中考数学 中考数学压轴题测试含答案
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1,4)-．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足，求点P 的坐标； (3)如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标2．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．5．如图（1），在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，交BD 于点F ．（1）如图（2），若点M 在BC 边上，且DE ＝CM ，连结AM ，EM ．求证：三角形AEM 为等边三角形；（2）设DF x BF=，求tan ∠AFB 的值（用x 的代数式表示）； （3）如图（3），若点G 在线段BF 上，且FG ＝2BG ，连结AG 、CG ，DF x BF =，四边形AGCE 的面积为S 1，ABG 的面积为S 2，求12S S 的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC 重合)，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，连接PC ．若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与COA 相似，求点P 的坐标；（3）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴与点E ，过点E 任作一直线l '分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7．如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点Q 称为⊙I 关于直线a 的“近点”，点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”把PQ ·QH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（0，3）．半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“近点”“远点”分别是点_____和_____（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_____；②若直线n 的函数表达式为33y x =-+．求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M （1，2），点F 是坐标平面内一点，以F 5为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N （1-，0）是⊙F 关于直线l 的“近点”．且⊙F 关于直线l 的“特征数”是6，求直线l 的函数表达式．8．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF 交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．10．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线交x轴于()2,05,0B两点，交y轴于点C．A-、()（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若，，，求点Q的坐标．11．已知：如图1，点A（a，b），AB x⊥轴于点B2++-+=．a b a b24(8)0（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD OC⊥，且OD OC=，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标；（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．12．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角边AC与⊙O 相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．①AD=6，PD=4，则AB= ；PQ= ；②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=3QD．13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．14．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），以AD、AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．(1)如图1，当12AE AC<时，过点E作EF BE⊥交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．求证：EB EF=；(2)在ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒．过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD直线BD交直线AP于点E．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并予以证明．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC 的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．①求PE2的最大值；②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．16．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，再连结BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点、已知AB ＝10，AC ＝6，AD ＝4，求BC 的长．【拓展】如图③，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作D F⊥DE 交边AC 于点F ，连结EF ．已知BE ＝5，CF ＝6，则EF 的长为__________.17．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ，点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时，求顶点P 坐标；(2)若a ＞0，且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；(3)作直线OC ：12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C ．连结OB ，当抛物线与△OBC 的边有两个交点时，求a 的取值范围．19．已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ． ①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．20．如图，在ABCD 中，90ABD ∠=︒，5cm AD =，8cm BD =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm/s 、5cm /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且2QM PQ =，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与ABCD 重叠部分的面积为()2cm S ．（1）求边AB 的长．（2）当04t <<时，PQ = ，当48t <<时，PQ = ．（用含t 的代数式表示）（3）当点M 落在BD 上时，求t 的值．（4）当矩形PQMN 与ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．(1)223y x x =--；(2)，； (3)，；，；，；，； ，；，． 【解析】【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点A （﹣1，0）代入，求出a 即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线BD 解析式为y ＝2x ﹣6，过点C 作CP 1∥BD ，交抛物线于点P 1，再运用待定系数法求出直线CP 1的解析式为y ＝2x ﹣3，联立方程组即可求出P 1（4，5），过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，证明△OCE ≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝12x﹣3，即可求出P2（52，﹣74）；（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．(1)解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF（ASA），∴FG＝OE＝32，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣32＝32，∴F（3，﹣32），设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C（0，﹣3），F（3，﹣32），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝12x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝12x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝52，∴P2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣13t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴，；，；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，），∴Q（，），∴QH＝|t﹣|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．2．（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在，12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；（2）设224(,)33P t t --根据（1）的结论求得C 的坐标，进而求得AC 的解析式，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，进而求得PD 的长，根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APC S 的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t 的值，进而求得P 点的坐标；（3）分情况讨论，①//CM AQ ，②//AC MQ ，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标．【详解】（1）二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+ （2）抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ，令0x =，则2y = (0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，由(3,0)A -，(0,2)C ，则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为223y x =+， 如图，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，设224(,)33P t t --，则2(,2)3D t t +， 2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APC C A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时，APC S 取得最大值，此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P - （3）存在，理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++ ∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图，当//CM AQ 时，Q 点在x 轴上，//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称，(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时，如图，设M 的纵坐标为n ，四边形ACQM 是平行四边形，点A ,Q 在x 轴上，则,AQ MC 的交点也在x 轴上， 202n +∴= 解得2n =-设(,2)M m -，2242233x x ∴-=--+ 解得17x =-(17,2)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3，纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3，纵坐标加2 即(173,0)Q -±34(27,0),(27,0)Q Q ∴综上所述，存在点Q ，使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得32AD OD ==，从而完成求解； （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''==∴1122B D B C '''== ∴2232OD OB B D ''=-=∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形， ∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥ ∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒ ∴223BC B C AC AB ''''==-=；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '==∴1122OE OC '==∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '==∴2214OF OC C F ''=-=∴34B F OB OF ''=-=∴262BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．4．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形． 【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =， (3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =， 12OE EB t ∴==，152ME OA ==，90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒， BME CBF ∴∠=∠，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==，5OF OB BF t ∴=+=+， 1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ， ∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==， 即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴．（4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =， BAD ABD ∴∠=∠，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠． tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形． 综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．（1）证明见解析；（23333xx；（3）194【解析】 【分析】（1）如图，连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形，可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案；（2）如图，记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒表示33,33OA OB a b 利用,2DF ax BF a b则2,1a xb x再利用三角函数的定义可得答案；（3）如图，设,DFESn 证明,DFE BFA ∽ 2,BFAnSx 再表示2222,,33ABGAGFn nSS S x x 结合菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG nS x 表示,AFDn S x可得2=,BCD ABDn n S Sxx 可得2212243334,3nn n S x x x x n S x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】证明：（1）如图，连接,AC 菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形，,AC AD ∴=,60,DE CM ACM ADE,ACM ADE ≌ ,,AMAE MAC EAD 60,MACCAECAEEADAME ∴是等边三角形（2）如图，记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒,,30,ACBD OB OD a b ABO33,33OAOB a b ,2DF a x BFa b1221,a b bx a a 11,22b ax 则2,1ax bx333tan 13a b OAa AFBOFbb32331,3133xxxx（3）如图，设,DFESn四边形ABCD 是平行四边形，,DFE BFA ∽22=,BFAn DF x S BF2,BFAn SxFG ＝2BG ， 2222,,33ABGAGFn n SS S xx根据菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x ,AFD ABFS DF x SBF2,AFDn n S x x x 2=,BCDABD n n SSxx1222224=333n n n n n nS nn x x x x x x， 2212243334,3n n n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值， 当31232x时，最大值为：1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.6．（1）213442y xx =-++；（2）点P 的坐标为：（6，41，2）；（3）11NC MC +=【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OCCO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI+=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断． 【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ， ∴∠ACB =90°， ∵点C 的坐标为()0,4， ∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°， ∴∠OCB =∠OAC , ∴AOC ∆∽COB ∆，∴AO OCCO OB=， ∵4CO =，10AO BO AB +==， ∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =， 经检验，满足题意， ∵OB OA >， ∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++；（2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时， ∴ACO PCQ ∠=∠， ∵90ACO OCB ∠+∠=︒， ∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ， ∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=，解得：16x =或20x =（舍去）； ∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ， ∴∠ACO =∠POG ， ∵90PGO AOC ∠=∠=︒， ∴AOC ∆∽PGO ∆， ∴AO OCPG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++，∴22413442x x x =-++， 解得：171x =±-， ∵点P 在第一象限， ∴171x =-，∴2134217242x x -++=-，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）； （3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴EI =EJ ，∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ， ∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NENC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ，∴12AI AO EI CO ==，∵AC = ∵AC AI IC AI EI =+=+，12=，解得：EI =∴111NC MC EI +==∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．7．（1）①B ；D ；4；②1；（2）1522y x =-+或24y x =-+【解析】 【分析】（1）①根据“近点”、“远点”以及“ 特征数”的定义判断即可；②过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ．