高中数学解三角形和平面向量
一、选择题： 1.在△ABC中，若a = 2 ,23b,030A , 则B等于（ B ） A．60o B．60o或 120o C．30o D．30o或150o
2．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=2,b=6,B=120o，则a等于（ D ）
A．6 B．2 C．3 D．2 3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且，A=45°， 则sinB=（ A ） A． B． C． D．1 4．的三内角的对边边长分别为，若，则（ B ） A． B． C． D．
5．在△ABC中，若，则（ C ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为（D） A. 6 B. 3 C.6或56 D. 3或23
7. 在△ABC中，baBAcos1cos1，则△ABC一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于（ C ） A. B. C. D. 2 9.已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3则角C大小为（ B ） A、75° B、60° C、45° D、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米 11．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得0120ABC,则A,C两地的距离为（ D ）。 A. 10km B. 10km C. 10km D. 10km 12．已知M是△ABC的BC边上的中点，若向量AB=a,AC= b，则向量AM等于（ C ） A．21(a－b) B．21(b－a) C．21( a＋b) D．12(a＋b) 13．若 ,3) 1( )1, 1(BA ,5) (xC共线，且 BCAB则等于（ B ） A、1 B、2 C、3 D、4 14．已知平面向量),2(),2,1(mba，且a∥b，则ba32=（ C ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知babakba3),2,3(),2,1(与垂直时k值为 （ C ） A、17 B、18 C、19 D、20 16．(2,1),(3,),(2),abxabbxrrrrr若向量若则的值为 ( B ) A．31或 B.13或 C．3 D． -1 17. 若|2|a ，2||b 且（ba）⊥a ，则a与b的夹角是 （ B ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）125 18．已知3 b， a在 b方向上的投影是23，则 ba是（ B ） A、3 B、29 C、2 D、21 19．若||1,||2,abcabrrrrr，且carr，则向量ar与br的夹角为( C ) （A）30° （B）60° （C）120° （D）150° 二、填空题： 20． ABC△的内角ABC，，的对边分别为abc，，，若26120cbBo，，，则a等于2 21．在△ABC中，若Acbcba则,222120°。
22．在中，，则角B= 60o ．
23. 在中，AC=2，BC=1，sinC=53，则AB的长为_5205553或___。 24．ABC中，120,7,5BACAB，则ABC的面积为___4315______． 25. 在中，角A,B,C所对的边分别为，若，则的形状是 等腰三角形或直角三角形 。 26. 已知向量ar=（3，1） ，br =（1，3），cr=（k，7）,若（ar - cr）br27．已知向量2411，，，a=b=．若向量()ba+b，则实数的值是 3 ． 28.已知10ar、12br，若ar与br的夹角为120°，则⑴abrr=_-60_____； ⑵(32)(4)baabrrrr=__-968_________. 29．若两个向量ar与br的夹角为，则称向量“abrr”为“向量积”，其长度||abrr||||sinabrr，若已知||1,||5,4ababrrrr，则||____abrr3。 三、解答题： 30、已知的三个内角A、B、C所对的边分别为, 若的面积为4，且 ,求 解: 两边平方并整理得
根据余弦定理得 31. 在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab。 （I）求sinC的值； （Ⅱ）求ABC的面积。 解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos35BA，∴23,sin35CAA，
∴231343sinsincossin32210CAAA.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin,sin510AC， 又∵,33Bb， ∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴sin6sin5bAaB.
∴△ABC的面积1163433693sin32251050SabC. 32．在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA
(Ⅰ) 求AB的值； (Ⅱ) 求sin24A的值 （Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，sinsinABBCCA 于是sin225sinCABBCBCA
（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得22225cos25ABACBDAABAC• 于是25sin1cos5AA 从而2243sin22sincos,cos2cossin55AAAAAA 所以2sin(2)sin2coscos2sin44410AAA 33. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且Acasin23。
（1）求角A的大小；（2）若7c，且的面积为233，求a+b的值。 34．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B的大小； （2）若的面积等于，C=2,求和的值。
解：（1）BRbARasin2,sin2且
00030,90021sinsinsin22sin2BBBABRAR
即
（2）32122130sin210aacSABC， 32a 2,4232322412cos2222bBaccab 35.在△ABC中，、、分别是角、、的对边，且 （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值 解 ：（Ⅰ）由正弦定理得， 即 得，因为， 所以，得，因为， 32,21cosBBB为三角形的内角，所以又所以 （Ⅱ）])2(4[43)4(4332sin)4(21432,sin2122aaaaaScaBBacS得及由 又，所以当时，取最大值 36. 已知函数的一系列对应值如下表： 0 1 0 －1 0 （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）在△ABC中，分别是△ABC的对边，若，求△ABC的面积. 37．海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了107海里，求B船的速度。 解：设B船的速度为x海里/小时，依题意得 在ABC中，ABC= 0120,AB=10,AC= 107 由余弦定理得 2222ACABBCABBCCOSABC 即2028080100+()210cos120(107)6060xx， 解得 x=15 答：B船的速度为15海里/小时。 38．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）. 解：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，由条件知∠ABC=120°，AB=12（海里）， 设t小时后追及，tACtBC14,10，由正弦定理得
由正弦定理得1411cos,1435sin120sin14sin10tt； 再由余弦定理得cos1412214419610022ttt ,432,01833122tttt或 但当ABACt1222143时，不合，
1435sin),(2小时t.
答：缉私艇的追及所需时间为2小时，α角的正弦为5314。
39.已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,1)，m·n＝1，且A为锐角. （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）求函数()cos24cossin()fxxAxxR的值域. 解：（Ⅰ）由题意得3sincos1,mnAAg 12sin()1,sin().662AA 由A为锐角得,.663AA （Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos,2A 所以2213()cos22sin12sin2sin2(sin).22fxxxxxx 因为x∈R，所以sin1,1x，因此，当1sin2x时，f(x)有最大值32. 当sinx= -1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是33,2.
40．已知：(3sin,cos),(cos,cos)axxbxxrr，122)(mbaxf（Rmx,）. (Ⅰ) 求()fx关于x的表达式，并求()fx的最小正周期；
(Ⅱ) 若]2,0[x时，()fx的最小值为5，求m的值.
解：(Ⅰ) 2()23sincos2cos21fxxxxm 3sin2cos22xxm2sin(2)26xm
. ()fx的最小正周期是.
(Ⅱ) ∵]2,0[x， ∴]67,6[62x. ∴当6762x即2x时，函数()fx取得最小值是12m. ∵512m， ∴3m. 41.已知向量(sin,2)(1,cos)ab与互相垂直，其中(0,)2．
（1）求sincos和的值； （2）若10sin(),0102，求cos的值． 解：（1）∵a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin， 代入1cossin22得55cos,552sin 又∵(0,)2，∴55cos,552sin. （2）∵20，20，∴22 则10103)(sin1)cos(2，
平面向量与三角形的关系及三角形的性质
平面向量与三角形的关系及三角形的性质平面向量是解决和研究平面几何问题的有力工具，而三角形是平面几何中最基本的图形之一。
本文将探讨平面向量与三角形之间的关系，并介绍一些与三角形相关的重要性质。
一、平面向量与三角形的关系1. 平面向量的定义平面向量是指既有大小又有方向的量。
用带箭头的小写字母表示，如a→，b→等。
平面向量的起点和终点可以是任意点。
2. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对、坐标、自由向量等多种方式表示。
其中，自由向量是指有大小和方向，但起点可以是任意点的向量。
自由向量a→的终点记为A，即a→=OA→。
3. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数乘运算。
加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
4. 三角形的向量表示定理对于三角形ABC，设向量AB→=a→，向量AC→=b→，则有向量AB→+向量BC→=向量AC→。
即a→+c→=b→。
5. 三角形的重要定理（1）质点法分解定理：对于任意三角形ABC，以任意一点O为起点，作向量OA→、向量OB→、向量OC→，有向量OA→+向量OB→+向量OC→=0→。
（2）垂直定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→垂直，则有向量AB→•向量BC→=0。
（3）共线定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→共线，则有向量AB→×向量BC→=0→。
二、三角形的性质1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
2. 三角形的外角定理三角形的任意一个外角等于其他两个内角之和。
即∠D = ∠A + ∠C，其中∠D表示三角形的外角。
3. 三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心，记为G。
重心到三角形各顶点的向量满足质点法分解定理。
即向量GA→+向量GB→+向量GC→=0→。
4. 三角形的垂心三角形的三个高线交于一点，这个点称为三角形的垂心，记为H。
解三角形与平面向量问题(含解析)
解三角形与平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·内蒙古自治区集宁一中）在ABC ∆中，已知4,1AB AC ==，ABC ∆则•AB AC =（ ） A ．2±B ．4±C ．2D ．42．（2020·山东省滕州市第一中学）ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则C 等于（）．A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 3．（2020·嘉祥县第一中学）在ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足()cos 3cos b C a c B =-，若4BC BA ⋅=，则ac 的值为 （ ） A ．12B ．11C ．10D ．94．（2020·山西省平遥中学校）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量(),(,)m b c c a n b c a =--=+，，若m n ⊥，则角A 的大小为（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 5．（2020·四川省北大附中成都为明学校高二）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-，()cos n C c =-，且0m n ⋅=，则角A 的大小为（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 6．（2020·浙江省高二期中）已知平面向量AC 在AB 上的投影是1-，1,7AB BC ==，则AC 的值为( )AB ．C ．1D ．27．（2020·湖南省高二月考）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 1sin sin b Ca c A B+=++，4AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（ ）AB ．2C ．D ．8．（2020·四川省三台中学）在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅的值为（ ） A ．22B ．19C ．-19D ．-229．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b =与(cos ,sin )=n A B 平行．若a =b =c =A ．1B ．2C ．D ．310．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二）在ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，(cos m A =，(2,sin )n A =-，且5m n +=.则角A 的大小为（ ）A ．3πB ．4π C ．32π D ．43π 11．（2020·嘉祥县第一中学）已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(2,2)p b a =--，若m p ⊥，边长2c =，角π3C =，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．3B ．2CD12．（2020·凌海市第三高级中学）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量m =2cos,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,n =cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.1m n ⋅=-，若a =2b =, 则c 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin ,sin sin )=--m B C C A ，(sin sin ,sin )=+n B C A ，且m n ⊥，角B =________．14．（2020·江西省奉新县第一中学）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos25A =，3AB AC ⋅=，则ABC ∆的面积为_______；15．（2020·安徽省潜山第二中学高二）在△ABC 中，3AB =，2AC =，BC =则AB AC ⋅=________ 16．（2020·衡水中学实验学校）已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则实数m =_____三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020·杭州市西湖高级中学高二）在ABC 中，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m =，记角,,A B C 的对边依次为,,a b c .若2c =，且ABC 是锐角三角形，求22a b +的范围。
