一次函数与方程组
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
19.3.2一次函数与方程、不等式、方程组〔2〕
（1）当销售量为6吨时，销售收入＝ 6000 元， 销售成本＝ 5000 元， 利润＝ 1000 元。 （2）当销售量为 4吨 时，销售收入等于销售成本。 销售收入和销售成本都是4000元 y/元 l1 销售收入
6000 5000
l2 销售成本
4000
3000
2000
1000
O
ห้องสมุดไป่ตู้
1
2
3
4
5
6
x/吨
（3）当销售量 大于4吨 时，该公司赢利(收入大于成本)；
当销售量 小于4吨 时，该公司亏损(收入小于成本)；
你还有什么发现？
y/元
6000 5000 4000 3000 2000 1000
l1 销售收入 l2 销售成本
P
O
1
2
3
4
5
6 6
7
8 x/吨
一次函数
二元一次 方程
直
线
二元一次方程的一般式: ax+by+c=0 (a ≠ 0,b ≠0)
一次函数的解析式: 图像是 直线
转化
a c y x b b
过(0, b ),( 点的直线。
b k ,0)
.
y=kx+b (k ≠0)
2x y 5 图象法 x2 解得： 解方程组： x y 1 y 1
x 2y 3 2x y 6
解:原方程组可转化为两个函数:
3 x y 2 2 y 2x 6
两个函数图象的交点就是原方程组的解.
y
0 1 2 -2
x
如图:两函数图象的交点是(3,0)
所以原方程组的解是
x3 y0
一次函数与方程组的关系
一次函数与方程组的关系《一次函数与方程组的关系》嘿，朋友们！今天咱来唠唠一次函数与方程组的那些事儿。
你说这一次函数和方程组，就像两个调皮的小伙伴，总是在数学的世界里玩着有趣的游戏。
一次函数呢，就像是一条欢快奔跑的线，有时直直地冲，有时又弯弯地拐。
而方程组呢，就像是一组神秘的密码，等着我们去解开。
咱先来说说一次函数。
你看它呀，用一个简单的式子 y=kx+b 就把自己给概括了，多干脆！它能在坐标轴上画出各种奇妙的线条，就像小孩子涂鸦一样有趣。
有时候看着那线条，我就忍不住想，嘿，这要是在现实生活中，不就是我们走过的路嘛，有直有弯，有起有落。
然后呢，方程组就登场啦。
它就像是个智慧的裁判，能把一次函数的那些线条给摆弄清楚。
比如说吧，两条一次函数的线碰到一起了，方程组就能告诉我们它们在哪里交汇，就像两个小伙伴约好了在哪里见面一样。
有一次我做作业的时候，就碰到了它们俩。
那题目就像是个小怪兽，我左思右想就是搞不定。
后来我静下心来，仔细分析了一下一次函数和方程组的关系，嘿，还真就找到了解题的窍门。
我就感觉自己像是个小侦探，一点点地解开了这个数学谜团。
哎呀呀，在数学的世界里，一次函数和方程组就是这样相互陪伴，相互作用。
它们让我们的解题过程变得像一场冒险，充满了惊喜和挑战。
到最后啊，我想说，数学虽然有时候看起来挺复杂的，但只要我们用心去感受，就会发现它其实也有很多好玩的地方。
就像一次函数和方程组，它们不仅仅是那些公式和符号，更是我们探索数学奥秘的好伙伴呀！所以，让我们继续和它们一起玩耍，一起在数学的海洋里畅游吧！嘿嘿，就说到这儿啦，朋友们！怎么样，是不是对一次函数与方程组的关系有了更深刻的认识呀？下次再看到它们，可别头疼啦，要笑着和它们打招呼哦！。
一次函数与方程(组)
一次函数与方程(组)内容分析函数、方程（组）是初中数学的核心内容，函数是联系方程的纽带，通过函数图像可以直观地表示方程的解的含义。
用函数的观点看一元一次方程，则可以把解方程理解为已知一次函数的值求对应自变量的值，用函数的观点看二元一次方程，则以二元一次方程的解为坐标的点集就是一次函数图象，二元一次方程组的解解释相应的两个一次函数图象的交点的坐标；研究函数、方程的联系可以深化相关知识的理解，建立这种联系的关键是建立一次函数与二元一次方程的联系。
教学目标1、认识一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）的联系，会用函数观点解释方程和其解的意义。
2、经历用函数图像表示非常的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数学结合思想。
教学重点理解一次函数与二元一次方程（组）的联系。
教学难点认识一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）的联系，会用函数观点解释方程和其解的意义。
教学设计一、创设情境，导入新课问题：1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升，上升了1h.(1)请用式子表示1号探测气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系.（2）请写出函数y=x+5的图象上的任意5个点的坐标，你写出的5个点的坐标是否都满足方程y-x=5？你是怎么验证的（3）以方程y-x=5的所有解组成的坐标是否都在一次函数y=x+5的图象上？学生独立思考后，写出问题答案二、深入剖析，感悟新知思考：通过问题（2）、（3）的分析，我们能否概括出二元一次方程的解和一次函数图象上的点的坐标之间是什么关系？小组讨论完成板书：二元一次方程的解等价于一次函数图象上点的坐标以二元一次方程的解为坐标的点，它都在其相应的一次函数的图象上;一次函数图象上点的坐标，都适合其相应的二元一次方程.问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.（2）在某一时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象(如右图).你能读出这两个图象的交点坐标吗？你能读出这两个图象的交点坐标吗？、学生尝试画图象后，师生共同分析三、例题学习，提高认知例1 当自变量x取何值时，函数y=2.5x+1和y=5x +17的值相等？