先分别求得点E 、F 的坐标，进而可求得EF 的长，再利用等积法求得OH 的长，进而即可解决问题；（2）如图，先求得“近点”N 到直线l 的距离NH AOB AHN △∽△即可求得答案． 【详解】解：（1）①由题意，点B 是O 关于直线m 的“近点”， 点D 是O 关于直线m 的“远点”， ∵点E 的坐标为（0，3）．⊙O 的半径为1， ∴OE ＝3，OB ＝OD ＝1，∴BE ＝OE －OB ＝2，DB ＝OB ＋OD ＝2，O 关于直线m 的特征数224DB BE =⋅=⨯=， 故答案为：B ；D ；4；②如图，过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ，设直线33y x =-+交x 轴于点F ，交y 轴于点E ， 令y ＝0，则x ＝3；令x ＝0，则y ＝3， ∴(3F ，0)，(0,3)E ，3OE ∴=，3OF =，22223(3)23EF OE OF ∴=+=+=，∵1122EOF S OE OF EF OH =⋅=⋅△， ∴11332322OH ⨯⨯=⨯⋅， 解得：32OH =， 12QH OH OQ ∴=-=， 又∵2PQ OQ OP =+=，O ∴关于直线n 的“特征数” 1212PQ QH =⋅=⨯=；（2）如图，设直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过点F 作FH ⊥直线l ，垂足为点H ，交⊙F 于N ，G ，∵⊙F 5，∴FN ＝FG 5，∴GN ＝FN ＋FG 5∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是6， ∴GN·NH ＝6，NH ＝6， 解得：NH设直线l 的解析式是y kx b =+， ∵直线l 经过点M （1，2），∴将（1，2）代入y kx b =+，得：2k b +=， 2b k ∴=-，(2)y kx k ∴=+-，∴当0x =时，2y k =-，∴点B 坐标为（0，2－k ），|2|OB k ∴=-，当0y =时，(2)0kx k +-=， 解得：2k x k-=， ∴点A 坐标为（2k k-，0）， 2||k OA k -∴=，22|(1)||1|k k AN k k--=--=+，AB ∴2||k k-= BAO NAH ∠=∠，90AOB AHN ∠=∠=︒， AOB AHN ∴△∽△，∴NH ANOB AB=，∴|2|522|1|||k k k k k-=--+， 整理，得：22520k k ++=，解得：12k =-或2k =-，∴直线l 的解析式为1522y x =-+或24y x =-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，相似三角形的判定和性质运用以及勾股定理的运用，远点，近点，特征数等新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）y ＝－x 2+2x +3，y ＝-x +3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3） 【解析】 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD AD =，进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）把(30)A ，、(10)B -，代入2y x bx c =-++， 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为（0，3），又(30)A ，，代入1y kx b =+， 得1k =-，13b =， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+， （2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， ∴AD BD =， ∴2ABCACDSS=，∵2ACP ACD S S =△△，∴ACP ABC S S =△△，此时，点P 与点B 重合， 即：(10)P -，， 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩，∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）由（1）可知，抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ，如下图所示：22222BM AM ==+，4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形，符合题意，M 点即为所求Q 点的一种情况，当Q 点在x 轴下方时，设Q 为(1,)m ，0m ＜， 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点，则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==，1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --，∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上， 代入，解得m=－3或2m = (舍去) ∴Q （1，－3）综上，Q 点坐标为（1,2）或（1，－3）， 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．9．（1）直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6；（2）d =4-t ；（3）Q （212，1）． 【解析】 【分析】（1）先由解析式求出得A 、C 点的坐标，得OA =OC ，得四边形ABCO 为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b 的值；（2）过点Q 作QG ⊥AB 交AB 延长沿于点G ，证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （AAS ），得到AP =GQ ，进而求得结论便可；（3）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与x 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥x 轴于点M ．证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （CCS ），得PK =QR ，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与y轴交于点N，过Q作QM⊥y轴于点M．则AP=t，QM=d，且d=6-t．∵OF 平分∠POC ， ∴∠POF =∠COF =∠PFO ， ∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°， ∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ， 在△OPK 和△PQR 中， 90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ）， ∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°， ∴∠OKP =∠OPH ， ∴∠R =∠OPH ， ∵PO =PF ，PH ⊥OF ， ∴∠OPH =∠FPH ， ∴∠R =∠FPR ， ∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ， ∴四边形OPEN 是平行四边形， ∴EN =PO =PF ， ∴PE -PF =ER -EN ， ∴FE =NR ，设FE =NR =k ，则KQ =2FE =2k ， 又设NQ =m ，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．10．（1）；（2）；（3）【解析】 【分析】（1）由抛物线的二次项系数 再根据交点式可得抛物线为从而可得答案；（2）先画好图形，证明利用相似三角形的性质求解从而可得答案；（3）如图，过P 作轴于,K 过M 作于,N 证明即再求解则，再解方程可得 4,t = 再求解的解析式，再联立解析式解方程可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线交x 轴于()2,0A -、()5,0B 两点，所以可得抛物线为：（2）如图，过P 作于,H 连AP 交OC 于则，x 则令0,（3）如图，过P作轴于,K过M作于,N 由（2）得：，，轴，则轴，，即结合（1）可得：四边形为矩形，。
2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)
圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是 P 1，P 3 ；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是 P 2、P 3 ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是 D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是 P1，P2 ；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是 P1 ；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是 Q 2，Q 4 ．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为 (2,0) ；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标 (2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)= 23-2 ，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围 1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2 ；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。
(完整)中考数学压轴题精选含答案
一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A （0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．(1)求直线AP的解析式；(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP 的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．3．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．4．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A 为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．5．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．6．抛物线1C ：211211y x t x t ---≠＝（）（）（）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）（1）若2t -＝，求线段AB 的长；（2）猜想：随着t 的变化，A 、B 两点是否会有一定点？若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；（3）求线段AB 的长（用t 表示）（4）若1t ＞，将抛物线1C 经过适当平移后，得到抛物线2C ：221y x t t --＝（）＋，A 、B 的对应点分别为D m （、n ），2E m （＋、n ）； ①求抛物线2C 的解析式；②将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折，连同G 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线132y x b b -＝＋（＜）与圆形G 有且只有两个公共点，求b 的取值范围．7．如图1，直线l 1：y ＝kx 与直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 相交于点A （4，3），直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 与x 轴交于点B ，点E 为线段AB 上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交直线l 1于点F ，连接BF ．（1）求k、b的值；（2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M．①求线段OM的长；②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标．8．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠ACD＝90°，E为CD中点，23AB=，求△BCE的面积；（2）如图2，若∠ACD＝90°，点E在线段CD上且∠DAE＋∠ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：2=；BC DF（3）如图3，AB＝1，∠BAC＝90°，∠ACD＝105°，若BE恰好平分∠AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．2CE AE CE9．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1．（1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0）和点B（5，0）．对于线段AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角∠ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点．(1)在点D（-2，2）、E（1，4）、F（3，-2）中，使得线段AB的可视角为45°的可视点是；(2)⊙P为经过A，B两点的圆，点M是⊙P上线段AB的一个可视点.① 当AB为⊙P的直径时，线段AB的可视角∠AMB为度；② 当⊙P的半径为4时，线段AB的可视角∠AMB为度；(3)已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角∠ANB最大时，求点N的坐标．11．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在ABC中，AB AC∠=，MN分别为AB、BC边上一=，BACα点，连接MN，且MN AC∥，将ABC绕点B在平面内旋转．(1)观察猜想 ABC 绕点B 旋转到如图2所示的位置，若60α=︒，则AM CN 的值为______． (2)类比探究 若90α=︒，将ABC 绕点B 旋转到如图3所示的位置，求AM CN 的值． (3)拓展应用若90α=︒，M 为AB 的中点，4AB =，当AM BN ⊥时，请直接写出CN 的值．12．如图1，抛物线y 14=-x 2+bx +c 经过点C （6，0），顶点为B ，对称轴x ＝2与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线y 14=-x 2+bx +c 只有一个交点时，求点M 的坐标．(3)△MPC 在（2）的旋转变换下，若PC 2=2）．①求证：EA ＝ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．13．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，B (4，0)，C (8，0)，tan∠ACB ＝2，抛物线y ＝ax 2+bx 经过A ，C 两点．(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？14．在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点A，B（点B 在点A的右侧）．抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式．(2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6，求k的值．(3)若点，且点E，D关于点C对称，过点D作直线2l交抛物线于点M，N，过点E作直线轴，过点N作于点F，求证：点M，C，F三点共线．15．如图1：抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4．(1)抛物线的解析式为；(2)点P在第三象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)如图2，在（2）的条件下，当S＝6时，点G为第四象限抛物线上一点，连接PG，CH ⊥PG 于点H ，连接OH ，若tan∠OHG 34=，求GH 的长． 16．已知抛物线24y ax bx =++（a ≠0）与x 轴交于点A （3-，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，直线y mx n =+经过两点A 、C ．(1)求a ，b 的值；(2)如图1，点Р在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC 的面积最大时，求点P 的坐标．(3)如图2，将已知抛物线向左平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为'y ，若抛物线'y 与原抛物线的对称轴交于点Q ．点E 是新抛物线'y 的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE 是等腰三角形时，请直接写出点E 的坐标．17．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径DF 交BC 于点G ．(1)如图1，求证：∠BAD －∠BCF ＝90°；(2)如图2，连接AC ，当∠BAC ＝∠CFD ＋∠ACD 时，求证：CA ＝CB ；(3)如图3，在（2）的条件下，AC 交DF 于点H ，∠BAC ＝∠DGB ，45CG BG =，AC ＝9，求△CDH 的面积．18．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点（不与点A 、C 重合），以AD 、AE 为邻边作平行四边形AEGD ，GE 交CD 于点M ，连接CG ．(1)如图1，当12AE AC <时，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接GF 并延长交AC 于点H ．求证：EB EF =；(2)在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒．过点A 作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接BD ，CD 直线BD 交直线AP 于点E ．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB ，ED ，BC 之间的数量关系，并予以证明．19．已知抛物线y 14=-kx 212-（k ﹣2）x +2与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C （点B 在点C 的左边）．(1)直接写出点B 的坐标；(2)当k ＝1时（如图），求：①在直线AC 上方的抛物线上一点M ，求点M 到直线AC 的最大距离及此时点M 的坐标；②将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，若线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线1x =，且与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，OB OC =．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上是否存在点Q，使得BCQ△是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设抛物线上的一点P的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使BCP的面积为最大整数时点P的坐标．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)y=3x-3；(2)（-2，3）；(3)Q的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132）【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到a+3=0，p-1=0，求出a，p，得到点P，A的坐标，设直线AP的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出函数解析式；（2）过M作MD交x轴于D，连接AD，由MD，△MAP的面积等于6，顶点△DAP的面积等于6，求出DP，得到点D坐标，求出直线DM的解析式，即可求出M的坐标；（3）设B（t，3t-3），分三种情况，①当点Q在轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，证明△BEQ≌△QNC（AAS），得到O Q=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，求出t值即可；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，证明△CQF≌△QBG（AAS），得到O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，求出t即可；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），得到OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，求出t值即可．(1)解：∵+（p﹣1）2＝0．