专题一 平面向量、三角函数与解三角形
[析考情·明重点]第一讲 小题考法——平面向量[典例感悟][典例] (1)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( ) A ．4 B ．－5 C ．6D ．－6(2)(2018·浙江三模)已知向量e 1＝(1,2)，e 2＝(3,4)，且x ，y ∈R ，x e 1＋y e 2＝(5,6)，则x －y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(3)(2019届高三 ·浙江名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.故选D.(2)∵向量e 1＝(1,2)，e 2＝(3,4)，且x ，y ∈R ，x e 1＋y e 2＝(5,6)，则(x ＋3y,2x ＋4y )＝(5,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝5，2x ＋4y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴x －y ＝－3.故选B. (3)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案] (1)D (2)B (3)C[方法技巧]掌握平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．[演练冲关]1．(2019届高三·台州检测)已知e 1，e 2是平面内两个不共线向量，AB ―→＝e 1－k e 2，CB ―→＝2e 1－e 2，CD ―→＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A ．2B ．－3C ．－2D ．3解析：选A ∵CB ―→＝2e 1－e 2，CD ―→＝3e 1－3e 2， ∴BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(3e 1－3e 2)－(2e 1－e 2)＝e 1－2e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB ―→与BD ―→共线，∴存在唯一的实数λ，使得e 1－k e 2＝λ(e 1－2e 2)．即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－k ＝－2λ，解得k ＝2. 2.(2018·浙江模拟)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则1x ＋4y的最小值为( )A ．32B ．2C ．52D ．92解析：选D 设AD ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1. ∵AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＋y ＝2， ∴1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝92.则1x ＋4y 的最小值为92. 3．(2018·衢州期中)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在DC 上满足5AM ―→＝AB ―→＋3AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 因为D 是AB 的中点，所以AB ―→＝2AD ―→， 因为5AM ―→＝AB ―→＋3AC ―→，所以2AM ―→－2AD ―→＝3AC ―→－3AM ―→，即2DM ―→＝3MC ―→， 所以5DM ―→＝3DM ―→＋3MC ―→＝3DC ―→，所以DM ―→＝35DC ―→，设h 1，h 2分别是△ABM ，△ABC 的AB 边上的高， 所以S △ABM S △ABC ＝12×AB ×h 112×AB ×h 2＝h 1h 2＝DM DC ＝|DM ―→||DC ―→|＝35.[典例感悟][典例] (1)(2018·遂宁模拟)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ―→＝3 BD ―→，|AD ―→|＝1，则AC ―→·AD ―→的值为( ) A ．23 B ．32C ．33D ． 3(2)向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0.若|λa －b |的最小值为2(λ∈R )，则a ·b ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8D ．16(3)(2018·杭州二模)记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2，则( )A ．|a －c |max ＝3＋72 B ．|a ＋c |max ＝7－32 C ．|a －c |min ＝3＋72D ．|a ＋c |min ＝7－32[解析] (1)∵在△ABC 中，AD ⊥AB ， ∴AB ―→·AD ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·AD ―→ ＝AB ―→·AD ―→＋BC ―→·AD ―→ ＝BC―→·AD ―→ ＝ 3 BD ―→·AD ―→ ＝3(AD ―→－AB ―→)·AD ―→＝ 3 AD ―→·AD ―→－ 3 AB ―→·AD ―→ ＝ 3.(2)法一：由已知得a ·b ＝b 2，则|λa －b |＝a 2λ2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b (λ∈R )，当且仅当λ＝a ·b 16时，|λa －b |有最小值2，所以16⎝⎛⎭⎫a ·b 162－2⎝⎛⎭⎫a ·b 16a ·b ＋a ·b ＝4，所以(a ·b －8)2＝0，故a ·b ＝8.故选C.法二：向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0，即a ·b ＝b 2.由题意知|λa －b |＝a 2λ2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b ≥2(λ∈R )，即16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4≥0对于λ∈R 恒成立，所以对于方程16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4＝0，Δ＝4(a ·b )2－64(a ·b －4)≤0，即(a ·b －8)2≤0，所以(a ·b －8)2＝0，所以a ·b ＝8.故选C.(3)由a ·b ＝2×2cos 〈a ，b 〉＝2， 可得cos 〈a ，b 〉＝12，sin 〈a ，b 〉＝32，设OA ―→＝a ＝(2,0)，OB ―→＝b ＝(1，3)，OC ―→＝c ＝(x ，y )， 可得(x ，y )·(4－2x,23－2y )＝2， 即x (4－2x )＋y (23－2y )＝2， 可化为x 2＋y 2－2x －3y ＋1＝0， 则C 在以圆心P ⎝⎛⎭⎫1，32，半径r ＝32的圆上运动，且|a －c |表示点A 与点C 的距离， 显然最大值为|AP |＋r ＝1＋34＋32＝3＋72， 最小值为|AP |－r ＝1＋34－32＝7－32. 设D (－2,0)，则|a ＋c |＝|OA ―→＋OC ―→|＝|－OD ―→＋OC ―→|＝|DC ―→|， 则|a ＋c |表示点D (－2,0)与点C 的距离， 显然最大值为|DP |＋r ＝9＋34＋32＝39＋32，最小值为|DP |－r ＝39－32.[答案] (1)D (2)C (3)A[方法技巧]在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(a ±b )2＝|a |2＋|b |2±2a ·b ，(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )的灵活运用．另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度．[演练冲关]1．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC ―→＝13AB ―→，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO ―→·AE ―→＝8，则AC ―→·BD ―→＝( )A ．－9B ．－293 C ．－10D ．－323解析：选D 由DC ―→＝13AB ―→，可得DC ∥AB ，且DC ＝2，则△AOB ∽△COD ，AO ―→＝34AC ―→＝34⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13AB ―→ ＝34AD ―→＋14AB ―→，又E 是BD 的中点，所以AE ―→＝12AD ―→＋12AB ―→，则AO ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫34AD ―→＋14AB ―→ ·⎝⎛⎭⎫12AD ―→＋12AB ―→ ＝38AD 2―→＋18AB 2―→＋12AD ―→·AB ―→＝32＋92＋12AD ―→·AB ―→＝8，则AD ―→·AB ―→＝4，则AC ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13AB ―→ ·()AD ―→－AB ―→＝AD 2―→－13AB 2―→－23AD ―→·AB ―→＝4－13×36－23×4＝－323.2．(2018·温州二模)已知向量a ，b 满足|a |＝1，且对任意实数x ，y ，|a －x b |的最小值为32，|b －y a |的最小值为3，则|a ＋b |＝( ) A.7 B.5＋2 3C.7或 3D.5＋23或5－2 3解析：选C 取a ＝(1,0)，b ＝(c ，d )， 则|a －x b |＝(1－xc )2＋x 2d 2＝(c 2＋d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c c 2＋d 22＋1－c 2c 2＋d 2≥32， ∴1－c 2c 2＋d 2＝34，又|b －y a |＝(c －y )2＋d 2≥3，可得d 2＝3，解得c 2＝1. ∴|a ＋b |＝(1＋c )2＋d 2＝5＋2c ＝3或7.3．(2019届高三·湖州五校模拟)设a ，b 满足|a |＝1，|a ＋2b |＝2，则|2a －b |的取值范围是________．解析：设|2a －b |＝t ，则4a 2－4a ·b ＋b 2＝t 2， ∵|a ＋2b |＝2，则a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4， ∴5a 2＋5b 2＝t 2＋4， ∵|a |＝1，∴t 2＝1＋5b 2， ∵|a ＋2b |＝2，|a |＝1，∴由|a ＋2b |≤|a |＋2|b |＝1＋2|b |，得|b |≥12，由|2b ＋a |≥2|b |－|a |＝2|b |－1，得|b |≤32，∴14≤b 2≤94， ∴t 2＝1＋5b 2∈⎣⎡⎦⎤94，494， ∴32≤t ≤72， ∴|2a －b |∈⎣⎡⎦⎤32，72. 答案：⎣⎡⎦⎤32，72[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R )，则m n ＝________.解析：如图，∵AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF ―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn ＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (三) 易错易混要明了1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R )，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b ·c )与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]A 组——10＋7提速练一、选择题1．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23B ．23C ．38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38，故选C.2．(2019届高三·杭州六校联考)已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．13解析：选D ∵向量a 和b 的夹角为120°， 且|a |＝2，|b |＝5，∴a ·b ＝2×5×cos 120°＝－5，∴(2a －b )·a ＝2a 2－a ·b ＝2×4＋5＝13， 故选D.3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→ C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→解析：选A 作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. 4．设向量a ＝(－2,1)，a ＋b ＝(m ，－3)，c ＝(3,1)，若(a ＋b )⊥c ，则cos 〈a ，b 〉＝( ) A ．－35B ．35C ．55D ．－255解析：选D 由(a ＋b )⊥c 可得，m ×3＋(－3)×1＝0，解得m ＝1.所以a ＋b ＝(1，－3)，故b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－4)．所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝－2×3＋1×(－4)(－2)2＋12×32＋(－4)2＝－255，故选D. 5．P 是△ABC 所在平面上一点，满足|PB ―→－PC ―→|－|PB ―→＋PC ―→－2PA ―→|＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选B ∵P 是△ABC 所在平面上一点，且|PB ―→－PC ―→|－|PB ―→＋PC ―→－2PA ―→|＝0， ∴|CB ―→|－|(PB ―→－PA ―→)＋(PC ―→－PA ―→)|＝0， 即|CB ―→|＝|AB ―→＋AC ―→|， ∴|AB ―→－AC ―→|＝|AB ―→＋AC ―→|，两边平方并化简得AB ―→·AC ―→＝0， ∴AB ―→⊥AC ―→，∴∠A ＝90°， 则△ABC 是直角三角形．6.(2018·浙江二模)如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO ―→·CB ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,3]C ．[－3，－1]D ．[－3,1]解析：选A 建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0,0)，A (－2,0)，C (－1,0)，设B (2cos θ，2sin θ)．θ∈[0,2π)． 则CO ―→·CB ―→＝(1,0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1,3]． 故选A.7．