这个函数值是多少？方法一：联立两个函数，得 2.5x+1=5x +17，解此方程；方法二：把两个函数转化为二元一次方程组，解方程组；方法三：画函数图象，求交点坐标.四、迁移应用1)解方程2x+20=02)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？其他同学练习本上抽两名学生板演两个问题实际上是同一个问题序号一元一次方程问题一次函数问题1 解方程3x-2=0 当x为何值时，y=3x-2的值为0?2 解方程8x-3=0 当为何值时，____的值为03 解方程当x为何值时，y=-7x+2的值为04 解方程8x-3=2 当x为何值时，____的值为0五、合作交流小组交流需要答成共识,然后由小组中心发言人代表本组展示交流成果从“函数值”看数，“解方程ax+b=0(a，b为常数，a≠0)”与“求自变量x 为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？从图象上看呢？板书：求一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解，从“函数值”看就是x 为何值时函数y= ax+b的值为0求一元一次方程ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“函数图象”看就是求直线y= ax+b与x 轴交点的横坐标．六、应用新知例2一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（要求用两种方法解题）解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．列方程2x+5=17．解得x=6解法2：速度y( 单位：m/s)是时间x (单位：s) 的函数由2x+5=17y=2x+5 得2x−12=0由图看出直线y = 2x−12 与x轴的交点为（6，0），得x=6．七、评测练习1．根据图象你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗？八、课堂小结，共同提高本节课你有什么收获？1.知识技能：方程的解直线上点的坐标，方程组的解直线交点的坐标.2.思想方法：转化思想、数形结合思想.3.解一元一次方程ax+b=0 (a ，b为常数)可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。
一次函数与方程(组)
一次函数基础训练题1、在函数① y=2x ②y=－3x+1 ③ y= x 2中， x 是自变量， y 是x 的函数， 一次函数有_______ 正比例函数有______,2.某函数具有下列两条性质（1）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线；（2）y 的值随x 值的增大而增大。
请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示） 3、函数 432+=x y 的图像与x 轴交点坐标为________,与y 轴的交点坐标为____________。
4.函数y=2x-1与x 轴交点坐标为_______ ,与y 轴交点坐标为____,与两坐标轴围成的三角形面积是______.5、（1）对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___。
（2）对于函数 x y 3221-=, y 的值随x 值的____而增大。
6.若直线y=kx+b 和直线y=-x 平行,与y 轴交点的纵坐标为-2,则直线的解析式为_______. 7,如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么k 的值为________。
8.已知y-1与x 成正比例，且x=－2时，y=4，那么y 与x 之间的函数关系式为_________________。
9.直线y ＝kx+b 过点（1，3）和点（－1，1），则bk ＝__________。
10.若函数y ＝kx+b 的图像经过点（－3，－2）和（1，6）求k 、b 及函数关系式。
11、已知一次函数 y=（6+3m ）x+n-4，求:（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）m ，n 为何值时，函数图象与y 轴交点在x 轴的下方？ （3）m, n 分别为何值时，函数图象经过 (0，0).12、在直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过三点A （2，0）、B （0，2）、C （m ，3），求这个函数的关系式，并求m 的值。
13、已知一次函数的图像经过点A （2，－1）和点B ，其中点B 是另一条直线321+-=x y 与y 轴的交点，求这个一次函数的表达式。
一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件
05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。
第3节 一次函数与方程(组)及一元一次不等式