∴a+3=0，p-1=0，解得a=-3，p=1，∴P(1,0)，A(0,-3)，设直线AP的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=3x-3；(2)解：过M作MD交x轴于D，连接AD，∵MD，△MAP的面积等于6，∴△DAP的面积等于6，∴，即，∴DP=4，∴D（-3，0）设直线DM的解析式为y=3x+c，则，∴c=9，∴直线DM的解析式为y=3x+9，令x=-2，得y=3，∴M（-2，3）；(3)解：存在设B（t，3t-3），①当点Q在x轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，如图，∴OE=t，BE=3-3t，∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，∴BQ=CQ，∠BQC=90°，∴∠BQE=90°-∠NQC=∠QCN，又∵∠BEQ=∠QN C，∴△BEQ≌△QNC（AAS），∴QN=BE=3-3t，QE=CN=4，∴OQ=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，∴t=12，∴OQ=72，∴Q（-72，0）；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，如图，∴BG=t，OG=3t-3，∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，∴BQ=CQ，∠BCQ=90°，∴∠CQF=90°-∠BQG=∠GBQ，又∵∠CFQ=∠BGQ=90°，∴△CQF≌△QBG（AAS），∴CF=QG=2，QF=BG=t，∴O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，∴t=94，∴OQ=4-t=74，∴Q（0，74）；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，如图，∴BT=t，OT=3t-3，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），∴CF=BT=t，QF=CF=2，∴O Q=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，∴t=52，∴OQ=4+t=132，∴Q（0，132）；综上，Q的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132）．【点睛】此题是一次函数与图形的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定即性质，等腰直角三角形的性质，算术平方根的非负性及偶次方的非负性，熟记全等三角形的判定即性质是解题的关键．2．（1）直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）d=4-t；（3）Q（212，1）．【解析】【分析】（1）先由解析式求出得A、C点的坐标，得OA=OC，得四边形ABCO为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b的值；（2）过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，证明Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），得到AP=GQ，进而求得结论便可；（3）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与x轴交于点N，过Q作QM⊥x轴于点M．证明Rt△AOP≌Rt△GPQ（CCS），得PK=QR，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与y 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥y 轴于点M ．则AP =t ，QM =d ，且d =6-t ．∵OF 平分∠POC ，∴∠POF =∠COF =∠PFO ，∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°，∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ，在△OPK 和△PQR 中，90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ），∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°，∴∠OKP =∠OPH ，∴∠R =∠OPH ，∵PO =PF ，PH ⊥OF ，∴∠OPH =∠FPH ，∴∠R =∠FPR ，∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ，∴四边形OPEN 是平行四边形，∴EN =PO =PF ，∴PE -PF =ER -EN ，∴FE =NR ，设FE=NR=k，则KQ=2FE=2k，又设NQ=m，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②16:15．【解析】【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．（2）如图1，证明△DCA ≌△EDG （AAS ），得AD =EG ，根据等腰三角形的判定得：DG =AB ，由平行线分线段成比例定理得：2DE DG DF AD ==，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA ≌△EDG （AAS ），得DA =EG ，再证明△ACB ∽△GEB ，列比例式可得结论；②如图3，作辅助线，构建△ABC 和△DCE 的高线，先得14AF AD EG DG ==，设AF =a ，则EG =AD =4a ，DG =16a ，根据AH ∥PD ，得123164PD BD a AH AB a ===，设PD =3h ，AH =4h ，根据EG ∥AC ，同理得41164BG BE a AB BC a ===，设BE =y ，BC =4y ，利用三角形面积公式代入可得结论．【详解】（1）证明：∵AC =AB ，∴∠ACB =∠B ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC ，∴∠ACD +∠ACB =∠B +∠BDE ，∴∠BDE =∠ACD ；（2）证明：如图1，∵EG ∥AC ，∴∠DAC =∠DGE ，∠BEG =∠ACB ，由（1）知：∠DCA =∠BDE ，∵DC =DE ，∴△DCA ≌△EDG （AAS ），∴AD =EG ，∵∠B =∠ACB =∠BEG ，∴EG =BG =AD ，∵DE =2DF ，AF ∥EG ， ∴2DE DG DF AD==， ∴DG =2AD =2AG ，∴AB =DG =2AG ；（3）解：①如图2，过点E 作EG ∥AC ，交AB 的延长线于点G ，则有∠A =∠G ，∵AB =AC ，CD =DE ，∴∠ACB =∠ABC ，∠DCE =∠DEC ，∴∠ACD +∠DCE =∠EDG +∠DEC ，∴∠ACD =∠EDG ，在△DCA 和△EDG 中，∵ACD EDG A G CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCA ≌△EDG （AAS ）．∴DA =EG ，∵AC ∥EG ，∴△ACB ∽△GEB ，∴AC BC EG BE=， ∵EG =AD ，AC =AB ，∴AB •BE =AD •BC ；②如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，过D 作DP ⊥BC 于P ，则AH ∥PD ，∴AF AD DF EG DG DE==，∵DE=4DF，∴14 AF ADEG DG==，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴123164 PD BD aAH AB a===，设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴41164 BG BE aAB BC a===，设BE=y，BC=4y，∴S△ABC=12BC•AH=4?42y h=162yh=8yh，S△DCE=12CE•PD=5?32y h=152yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：152yh=16：15．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强．4．（1）B2C2；（23）OA最小值为1，相应的BC=OA最大值为2，相应的BC=【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C''在x轴上方和x轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得AD OD==（3）结合题意，得当AC'为⊙O的直径时，OA取最小值；当A、B'、O三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''== ∴1122B D B C '''==∴2232OD OB B D ''=-= ∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形，∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒∴223BC B C AC AB ''''==-=当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '== ∴1122OE OC '== ∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '== ∴2214OF OC C F ''=-= ∴34B F OB OF ''=-= ∴26BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】 本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．5．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形．【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =，(3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =，12OE EB t ∴==，152ME OA ==， 90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒，BME CBF ∴∠=∠，BM BC =，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==， 5OF OB BF t ∴=+=+，1(5,)2C t t ∴+． （3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ，∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==，即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴． （4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =，BAD ABD ∴∠=∠，//BD y 轴，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠．tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =， 5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-，解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形．综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（1）6；（2）会，（1，0）；（3）22t -；（4）①y 2=（x -2）2+1；②52＜b ＜3． 【解析】【分析】（1）根据题意令y 1=0，解得x ，即AB 点的横坐标，进而即可求得AB 的长；（2）由题意可知当x =1时，y 1=0，进而可以得出该定点的坐标；（3）由（1）可知AB 点的横坐标，进而即可用t 表示线段AB 的长；（4）①由题意可知t ＞1时，点A 、B 的坐标分别为：（1，0），（2t -1，0），进而依据AB =DE ，即可求解；②根据题意将点D 、E 的坐标代入抛物线表达式得：m =1，故点D 、E 的坐标为：（1，2）、（3，2），当直线过点D 时，2=-12×1+b ，解得：b =52，同理直线过点E 时，b =72，而b ＜3，即可求解． 【详解】解：（1）令y 1=0，解得：x =1或2t -1，当t =-2，则x =1或-5，所以线段AB =1-（2t -1）=2-2t =6； （2）会有一定点，理由如下：当x =1时，y 1=0，所以会有一定点（1，0）；（3）由（1）可知当y 1=0，解得：x =1或2t -1，所以线段AB 的长为：1(21)22t t --=-；（4）①t ＞1时，点A 、B 的坐标分别为：（1，0），（2t -1，0），因为平移距离相等可得AB =DE ，即2t -1-1=m +2-m =2，解得：t =2，所以点B （3，1），把t =2，代入221y x t t --＝（）＋， 可得抛物线C 2的解析式为：y 2=（x -2）2+1；②将点D 、E 的坐标代入抛物线表达式得：n =（m -2）2+1=（m +2-2）2+1，解得：m =1，故点D 、E 的坐标为：（1，2）、（3，2）；图象G 如下图所示，当直线过点D 时，2=-12×1+b ，解得：b =52， 同理直线过点E 时，b =72，而b ＜3， 所以b 的取值范围为：52＜b ＜3． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形过定点等，其中（3），要注意分类讨论避免遗漏．7．（1）34k =，5b =；（2）①OM =5；②()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）分别将将(4,3)A 代入y kx =和12y x b =-+中，求解即可； （2）①设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,证明△AFD ≌△EFD ，得到AD =ED ，利用中点坐标公式求得点D 坐标，用待定系数法求得直线FD 的函数表达式，令0y =,即可求得点M 的坐标，从而求得OM ；②点N 在直线l 1的上方，当△OFN 和△OFM 全等时，满足题意的点N 有两个，分别画出相关的图形，分类讨论求解即可．【详解】解：（1）∵直线l 1：y kx =和直线l 2：12y x b =-+相交于点A ∴将(4,3)A 代入y kx =中，得：43k =解得：34k = ∴将(4,3)A 代入12y x b =-+中，得：1432b -⨯+= 解得：5b =∴3,54k b == （2）① 设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,如下图：∵34k =，5b = ∴直线l 1的函数表达式为34y x =，直线l 2的函数表达式为152y x =-+ ∵(4,3)A∴22345OA +设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D则()0,5C∴5OC =∴5OA OC ==∴∠OCA =∠OAC∵//FE y 轴∴∠OCA =∠FEA又∵∠OAC =∠FAE∴∠FAE =∠FEA∴FA =FE又∵FM 是∠OFE 的角平分线∴∠AFM =∠EFM又∵FD =FD∴△AFD ≌△EFD∴AD =ED∴点D 为AE 的中点∵//FE y 轴∴点F 和点E 的横坐标相同将8x =代入152y x =-+中，得1y = ∴()8,1E∵(4,3)A ，()8,1E∴()6,2D设线段FM 所在的直线函数表达式为()0y ax b a =+≠将()()8,6,6,2F D 代入y ax b =+中，得：8662k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：210k b =⎧⎨=-⎩∴线段FM 所在的直线函数表达式为210y x =-令0y =，得2100x -=解得：5x =∴()5,0M∴OM =5② 当,OFN FOM 全等时，有两种情况，情况一，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴∠OFN =∠FOM ，FN =OM ,ON =FM∴//FN OM∵OM =5∴FN =5,8F x =∴853N x =-=,6N F y y ==∴()3,6N情况二，当△OMF 和△ONF 关于直线l 1对称时，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴ON =OM =5，∠NOF =∠MOF∵OP =OP∴△NOP ≌△MOP∴PN =PM∵()8,6F ∴226810OF + 又∵1122OMF F S OM y OF PM =⋅=⋅ ∴F OM y OF PM ⋅=⋅ ∴56==310PM ⨯ ∴MN =2PM =6，OP 2222534OM PM -- ∵1122OMN N S MN OP OM y =⋅=⋅△ ∴642455N y ⨯== ∴2222247555N N x ON y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 综上所述，满足题意点有两个，分别是：()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数表达式，三角形全等的性质和证明，两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点，牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键．8．（1）32；（2）见解析；（3）222- 【解析】【分析】（1）过点,,A E D 分别作BC 的垂线，垂足分别为,,H I G ，连接BE ，证明Rt AHC Rt CGD △≌△，根据含30度角的直角三角形的性质求得CE ,进而求得EI ,根据三角形的面积公式求解即可；（2）过点,A D 分别作BC 的垂线，交BC 及BC 的延长线于点,H G ，证明Rt AHC Rt CGD △≌△，进而可得HAF △是等腰直角三角形，DGF 是等腰直角三角形，即可证明2222DF DG HC BC ===，即2BC DF =； （3）延长,EA EC ，过点B 分别作,BN EN BM CM ⊥⊥，垂足分别为,N N ，解直角三角形Rt ABN △可得45ABN ∠=︒，进而可得30AEC NEM ∠=∠=︒，进求得DE 的长度，由点P 为线段AE 上的动点，点E ′与点E 关于直线DP 对称，AE ′与CD 交于点Q ，连接CE ′，构造相似三角形，在线段DC 上截取322DF =-,连接E F '，则CDE E DF ''△∽△，求得目标等量关系()21E F CE ''=-，根据()221CE AE CE CE AE E F AE AF '''''+-=-+=+≥''则当,,A E F '三点共线时，取得最小值，此时Q 点与F 点重合，根据CQ CF CD FD ==-即可求得答案．【详解】（1）如图，过点,,A E D 分别作BC 的垂线，垂足分别为,,H I G ，连接BE ，AB ＝AC ，将CA 绕点C 顺时针旋转至CD ，AC CD ∴=∠BAC ＝60°，ABC ∴是等边三角形，AC CD ∴=，60BAC ∠=︒AH BC ⊥ 1302CAH CAB ∴∠=∠=︒ ,AH HC DG GC ⊥⊥，∠ACD ＝90°，90AHC CGD ∴∠=∠=︒90ACH DCG ACH HAC ∴∠+∠=∠+∠=︒DCG HAC ∴∠=∠Rt AHC Rt CGD ∴△≌△HC GD ∴=,30CAH DCG ∠=∠=︒ E 为CD 中点，23AB =， 11322CE CD AB ∴=== 在Rt CEI △中，30ECI ∠=︒1322EI CE ∴== 1133232222BCE S BC EI ∴=⋅⋅=⨯⨯=△ （2）如图，过点,A D 分别作BC 的垂线，交BC 及BC 的延长线于点,H G ，,AH HC DG GC ⊥⊥，∠ACD ＝90°，90AHC CGD ∴∠=∠=︒90ACH DCG ACH HAC ∴∠+∠=∠+∠=︒DCG HAC ∴∠=∠Rt AHC Rt CGD ∴△≌△AH CG ∴=,DG HC =AC CD =， AH BC ⊥∴BAH HAC ∠=∠，90ABC BAH ∠+∠=︒∠DAE ＋∠ABC ＝90°，DAE HAC DCG ∴∠=∠=∠AC CD =，∠ACD ＝90°，45DAC ∴∠=︒DAE EAC CAH EAC ∴∠+∠=∠+∠45HAF =∠=︒即45HAF ∠=︒HAF ∴△是等腰直角三角形AH HF ∴=CG HF ∴=CG CF HF CF ∴-=-即HC FG =又DG HC =FG DG ∴= ∴DGF 是等腰直角三角形 2222DF DG HC BC ∴=== 即2BC DF =（3）如图，延长,EA EC ，过点B 分别作,BN EN BM CM ⊥⊥，垂足分别为,N N ，BE 恰好平分∠AEC ，BM BN ∴=∠BAC ＝90°，∠ACD ＝105°，AB ＝AC ，AB ＝1，在Rt ABC 中，2BC 45ABC ACB ∴∠=∠=︒150BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒30BCM ∴∠=︒60CBM ∴∠=︒22BM ∴= 2BN BM ∴==在Rt ABN △中21,AB BN ==2cos BN ABN AB ∴∠==45ABN ∴∠=︒90NBC ∴∠=︒9060150NBM NBC CBM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒在四边形ENBM 中，90,150M N NBM ∠=∠=︒∠=︒30AEC NEM ∴∠=∠=︒ 1152BEC AEC ∴∠==︒ 又30BCM BEC CBE ∠=∠+∠=︒15CBE CEB ∴∠=∠=︒CB CE ∴=2= 1CD CA AB ===21DE CE CD ∴=-=-如图，点P 为线段AE 上的动点，点E ′与点E 关于直线DP 对称，AE ′与CD 交于点Q ，连接CE ′， ∴21DE DE '==-211DE CD '-= 若211DF E D -='，则322DF =- 在线段DC 上截取322DF =-,连接E F '，则DF ED E D CD'='，又E DF CDE ''∠=∠ CDE E DF ''∴△∽△ 21CE CD E F E D '∴==''-()21E F CE ''= ∴()221CE AE CE CE AE E F AE AF '''''+-=+=+≥'' 则当,,A E F '三点共线时，取得最小值，此时Q 点与F 点重合，此时1(322)22CQ CF CD FD ==-=--=【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，第三问是阿氏圆模型，找到点F 的位置是解题的关键．9．（1）点P 对应的数为-2；（2）当t =2或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍；（3）m +13n =0．【解析】【分析】（1）设点P 对应的数为x ，表示出BP 与PA ，根据BP =PA 求出x 的值，即可确定出点P 对应的数；（2）表示出点P 对应的数，进而表示出PA 与PB ，根据PA =2PB 求出t 的值即可；（3）因为OM ＞ON ，只有甲乙均反弹之后在中点相遇一种情况，设点M 对应的数为m ，点N 对应的数为n ，时间为t ，则M 、N 的中点对应的数为2m n +，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M 和点N 的距离相等列出关系式即可．【详解】解：（1）点A 、B 对应的数分别是﹣5和1，设点P 对应的数为x ，则BP =1-x ，PA =x +5，∵BP =PA ，∴1-x =x +5，解得：x =-2，∴点P 对应的数为-2；（2）P 对应的数为-5+2t ，∴PA =2t ，PB =|-5+2t -1|=|2t -6|，∵PA =2PB ，∴2t =2|2t -6|，当t =2t -6时，t =6；当t +2t -6=0时，t =2；答：当t =2或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍；（3）设点M 对应的数为m ，点N 对应的数为n ，时间为t ，则M 、N 的中点对应的数为2m n +， ∴MN =n -m ，OM =-m ，ON =n ，∴()()252502t t n m m n t m m ⎧+=-⎪+⎨⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()351073352t n m n m t ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩， 化简得m +13n =0．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．10．(1)点E(2)① 90；② 30或150(3)N（00，【解析】【分析】（1）AE、BE、AB满足勾股定理，且AE=AB，可知ABE△为等腰直角三角形，则∠AEB=45°，故E点可使线段AB的可视角为45°．（2）①由半径所对的圆周角为90°即可得出∠AMB为90°．②连接AP、BP，即可得出ABP△为等边三角形，由圆周角定理即可求得∠AMB为30°或150°．（3）以AB为弦作圆M且过点N，由圆周角定理可得出当圆心角AMB最大时，圆周角ANB最大，由直线与圆的位置关系得出当y轴与圆M相切时圆心角AMB最大，进而可求得N点坐标．(1)连接AE，BE∵AE=4，AB=4，AE⊥AB∴ABE△为等腰直角三角形∴∠AEB=45°．故使得线段AB的可视角为45°的可视点是点E．(2)①有题意可知，此时AB为⊙P直径由半径所对的圆周角为90°可知∠AMB为90°②当⊙P的半径为4时，AB为⊙P一条弦，连接AP，BP∵BP=AP=4，AB=4∴ABP△为等边三角形∴∠APB=60°当点M在圆心一侧由圆周角定理知∠AMB=当点M不在圆心一侧由内切四边形性质可知∠AMB=180°-30°=150°。
