的值.

解 （1）∵cos A =

bc

a c

b 2222-+=b

c bc

2-=-21, 2分 又∵A ∈（0°，180°），∴A =120°. 4分

（2）由a =3,得b 2+c 2

=3-bc ,

又∵b 2+c 2

≥2bc （当且仅当c =b 时取等号），

∴3-bc ≥2bc (当且仅当c =b 时取等号）. 6分 即当且仅当c =b =1时，bc 取得最大值为1. 8分 （3）由正弦定理得：===C

c

B b A a sin sin sin 2R , ∴C

R B R C A R c b C a sin 2sin 2)

30sin(sin 2)30sin(--?=--? 10分

=

C

B C A sin sin )

30sin(sin --? 11分

=C

C C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--?- 12分 =C C C C sin 23

cos 23)

sin 43

cos 43-- 13分

=

2

1

. 14分 例4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2

+b 2

）sin （A -B ）=