第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式二、核心纲要直线:y = kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b = 0 (k≠0)的解.求直线y = kx+b与x轴交点时，可令y = 0，得到方程k + B = 0,解方程得x=bk-，直线y=kx+b交x轴于点(bk-,0)，bk-就是直线y =kx+b与x轴交点的横坐标，可令y轴交点的横坐标.注：(1)从“数”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔在一次函数y=kx+b(k≠0)中，令y=0时，x的值.(2)从“形”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标.2.—次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一次一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax + b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小）于0时，求自变量相应的取值范围.(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系①函数y1的图像在函数y2的图像的上方⇔y1>y2，如下图所示；②函数y1的图像在函数y2的下方⇔y1<y2，如下图所示；③特别说明：函数y 的图像在x 轴上方⇔y >0；函数y 的图像在X 轴下方y <0.3.一次函数与二元一次方程（组）的关系(1)一次函数的解析式：y =kx +b (k ≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y =kx +b (k ≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y =kx +b (k ≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个. (2) —次函数:y = kx +b (k ≠0)① 从“数”看，它是一个二元一次方程； ② 从“形”看，它是一条直线。
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 (1) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y =k 1x +b 1不平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1≠k 2.(2) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y =k 1x +b 1平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1=k 2,b 1≠b 2. (3) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2重合⇔k 1=k 2,b 1=b 2.5.比较两个函数值大小的方法 (1) 画图像，求交点.(2) 过交点作平行于y 轴的直线. (3) 谁高谁大.6.数学思想数形结合和转化思想.本节重点讲解：一个定理，一个证明，两个思想.三、全能突破1.若直线y =(m -3)x +6与x 轴交于点(3,0)，则m 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.如图19-3-1所示，一次函数y =kx +b 的图像经过A 、B 两点，则kx +b ≥0的解集是( ) A. x >0 B. x ≥—3 C. x >2 D. -3≤x ≤23.已知ax +b =0的解是2,则直线y =ax +b 与x 轴的交点坐标是______。
一次函数题型及解题方法
一次函数题型及解题方法考点一、一次函数的图象与性质【方法总结】一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.考点二、确定一次函数的解析式【方法总结】用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．考点三、一次函数与一次方程（组）【方法总结】两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．考点四、一次函数与一元一次不等式补充：方法二，kx+3＞0也就是函数y>0，结合图像x轴上方的部分，此时x＜2【方法总结】先把已知点的坐标代入求出解析式，然后在解不等式求出解集。
或者利用函数图像分析来解答，函数大于0也就是对应图像中在x轴以上的部分函数，再找出对应的x的取值范围即可。
考点五、一次函数与图形面积问题【方法总结】两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高考点六、一次函数的平移一次函数图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b 个单位；b＜0，下移|b|个单位．一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝02．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．。
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轴交点的横坐标的值
2019/6/4
16
14.3
2019/6/4
1
一、一次函数与一元一次方程
2019/6/4
2
(1)解方程：2x+20=0 (2)当x为何值时函数 y=2x+20的值为0? 问题（1）与（2）有什么关系呢？
2019/6/4
3
以下两个问题有什么关系？ （1）解方程 2x 20 0 ．
（2）当自变量 x 为何值时，函数y =2x+20 的值为0？
解：(1) 2x+20=0
(2) 令 y=0 ，即
2x 20
x 10
2x 20 0
2x 20
x 10
两个问题实际上是同一个问题．
从“数”上 看
2019/6/4
4
从函数图象看，直线 y
y=2x+20与x轴交点的 20 坐标是 （-10、0）
10
O
y 2x 20
3
解方程 - 7x+2=0
0?当x为何值时， y=-7x+2的值为0?