中考数学压轴题 (含答案) 百度文库
一、中考数学压轴题1．如图1，已知点B （0，9），点C 为x 轴上一动点，连接BC ，△ODC 和△EBC 都是等边三角形．（1）求证：DE ＝BO ；（2）如图2，当点D 恰好落在BC 上时．①求点E 的坐标；②在x 轴上是否存在点P ，使△PEC 为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，说明理由；③如图3，点M 是线段BC 上的动点（点B ，点C 除外），过点M 作MG ⊥BE 于点G ，MH ⊥CE 于点H ，当点M 运动时，MH ＋MG 的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH ＋MG 的值；若会变化，简要说明理由．2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由；（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2393344y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）过点C 的直线5334y x =-交x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与实践4A 纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 2，我们定义：长宽之比是2的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：()1如图1所示，矩形纸片2()ABCD AD AB =是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B 与D 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点,E 交BC 边于点F ，若1,AB =求CF 的长，()2如图2，在()1的基础上，连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ，连接,BE 判断四边形BFDE 的形状，并说明理由．探究发现：()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．5．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ；（2）若点(,)p q 在反比例函数8x y =的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53． 6．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F .（1）求顶点D 的坐标；（2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N .①若直线CM 将BCD ∆分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标；②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标．8．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.（1）求点A 的坐标；（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.9．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式；（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）10．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）11．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，3BC =6CD =，3DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．12．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ． （Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．13．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．14．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．15．如图①，△ABC 是等腰直角三角形，在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交于点P ．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．16．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是(82,0)．（1）正方形AOBC的边长为，点A的坐标是；（2）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45︒，点A，B，C旋转后的对应点为A'，B'，C'，求点A'的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ△为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．17．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP，取线段CB的中点Q．连接PQ，若AD＝2a（a＞0），则当PQ最短时，求PF之长．18．在△ABC 中∠B=45°，∠C=30°，点D 为BC 边上任意一点，连接AD ，将线段AD 绕A 顺时针旋转90°，得到线段AE ，连接DE ．（1）如图1，点E 落在BA 的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空．（2）如图2，点D 在运动过程中，DE ⊥AC 时，AB=4 ，求DE 的值．（3）如图3，点F 为线段DE 中点，2a ，求出动点D 从B 运动到C ，点F 经过的路径长度．19．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若80A ∠=︒，则BDC ∠的度数为______；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)； ②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．20．问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,D E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和()BB CC DD '''++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．21．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF ∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.22．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．23．（1）（发现）如图1，在ABC 中，//DE BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD BE ⊥，3CD =，5BE =，求BC DE +的值．思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：BC DE +的值为______．（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，求AC 的长．（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，FD FB =，且30BFD ∠=︒，60EBF ∠=︒，判断AC 与DF 的数量关系并证明．24．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且PC PM =， 连接PA ．()1如图①，求证：PA PM =；()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ︒∠=求证 =PC AM ；()3连接AM ，当 90ADC ︒∠=时，PC 与AM 的数量关系是25．（1）如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，则tan A 的值是_______．（2）如图②，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是平面上一动点，且2BE =，连接CE ，在CE 上方作正方形EFGC ，求线段CF 的最大值．问题解决：（3）如图③，O 半径为6，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点, A B 在O 上，点C 在O 内，且3tan 4A =．当点A 在圆上运动时，求线段OC 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．E解析：（1）见解析；（2）①E （39）；②存在，点P 的坐标为（－3，0）或（30）；③不变化，MH ＋MG ＝9【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE ，OC=CD ，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①由点B （0，9），得到OB=9，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得63CE =E 作EF ⊥x 轴于F ，角三角形即可得到结论；②存在，如图，当63CE CP ==CE=PE ，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，连接EM ，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）∵△ODC 和△EBC 都是等边三角形∴OC ＝DC ，BC ＝CE ，∠OCD ＝∠BCE ＝60°∴∠BCE ＋∠BCD ＝∠OCD ＋∠BCD即∠ECD ＝∠BCO∴△DEC ≌△OBC （SAS ）∴DE ＝BO（2）①∵点B （0，9），∴OB=9，由（1）知△BCO ≌△ECD ，∴∠CDE=∠BOC=90°，∴DE ⊥BC ，∵△EBC 是等边三角形，∴∠DEC=30°，∴∠OBC=∠DEC=30°， ∴3333OC OB ==，63BC =， ∴63CE =，过E 作EF ⊥x 轴于F ，∵∠DCO=∠BCE=60°，∴∠ECF=60°，∵63CE BC ==，∴33CF =，39EF CE ==， ∵33CO = ，∴63OF =，∴E （63，9）；②存在，如图，当63CE CP ==∵33OC =∴133OP =293OP =∴12333P P -（，），（9，）； 当CE=PE ，∵∠ECP=60°，∴△CPE 是等边三角形，∴P 2，P 3重合，∴当△PEC 为等腰三角形时，点P 的坐标为（－33，0）或（93，0）；③不会变化，如图，连接EM ，∵111•••222BCE S BC DE BE GM CE MH ==+ ∵BC=CE=BE ，∴GM+MH=DE=9，∴MH+MG 的值不会发生变化．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．2．A解析：（1）A （0，1）（2）结论：∠ABQ +∠OAB ﹣∠Q ＝135°.（3）α+2β＝45°．【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质求出m 、n 的值，求出B 、C 两点坐标，由S 四边形AOBC ＝S △OBC +S △AOC ，推出12×2×4+12×OA ×4＝6，求出OA 即可； （2）如图2中，结论：∠ABQ +∠OAB ﹣∠Q ＝135°．根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质即可解决问题；（3）由AD ∥BC ，推出∠ADC ＝∠DCB ＝α，由BE 平分∠CBx ，推出∠CBE ＝∠EBx ，由∠CBE ＝∠F +∠OCB ＝α+β，推出∠OBF ＝∠EBx ＝α+β，由OC 平分∠AOB ，可得∠COB ＝45°＝∠F +∠OBF ＝α+（α+β），由此即可解决问题；【详解】解：（1）由题意2020n n -≥⎧⎨-≥⎩，，得，解得n ＝2， ∴m ＝4，B （2，0），C （4，4）．如图：∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，∴12×2×4+12×OA×4＝6，∴OA＝1，∴A（0，1）．（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．如图：理由如下：∵OC∥PQ，∴∠Q＝∠OCB，∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB﹣45°＝135°﹣∠OAB，∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．（3）如图：∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠DCB ＝α，∵BE 平分∠CBx ，∴∠CBE ＝∠EBx ，∵∠CBE ＝∠F +∠OCB ＝α+β，∴∠OBF ＝∠EBx ＝α+β，∵C （4，4），∴OC 平分∠AOB ，∴∠COB ＝45°＝∠F +∠OBF ＝α+（α+β），∴α+2β＝45°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题．3．A解析：（1）min 119342t R H '==；（2）（0，30，6）或（0，3（0，12）．【解析】【分析】（1）根据题意设239(33)4P m m --，5(,33)4Q m m -，以及作R 关于y 轴对称3(3,33)2R '-，并过R '点作直线3:4x l y =的垂线交于H 点R H '即为所求，从而进行分析求解即可； （2）根据题意分四种情形即①当AA''=A''B 时；②当AA''=AB 时；③当AA''=A''B 时；④当A''B=AB 时分别画出图形并进行分析求解.【详解】解：（1）设239(33)4P m m --，5(,33)4Q m m -，23932()2(3)422PQMN C QP NP m m ∴=+=-+-矩形， 302-<，开口向下， ∴当33m =时，(33,33)P -，最少时间12t RK RK TB =++， 3(3,33)2R -，作R 关于y 轴对称3(3,33)2R '--，过R '点作直线3:43x l y =-的垂线交于H 点R H '即为所求， 令y=0，解得5312x =， 12()530H ∴，， t R K K T TH =+''+''，∴过R ''作R H l ''⊥，22min 3119(33)(330)3242125t R H ∴==++'--=+. （2）①当AA''=A''B 时，如图2中，此时，A''在对称轴上对称性可知∠AC′E=∠A''C′E又∠HEC′=∠A''C′E∴∠AC′E=∠HEC′∴HE=HC'=5 3−2 3＝3 3，∴OE=HE-HO=3 3−3，∴E(0，3−3 3)，②当AA''=AB时，如图3中，设A″C′交y轴于J．此时AA''=AB=BC'=A''C'，∴四边形A''ABC'为菱形，由对称性可知，∠AC'E=∠A''C'E=30°，∴JE= 3JC′＝3，2∴OE=OJ-JE=6∴E（0，6）③当AA''=A''B时，如图4中，设AC′交y轴于M．此时，A''在对称轴上∠MC'E=75°又∠AMO=∠EMC'=30°∴∠MEC'=75°∴ME=MC'∴3∴3，∴E（0，3.④当A''B=AB时，如图5中，此时AC'=A''C'=A''B=AB∴四边形AC'A''B 为菱形由对称性可知，C''，E ，B 共线 由抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧）可知， 令x=0，解得y=−3x=0，解得：x 1=3，x 23 ∴A （−30），30)，3 ∴3＝12，∴E （0，12）．综上满足条件的点E 坐标为（0，3）或（0，6）或（0，3）或（0，12）．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4．(1) CF 2 ；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析【解析】【分析】（1）1AB =，则2AD =ABCD 是矩形，得到1,2CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则2FB FD x ==，在Rt DCF △中，222+=CD CF DF ，可得)22212x x +=即可求解． （2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得BOF DOE ≅，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边形，根据90DOE DAB ∠=∠=︒，得到DOE DAB ，再根据2AD AB =，可得222OE AB OD AD ===，进而得到22OE OD =，22EF BD =，同理可得，22MN AC =，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形ENFM 是矩形，90EMF ∠=，2MF ODtan FEM ME OE∠===，2MF ME =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"． 【详解】 解：()11,AB =则2,2AD AB ==四边形ABCD 是矩形1,2CD AB BC AD ∴==-=由折叠得FB FD = 设CFx =，则2FB FD x ==- 在Rt DCF △中，222+=CD CF DF()22212x x +=-24x =答：CF 长为24()2四边形BFDE 是菱形.理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BDOB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=在矩形ABCD 中，//,AD BCOBF ODE ∴∠=∠在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,BOF DOE ∴≅OE OF ∴= OB OD =∴四边形BFDE 是平行四边形EF BD ⊥平行四边形BFDE 是菱形.()3纸片ENFM 是“标准纸”理由如下：由()2可知，,OE OF =同理可知，,OM ON =∴四边形ENFM 是平行四边形90DOE DAB ∠=∠=︒ DOEDAB ∴2AD =222OE AB OD AD ∴===2OE ∴= 22EF BD ∴=同理可得，22MN AC =四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=， EF MN ∴=∴四边形ENFM 是矩形.90EMF ∴∠=.2,MF ODtan FEM ME OE∴∠=== 2MF ME ∴=.∴纸片ENFM 是“标准纸".【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．5．（1）①不是；②0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程，理由详见解析；（3）详见解析【解析】 【分析】（1）①解方程2280x x --=，根据“半等分根方程”定义作出判断即可；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2nm-=，即：n =-2m 或m =-2n ，分别代入代数式2252m mn n ++=结果均为0 （2）根据点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，得到8q p =，代入260px x q -+=，得到关于x 的方程2860px x p-+=，解方程，用含p 的式子表示x ，根据“半等分根方程”定义判断即可；（3）根据两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线上，且纵坐标相等，可以求出对称轴为52x =，根据方程20ax bx c ++=是半等分根方程，得到两根关系，根据抛物线对称轴为 12522x x +=，即可求出两个根，问题得证． 