(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP ―→＝1a AC ―→＋a －1a AD ―→，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－72解析：选C 由AP ―→＝1a AC ―→＋a －1a AD ―→知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0,0)，A (0,2)，B (23，0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，33x ，则PA ―→＝⎝⎛⎭⎫－x ，2－33x ，PB ―→＝⎝⎛⎭⎫23－x ，－33x ，PC ―→＝⎝⎛⎭⎫－x ，－33x ，∴PB ―→＋PC ―→＝⎝⎛⎭⎫23－2x ，－233x ，∴PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎛⎭⎫x －5382－258，∴当x ＝538时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值－258. 8．已知单位向量a ，b ，c 是共面向量，a ·b ＝12，a ·c ＝b ·c <0，记m ＝|λa －b |＋|λa －c |(λ∈R )，则m 2的最小值是( )A ．4＋ 3B ．2＋ 3C ．2＋ 2D ．4＋ 2解析：选B 由a ·c ＝b ·c ，可得c ·(a －b )＝0，故c 与a －b 垂直，又a ·c ＝b ·c <0，记OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设OD ―→＝λa ，则|λa －b |＋|λa －c |＝|BD ―→|＋|CD ―→|≥|b －c |＝|BC ―→|，由图可知最小值为BC ，易知∠OBC ＝∠BCO ＝15°，所以∠BOC ＝150°，在△BOC 中，BC 2＝BO 2＋OC 2－2BO ·OC ·cos ∠BOC ＝2＋ 3.所以m 2的最小值是2＋ 3.9．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.10．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD ―→·BC ―→＝m ，AC ―→·BD ―→＝n .若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1解析：选D AC ―→·BD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(－AB ―→＋AD ―→)＝－AB ―→2＋AB ―→·AD ―→－AB ―→·BC ―→＋AD ―→·BC ―→＝－AB ―→2＋AB ―→·(AD ―→－BC ―→)＋m ＝－AB ―→2＋AB ―→·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→－BC ―→)＋m ＝AB ―→·CD ―→＋m .又EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→，EF ―→＝ED ―→＋DC ―→＋CF ―→，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF ―→＝AB ―→＋DC ―→，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB ―→·DC ―→，所以AB ―→·DC ―→＝－12，则AB ―→·CD ―→＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D.二、填空题11．(2018·龙岩模拟)已知向量a ，b 夹角为60°，且|a |＝1，|2a －b |＝23，则|b |＝________. 解析：∵|2a －b |＝23，∴4a 2－4a ·b ＋b 2＝12， ∴4×12－4×1×|b |cos 60°＋|b |2＝12， 即|b |2－2|b |－8＝0， 解得|b |＝4. 答案：412.(2019届高三·宁波效实模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝________.解析：∵在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，∴AB ―→＋DC ―→＝AC ―→＋CB ―→＋DB ―→＋BC ―→＝AC ―→＋DB ―→＝AC ―→－BD ―→， BC ―→＋AD ―→＝BD ―→＋DC ―→＋AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋BD ―→，∴(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝(AC ―→－BD ―→)(AC ―→＋BD ―→)＝AC ―→2－BD ―→2＝9－16＝－7. 答案：－713．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝2|a －b |，|a |＝3，则|b |的最大值是________；最小值是________．解析：由|a ＋b |＝2|a －b |两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)，化简得到3a 2＋3b 2＝10a ·b ≤10|a ||b |，|b |2－10|b |＋9≤0，解得1≤|b |≤9.答案：9 114．(2018·嘉兴期末)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且ADBD ＝2，则CD ―→·CA ―→＝________；若CD ―→＝x CA ―→＋y CB ―→，则xy ＝________.解析：以A 为坐标原点，AB ―→，AC ―→分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，D ⎝⎛⎭⎫43，0，所以CD ―→·CA ―→＝⎝⎛⎭⎫43，－2·(0，－2)＝4.由CD ―→＝x CA ―→＋y CB ―→，得⎝⎛⎭⎫43，－2＝x (0，－2)＋y (2，－2)，所以43＝2y ，－2＝－2x －2y ，解得x ＝13，y ＝23，所以xy ＝29.答案：42915．(2018·温州二模)若向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3，且|b |≥2，则a ·b ＝________，a 在b 方向上的投影的取值范围是________．解析：向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2－b 2＝3， ∴9＋2a ·b ＝3，∴a ·b ＝－3；则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b|＝－3|b|，又|b |≥2，∴－32≤－3|b |<0，∴a 在b 方向上的投影取值范围是⎣⎡⎭⎫－32，0. 答案：－3 ⎣⎡⎭⎫－32，0 16．(2018·温州适应性测试)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，向量x ＝λa ＋(1－λ)b ，向量y ＝m a ＋n b ，其中λ，m ，n ∈R ，且m >0，n >0.若(y －x )·(a ＋b )＝6，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：法一：依题意得，[ma ＋nb －λa －(1－λ)b ]·(a ＋b )＝6，所以[(m －λ)a ＋(n －1＋λ)b ]·(a ＋b )＝6，因为|a |＝|b |＝a ·b ＝2，所以4(m －λ)＋4(n －1＋λ)＋2[(m －λ)＋(n －1＋λ)]＝6， 所以m ＋n －1＝1，即m ＋n ＝2，所以m 2＋n 2＝m 2＋(2－m )2＝2m 2－4m ＋4＝2(m －1)2＋2≥2，当且仅当m ＝1时取等号， 所以m 2＋n 2的最小值为2.法二：依题意得，[ma ＋nb －λa －(1－λ)b ]·(a ＋b )＝6， 即[(m －λ)a ＋(n －1＋λ)b ]·(a ＋b )＝6，因为|a |＝|b |＝a ·b ＝2，所以4(m －λ)＋4(n －1＋λ)＋2[(m －λ)＋(n －1＋λ)]＝6，所以m ＋n －1＝1，即m ＋n ＝2，所以m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以m 2＋n 2的最小值为2.答案：217．已知在△ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在△ABC 的内切圆上运动，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为________，此时点P 的坐标为________．解析：因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，以AB ，AC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．由题意可知△ABC 内切圆的圆心为D (1,1)，半径为1.因为点P 在△ABC 的内切圆上运动，所以可设P (1＋cos θ，1＋sin θ)(0≤θ<2π)．所以PA ―→＝(－1－cos θ，－1－sin θ)，PB ―→＋PC ―→＝(1－2cos θ，2－2sin θ)，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－1－cos θ)(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2 θ－2＋2sin 2 θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取到最小值，且最小值为－2.答案：－2 (0,1)B 组——能力小题保分练1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14×|AC ―→|×|AB ―→|×cos ∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.2.如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝12λBC ―→，DF ―→＝λDC ―→，则AE ―→·BF ―→的最小值是( ) A ．46＋13 B ．46－13 C ．46＋132D ．46－132解析：选B 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2.由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1.所以AE ―→·BF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(BC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·BC ―→＋BE ―→·BC ―→＋AB ―→·CF ―→＋BE ―→·CF ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|cos 120°＋|BE ―→|·|BC ―→|－|AB ―→|·|CF ―→|＋|BE ―→|·|CF ―→|cos 60°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号．所以AE ―→·BF ―→的最小值是46－13.3．(2018·台州一模)已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 解析：选B ∵单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，∴〈e 1，e 2〉＝120°， ∴|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，∴|a |2－a ·(e 1＋e 2)＝74，∴|a |2－|a |·cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝74，即cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |.∵－1≤cos 〈a ，e 1＋e 2〉≤1， ∴－1≤|a |－74|a |≤1，解得2－12≤|a |≤2＋12，∴|a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12. 4．(2017·丽水模拟)在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，CA ＝33，若AB ―→·AE ―→＋AC ―→·AF ―→＝2，则EF ―→与BC ―→的夹角的余弦值等于________．解析：由题意可得BC ―→2＝(AC ―→－AB ―→)2＝AC ―→2＋AB ―→2－2AC ―→·AB ―→＝33＋1－2AC ―→·AB ―→＝36，∴AC ―→·AB ―→＝－1.由AB ―→·AE ―→＋AC ―→·AF ―→＝2，可得AB ―→·(AB ―→＋BE ―→)＋AC ―→·(AB ―→＋BF ―→) ＝AB ―→2＋AB ―→·BE ―→＋AC ―→·AB ―→＋AC ―→·BF ―→ ＝1－AB ―→·BF ―→＋(－1)＋AC ―→·BF ―→ ＝BF ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝12EF ―→·BC ―→＝2， 故有EF ―→·BC ―→＝4.再由EF ―→·BC ―→＝1×6×cos 〈EF ―→，BC ―→〉，可得6×cos 〈EF ―→，BC ―→〉＝4，∴cos 〈EF ―→，BC ―→〉＝23.答案：235．(2019届高三·镇海中学模拟)已知向量a ，b 的夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b＋x a |≥|a －b |，则|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪tb －a2(t ∈R )的最小值为________． 解析：向量a ，b 夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b |，两边平方整理可得x 2a 2＋2x a ·b －(a 2－2a ·b )≥0， 则Δ＝4(a ·b )2＋4a 2(a 2－2a ·b )≤0， 即有(a 2－a ·b )2≤0，即为a 2＝a ·b ， 则(a －b )⊥a ，由向量a ，b 夹角为π3，|b |＝2，由a 2＝a ·b ＝|a |·|b |·cos π3，得|a |＝1，则|a －b |＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，画出AO ―→＝a ，AB ―→＝b ，建立平面直角坐标系，如图所示： 则A (1,0)，B (0，3)，∴a ＝(－1,0)，b ＝(－1，3)； ∴|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪tb －a 2 ＝(1－t )2＋(3t )2＋ ⎝⎛⎭⎫12－t 2＋(3t )2＝4t 2－2t ＋1＋4t 2－t ＋14＝2⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫t －142＋⎝⎛⎭⎫0－342＋ ⎝⎛⎭⎫t －182＋⎝⎛⎭⎫0＋382 表示P (t,0)与M ⎝⎛⎭⎫14，34，N ⎝⎛⎭⎫18，－38的距离之和的2倍，当M ，P ，N 共线时，取得最小值2|MN |. 即有2|MN |＝2⎝⎛⎭⎫14－182＋⎝⎛⎭⎫34＋382＝72. 答案：726．已知定点A ，B 满足|AB ―→|＝2，动点P 与动点M 满足|PB ―→|＝4，AM ―→＝λAB ―→＋(1－λ)AP ―→(λ∈R )，且|MA ―→|＝|MP ―→|，则AP ―→·AM ―→的取值范围是________；若动点C 也满足|CB ―→|＝4，则AC ―→·AM ―→的取值范围是________．解析：因为AM ―→＝λAB ―→＋(1－λ)AP ―→(λ∈R )，λ＋1－λ＝1，所以根据三点共线知，点M 在直线PB 上，又|MA ―→|＝|MP ―→|，记PA 的中点为D ，连接MD ，如图，则MD ⊥AP ，AP ―→·AM ―→＝AP ―→·(AD ―→＋DM ―→)＝AP ―→·AD ―→＋0＝12AP ―→2，因为|PB ―→|＝4，所以点P 在以B 为圆心，4为半径的圆上，则|AP ―→|∈[2,6]，则AP ―→·AM ―→＝12AP ―→2∈[2,18]． 由于|MA |＋|MB |＝|MP |＋|MB |＝4，所以点M 在以A ，B 为焦点，长轴的长为4的椭圆上，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为x 24＋y 23＝1，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝16上，A (－1,0)，设M (2cos α，3sin α)，C (4cos β＋1，4sin β)，则AC ―→＝(4cos β＋2,4sin β)，AM ―→＝(2cos α＋1，3sin α)，AC ―→·AM ―→＝(8cos α＋4)cos β＋43sin αsin β＋4cos α＋2 ＝(8cos α＋4)2＋(43sin α)2sin(β＋φ)＋4cos α＋2＝(4cos α＋8)sin(β＋φ)＋4cos α＋2，最大值是(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝8cos α＋10≤18， 最小值是－(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝－6， 所以AC ―→·AM ―→∈[－6,18]． 