4 解方程 8x-3=2
8x-5=0
2019/6/4
当x为何值时，
__y_=__8_x_-5____的值为
0?
7
2、根据下列图像，你能说出哪些一元一次
方程的解？并直接写出相应方程的解？
y y=5x
y
y=x+2
2
2019/6/4
0
2019/6/4
14
y
解法２：画出两个函
9
数y=5x−1 和y=2x+9)，所以原方程的 解为 x=2．
2019/6/4
y=2x+5
y=5x−1
O
2
x
15
解一元一次方程ax+b=0 (a ，b为常 数)可以转化为：当某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值．从图象上看
求ax+b=0(a, b是 从“形”上看 常数，a≠0)的解．
2019/6/4
求直线y= ax+b 与 x 轴交点的横 坐标．
6
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程 3x-2=0 当x为何值时，
y=3x-2的值为0?
2 解方程 8x-3=0 当x为何值时，
__y_=_8_x_-_3____的值为
x
5x=0的解
其解为X=0
-2
o
x
X+2=0的解
其解为X=-2
y
3x+6=0的解 其解为X=2
o2
x
y=3x+6
y y=x-1
o1
x
-1X-1=0的解
其解为X=81
3、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图 像肯定不是直线y=ax+b的是（ B ）
y y
-2 o
x
-2
A
y
o
x
-2
B
y
-2 o
x
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x
说明了方程 2x+20=0的解是
x 10
从“形”上看
2019/6/4
5
由上面两个问题的关系，能进一步得到“ 解方程ax+b=0(a，b为常数， a≠0)”与求自变量 x 为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系 ？
求ax+b=0(a，b是 常数，a≠0)的解．
从“数”上看
x为何值时 函数y= ax+b的值 为0．
11
解法1：设再过 x 秒物体的速度为17米/秒， 依题意得 2x+5=17
解得：x = 6 答：再过6秒它的速度为17米/秒。
2019/6/4
12
解法2：速度 y（米/秒）与时间 x（秒）
的函数关系式为：y = 2x+5 由 2x+5=17得2x-12=0
y y=2x-12
作直线 y1=2x-12,它与x轴的 o 6 x 交点为（6，0）即 x =6
-12
答：再过6秒它的速度为17米/秒。
思20考19/6/：4 你能否通过画直线y = 2x+5求解呢1？3
解法１：将方程5x−1=2x+5变
y
形为3x−6=0，
y=3x −6
画出函数 y=3x −6 的图象．
O2
x
由图象可知直线 y=3x −6 与
−6
x 轴的交点为 (2，0) ，所以原方 程的解为x=2 ．
C
-2 o
x
D
9
1、直线y=x+3与x轴的交点坐标为
所（以－相3应，的0）方程x+3=0的解是 x=－3
2、设m，n为常数且m≠0，
， .
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是 x=－2 .
3、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行； ②两直线交于y轴于同一点；
③两直线交于x轴于同一点； ④方程2x－1 =0与
4x－2=0的解相同； 其中正确的是 ③ ④
⑤当x=1时，y1=y2=1. （填序号）
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10
1．根据图象你能直接 说出一元一次方程x+3=0的 解吗？
解：由图象可知 x+3=0 的 解为 x = −3．
y
y =x+3
−3 O
x
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