【详解】解：（1）①解方程2280x x --=得124,2x x ==-，不符合“半等分根方程”定义， 故答案为：不是；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2nm-=，即：n =-2m 或m =-2n ，当n =-2m 时，()()22225522022m mn n m m n m ++=+-+-=； 当m =-2n 时，()()22225522022m mn n n n n n ++=-+-+=；故答案为：0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程理由：∵点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上 ∴8q p=代入方程260px x q -+=得：2860px x p-+= 解得：12x p=，24x p =∵1212x x =∴方程260px x q -+=是半等分根方程（3）∵相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上， ∴抛物线的对称轴为：(1)(4)522t t x ++-==又∵方程20ax bx c ++=是半等分根方程 ∴设20ax bx c ++=的两个根分别为1x 和2x 令1212x x =则有：12522x x += 所以153x =，2103x =所以方程20ax bx c ++=的一个根为53得证． 【点睛】本题为“新定义问题”，考查了学生自主学习的能力，解决此题关键是理解新定义概念，并结合所学数学知识进行解答．6．B解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23S m m =-+，13m ≤≤；②P （32，3）；（3）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3-+- 【解析】 【分析】（1）将点B 、C 的坐标代入2y x bx c =-++即可；（2）①求出顶点坐标，直线MB 的解析式等，由PD ⊥x 轴且OD=m 知P （m ，-2m+6），即可用含m 的代数式表示出S ；②在和①的情况下，将S 和m 的关系式化为顶点式，由二次函数的图象和性质即可写出点P 的坐标；（3）分情况讨论，当∠CPD=90°时，推出PD=CO=3，则点P 的纵坐标为3，即可求出点P 的坐标；当∠PCD=90°时，证∠PDC=∠OCD ，由锐角三角函数可求出m 的值，即可写出点P 的坐标；当∠PDC=90°时，不存在点P ． 【详解】解：（1）将()3,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++，得0=-9+3b 33c +⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）①∵()222314y x x x =-++=--+ ∴顶点M （1，4），将直线BM 的解析式设为y kx b =+， 将点()3,0B ，M （1，4）代入， 可得304k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BM 的解析式为26y x =-+， 如图∵PD ⊥x 轴且OD=m ，∴P （m ，-2m+6）， ∴211(26)322PCDS SPD OD m m m m ==⋅=-+=-+， 即23S m m =-+，∵点P 为线段MB 上一个动点且()3,0B ，M （1，4）， ∴13m ≤≤； ②22393()24S m m m =-+=--+， ∴当32m =时，S 取最大值94， ∴P （32，3）；（3）存在，理由如下： 如图，当∠CPD=90°时，90COD ODP CPD,∴四边形CODP 为矩形， ∵PD=CO=3,将3y =代入直线26y x =-+， 得32x =， ∴P 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当∠PCD=90°时，∵OC=3，OD=m ， 22229CD OC OD m ，//PD OCPDCOCD ,cos cos PDCOCD ,DC OCPD DC∴=, 2DC PD OC ∴=⋅,293(26)m m，解得1332m （舍去），1332m =-+∴(332,1262)P -+-；当∠PDC=90°时， ∵PD ⊥x 轴， ∴不存在点P ；综上所述，点P 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3-+-． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数的思乡曲求极值以及直角三角形的存在性与动点结合等，解题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．7．A解析：（1）(1,4)D ；（2）158(,)33M ，274(,)33M ；（3）N 的坐标为57(,)24． 【解析】 【分析】（1）将点A 坐标代入函数关系式可得a 与b 的方程，再根据顶点D 的横坐标为1可得另一个关于a 和b 的方程，联立方程组求解即可得到a 和b 的值，进而求得抛物线的函数关系式，再将顶点D 的横坐标代入即可求得点D 坐标；（2）①如图，取DB 得三等分点12,M M ，过点12,M M 分别作x 轴，y 轴的平行线分别交DE 、x 轴于点G 、H 、P 、Q ，通过证相似三角形可得点M 的横纵坐标与点B 、D 的横纵坐标之间的数量关系，进而得解；（3）取线段BC 的中点G ，连接GM ，由中点坐标可得33(,)22G ，根据等腰三角形的三线合一可得GM ⊥BC ，在根据两条直线互相垂直可求得:GM l y x =，与:26BD l y x =-+联立方程组可求得点M 的坐标，再由(2,2),(0,3)M C 利用待定系数法可得1:32CM l y x =-+，最后将132y x =-+与2y x 2x 3=-++联立方程组即可求得点N 的坐标． 【详解】解：（1）将(1,0)A -代入23y ax bx =++可得03a b =-+①∵顶点D 的横坐标为1，∴12ba-=，即2b a =-② 联立①②解得1,2a b =-=∴2y x 2x 3=-++ 当1x =时，4y =(1,4)D ∴（2）由（1）得2y x 2x 3=-++ 当y=0时，x 1=-1，x 2=3，∴B （3,0），即BO=3，如图，取DB 的三等分点12,M M ，过点12,M M 分别作x 轴，y 轴的平行线分别交DE 、x 轴于点G 、H 、P 、Q ，则可得△DGM 1∽△DHM 2∽△DEB ，△BQM 2∽△BPM 1∽△BED ，且相似比为1:2:3， ∴12833M D y y == 115()33M D B D x x x x =+-=158(,)33M ∴同理可得：274(,)33M∴点M 的坐标为：158(,)33M ，274(,)33M（3）NCB DBC ∠=∠CM MB ∴=取线段BC 的中点G ，作直线GM ，∵点B （3,0），点C （0，3） ∴中点G 的坐标为33(,)22∵CM MB =，点G 为线段BC 的中点， ∴GM ⊥BC ， ∴设直线GM 为y=x+m 将33(,)22G 代入得m=0， ∴:GM l y x =① 设直线BD 为y=kx+n将,B D 坐标代入得k=-2，n=6， ∴:26BD l y x =-+②联立①②可得22x y =⎧⎨=⎩∴(2,2)M 设直线MC 为y=k 2x+n 2将(2,2),(0,3)M C 坐标代入得k 2=12-，n 2=3， ∴1:32CM l y x =-+③联立③与2y x 2x 3=-++可得5274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴57(,)24N 故N 的坐标为57(,)24. 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，能够根据题意做出正确的辅助线，利用数形结合思想进行转化是解决本题的关键．8．A解析：（1）A （4，0）；（2）2144S t =-；（3）(4,8)E - 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．（2）证明△CEA 和△COD 是等腰直角三角形，由EN ⊥AC ，推出42t CN NE NA +===，AC=4+t ，根据S=S △AEC -S △ABC 计算即可．（3）过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）求出点F 的坐标为(1,3)44t t-+，从而得到 1144t t OM =-=-，34tFM =+，由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，得出∠FOB=∠BDA ，进而得出∠MFO=∠ODA ，tan ∠MFO =tan ∠ODA ，故而OA OMOD MF=， 即14434t t t -=+，解出t 的值，再求点E 的坐标即可. 【详解】（1）由题意可得：211•••822AOB S OA OB OA ==＝，∴OA 2=16， ∵OA ＞0， ∴OA=OB=4，∴A （4，0），B （0，4）．（2）如图，过点E 作EN ⊥AC 于点N ．∵∠AOB=90°，OA=OB ，∴∠OAB=45°，∵AB ⊥CD ，∴∠CEA=90°，∴∠ECA=45°，∴△CEA 是等腰直角三角形，∵∠ECA=45°，∠COD=90°，∴∠CDO=45°，∴△CDO 是等腰直角三角形.∵点D 纵坐标为t ，∴CO=DO=t.∵OA=OB=4,∴AC=t+4. ∴42t CN NE NA +===， ∴()()2141144442224AEC ABC t S S S t t t +⎛⎫=-=⨯+⨯-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭； ∴S 与t 的函数关系是：2144S t =-. （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）可知，42t CN NE +==，∴22t ON OC CN =-=-， ∴点E 的坐标为(2,2)22t t -+， ∵点B （0,4），点F 为BE 中点，∴点F 的坐标为(1,3)44t t -+， ∴1144t t OM =-=-，34t FM =+， ∵∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，∴∠FOB=∠BDA ，∴OF ∥AD ，∵FM ⊥AC ，∴FM ∥DO ，∴∠MFO=∠ODA ，∴tan ∠MFO =tan ∠ODA ， ∴OA OM OD MF=， 即14434t t t -=+， 解得t=12或4=-4（不合题意，舍去）∴点E 的坐标为(4,8)-.【点睛】本题考查三角形综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识，利用参数构建方程解决问题．9．C解析：（1）点C 的坐标为(2,0)；（2）1522y x =-+；（3）①2481515y x x =-；②1013． 【解析】【分析】（1）求得对称轴，由对称性可知C 点坐标；（2）利用待定系数法求解可得；（3）①由AE=3AO 的关系，建立K 型模型相似，求得点E 坐标代入解析式可得；②若△CDB 与△BOA 相似，则∠OAB=∠CDB=90°，由相似关系可得点D 坐标，代入解析式y=ax 2-2ax 可得a 值．【详解】解：（1）把0y =代入22y ax ax =-，得220ax ax -=，解得：0x =，或2x =．∵点C 在x 轴正半轴上，∴点C 的坐标为(2,0)．（2）设直线表达式为y kx b =+，把点(1,2)A ，(5,0)B 分别代入y kx b =+，得250k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AB 的表达式为：1522y x =-+． （3）①作AH x ⊥轴于点H ，EF AH ⊥于点F （如图），∵222125OA =+=，2222420AB ，22525OB ==，∴222OA AB OB +=． ∴90EAO OAB ∠=∠=︒．由EFA AHO △∽△，得2EF FA EA AH HO AO ===， ∴4EF =，2FA =，∴点E 坐标为()3,4-．把(3,4)E -代入22y ax ax =-，得964a a +=，解得：415a =． ∴2481515y x x =-． ②若△CDB 与△BOA 相似，如图，作DG ⊥BC ，∴CD BD BC AO AB BO ==，∠OAB=∠CDB=90°， 35==，∴CD =BD =， ∵523BC =-=，∴65535DG ==， ∴156225x -+=，解得：135x =， ∴点D 的坐标为：（135，65）， 把点D 代入22y ax ax =-，即16913622555a a -⨯= 解得：1013a =； 故答案为：1013． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与K 型模型的使用，以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题．10．A解析：（1）5AD x =，6DF x =+；（2）△ADF 为等腰三角形，x 的取值可以是4817，4831，12； （3）4或43 【解析】【分析】（1）由已知条件可得：CD=4x ，根据勾股定理得：AD=5x ，由AB=6且C 在B 点右侧，可以依次表示BC 、CF 、DF 的长；（2）分两种情况：①当C 在B 点的右侧时，AF=DF ，②当C 在线段AB 上时，又分两种情况：i ）当CF ＜CD 时，如图3，ii ）当CF ＞CD 时，如图4，由AF=DF ，作等腰三角形的高线FN ，由等腰三角形三线合一得：AN=ND=2.5x ，利用同角的三角函数列比例式可求得x 的值；（3）由翻折性质得到DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠，从而证出'ADG AGD △≌△，从而推出∠FAC=∠DAG ，即AF 平分∠DAC ，过F 作FN ⊥AD 于N ，分两种情况：当C 在AB 的延长线上时，当C 在AB 边上时，根据35sin CDA ∠＝可列出关于x 的比例式，即可求解.【详解】⑴∵CD＝43AC，AC=3x，∴CD=4x，∵CD⊥AM，∴∠ACD=90°，由勾股定理得：AD=5x，∵AB=6，C在B点右侧，∴BC=AC-AB=3x-6，∵BC=FC=3x-6，∴DF=CD-FC=4x-（3x-6）=x+6；（2）分两种情况：①当C在B点的右侧时，∴AC＞AB，∴F必在线段CD上，∵∠ACD=90°，∴∠AFD是钝角，若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，过F作FN⊥AD于N，如图，∴AN=ND=2.5x，∴DN DC cos ADCDF AD ∠==，即2.5465x xx x +＝，解得，4817x=；②当C在线段AB上时，同理可知若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF， i）当CF＜CD时，过F作FN⊥AD于N，如图，x 的取值可以是4817，4831，12；∵AB=6，AC=3x ，∴BC=CF=6-3x ，∴DF=4x-（6-3x ）=7x-6，∵DNDCcos ADC DF AD ∠==，∴ 2.54765x xx x -＝，解得4831x =；ii ）当CF ＞CD 时，如图4，BC=CF=6-3x ，∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x ，则6-7x=5x ，x=12，综上所述，x 的取值可以是4817，4831，12；（3）∵△DFG 沿FG 翻折得到'FDG △∴DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠又∵AG=AG，∴'ADG AGD △≌△∴∠FAC=∠DAG，即AF 平分∠DAC，如图， 当C 在AB 的延长线上时，过F 作FN⊥AD 于N ，FN=FC=3x-6，DF=x+6，。
2024年九年级中考数学压轴题—韦达定理及参考答案
韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．【答案】解：(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0，解得k >-112且k ≠0；(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ，x 1∙x 2=-3k，∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4，∴-1k 2-3k=4，整理得4k 2+3k -1=0，解得k 1=14，k 2=-1，∵k >-112且k ≠0，∴k =14．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0，解得：m≤1 2.(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2=2m-2，x1∙x2=m2∵x21+x22=8-3x1x2∴x1+x22-2x1x2=8-3x1x2，即5m2-8m-4=0，解得：m1=-25，m2=2(舍去)，∴实数m的值为-25.3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1b-1=39，求m的值；(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：(1)∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根，∴a+b=2m+1，ab=m2+5，∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39，解得m=-5或m=7，当m=-5时，原方程无解，故舍去，∴m=7．(2)①当7为底边时，此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴Δ=4m+12-4m2+5=0，解得m=2，∴方程变为x2-6x+9=0，解得a=b=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形．②当7为腰时，设a=7，代入方程得：49-14m+1+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时，方程变为x2-22x+105=0，解得x=7或15，∴b=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当m=4时，方程变为x2-10x+21=0，解得x=3或7，∴b=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，∴x1+x2=--41=4，x1∙x2=51=5.(2)∵x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，∴x1+x2=-6，x1∙x2=-3，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=-62-2×-3=42，1 x1+1x2=x1+x2x1∙x2=-6-3=2．(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根，∴Δ=m-32-4m+8≥0，即m≥5+43，或m≤5-43，∵x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，∴x1+x2=m-3，x1∙x2=m+8，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=13，即m-32-2m+8=13，解得，m=-2或m=10．即m的值是-2或10．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．【答案】解：(1)设一元二次方程x2-3x+c=0的根是a，2a，由根与系数的关系，得a+2a=3，a×2a=c，解得a=1，则2a=2．∴c=2．(2)由方程x-2mx-n=0m≠0，解得x1=2或x2=n m.∵方程x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，∴n m =1或nm=4，当nm=1时，2mn m2+n2=2mn+nm=21+1=1；当nm=4时，2mn m2+n2=2mn+nm=214+4=817.(3)由方程ax2+bx+c=5，变形，得ax2+bx+c-5=0，由根与系数的关系，得k+1+3-k=-ba，即-ba=4.设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∵方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，∴x1+x2=4，假设x1=2x2，则3x2=4，解得x2=43，则x1=83，故一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根是43和83.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k的值．【答案】解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0，∴k<512．(2)∵k<512，∴x1+x2=2k-3<0.又∵x1x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0，∴x1 +x2 =-x1-x2=-x1+x2=-2k+3.由x1+x2 =2x1x2-3，得-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=-2，k2=1.又∵k<5 12，∴k=-2．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．【答案】解：(1)根据题意得：Δ=-22-4×2×m+1≥0解得：m≤-1 2∴实数m的取值范围是m≤-12(2)根据题意得：x1+x2=1，x1∙x2=m+12，∵4+4x1x2>x21+x22∴4+4x1x2>x1+x22-2x1x2即4+6x1x2>x1+x22∴4+6×m+12>1∴m>-2∴-2<m≤-12∴整数m的值为-18已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.【答案】解：(1)Δ=b2-4ac=22-4×1×2k-4=20-8k．∵方程有两个不相等的实数根，∴20-8k>0，∴k<52．(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k=1或2，根据配方法可得：x+12=4-2k+1=5-2k，解得x=-1±5-2k；∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数，当k=1时，5-2k=3，舍去；当k=2时，5-2k=1；∴k=2．(3)已知x1，x2为方程x2+2x+2k-4=0的两个不相等实数根，则x1+x2=-2，x1∙x2=2k-4，则x1-x2=x1-x22=x1+x22-4x1x2=20-8k=6，解得k=-2，即x1x2=2×-2-4=-8，所以x1-x22+3x1x2=62+3×-8=12.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵方程有实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，∴k≤0，∵方程是一元二次方程，∴4k≠0，即k≠0，∴k的取值范围为k<0；(2)不存在，理由如下：∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，且4k≠0，解得k<0.∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=k+14k，∴2x1-x2x1-2x2=2x21-4x1x2-x1x2+2x22=2x21+x22-9x1x2=2×12-9∙k+14k =-k-94k，若-k-94k=-32成立，则k=9 5，∵k<0，则k=95不成立，∴不存在这样k的值．10关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程k -1 x 2+2kx +2=0的两个根.求①x 1+x 2和x 1∙x 2的值；②若S =x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2，那么S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)证明：当k =1时，原方程可化为2x +2=0，解得：x =-1，此时该方程有实数根；当k ≠1时，方程是一元二次方程，∵Δ=2k 2-4k -1 ×2=4k 2-8k +8=4k -1 2+4>0，∴方程有两个不相等的实数根.综上所述，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)解：①由根与系数关系可知，x 1+x 2=-2k k -1，x 1x 2=2k -1；②若S =2，则x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2=2，即x 1+x 22-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2=2，将x 1+x 2，x 1x 2代入整理得：k 2-3k +2=0，解得：k =1(舍)或k =2，∴S 的值能为2，此时k =2．韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1=39，求m的值；b-1(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k 的值．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．48已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．510关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x1，x2是方程k-1x2+2kx+2=0的两个根.求①x1+x2和x1∙x2的值；②若S=x2x1+x1x2+x1+x2，那么S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．6。