答案：[2,18] [－6,18]第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质[典例感悟][典例] (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)已知函数g (x )＝sin 2x －cos 2x ，如图是函数f (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，为了得到f (x )的图象，只需将g (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(3)将函数f (x )＝2sin x 2cos x 2cos φ＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1sin φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的图象关于y 轴对称，则g ⎝⎛⎭⎫π6的值为( )A.32B ．－32C.12 D ．－12[解析] (1)先将函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.(2)设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象知A ＝1，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π＝2πω，所以ω＝2.因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.将g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故选B. (3)将函数f (x )＝2sin x 2cos x2cos φ＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1·sin φ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ.由g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ的图象关于y 轴对称，可得g (x )为偶函数，故φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又|φ|<π2，故φ＝π6，可得函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin 2π3＝32. [答案] (1)B (2)B (3)A[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. 2．(2019届高三·金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选A 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同， 则ω＝2，且f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 又h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 把f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度， 可得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝h (x )的图象．3.(2019届高三·镇海区校级模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g (x )＝A cos ωx 的图象，需将函数y ＝f (x )的图象最少向左平移________个单位长度．解析：由图象可得A ＝2， ∵T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2， ∴T ＝π，ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1， ∵－π<φ<0，∴φ＝－π6，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝2cos 2x ＝g (x )， ∴可将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得到g (x )的图象，故答案为－π6，π3.答案：－π6 π34.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3. 答案：－ 3[典例感悟][典例] (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，x ∈[－1,1]，则( ) A ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递减 B ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递增 C ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递增 D ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递减(2)已知函数f (x )＝sin x cos 2x ，则下列关于函数f (x )的结论中，错误的是( ) A ．最大值为1B ．图象关于直线x ＝－π2对称C ．既是奇函数又是周期函数D ．图象关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0中心对称(3)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[解析] (1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，故函数f (x )为偶函数，故排除C 、D.当x ∈[0,1]时，πx ∈[0，π]，函数y ＝cos πx 是减函数，故排除B ，选A.(2)∵函数f (x )＝sin x cos 2x ，当x ＝3π2时，f (x )取得最大值为1，故A 正确；当x ＝－π2时，函数f (x )＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x ＝－π2对称；故B 正确；函数f (x )满足f (－x )＝sin(－x )cos(－2x )＝－sin x cos 2x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，再根据f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)cos [2(x ＋2π)]＝sin x cos 2x ，故f (x )的周期为2π，故C 正确；由于f ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＋f (x )＝－cos x ·cos(3π－2x )＋sin x cos 2x ＝cos x cos 2x ＋sin x cos 2x ＝cos 2x (sin x ＋cos x )＝0不一定成立，故f (x )图象不一定关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0中心对称，故D 不正确，故选D.(3)由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，且|φ|≤π2，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调； 若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，故选B.[答案] (1)A (2)D (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|. (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2018·浙江十校联考)下列四个函数中，以π为最小正周期，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D 由题意知函数y ＝sin|x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，y ＝cos|x |的最小正周期为2π，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，故排除A 、B 、C.因为f (x )＝|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递增，所以y ＝－ln|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递减，又g (x )＝sin x 的最小正周期为2π，所以f (x )＝|sin x |的最小正周期为π，则函数y ＝－ln|sin x |的最小正周期为π.故选D.2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z . 答案：⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则ω＝________，若f (x )>1对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，∴2πω＝2π，ω＝1，f (x )＝2sin(x ＋φ)． ∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3，即x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋φ，π3＋φ时，f (x )>1恒成立， ∴当x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋φ，π3＋φ时，sin(x ＋φ)>12恒成立，又|φ|≤π2，∴－π12＋φ≥π6，且π3＋φ≤5π6，解得π4≤φ≤π2.答案：1 ⎣⎡⎦⎤π4，π2[典例感悟][典例] (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． (3)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112， 又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1. (3)由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.[答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－32，1 (3)⎣⎡⎦⎤π3，π [方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法[演练冲关]1．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.2．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 解析：y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78.∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7823．(2018·南宁模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤ π6，m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18.答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π18[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．三角函数的图象及常用性质(二) 二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．(三) 易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调增区间． [课时跟踪检测]A 组——10＋7提速练一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：选B 将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图象，再将y ＝3sin 2x 的图象再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B.3.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选A.4．(2018·宁波模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3。
2三角函数与解三角形、平面向量
考点过关检测（二）1．函数f (x )＝sin x cos x ＋(1＋tan 2x )cos 2x 的最小正周期和最大值分别是( ) A ．π和32 B.π2和1 C ．π和1D ．2π和32解析：选A ∵f (x )＝sin x cos x ＋(1＋tan 2x )cos 2x ＝12sin 2x ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期为π，最大值为32.故选A.2．(2019·合肥高三调研)若将函数f (x )＝cos 2x (1＋cos x )(1－cos x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋14k π，14k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14k π，π8＋14k π(k ∈Z ) 解析：选A 因为f (x )＝cos 2x (1＋cos x )(1－cos x )＝cos 2x sin 2x ＝14sin 22x ＝18－18cos 4x ，所以g (x )＝18－18cos 2x ，所以当－π＋2k π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，即－π2＋k π≤x ≤k π(k ∈Z )时，y ＝g (x )单调递减，所以g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，故选A.3．(2019·山西平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3 D ．x ＝2π3解析：选A 由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，因为图象向右平移π6个单位长度得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.4．(2020届高三·江西红色七校第一次联考)函数y ＝sin2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象( )A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 解析：选A 令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ， 得x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，令x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝π3＋k π，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象有相同的对称轴． 令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，令x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象无相同的对称中心． 5．