中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。
解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。
2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
(完整)中考数学压轴题精选含答案
一、解答题1．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2m （m ＞2），P 为CD 中点，以P 为圆心，CP 为半径作半圆P ，交线段AC 于点E ，交线段AD 于点F ．（1）当E 为CA 中点时，①求证：E 是弧CF 的中点．②求此时m 的值．（2）连结PF ，若PF 平行△ABC 的某一边时求出满足条件的m 值．（3）连结PE ，将PE 绕着点E 顺时针旋转90°得到EP '，连结AP '，当AP '⊥AC 时，求此时CE 的长．2．如图1，在菱形ABCD 中，∠D ＝120°，AB ＝8，点M 从A 开始，以每秒1个单位的速度向点B 运动；点N 从C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥DC ，交AC 于点Q ．（1）当t ＝2时，求线段NQ 的长；（2）设△AMQ 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围；（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使得△AMQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ．且点()0,5A ，()5,0B ，点P 为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当245AOE APCD S S ∆=四边形时，求点P 坐标； （3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，OA =1，OB =OC =3．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 为第一象限抛物线上一动点，连接DC ，DB ，BC ，设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，点P (0，n )是线段OC 上一点(不与点O 、C 重合)，连接PB ，将线段PB 以点P 为中心，旋转90°得到线段PQ ，是否存在n 的值，使点Q 落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n 的值，若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBOC 的面积最大．求出点P 的坐标．（2）点M 为抛物线上一动点，x 轴上是否存在一点Q ，使点B 、C 、M 、Q 的顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线经过()30A -,，()1,0B ，52,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点，其对称轴交x 轴于点H ，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点C ，与抛物线交于另一点D （点D 在点C 的左边），与抛物线的对称轴交于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点F ，使得点A 、B 、E 、F 构成的四边形是平行四边形，如果存在，求出点F 的坐标，若不存在请说明理由（3）设∠CEH=α，∠EAH =β，当αβ>时，直接写出k 的取值范围7．如图1，直线l 1：y ＝kx 与直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 相交于点A （4，3），直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 与x 轴交于点B ，点E 为线段AB 上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交直线l 1于点F ，连接BF ．（1）求k、b的值；（2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M．①求线段OM的长；②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB 相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒10个单位长度的速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为（不必写出t的取值范围）．11．在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)和点B(c，d)．给出如下定义：以AB为边，作等边三角形ABC，按照逆时针方向排列A，B，C三个顶点，则称等边三角形ABC为点A，B的逆序等边三角形．例如，当1,0,3,0a b c d=-===时，点A，B的逆序等边三角形ABC如图①所示．(1)已知点A(-1，0)，B(3，0)，则点C的坐标为___；请在图①中画出点C，B的逆序等边三角形CBD，点D的坐标为___．(2)图②中，点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，求点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围．(3)图③中，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，点B在以N(3，0)为圆心2为半径的圆上，且点B的纵坐标0d>，点A，B的逆序等边三角形ABC如图③所示．若点C 恰好落在直线y x t=+上，直接写出t的取值范围．12．已知：如图1，一次函数y＝mx＋5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝－23x的图像交于点C，点C的横坐标为－3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC＝2S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规．．．．．作图找到点P的位置； (保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．)②求点P的坐标．13．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，013MN2=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．14．△ABC为等边三角形，AB=4，AD⊥BC于点D，点E为AD的中点．(1)如图1，将AE绕点A顺时针旋转60°至AF，连接EF交AB于点G，求证：G为EF中点．(2)如图2，在（1）的条件下，将△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为α，连接BE，H为BE的中点，连接DH，GH．当30°＜α＜120°时，猜想∠DHG的大小是否为定值，并证明你的结论．(3)在△AEF绕点A顺时针旋转过程中，H为BE的中点，连接CH，问线段CH何时取得最大值，请说明理由，并直接写出此时△ADH的面积．15．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90BAC∠=︒，，，求点B到AE的距离；(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12BC=，将ABD△沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点P作PM x⊥轴，垂足为I，交圆N于点M，点P在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣34x2＋bx＋c经过点A和点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点D （﹣2，﹣1）在直线BC 上，点E 为y 轴右侧抛物线上一点，连接BE 、AE ，DE ，若S △BDE ＝4S △ABE ，求E 点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，P 为射线DB 上一点，作PQ ⊥直线DE 于点Q ，连接AP ，AQ ，PQ ，若△APQ 为直角三角形，请直接写出P 点坐标．18．如图1，点A ，点B 的坐标分别（a ，0），（0，b ），且b ＝+4，将线段BA 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BC ．(1)直接写出a ＝ ，b ＝ ，点C 的坐标为 ；(2)如图2，作CD ⊥x 轴于点D ，点M 是BD 的中点，点N 在△OBD 内部，ON ⊥DN ，求2+ON ＝DN ．(3)如图3，点P 是第二象限内的一个动点，若∠OPB ＝90°，求线段CP 的最大值．19．如图1，已知抛物线)(3343y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，(1)写出A 、B 、C 三点的坐标．(2)若点P 为OBC 内一点，求OP BP CP ++的最小值．(3)如图2，点Q 为对称轴左侧抛物线上一动点，点()4,0D ，直线DQ 分别与y 轴、直线AC 交于E 、F 两点，当CEF △为等腰三角形时，请直接写出CE 的长．20．已知等边△ABC ，M 在边BC 上，MN ⊥AC 于N ，交AB 于点P ．（1）求证：BP ＝BM ；（2）若MC ＝2BM ，求证：MP ＝MN ．（3）若E ，F 分别在AB 、AC 上，且△MEF 为等边三角形，当MEF ABC S S ∆∆的值最小时，BM BC＝ ．【参考答案】**科目模拟测试 一、解答题 1．（1）①见解析；②5m =；（2）m 的值为25或6；（3）25CE =【解析】【分析】（1）①连接DE ，证明ADC ∆是等腰三角形，根据“三线合一”的性质可得ADE CDE ∠=∠，证得EC EF =，从而可得结论；②根据勾股定理得到AC 45=，由E 为AC 中点得EC 25=，再证明DEC CBA ，由相似三角形的性质列出比例式，求出m 的值即可；（2）分PF //AC 和PF //BC 两种情况求解即可； （3）设CE =x ，作PG ⊥AC ，则2x GE =，45AE x =- 证明PGE EAP '≅得AP GE '=，再证明AP EBAC '，列比例式求出x 的值即可．【详解】解：（1）如图，连接DE∵CD 是圆P 的直径，∴∠DEC =90°，即DE ⊥AC∵E 为CA 中点∴AE =CE∴AD =CD∴ADE CDE ∠=∠∴EC EF =∴E 是CF 的中点；②在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，∴22224845AC AB BC +=+∵E 是AC 的中点∴11452522EC AC ==⨯= ∵AB //CD ，90B ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒∴90DCB∠=︒，即90DCE BCA∠+∠=︒∵90CDE DCE∠+∠=︒∴CDE BCA∠=∠又90B DEC∠=∠=︒∴DEC CBA∆∆∽∴CE DCAB AC=，即252=445m解得，5m=；（2）分两种情况：①当PF//AC时，如图，则有PDF CDA∆∆∴PF PDAC CD=，即245PF mm=∴25=PF∴25m=②当PF//BC时，如图，过点A作AH⊥DC，垂足为H，则四边形AHCB是矩形，∴AH//BC，HC=AB=4，AH=BC=8∴PF//AH∵90DCB∠=︒∴90FPD∠=︒∴45PDF PFD∠=∠=︒∴45HAD HDA∠=∠=︒∴DH=AH，即248m-=解得，6m=综上，m的值为256；（3）过点P 作PG AC ⊥于点G ，如图，∵PE =PC ∴1,2GE CE EPG CPG =∠=∠ ∵90PEP '∠=︒∴90P EA PEG '∠+∠=︒又90PEG GPE ∠+∠=︒∴P EA EPG '∠=∠又90P AE PGE '∠=∠=︒，PE P E '=∴P AE EPG '∆≅∆∴AP GE '=设CE x =，则45,2x AE x GE AP '=== ∵90,90BCA DCA GPC PCH ∠+∠=︒∠+∠=︒∴GPC BCA ∠=∠∴EPG BCP ∠=∠∴P EA BCA '∠=∠又90P AE B '∠=∠=︒∴AP E BAC '∆∆ ∴AP AB AE BC '=42825x = ∴5x =25CE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的基本概念，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键．2．（143；（2）S =()()22330434348t t t ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩＜；（3）存在，当t =247s 或（32-163）s或163s时，△AMQ为等腰三角形．【解析】【分析】（1）首先求得CN的长，在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长；（2）当0≤t≤4时，N在CD上，首先求得CQ，则AQ长即可求得，再根据△CAB=30°，AM=t，据此即可求得△AMQ的长；当4＜t≤8时，利用相似求得AQ的长，进而求得△AMQ的面积，得到函数解析式；（3）分三种情形讨论求解即可．【详解】解：（1）当t=2时，CN=2×2=4，∵在△ACD中，AD=DC，∴∠DCA=1801202︒-︒=30°，在直角△CNQ中，NQ=CN•tan30°=4×33=433；（2）由题意得，AM=t，当0≤t≤4时，CN=2t，∵∠D=120°，AB=CD=8，∴∠DCA=30°，连接BD，与AC相交于点定O，过点Q作QG⊥AB于点G，∴OC=CD•cos30︒3AC3∴在Rt△CNQ中，NQ23t，CQ43t，∴AQ=AC-CQ343，QG=12AQ，∴S=12AM• QG =233t+，当4＜t≤8时，延长QN，交AB于G，交CD延长线于H，如图：ND =2t -8，∠HDN =60°，∴HD =12ND =t -4， ∴CH =t -4+8=t +4，∴CQ =23cos303CH =︒(t +4)， ∴AQ =AC -CQ =83-233(t +4)，QG =12AQ ， S =12•AM • QG 234363t t =-+． 综上，S =()()223230433434863t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜； （3）①当0＜t ≤4时，只有MA =MQ 符合条件，过点M 作ME ⊥AC 于点E ，则AE =EQ =AM •cos30︒=32t ， ∴AQ =3t ，由（2）知AQ 343， 3433， 解得t =247； ②当4＜t ≤8时，由（2）知AQ 323t +4)，AQ =AM 时，)4t +=t ，解得tAQ =MQ 时，AM ，t )4t ⎤+⎥⎦， 解得t =163．综上所述，当t =247s 或（s 或163s 时，△AMQ 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角函数，正确进行分请情况进行讨论是关键．3．（1）245y x x =-++；（2）1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -【解析】【分析】（1）直接将(0,5)A ，(5,0)B 代入2y x bx c =-++，求解即可；（2）先求出AB 的解析式，设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+，用t 表示出PD ，最后利用245AOE APCD S S ∆=四边形求出结果； （3）分三种情况讨论解答：①当EM 为平行四边形的对角线时；②当EP 为对角线时；③当EQ 为对角线时．【详解】（1）将点(0,5)A ，(5,0)B 分别代入2y x bx c =-++得25505b c c -++=⎧⎨=⎩， 45b c =⎧∴⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为245y x x =-++；（2）//AC x 轴，点()0,5A ，∴当5y =时，2455x x -++=，10x ∴=，24x =，()4,5C ∴，4AC ∴=，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将(0,5)A ，(5,0)B 分别代入得505n m n =⎧⎨=+⎩， 解得：1m =-，5n =∴直线AB 的解析式为5y x =-+；设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+()2245(5)5PD t t t t t ∴=-++--+=-+，4AC =，()22114521022APCD S AC PD t t t t ∴=⨯=⨯⨯-+=-+四边形 函数245y x x =-++，当0y =时，有2450x x -++=，11x ∴=-，25x =，(1,0)E ∴-，1OE ∴=，又5OA =，11515222AOE S OE OA ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 245AOE APCD S S ∆=四边形， 22452101252t t ∴-+=⨯=， 解得：12t =，23t =，∴点1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）∵2(2)9y x =--+，∴当x =2时，y =-2+5=3，∴M (2,3),设P (m ，2(2)9m --+，(,5)Q n n -+，而E (-1，0)，①当EM 为平行四边形的对角线时，(平行四边形的对角线互相平分)得：21222(2)950322m n m n +-+⎧=⎪⎪⎨--+-++⎪=⎪⎩， 解得121261,52m m n n ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (舍)， ∴点Q 的坐标为（-5,10）；②当EP 为对角线时，212220(2)93522m m m n -++⎧=⎪⎪⎨--+-+⎪=⎪⎩，解得121223,10m m n n ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， ∴点Q 的坐标为（-1,6）或（0,5）；③当EQ 为对角线时，21222053(2)922n m n m -++⎧=⎪⎪⎨-+--+⎪=⎪⎩， 解得121261,92m m n n ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）， 点Q 的坐标为（9,-4），综上所得：1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -．【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是分类思想的运用．4．（1）2y x 2x 3=-++；（2）278；（3）存在，n =1或n 3+33- 【解析】【分析】（1）通过待定系数法求解函数解析式即可；（2）作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，根据12S DE OB =⋅求得S 关于m 的解析式，根据二次函数的性质求解即可；（3）过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N ，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：(1)设函数关系式为2y ax bx c =++由题意，得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴(1)(3)y a x x =+-把C (0，3)代入得，1a =-∴2y x 2x 3=-++(2)作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E设直线BC 关系式为y =kx ＋b ，代入(3，0)，(0，3)得k =－1，b =3，∴y =－x ＋3∵点D 的横坐标为m ，则DF =223m m -++，EF =－m ＋3∴DE =23m m -+22133327(3)()22228S DE OB m m m =⋅=-+=--+ ∵302-<，∴S 的最大值是278(3)过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N∴1290Q MP Q NP BOP ∠=∠=∠=︒∵1190Q PM PQ M ∠+∠=︒，190Q PM BPO ∠+∠=︒，∴1PQ M BPO ∠=∠又∵1BP PQ =，∴1Q PM PBO △≌△∴1MQ OP n ==，3MP OB ==，∴1()3Q n n +，代入抛物线，得2323n n n +=-++解得11n =，20n =(舍去)同理，2PN Q PBO ≌，∴2Q (－n ，n －3)代入抛物线，得2323n n n =-+－－ 解得13+33n -=2333n --=舍去) 综上，存在n 的值，n =1或n 3+33-【点睛】 此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质．5．（1）315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）Q 1（-5,0），Q 2（-1,0），Q 3 ()720，，Q 4)720，． 【解析】【分析】（1）分别求出点B 、C 的坐标，连接PB ，PC ，PO ，设点P 坐标为()2,23m m m --+，四边形PBOC 的面积为S ，根据=BOP COP S S S +△△得到S 关于m 的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；（2）分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论，分别求出点M 的坐标，根据平行四边形的性质即可求出点Q 的坐标． 【详解】解：（1）把0x =代入223y x x =--+得y =3， ∴点C 坐标为（0,3）；把y =0代入223y x x =--+得2x 2x 30--+=， 解得123,1x x =-=， ∵点B 在x 轴负半轴上， ∴点B 坐标为（-3,0）； 如图1，连接PB ，PC ，PO ，∵点P 在第二象限抛物线223y x x =--+上，∴设点P 坐标为()2,23m m m --+（-3＜m ＜0），设四边形PBOC 的面积为S ， ∴=BOP COP S S S +△△2211232m m OB O m C =--++ ()()2332223m m m +=+--- 2399222m m =--+， ∵302-＜，∴当322b m a =-=-时，S 有最大值， 此时，215234m m --+=， ∴当点P 坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭时，四边形PBOC 的面积最大；（2）存在，如图2，分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论． ①当点M 在x 轴上方时，点M 与点C 纵坐标相等，∴2233x x --+=， 解得122,0x x =-=， ∴CM 1=2，∵四边形BQCM 1是平行四边形， ∴CM =BQ =2，∴满足条件的点Q 有两个，分别是Q 1（-5,0），Q 2（-1,0）； ②当点M 在x 轴下方时，点M 与点C 纵坐标互为相反数， ∴2233x x --+=-， 解得1271,71x x =--=-，∴点M 2坐标为()713---，，点M 3坐标为()713--，，由平行四边形的性质得点B 向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点M 2向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点Q 3，点M 3向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点Q 4，∴Q 3的坐标为()720-+，，Q 4的坐标为()720+，；综上所述，满足条件的点Q 的坐标有四个，分别是Q 1（-5,0），Q 2（-1,0），Q 3()720-+，，Q 4()720+，．【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，解决第（1）步，关键是理解函数图象上点的坐标特点，将四边形分割为两个三角形，分别表示出三角形面积，得到函数解析式，并利用二次函数性质求解；解决第（2）步关键是理解平行四边形的性质，利用分类讨论思想求解，注意要充分考虑各种情况，不要漏解．6．（1）y ＝12x 2＋x −32；（2）（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）−12＜k ＜56且k≠0或56＜k＜43【解析】【分析】（1）把A（−3，0），B（1，0），52,2C⎛⎫⎪⎝⎭代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可；（2）把C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，分两种情况：①若AB为平行四边形的边时，②若AB为平行四边形的对角线时，得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；（3）分两种情况：①当E点在x轴上方时，②E点在x轴下方时，根据当α＝β时，列方程，可求出k的值，进而求出k的取值范围．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线经过A（−3，0），B（1，0），C（2，52）三点，∴9305 422a b ca b ca b c⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩，∴12132abc⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x−32；（2）如图1所示，将C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，当x＝−1时，y＝−k＋b，即E（−1，−k＋b）．①若AB为平行四边形的边时，则F（-1+4，−k＋b）或F（-1-4，−k＋b），即：F（3，−k ＋b ）或F （-5，−k ＋b ）， 把F （3，−k ＋b ）代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6， 把F （-5，−k ＋b ），代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6， 又∵2k ＋b ＝52， ∴k =76-，b =296∴F （3，6）或（-5，6）；②若AB 为平行四边形的对角线时，则F 和E 关于x 轴对称， ∴F （−1，k -b ）， ∴k -b =-2， 又∵2k ＋b ＝52， ∴k =16，b =136，∴F （−1，-2），综上所述：F 的坐标为（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）； （3）如图2所示，①当E 点在x 轴上方时，如图2所示，当α＝β时，∵∠EHA ＝90°， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠AEH =∠EGH ， ∵∠AHF =∠FHG =90°， ∴AHF FHG ∽， ∴AE AHEG EH=， ∵A （−3，0），E （−1，−k ＋b ），G （bk-，0），∴()()2222221k bk bbk bk+-+=-+⎛⎫-++-+⎪⎝⎭，∴k2−bk−2＝0，联立方程220522k bkk b⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得k＝−12（k＝43舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的度数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程522k bk b⎧+⎪⎨⎪-+⎩＝＝，解得5656kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此当−12＜k＜56且k≠0时，α＞β；②E点在x轴下方时，如图4所示，当α＝β时，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，根据①可得此时k＝43（k＝−12舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的度数越来越大，因此当56＜k ＜43时，α＞β．综上所述可得，当α＞β时，k 取值范围为−12＜k ＜56且k ≠0或56＜k ＜43．【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数和相似三角形的判定和性质的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想方法是解题的关键．7．（1）34k =，5b =；（2）①OM =5；②()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别将将(4,3)A 代入y kx =和12y x b =-+中，求解即可；（2）①设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,证明△AFD ≌△EFD ，得到AD =ED ，利用中点坐标公式求得点D 坐标，用待定系数法求得直线FD 的函数表达式，令0y =,即可求得点M 的坐标，从而求得OM ；②点N 在直线l 1的上方，当△OFN 和△OFM 全等时，满足题意的点N 有两个，分别画出相关的图形，分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵直线l 1：y kx =和直线l 2：12y x b =-+相交于点A∴将(4,3)A 代入y kx =中，得：43k = 解得：34k =∴将(4,3)A 代入12y x b =-+中，得：1432b -⨯+=解得：5b =∴3,54k b == （2）① 设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,如下图：∵34k =，5b = ∴直线l 1的函数表达式为34y x =，直线l 2的函数表达式为152y x =-+∵(4,3)A ∴22345OA +设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D 则()0,5C ∴5OC = ∴5OA OC == ∴∠OCA =∠OAC ∵//FE y 轴 ∴∠OCA =∠FEA 又∵∠OAC =∠FAE ∴∠FAE =∠FEA ∴FA =FE又∵FM 是∠OFE 的角平分线 ∴∠AFM =∠EFM 又∵FD =FD ∴△AFD ≌△EFD ∴AD =ED ∴点D 为AE 的中点 ∵//FE y 轴∴点F 和点E 的横坐标相同 将8x =代入152y x =-+中，得1y =∴()8,1E ∵(4,3)A ，()8,1E ∴()6,2D设线段FM 所在的直线函数表达式为()0y ax b a =+≠将()()8,6,6,2F D 代入y ax b =+中，得：8662k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：210k b =⎧⎨=-⎩∴线段FM 所在的直线函数表达式为210y x =- 令0y =，得2100x -= 解得：5x = ∴()5,0M ∴OM =5② 当,OFN FOM 全等时，有两种情况，情况一，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴∠OFN =∠FOM ，FN =OM ,ON =FM ∴//FN OM ∵OM =5 ∴FN =5,8F x =∴853N x =-=,6N F y y == ∴()3,6N情况二，当△OMF 和△ONF 关于直线l 1对称时，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴ON =OM =5，∠NOF =∠MOF ∵OP =OP ∴△NOP ≌△MOP ∴PN =PM ∵()8,6F∴10OF 又∵1122OMFF SOM y OF PM =⋅=⋅ ∴F OM y OF PM ⋅=⋅ ∴56==310PM ⨯∴MN =2PM =6，OP 4 ∵1122OMN N S MN OP OM y =⋅=⋅△ ∴642455N y ⨯==∴75N x ==∴724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，满足题意点有两个，分别是：()3,6N 或724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数表达式，三角形全等的性质和证明，两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点，牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键．8．（1）y 14=-x 2+x +3；y 12=x +1；（2）△PAD 的面积的最大值为274，P （1，154）；（3）点Q 的坐标为（0，133）或（0，﹣9） 【解析】 【分析】（1）由A （﹣2，0）、B （6，0）设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣6），把D （4，3）的代入解析式解方程即可，再利用待定系数法求解一次函数的解析式； （2）如图1中，过点P 作PT y ∥轴交AD 于点T ．设P （m ，14- m 2+m +3），则T（m，12m+1），再利用面积列函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值即可；（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，再求解直线DT的解析式为y13=-x133+，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），求解直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，从而可得答案．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在抛物线上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a14 =-，∴抛物线的解析式为y14=-（x+2）（x﹣6）14=-x2+x+3，∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），则2043k mk m-+=⎧⎨+=⎩，解得，121km⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l的解析式为y12=x+1；（2）如图1中，过点P作PT y∥轴交AD于点T．设P（m，14-m2+m+3），则T（m，12m+1）．∵S△PAD12=•（xD﹣xA）•PT＝3PT，∴PT的值最大值时，△PAD的面积最大，∵PT14=-m2+m+312-m﹣114=-m212+m+214=-（m﹣1）294+，∵14-<0，抛物线开口向下，∴m＝1时，PT的值最大，最大值为94，此时△PAD的面积的最大值为274，P（1，154）．（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，过D作DM x⊥轴于,M过T作TN x轴于,N90,,TNA AMD TAD AD AT90,TAN ATN TAN DAM,ATN DAM,ATN DAM≌6,3,235,TN AM AN DM ON∴T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直线DT的解析式为y13=-x133+，∴Q（0，133），作点T关于AD的对称点T'，同理可得T'（1，﹣6），则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，133）或（0，﹣9）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．二次函数综合题中面积问题的解题通法:（1）直角坐标系中图形面积的求法，以“S三角形=12×水平底×铅直高”为基础求解.（2）图形面积的数量关系：①找出所求图形的顶点，其中动点的坐标根据函数关系式用含未知数的代数式表示出来；②结合图形作辅助线，并将关键线段的长度用含未知数的代数式表示出来；③利用面积公式用含未知数的代数式表示出图形的面积；④列方程求解.（3）图形面积的最值,解题思路跟（1）中的前三步相同，然后利用函数的增减性求解.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）15714BF=．【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG△和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出12PD=，再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【详解】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB=AC，∴AB AC=，∵AE过圆心O，∴AE BC⊥，BE EC=，∴∠BAC=2∠BAE，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAE，∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设2BACα∠=，则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE =EC ，AE ⊥BC ，∴BM =MC ，∴∠MBC =∠MCB ，∵BG ⊥AC ，AE ⊥BC ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∠HBC +∠ACE =90°，∴EAC HBC MCB α∠=∠=∠=，∴2CMG MBC MCB α∠=∠+∠=，∵BC BC =，∴2G BAC α∠=∠=，∴∠G =∠CMG ，∴CG =CM =BM ，∵AC ⊥BG ，∴MH =HG ，∵OA =OC ，∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，∴FCG CFG ∠=∠，∴FG =CG ，∴BM =MC =FG =CG ，又∵MH =HG ，∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，∴BF =2HG ．（3）过O 点作OP ⊥AC ，如解图（3）∵AO 是∠BAC 的角平分线，∴点O 到AB 、AC 的距离相等， ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==， ∵AD =2，CD =3，∴AB =AC =5， ∴5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， ∵OP ⊥AC ，∴52AP PC ==，12PD =， ∵BH AC ⊥， ∴OP //BH ，∴27DP OP OD DH BH BD ===， ∴7724DH DP ==， ∴154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，∵在Rt ABH中，BH == ∵BAH G ∠=∠，AHB GHC ∠=∠， ∴AHB GHC △△，∴AH BH HG CH = 即：AH HC BHHG =， 51544=⨯， ∴HG =， 由（2）得BF =2HG ，∴BF = 【点睛】 本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1）291515404y x x =+-，y ＝﹣34x ﹣15；（2）面积最大值225，C （﹣10，﹣30）；（3）S ＝﹣2553t +160t ﹣240． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 即可求出抛物线的函数表达式；设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，然后利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 即可求出直线AB 的函数表达式；（2）作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15），根据题意表示出CF 的长度，进而表示出ABC S ∆，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）作AN ⊥OD 于N ，AD 与FG 交于点I ，首先根据题意求出OC 的解析式，然后联立33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩求出点D 的坐标，然后求出AD OD =，利用等腰三角形三线合一性质求出ON 的长度，进而利用勾股定理求出AN 的长度，表示出S △AON ，然后证明出△GFI ∽△OGH ∽△ANO ，利用相似三角形的性质表示出S △IJF ＝803（t ﹣3）2，S △GOH ＝253t ，最后利用面积之间的关系即可求出S 与t 之间的函数关系式．【详解】解：（1）由题意得，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 得， 21515(20)(20)04c a c =-⎧⎪⎨-+⨯-+=⎪⎩， ∴15940c a =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴291515404y x x =+-， 设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 得，∴15200b k b =-⎧⎨-+=⎩， ∴1534b k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴y ＝﹣34x ﹣15； （2）如图1，作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15）， ∴FC ＝（﹣315)4a -﹣（2940a +154a ﹣15）＝﹣2940a ﹣92a ， ∴ABC S ∆＝12CF •AO ＝12（﹣2940a ﹣92a ）×20＝﹣94（a +10）2+225， ∴当a ＝﹣10时，ABC S ∆＝225， 当a ＝﹣10时，y ＝29(10)40⨯-+()15104⨯-﹣15＝﹣30， ∴C （﹣10，﹣30）；（3）如图2，作AN ⊥OD 于N ，∵C （﹣10，﹣30），∴OC 的解析式是：y ＝3x ，由33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩得， 412x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣4，﹣12），∵A （﹣20，0），OD 22412+10∴AD ()2220412-++=20，∴AD OD=，又∵AN⊥OD，∴ON＝12OD=AN=S△AON＝1160 22AN ON=⨯=，∵OE，OD＝，∴DE＝，∴JE＝3（），∴FJ＝EF﹣JEt﹣3（t）＝（t﹣3），∵OG AN FJ∥∥，∴GOH OAN DAN AJF∠=∠=∠=∠，又∵90G ANO F∠=∠=∠=︒，∴△GFI∽△OGH∽△ANO，∴IJFAONSS∆∆＝（FJAN）2＝2，GOHAONSS∆∆＝（OGAN）2）2，∴S△IJF＝803（t﹣3）2，S△GOH＝253t，∴S＝S正方形OEFG﹣S△IJF﹣S△GOH＝10t2﹣53t2﹣803（t﹣3）2＝﹣2553t+160t﹣240，故答案是：S＝﹣2553t+160t﹣240．