(2019·武汉高三调研)已知函数f (x )＝a sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(a >0，ω>0)，对于任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)＋f (x 2)－23≤0，若f (x )在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，则实数ω的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 解析：选B f (x )＝a sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝a sin ωx ＋cos ωx cos π6＋sin ωx sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a sin ωx ＋32cos ωx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·sin(ωx ＋φ)，其中tan φ＝3212＋a.对于任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)＋f (x 2)－23≤0，即f (x 1)＋f (x 2)≤23，当且仅当f (x 1)＝f (x 2)＝f (x )max 时取等号，故2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)，故f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为0≤x ≤π，所以0≤ωx ≤ωπ，π6≤ωx ＋π6≤ωπ＋π6.又f (x )在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，所以π2≤ωπ＋π6≤5π6，解得13≤ω≤23，故选B.6．(2019·山东三校联考)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，对x ∈R 恒有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π15，π5上有且只有一个x 1使f (x 1)＝3，则ω的最大值为( )A.574 B.1054 C.1114D.1174解析：选B由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋φ＝k 1π，π3ω＋φ＝k 2π＋π2，k 1，k 2∈N ，则⎩⎪⎨⎪⎧ω＝3(2k ＋1)4，φ＝k ′π2＋π4，k ，k ′∈Z ，其中k ＝k 2－k 1，k ′＝k 2＋k 1＝k ＋2k 1，故k 与k ′同为奇数或同为偶数．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π15，π5上有且只有一个x ，使f (x )取得最大值，且要求ω最大，则区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π15，π5包含的周期应该最多，所以π5－π15＝2π15≤2T ，得0<ω≤30，即3(2k ＋1)4≤30，所以k ≤19.5.当k ＝19时，ω＝1174，k ′为奇数，φ＝3π4，此时1174x ＋3π4∈(2.7π，6.6π)，当1174x 1＋3π4＝4.5π或6.5π时，f (x 1)＝3都成立，舍去；当k ＝18时，ω＝1114，k ′为偶数，φ＝π4，此时1114x ＋π4∈(2.1π，5.8π)，当1114x 1＋π4＝2.5π或4.5π时，f (x 1)＝3都成立，舍去；当k ＝17时，ω＝1054，k ′为奇数，φ＝3π4，此时1054x ＋3π4∈(2.5π，6π)，当且仅当1054x 1＋3π4＝4.5π时，f (x 1)＝3成立．综上所述，ω最大值为1054.7．(2019·赣州崇义中学月考)若函数y ＝tan3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝________.解析：由题意得π|3a |＝π2，解得|3a |＝2，所以a ＝±23. 答案：±238．(2019·昆明第一中学月考)已知函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，则ω的取值范围为________．解析：由已知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，所以12T ≥π3，即πω≥π3，故0<ω≤3.答案：(0,3]9．(2019·赣州摸底)已知函数f (x )＝sin ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．解析：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4， 得T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23. 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin π3＋12＝3＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z .答案：3＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z10．(2019·绍兴期末)已知函数f (x )＝2sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6；(2)求f (x )的最大值与最小值．解：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32，sin π6＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＝ 3.(2)f (x )＝2sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋cos x ＝2sin x ·12cos x ＋32sin x ＋cos x ＝32sin 2x ＋32(1－cos 2x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6.令z＝2x －π6，因为y ＝sin z 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减，所以，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值332；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值0.11．(2019·北京东城区期末)已知函数f (x )＝23sin ax ·cos ax ＋2cos 2ax －1(0<a ≤1)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2上的最大值与最小值；(2)当f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2时，求a 的值及函数f (x )的最小正周期．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝23sin x ·cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为π12≤x ≤π2，所以π3≤2x ＋π6≤7π6.所以当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2， 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.(2)因为f (x )＝23sin ax ·cos ax ＋2cos 2ax －1(0<a ≤1)，所以f (x )＝3sin 2ax ＋cos 2ax ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a π3＋π6＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a π3＋π6＝1.所以2a π3＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以a ＝3k ＋12(k ∈Z )．因为0<a ≤1，所以a ＝12.所以f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π.。
专题复习解三角形与平面向量
1．三角形的有关公式：(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sinA ＋B2＝ (2)正弦定理：(3)余弦定理： _____________________________________________________________________ (4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．2．平面向量的数量积a ·b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2＝|a |2＝ ； (3)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔ ＝0；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔ ＝0.(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论(1)PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的 ； (2)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →⇔P 为△ABC 的 ；(3)向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|PA →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形例 1－1设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．1＋33 ＋1 C ．1－33－1 例 1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 例 1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则【1－2】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【1－3】在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 或37例 1－4已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝ sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．变式训练 【1－4】 (2015·兰州诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a3cos A＝csin C .(1)求A 的大小； (2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．【1－5】 (2014·黄冈模拟)△ABC 的外接圆的直径为1，三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，m ＝(a ，cos B )，n ＝(cos A ，－b )，a ≠b ，已知m ⊥n .(1)求sin A ＋sin B 的取值范围；(2)若abx ＝a ＋b ，试确定实数x 的取值范围．例 1－5如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．变式训练【1－6】如图，游客从某旅游景区的景点A C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内考点二 平面向量例 2－1已知正三角形ABC 的顶点A (3，1)，B (33，1)，顶点C 在第一象限，若点M (x ，y )在△ABC 的内部或边界，则z ＝OA →·OM →取最大值时，3x 2＋y 2有( )A ．定值52B ．定值82C ．最小值52D ．最小值50例 2－2如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．例 2－3如图在等腰直角△ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )B ．1C ．2D ．3变式训练【2－1】设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ·b ＝(a 1，a 2)·(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sinx 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ·OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为________．【2－2】在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为______．易错题在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．练习题1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) C ．2 24．锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则a b的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(2，3) 5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m7．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |28．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω＝( )9．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B －b cos A ＝35c ，则tan Atan B 的值为______．10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度CD ＝________m.12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ； (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A 的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．15．已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－32，f (x )＝(m －n )·m . (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π8＝－24，a ＝3，求b ＋c 的值．。
新教材高中数学第六章平面向量及其应用数学探究用向量法研究三角形的性质课件新人教A版必修第二册
解析:(1)因为在△ABC 中, = · + · + ·,
所以 = · − · + ·
= ·( − )+ · = · + ·,
即 = + ·,得 ·=0,
||
+
||
·=0 可知,
以与, 同向的单位向量为邻边,构成的平行四边形的对角
线与 BC 垂直,即∠A 的平分线与 BC 垂直,故△ABC 为等腰三
角形.
设, 的夹角为 θ,而
·
=cos θ=,
|以∠BAC=π- = π,
所以 = · − · + ·
= ·( − )+ · = · + ·,
即 = + ·,得 ·=0,
所以 ⊥ ,即 CA⊥CB,可得△ABC 是直角三角形.
(2)∵ − = , + -2 = + ,
所以 ⊥ ,即 CA⊥CB,可得△ABC 是直角三角形.
(2)∵ − = , + -2 = + ,
取 BC 的中点 D,则 + =2,
∴2 ·=0,∴AD⊥BC,即 AB=AC.
答案:(1)C (2)B
解析:(1)因为在△ABC 中, = · + · + ·,
AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法
证明CF⊥AB.
证法一:因为 AD⊥BC,BE⊥AC,
所以 ⊥ , ⊥ ,
即 · = ·( − )= · − ·=0,
所以 · = ·.同理, · = ·.
所以 · = ·,即 · − ·=0,
平面向量在解三角形中的应用
平面向量在解三角形中的应用摘要：平面向量的应用十分广泛，由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件，用向量解决题目具有思路拓宽、方法灵活、综合性强的特点。
随着学生对解三角形的深入了解，知道了解三角形的方法有多种形式，而平面向量的解决方式能够让学生更容易解三角形，从而有效提高学生在解三角形的过程中能够多一种思路，提高学生的做题能力，并以此提高学生的准确性。
关键词：平面向量；三角形；应用引言：在近几年的高考中，平面向量已经成为必考的内容，它的引入能够让学生在解决问题的过程中增加了多种解决方式，这其中也让各个篇章中的知识点变得更加紧密，在结构上也能够加强学生对数学知识的认识与了解。
不仅如此，随着考查形式的灵活多变，也让解决问题的方式变得丰富多彩，也正是因为如此，让“数”与“形”变得和谐统一，两者的相互结合也让学生在解决问题上变得容易许多，从而能够有效增加学生做题的效率，并提高了学生的逻辑思考能力与观察能力。
1.利用向量辅助判断解三角形形状问题在解三角形问题中，学生需要在题干上了解题目中所需要解决的内容，首先就需要学生能够有效判断题目中所要解三角形的形状。
例如在人教A版高中数学必修5课本中，在题目中的余弦定理与正弦定理都能够解决问题，而有一些题目会将平面向量与解三角形的题目相互结合，这个过程就需要学生通过平面向量进行相关问题的解答。
例如，在已知三角形ABC中，O为三角形内一点，且满足向量OA加向量OB加向量OC等于向量0，并且向量｜OA｜等于向量｜OB｜等于向量｜OC|，则三角形ABC是什么三角形。
这就需要学生在做题的过程中能够对题目有所了解，从而有效判断三角形的形状。
在解决的过程中因为题目中的已知条件向量OA加上向量OB加上向量OC等于向量0，可以得到向量AO等于向量OB加上向量OC，在解决的过程中将BC的中点记为D，从而通过向量加法得到向量AO等于二倍的向量OD，因此O是三角形ABC的重心，又因为向量｜OA｜等于向量｜OB｜等于向量｜OC|，O是三角形ABC的外心，所以三角形ABC的外心与重心重合，因此也就判断出三角形是等边三角形。
提优专题(2.2)——平面向量和解三角形(解答题)(含答案)
平面向量与解三角形（解答题）1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)； (2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若u v u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式；(2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)+的最大值，并求其取得最大值时x 的值．6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ；(),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．11.对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n 维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅=12.已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由； (2)用n t 表示1.n t +13.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CA CB x DADB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD (1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A14.如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O (1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S的取值范围．15.如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy 中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．16.法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形； (2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．平面向量与解三角形1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．【答案】(1)因为8a =，3A π=，所以sin sin sin b c a B C A ===所以b B =，)8cos c C A B B B =+=，则216.cos c b B −== (2)由222222cos a b c bc A b c bc =+−=+−， 得2264.b c bc +=+因为222b c bc +，所以22642b c bc bc +=+， 所以64bc ，当且仅当8b c ==时，取等号， 2||()AB AC AB AC +=+222AB AC AB AC ++⋅22b c bc =++=，12AB AC bc ⋅=，令t 883t <，则21322bc t =−，则2211||16(2)1744AB AC AB AC t tt +−⋅=−+=−−+，因为883t <，所以2132(2)1784t −−−+<，所以||AB AC AB AC +−⋅的最小值为32.【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解决范围问题.(1)先利用正弦定理分别求出b ，c ，再根据三角形内角和定理将C 用B 表示，再将所求化简即可得解;(2)利用余弦定理结合可得2264b c bc +=+，结合基本不等式求出bc的范围，计算可得1||64.2AB AC AB AC bc +−⋅=令t =.2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围. 【答案】证明：(1)原式化简得：21sin cos sin sin sin cos cos 2cos 2sin cos A AB A B A B B B B+=⇔+=，即sin cos()B A B =+，cos()cos()2B A B π∴−=+，(0,)2A B π+∈，(0,)22B ππ−∈， 2B A B π∴−=+，即2.2A B π+=(2)由22222A B A B A B C C B ππππ⎧=−⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪++==+⎩⎪⎩且04B π<<，由余弦定理，2223a c b ac +−变为223cos 22a cb B ac+−=， 62B ππ∴<， 又04B π<<，;64B ππ∴<由正弦定理，sin sin sin sin sin a c A CB B b B++⋅=⋅ 2219sin sin cos 2cos 2cos cos 12(cos )48A C B B B B B =+=+==+−=+−，cos (2B ∈∴由二次函数值域，可得sina c B b+⋅的范围为【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角恒等变换的应用，余弦型函数的值域，二次函数的性质等知识点，属于较难题.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.【答案】(1)解：因为点 P 是等腰三角形 PBC 的顶点，且 23CPB π∠= ， 1BC = ， 所以 6PCB π∠=，PC PB =，由余弦定理可得， 222cos C 2PB PC BC PB PB PC +−∠=⋅ ，解得PC = ， 又因为 2ACB π∠=，故 3ACP π∠=， 在 Rt ACB 中， 2AB = ， 1BC = ，所以AC == ，在 ACP 中，由余弦定理可得， 2222cos3AP AC PC AC PC π=+−⋅⋅ ，解得3AP =， 故AP PC PB ++=+=， 所以连廊 AP PC PB ++ 的长为百米． (2)解：设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<< ，则 sin CF a α= ，sin AF a α=− ， 设 1EDB ∠=∠ ， 则 213B DEB DEB ππ∠=−∠−∠=−∠ ， 233DEB DEB ππαπ=−−∠=−∠ ，所以 2133ADF πππα∠=−−∠=− ， 在 ADF 中，由正弦定理可得，sin sin DF AFA ADF=∠∠ ，即sin 2sinsin()63aa αππα−=− ， 即21sin()sin 32a a παα−=−， 即32177a ===(其中 θ 为锐角，且tan θ= ，所以 222133sin 60247Sa =︒⨯=， 即 ()2min S = ； 图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ， 因为 //EF AB ，且 EF DE ⊥ ，所以 3FEC π∠= ， 6DEB π∠= ， 2EDB π∠= ，所以 cos 62DE x x π== ，222cos3CE EF CE xπ===− ，所以22111(22)))222DEFSEF DE x x x x =⋅⋅=⋅−=−+=−+， 所以当 12x = 时， DEF S 取得最大值8 ，无最小值，即DEF S ⎛∈ ⎝⎦， 故3.S ⎛∈ ⎝⎦【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、利用正弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.(1)先由 PBC 中的余弦定理求出 PC ，再由 APC 中的余弦定理求出 AP ，即可得到答案；(2)设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<<，图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠【答案】解：(1)由题意，不妨设BC 边上的中点为点D ，所以23AP AD =，又1()2AD AB AC =+，所以，11.33AP AB AC =+(2)证明：令A B C S S S S =++，则B CS S AP AD S +=||||||||C B B C B C S S DC DB AD AB AC AB AC S S S S BC BC =+=+++()()C B S SAP AP PB AP PC S S=+++，则0B C A S PB S PC S AP +−=，所以0A B C S PA S PB S PC ++=；(3)因为P 是ABC 的垂心，230PA PB PC ++=， 所以由(2)易知，::1:2:3.A B C S S S =记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则1tan 2:1tan 2A B FC PC BFBF A AF S S FC AF B PC AF BF⋅====⋅，同理:tan :tan B C S S B C =，所以，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，又tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B −−=−+=−，所以，2tan 2tan 3tan 12tan A AA A−−=−， 即tan 1A =或1−，又tan A ，tan B ，tan C 同号，所以tan 1A =，所以tan 3C = 又四边形CDPE 中，因为P 是ABC 的垂心，所以90CDP CEP ∠=∠=︒， 所以，180DPE C ∠+∠=︒，又DPE APB ∠=∠，所以，180APB C ∠+∠=︒，所以，tan tan 3APB C ∠=−=−，即cos 10APB ∠=−【解析】本题考查向量的线性运算，向量的几何应用，属于难题. (1)根据向量的线性运算化简即可；(2)利用面积与边长的比例关系化简整理即可；(3)利用(2)的结论得出A ，B ，C 的关系，结合正切的和差角公式计算即可. 5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若uv u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式； (2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)23x −的最大值，并求其取得最大值时x 的值． 【答案】解：(1)由向量(),u a b =，(),v c d =，得2222,,u v ac bd u a b v c d ⋅=+=+=+， 因为u v u v ⋅=，所以()()()22222ac bd a b c d +=++，即2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++=+++，所以22222abcd a d b c =+，即()20ad bc −=， 所以0ad bc −=；(2)因为cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=， 而cos ,1u v，所以()222222,ac bd u v cos u vu v +=，当且仅当cos ,1u v =，即//u v 时取等号，所以()()()22222a b c d ac bd +++；(3)由413030x x +⎧⎨−⎩可得1334x −，当3x =5==，当134x =−5+==， 当1334x −<<时，由(2)可得，()11x=+=⎡⎣，，即18x =−时，取等号，+的最大值为1.8x =−【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，利用向量的数量积证明等式. (1)根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论； (2)根据cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，结合余弦函数的值域即可得证；(3)利用(2)中的结论即可得出答案.6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】解：(1)法一：在ABD 中，由余弦定理得222cos 2AD AB BD A AD AB+−=⋅，即222cosA =2168BD A −=①，同理，在BCD 中，22222cos 222BD C +−=⨯⨯，即28cos 8BD C −=②，①-cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；法二：在ABD 中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅即222222cos BD A =+−⨯⨯，即216BD A =−， 同理，在BCD 中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+−⋅=−，所以1688cos A C −=−，1cos A C −=，即cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；222222221211(2)44S S AB AD sin A BC CD sin C +=⋅⋅+⋅⋅ 22221241244sin A sin C sin A cos C =+=+−221241)sin A A =+−−22412cos A A =−++， 令)cos ,1,1A t t =∈−，所以2224122414y t t ⎛=−++=−+ ⎝⎭，所以6t =，即cos A =时，2212S S +有最大值为14.【解析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，属于较难题.(1)法一：在ABD 2168BD A −=，在BCD 中由余弦定理得28cos 8BD C −=，两式相减可得答案；法二：在ABD 中由余弦定理得216BD A =−，在BCD 中由余弦定理得288cos BD C =−，两式相减可得答案；(2)由三角形面积公式可得222122412S S cos A A +=−++，令()cos ,1,1A t t =∈−转化为二次函数配方求最值即可．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ； (),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠ 【答案】解：(1)()i 设D 是BC 中点，则1()2AD a b =+，重心是中线靠近边的三等分点，21()33AG AD a b ∴==+；1111()3333ii AG AB AC AM AN m n=+=+，M ，G ，N 三点共线，G 在线段MN 上，则111(0,0)33m n m n+=>>， 1111414(4)()(5)(523333m n m n m n m n n m ∴+=++=+++=，当且仅当21n m ==时取等号，4m n ∴+的最小值为3； (2)由1143AO AB AC =+可知点O 在ABC 的内部，如图所示，取AB 的中点P ，AC 的中点Q ，由外心性质可知OP AB ⊥，OQ AC ⊥，从而212AO AB AP AB c ⋅=⋅=，即2111()432AB AC AB c +⋅=，所以22111cos 432c bc BAC c +⋅∠=，故11cos 34b BACc ⋅∠=， 同理，由212AO AC AQ AC b ⋅=⋅=可得11cos 46c BAC b ⋅∠=，联立11cos ,3411cos ,46b BAC c c BAC b ⎧⋅∠=⎪⎪⎨⎪⋅∠=⎪⎩得cos 2BAC ∠=【解析】本题考查了平面向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于综合题． (1)()i 根据重心的定义以及平面向量基本定理可表示AG ；()ii 平面向量基本定理结合基本不等式可得结果；(2)由外心性质可得关于cos BAC ∠的方程，解方程可得cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.【答案】解：3(1)cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， ()()cos cos cos cos cos 3cos .b C c B A a B C A ∴+=+由正弦定理得(sin cos cos sin )cos sin (cos cos 3cos ).B C B C A A B C A +=+ ()()sin cos sin cos cos 3cos .B C A A B C A ∴+=+ 因为0A π<<，则sin 0A >，A B C π++=，()sin sin B C A ∴+=，则()cos cos sin sin cos cos A B C B C B C =−+=−，所以，cos cos cos 3cos A B C A =+，即2cos cos cos 0A B C +=， 所以，()2sin sin cos cos cos cos 0B C B C B C −+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan .2B C =(2)由(1)得1tan tan .2B C =若tan 0tan 0B C <⎧⎨<⎩，则B 、C 均为钝角，则B C π+>，矛盾， 所以，tan 0B >，tan 0C >，此时B 、C 均为锐角，合乎题意，tan tan tan tan ()2(tan tan )4tan tan tan1B CA B C B C B C +∴=−+==−+−−=−当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立，且A 为钝角. tan 22A −，则()tan 22A π−，且A π−为锐角，由()()()()()()()22sin tan 22cos 1cos 0sin 0A A A sin A cos A A A πππππππ−⎧−=⎪−⎪⎪−+−=⎨⎪−>⎪⎪−>⎩，解得()22sin 3A π−，即22sin 3A ，当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立， 3bc =，13322sin sin 2223S bc A A ∴==⨯=因此，ABC【解析】本题主要考查正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，属于较难题. (1)利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sin sin cos cos B C B C =，即可求得tan tan B C 的值；(2)分析可知B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan 22A −，求出sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．【答案】解：(1)如图1，12BD BC CD BC BA =+=+1111111()()2525252BF BE EF BC EA BC EB BA BC BC BA =+=+=++=+−+2155BC BA =+25BF BD ∴=又点B 是公共点，B ∴，F ，D 三点共线.(2)如图1，2222211||()422cos601724BD BD BC BA BC BC BA BA ︒==+=+⋅+=+⨯⨯+= ||7BD ∴=12AE AB BE BC BA =+=− 2222211||()122cos604324AE AE BC BA BC BC BA BA ︒∴==−=−⋅+=−⨯⨯+=||3AE ∴=2211113()()22224AE BD BC BA BC BA BC BA BC BA ⋅=−⋅+=−−⋅11334422cos602242︒=⨯−⨯−⨯⨯⨯=− cos AE ∴<，3||||37AE BD BD AE BD −⋅>===⋅⨯(3)如图2，PA BA BP =−，PC BC BP =−2()()()PA PC BA BP BC BP BA BC BP BA BP BC BP ∴⋅=−⋅−=⋅+−⋅+⋅ 设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，则3CBPπθ∠=−，22cos 422cos 22cos()33PA PC ππθθ⋅=⨯⨯+−⨯⨯−⨯⨯− 64cos 4(coscos sinsin )6)333πππθθθθ=−−+=−+[0,]3πθ∈，∴当6πθ=时，min ()6PA PC ⋅=−【解析】本题考查平面向量和三角函数的综合应用，属于拔高题.(1)利用平面向量的线性运算求得25BF BD =，即可求证三点共线；(2)求出||BD 、||AE 和AE BD ⋅，由夹角公式即可求解;(3)设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，求出6)3PA PC πθ⋅=−+，利用三角函数的性质即可求解.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围． 【答案】解：(1)由22(1cos )(1cos )cos cos 222222C B b C c B b c b C c B bsincsin −−+++=+=− 22222212222222b c a b c a c b b c a b c aa a⎛⎫++−+−++−=−+=−= ⎪⎝⎭， 所以322()b c a bcb c a +−=++，可得22()3b c a bc +−=， 则222b c a bc +−=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−===，又(0,)A π∈，解得3A π=；(2)由正弦定理得21sin ()cos sin sin sin 23222sin sin sin C C C A B m C C Cπ+−+++===2cos )1111222sin 22222sin cos 2sin2tan 2222C C C C C C C C +=+=+=+=+，因为c a >，所以3C π>，又23B C π+=，所以233C ππ<<，所以623C ππ<<tan 2C<<1tan2C<<， 所以12m <<，则a bm c+=的取值范围为(1,2).【解析】本题，考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围问题，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.(1)利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；(2)根据正弦定理及三角恒等变换将a b m c +=可化为122tan 2m C =+，结合233C ππ<<即可求出m 的取值范围. 11.(本小题12分)对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅= 【答案】(Ⅰ)解：对于①，设120k k αβ+=，则可得1220k k +=，所以,αβ线性相关； 对于②，设1230k k k αβγ++=，则可得{12312312325020240k k k k k k k k k ++=++=++=，所以1220k k +=，30k =，所以,,αβγ线性相关；对于③，设12340k k k k αβγδ+++=，则可得{124134234000k k k k k k k k k ++=++=++=，解得123412k k k k ===−，所以,,,αβγδ线性相关；(Ⅱ)解：设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，因为向量α，β，γ线性无关，所以{131223000k k k k k k +=+=+=，解得1230k k k ===， 所以向量αβ+，βγ+，αγ+线性无关，(Ⅲ)证明：(ⅰ1122)0m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，则112211110i i i i m m k k k k k ααααα−−+++++++⋅⋅⋅+=，因为任意1m −个都线性无关，所以1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0， 所以这些系数1k ，2k ，⋅⋅⋅，m k 或者全为零，或者全不为零，(ⅱ)因为10l ≠，所以1l ，2l ，⋅⋅⋅，m l 全不为零，所以由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l l l l ααα=−−⋅⋅⋅−，代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=可得2122211()0m m m m l l k k k l l αααα−−⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅+=，所以2122111()()0m m m l l k k k k l l αα−++⋅⋅⋅+−+=， 所以21210l k k l −+=，⋯，110m m l k k l −+=，所以1212.m mk k k l l l ==⋅⋅⋅= 【解析】本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于较难题． (Ⅰ)根据定义逐一判断即可；(Ⅱ)设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，然后由条件得到1230k k k ===即可；(Ⅲ)(ⅰ)如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，然后证明1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0即可；(ⅱ)由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l ll l ααα=−−⋅⋅⋅−，然后代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=证明即可．12.(本小题12分)已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQQ 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；(2)用n t 表示1.n t +【答案】解：(1)该同学的结论正确，证明如下：由已知，得||3AB =，||3OB =，||2OA =，由余弦定理知222||||||2cos 32||||2OB AB OA ABO OB AB+−∠===， 又111||||3AP t b a t =−=，则111||||||33BP AB AP t =−=−，11112||||cos )(1)||3BQ BP ABO t t b ∴=⋅∠=−=−， 即112(1)3BQ tb =−−⋅；(2)由已知1cos ||||2a b AOB a b ⋅∠===⋅⨯，||||3OB AB ==，cos BAO ∴∠=1||||cos (2||)n n nAP AR BAO OR +∴=⋅∠=−|cosn OQ AOB =⋅∠1||)6n BQ =−⋅1||cos 66n BP ABO =+⋅∠1||)69n AP =+⋅ 1||9n AP =⋅， 即151||3||189n n t b at b a +−=−−1n +=， 115.918n n t t +∴=−+【解析】本题考查了向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦定理及数列的递推关系，属于较难题. (1)由余弦定理结合向量条件求出cos ABO ∠即可证得．(2)由向量的夹角先求出cos AOB ∠，再求出151||3||189n n AP AP +=−⋅，即可解答.13.(本小题12分)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD 的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A【答案】解：(1)由题意，在AOC ，AOD ，BOC ，BOD 中，1sin sin 21sin sin 2AOC BOC OA OC AOCS CA OA AOCCB S OB BOCOB OC BOC ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2AOD BOD OA OD AODS DA OA AODDB S OB BODOB OD BOD ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin OA AOC OB BOD AOC BODCB ABCD DA OB BOC OA AOD BOC AOD DB⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠①又，在EOG ，EOH ，FOG ，FOH 中，1sin sin 21sin sin 2EOG FOG OE OG EOGS GE OE EOGGF S OF FOGOF OG FOG ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2EOH FOH OE OH EOHS HE OE EOHHF S OF FOHOF OH FOH ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 则sin sin sin sin ()sin sin sin sin GEOE EOG OF FOH EOG FOHGF EFGH HE OF FOG OE EOH FOG EOH HF⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠②，又EOG AOC ∠=∠，FOH BOD ∠=∠，FOG BOC ∠=∠，EOH AOD ∠=∠，由①②可得，sin sin sin sin sin sin sin sin AOC BOD EOG FOHBOC AOD FOG EOH∠⋅∠∠⋅∠=∠⋅∠∠⋅∠，即()()EFGH ABCD =(2)由题意3()2EFGH =，由(1)可知，3()2ABCD =，则32CACB DA DB =，即3.2CA DB CB DA =，又点B 为线段AD 的中点，即12DB DA =， 故3CACB=，又3AC =，则2AB =，1BC =， 设OA x =，OC y =，且OB =，由ABO CBO π∠=−∠可知，coscos 0ABO CBO ∠+∠=， 2222220=，解得22215x y +=③，又在AOB 中，利用正弦定理可知，sin sin AB xAOB ABO =∠∠④，在BOC 中，利用正弦定理可知，sin sin OByBCO CBO=∠∠⑤，且sin sin ABO CBO ∠=∠，则④⑤可得，sin 3sin 2x AB BCOy AOB OB ∠=⋅==∠，即x =⑥， 由③⑥解得，3x=，y =，即3OA =，OC =，则222222325cos .22326OA AB OB A OA AB +−+−===⋅⨯⨯【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题.(1)由题意，结合新定义可得sin sin ()sin sin CAAOC BODCB ABCD DA BOC AOD DB∠⋅∠==∠⋅∠①，同理sin sin ()sin sin EOG FOHGF EFGH HE FOG EOH HF∠⋅∠==∠⋅∠②，再利用角相等，即可证明；(2)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可. 14.(本小题12分)如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O(1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S 的取值范围． 【答案】解：(1)依题意，因为2BD DC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+，因为G 、O 、C 三点共线所以存在实数m 使得GO mOC =，所以111m AO AC AG m m=+++， 因为32AG GB =，所以11211115m m AO AC AG AC AB m m m m =+=+⨯++++， 又因为AO t AD =，所以22135(1)31mt t m m ⎧==⎨++⎩，解得：12t =，15m =综上所述，1.2t =(2)证明：()i 根据题意(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+，同理可得：(1)AC AF μ=+，由(1)可知，111236AO AD AB AC ==+，所以1136AO AE AF λμ++=+， 因为E ，O ，F 三点共线，所以存在实数n ，使得EO nEF =所以(1)AO n AE nAF =−+ 所以11136n n λμ++⎧−==⎨⎩， 化简得23λμ+=， 又因为0λ>，0μ>所以21129(2)()2228λμλμλμ+==，当且仅当322λμ==，即34λ=，32μ=时等号成立. ()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以2111(1)||(1)||sin ||||sin 22(1)(1)11||||sin 2AE AF BAC AE AF BAC S S AE AF BAC λμλμ++∠−∠==++−∠， 由()i 可知23λμ+=，则320μλ=−>，所以302λ<<，所以2221172232()22S S λλλ=−++=−−+，易知，当12λ=时，21S S 有最大值7.2则2137(,].22S S ∈ 【解析】本题主要考查平面向量的基本定理，考查三角形的面积，考查二次函数的最值，利用基本不等式求最值，属于较难题.(1)由题知2133AD AB AC =+，12115m AO AC AB m m =+⨯++，根据AO t AD =，化简即可；(2)()i 根据题意(1)AB AE λ=+，(1)AC AF μ=+，根据E ，O ，F 三点共线，存在实数n ，使得EO nEF =，有(1)AO n AE nAF =−+，化简可得23λμ+=，利用基本不等式即可得解；()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以221172()22S S λ=−−+，利用二次函数的最值即可得解. 15.(本小题12分)如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值． 【答案】解：(1)由题知，22OA e =，122OB e e =−，则22121222(2)424cos6020;OAOB e e e e e e ︒⋅=⋅−=⋅−=−=(2)①由题知，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，由(1)知OA OB ⊥，又||2OA =，212||(2)4OB e e =−==则ABC 面积为1322ABCS=⨯⨯=②由①知，2,1OC OA OB =−−=<−−>，则2,3BA OA OB =−=<−>，4,0BC OC OB =−=<−>，2,3AC OC OA =−=<−−>，则212||(23)4BA e e =−+==||4BC =，212||(23)4AC e e =−−=设AB c =，AC b =，BC a =， 则由11tan tan tan mA B C+=，结合正弦、余弦定理化简得： 11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B=+=+ sin cos sin cos sin sin sin()cos sin sin cos sin sin C A B B A C A B C A B C A B ++=⋅=⋅ 22222sin 12sin sin cos C c ab A B C ab a b c =⋅=⋅+− 22222271161972c a b c ⨯===+−+−， 故1.2m =【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式和向量的数量积，属于较难题.(1)先得出OA =⟨0,2⟩22e =，OB =⟨2,1−⟩122e e =−，由向量的数量积计算可得结果；(2)①OA =⟨0,2⟩，OB =⟨2,1−⟩，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，计算面积即可；②易得11()tan tan tan m C A B=+⋅，由三角恒等变换和余弦定理化简可得结果. 16.(本小题12分)法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．【答案】解：(1)如图，连接 1AO ， 3AO ，则13AO =，33AO =， 133O AO A π∠=+在 13O AO 中，由余弦定理得： 222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+−⋅⋅∠ ， 即22222132cos 32cos 33333b c bc A b c bc O O A ππ⎛⎫+−+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−⋅⋅+= ⎪⎝⎭2212cos 23b c bc A A ⎛⎫+−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222sin 2sin 363b c a b c Aa b c A+−+−+++==+ 同理可得222212sin 6a b c O O B ++= ，sin sin a bA B= ， sin sin a B b A ∴= ， 1213O O O O ∴= .同理： 1223O O O O = ，即 123O O O为等边三角形.12322213cos sin (2)sin 4432O O O b c bc A A m SO O bc A +−+=⨯=⨯=)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ∴+−+=+，(其中sin ϕ=，cos ϕ=，22b c b c c b cb+⨯= ， )max21sin cos m A A ⎤−+=⎦， 12 ，解得： 1m当且仅当 3A π=， b c = 时 m 取到最小值1.【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，考查三角形的面积公式，属于难题.(1)连接 1AO ， 3AO ，在 13O AO 中，由余弦定理可求出 13O O，同理可得 12O O ，再结合正弦定理即可证明 1213O O O O = ，同理可得 1223OO O O = ；(2)由 123O O O ABCSmS= 化简可得 ()sin b c A c b ϕ+=+ ，再由基本不等式求出 b c c b+ 的最小值，即可求出m 的最小值.。
平面向量在解三角形中应用举例
平面向量在解三角形中应用举例卢金宝向量是高中数学课程中很重要的数学概念，贯穿于高中数学课程体系中，同时向量法也是高中数学中比较重要的解题方法。
下面我就举几个例子说明向量在解三角形中的作用。
应用之一：向量法证明正弦定理及余弦定理1.证明正弦定理 过点A 作单位向量j AC ⊥， 由向量的加法可得A B A C C B=+则()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C同理，过点C作⊥ j BC，可得s i n s i n =b c B C从而sin sin abAB=sin cC=2.证明余弦定理在△ABC 中，BC AB AC +=，则有))((BC AB BC AB AC AC ++=⋅∴222)180cos(||||2BCB AC AB AB AC +-︒⋅+=∴B ac a c b cos 2222-+=同理，A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=评述：之所以将向量法推导正弦定理、余弦定理作为向量法在解三角形中作用例题，是因为解三角形最重要的工具就是正弦定理和余弦定理，作为最重要的工具，它们的推导过程是很重要的，而向量法推导正余弦定理是很好的方法，值得我们借鉴与学习。
应用之二：四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥B CD⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB、方向上的单位向量，∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bcAO ++=（bAC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
平面向量三角形四心(有详解)
平面向量三角形四心(有详解)平面向量三角形四心(有详解)平面向量是数学中的重要概念，可以用来表示空间中的点、线、面等几何对象。
在平面向量的运算和应用中，三角形是常见的几何形状之一。
本文将介绍平面向量与三角形四心的关系，并详细解析其性质和应用。
1. 三角形的四心概述三角形的四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。
这四个点有着各自的特点和性质，对于研究三角形的形状和性质非常重要。
1.1 重心三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对应中点的连线交于一点。
重心在三角形中心位置，对称性较强，具有重要的几何意义。
1.2 外心三角形的外心是外接圆的圆心，即三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
外心离三角形各顶点的距离相等，是三角形的外接圆的圆心。
1.3 内心三角形的内心是内切圆的圆心，即三角形三条边的角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等，是三角形的内切圆的圆心。
1.4 垂心三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点与对边垂线的交点。
垂心所在的直线被称为垂心线，与三角形的三条边垂直。
2. 平面向量与四心关系的性质平面向量与三角形的四心之间具有一些重要的几何性质和关系，下面将分别介绍。
2.1 重心与向量以三角形的重心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量相对于重心的位置向量之和为零。
即，三角形三个顶点的位置向量和为零向量。
2.2 外心与向量三角形的三个顶点为A、B、C，以外心O为原点建立直角坐标系。
则三角形顶点A、B、C的位置向量之和等于三倍的外心O的位置向量。
即，OA + OB + OC = 3OO。
2.3 内心与向量设三角形的内心为I，以内心I为原点建立直角坐标系。
则三角形三个顶点的位置向量与对边的位置向量之和分别为倍数的内心I的位置向量。
即，AI + BI = CI = 2II。
2.4 垂心与向量以三角形的垂心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量与对边垂线的位置向量之和为零。