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数与一次函数综合问题，相似三角形的性质和判定，二次函数中最大面积问题等知识，解题的关键是正确分析题目中的条件，设出点的坐标，根据相似三角形的性质以及勾股定理表示出相应的线段和面积．11．(1)(1,，图见解析(2)1322Cx-≤≤1122t<≤【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，勾股定理求解即可；（2）根据题意以MB为边作等边三角形MM B'，以M'为圆心1为半径作M'，根据线段中点坐标公式求解即可；（3）在（2）的基础上，先求得最小值，再确定2个圆心，第1个是A 点运动点C 对应的圆心P '，第2个是点B 的运动时点C 轨迹的对应的圆心P ，进而根据线段和最大，当,,P P Q '共线时候，t 最大，根据（2）的方法求解即可．(1)过点C 作CE x ⊥轴于点E ，作出点C ，B 的逆序等边三角形CBD ，如图1，()()1,03,0A B -,，ABC 是等边三角形()1131222AE BE AB ∴===--=，33CE AE ==()1,0E ∴，(1,3C ,ABC BCD 是等边三角形∴60DCB ABC ∠=∠=︒，AB AC BC CD BD ====,CD AB CD AB ∴=∥(5,23D ∴ 故答案为：(1,23，(5,23(2)如图2，以MB 为边作等边三角形MM B '，以M '为圆心1为半径作M '， 点B (3，0)，点A 在以点M (-2，0)为圆心1为半径的圆上， ∴点A ，B 的逆序等边三角形ABC 的顶点C 在M '23122M x '-+∴== M '的半径为1∴111122C x -≤≤+ 即1322C x -≤≤(3)如图3，设N 与x 轴交于点G ，以GM 为边向上作等边三角形MGH ，以点H 为圆心1为半径，作H ，设直线y x =为1l ，y x t =+为2l ，过点H 作1HJ l ⊥，交x 轴于点J ，交1l 于点S ，交2l 于点L ，过点H ，作HI x ⊥轴于点I ，设2l 与x 轴的交点为T ，则OT t =根据题意，当C 点在第二象限时，能找到t 的最小值，根据定义可知，B 点与G 点重合时，A 点在M 上运动，则C 点在H 上运动，当2l 与H 相切时，t 最小， ()2,0M -,()3,0N ，M 的半径为1，N 的半径为2， 2,321OM OG ∴==-=3MG ∴=33HI ∴=1322MI MG == 1,02I ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 1332H ⎛∴- ⎝⎭1l 与x 轴的夹角为45°，1HJ l ⊥，HI x ⊥轴， HIJ ∴是等腰直角三角形 HI IJ ∴=HJ ∴===12OI =12OJ ∴1,02J ⎫∴⎪⎪⎝⎭1LJ HJ HL ∴=-=12l l ∥ LTJ ∴是等腰直角三角形1TJ ∴===⎝3122OJ =1122TO TJ JO ⎫=-==⎪⎪⎝⎭即t 12， B 的纵坐标0d >，则12t > 如图4，作,M N 的逆序等边三角形MNP '，以P '为圆心，1为半径作P '，则1PP AM '==，连接,AM PP ',ANP MNP '是等边三角形，,,60AN NP MN NP ANP MNP ''∴==∠=∠=︒PNP ANM '∴∠=∠PP N AMN '≌∴当,,P P Q '共线时候，t 最大以P 为圆心，2为半径作半圆P ，当直线y x t =+与半圆P 相切时，设切点为Q ，当C 点与Q 点重合时，即可取得t 的最大值，最大值即为T O '的长，()()2,0,3,0M N - ∴1532P ⎛' ⎝⎭过点P '作P P x '''⊥轴于点P ''，如图，。
中考数学压轴题100题及答案
中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G .当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
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一、中考数学压轴题1．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由；（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．3．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD 和BC 之间的距离；（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．5．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 里面相交于另一点G ．（1）求证：BC 是⊙F 的切线 ；（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长；、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．（3）试探究线段AG AD CD7．综合与实践A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是42:1的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：()1如图1所示，矩形纸片2ABCD AD AB=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点()AB=求CF的B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,长，()2如图2，在()1的基础上，连接,BE判断四边形BD折痕EF交BD于点O，连接,BFDE的形状，并说明理由．探究发现：()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．8．已知：如图，二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90︒，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ∆的面积最大时点D 的坐标；在DEB ∆的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．（2）在DEB ∆的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．9．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．10．如图，在正方形ABCD 中，DC=8，现将四边形BEGC 沿折痕EG(G ，E 分别在DC ，AB 边上)折叠，其顶点B ，C 分别落在边AD 上和边DC 的上部，其对应点设为F ，N 点，且FN 交DC 于M ．特例体验：(1)当FD=AF 时，△FDM 的周长是多少?类比探究：(2)当FD≠AF≠0时，△FDM 的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．拓展延伸：(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF 为x ，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ，并问：当x 为何值时，S=26?11．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.（1）求点A 的坐标；（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.12．如图1，在O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，AD AB =．（1）求证：2CAO CDB ∠=∠（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．13．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为x 轴上的动点，点B 为x 轴上方的动点，连接OA ，OB ，AB ．（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，请直接写出P ∠的度数；（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=︒，求OAB OCB∠∠；（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ∆内一点，点M ，N 分别是线段OA ，OB 上一点，满足：1902APB AOB ∠=︒+∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=︒．以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；④AM BN AB +=．正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．15．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．16．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点0(3)A ，，点()0, 3B ，点(0,0)O(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处．①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标；②连接AF ，当AEF ∆为直角三角形时，求E 点坐标：(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ∆沿OP 所在的直线折叠，得到'A OP ∆，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)．17．2．如图1，90A ∠=︒，AB AC =，则2BC AB=知识应用：(1)如图2，ADE ∆和ABC ∆均为等腰直角三角形，90DAE BAC ∠=∠=︒，D ，E ，C 三点共线，若2AD =，2BD =，求CD 的长． 知识外延：(2)如图3，正方形ABCD 中，BE 和BC 关于BG 对称，C 点的对应点为E 点，AE 交BG 的延长线于F 点，连接CF ．①求证：GF EC =；②若2AE =，2CE =，求BF 的长．18．已知抛物线2y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=︒，求点Q 的坐标．19．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ，过点C 作CN DF ⊥于点N ，延长CN 交AD 于点M ．（1）求证：AM MD =（2）连接CF ，并延长CF 交AB 于G①若2AB =，求CF 的长度；②探究当AB AD为何值时，点G 恰好为AB 的中点．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 21．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0x y =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．23．综合与探究：如图1，抛物线24832999y x x =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作//PF AD ，交x 轴于点F ．（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．①当3DM MF =时，求m 的值；②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DC ，点E 在BC 延长线上，连接DE ，∠A ＋∠E ＝180°．（1）如图1，求证：CD=DE ；（2）如图2，过点C 作BE 的垂线，交AD 于点F ，请直接写出BE 、AF 、DF 之间的数量关系_______________________；（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC 的平分线，交CD 于G ，交CF 于H ，连接FG ，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE 的长．25．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <，O 为AC 中点，点D 在BO 延长线上，CD BC =，AE BC ∥，CE CA =，AE 交BD 于点G ．（1）若28DCE ∠=︒，求AOB ∠的度数；（2）求证：AG GE =；（3）设DC 交GE 于点M ．①若3AB =，4BC =，求::AG GM ME 的值；②连结DE ，分别记ABG ，DGM ，DME 的面积为1S ，2S ，3S ，当AC DE 时，123::S S S = ．（直接写出答案）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．A解析：（1）证明见解析；（2）67FM =；（3）kBC DF kBE =+． 【解析】【分析】（1）连接AC ，根据题意判定平行四边形ABCD 为菱形，△ABC 为等边三角形，然后利用AAS 定理判定△BCE ≌△ACF ，从而得出BE=AF ，使问题得解；（2）连接AC ，过点M 作MN ⊥CF ，由含30°直角三角形的性质求得122BE BC ==，323CE CF BE ===，设CN=x ，则3MN x =，然后利用平行判定△FMN ∽△FBC ，根据相似三角形的性质求得126355MN FN ==，，然后利用勾股定理求解即可；（3）连接AC ，过点A 作AK ⊥BC ，在DA 上截取DH=CD ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△HCD 是等边三角形，然后根据AA 定理判定△BCE ∽△FCH ，根据相似三角形的性质求得HF CM CD AB k BE BC BC BC====，即HF=kBE ，从而使问题得解． 【详解】解：（1）连接AC因为在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，AB BC =∴平行四边形ABCD 为菱形，△ABC 为等边三角形∴AC=BC ，∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACB=60°，又∵60ECF ∠=︒∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACF∴∠BCE=∠ACF∴△BCE ≌△ACF∴BE=AF∴AB=AE+BE=AE AF BC +=（2）连接AC ，过点M 作MN ⊥CF由（1）已证，△ABC 为等边三角形，△BCE ≌△ACF∵E 为AB 的中点∴CE ⊥AB∴在Rt △BCE 中，∠BCE=30°∴122BE BC ==，323CE CF BE ===由题意60ECF ∠=︒，∴∠BCF=90°在Rt △AMCN 中，∠CMN=30° 设CN=x ，则3MN x =∵MN ⊥CF∴MN ∥BC∴△FMN ∽△FBC ∴MN FN BC FC =，323423x x -= 解得：435x =∴126355MN FN ==， 在Rt △FMN 中，22126367()()555FM =+=（3）由题意可知，在平行四边形ABCD 中，∠B=∠D=60°，AB CD kBC == 连接AC ，过点A 作AK ⊥BC ，在DA 上截取DH=CD∵DH=CD ，∠B=∠D=60°∴△HCD 是等边三角形∴∠HCD=60°又∵∠ECF=60°∴∠BCE+∠ECH=∠FCH+∠ECH∴∠BCE =∠FCH∴△BCE ∽△FCH∴HF CM CD AB k BE BC BC BC====，即HF=kBE ∴CD=DF+HF=DF+ kBE又∵AB CD kBC ==∴kBC DF kBE =+【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，有一定综合性，正确添加辅助线是解题关键．2．A解析：（1）A（0，1）（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°.（3）α+2β＝45°．【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质求出m、n的值，求出B、C两点坐标，由S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，推出12×2×4+12×OA×4＝6，求出OA即可；（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质即可解决问题；（3）由AD∥BC，推出∠ADC＝∠DCB＝α，由BE平分∠CBx，推出∠CBE＝∠EBx，由∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，推出∠OBF＝∠EBx＝α+β，由OC平分∠AOB，可得∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），由此即可解决问题；【详解】解：（1）由题意2020nn-≥⎧⎨-≥⎩，，得，解得n＝2，∴m＝4，B（2，0），C（4，4）．如图：∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，∴12×2×4+12×OA×4＝6，∴OA＝1，∴A（0，1）．（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．如图：理由如下：∵OC∥PQ，∴∠Q＝∠OCB，∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB﹣45°＝135°﹣∠OAB，∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．（3）如图：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB＝α，∵BE平分∠CBx，∴∠CBE＝∠EBx，∵∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，∴∠OBF＝∠EBx＝α+β，∵C（4，4），∴OC平分∠AOB，∴∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），∴α+2β＝45°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题．3．D解析：（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】（1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ==== ∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭解得：2516r = ∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上 ∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．4．A解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685s 或72s 【解析】【分析】（1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在RtDEC 中可求得DE 的长，即AB 的长，即AD 与BC 间的距离；（2）四边形QDCP 为平行四边形，只需QD=CP 即可；（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD ，情况二：PD=QD ，情况三：QP=QD ，而每大类中，点P 存在2种情况，一种为点P 还未到达点C ，另一种为点P 从点C 处返回．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E∵∠B=90°，AD ∥BC∴AB ⊥BC ，AB ⊥AD∴AB 的长即为AD 与BC 之间的距离 ∵AD=16，BC=21，∴EC=5∵DC=13∴在Rt DEC 中，DE=12同理，DE 的长也是AD 与BC 之间的距离 ∴AD 与BC 之间的距离为12（2）∵AD ∥BC∴只需QD=PC ，则四边形QDCP 是平行四边形 QD=16－t ，PC=21－2t 或PC=2t －21 ∴16－t=21－2t 或16－t=2t －21解得：t=5s 或t=373s （3）情况一：QP=PD图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F∵PQ=PD ，PF ⊥QD ，∴QF=FD∵AF ∥BP ，AB ∥FP ，∠B=90°∴四边形ABPF 是矩形，∴AF=BP由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t ∵AF=BP∴8+2t =2t 或8+2t =42－2t解得：t=163或t=685情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理QD=16－t ，PF=AB=12BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+-∵PD=QD ，∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－解得：2个方程都无解情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理：QD=16－t ，FP=12BP=2t 或BP=42－2tQF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()22212423PQ t =+- ∵PQ=QD ，∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－第一个方程解得：t=72，第二个方程解得：无解 综上得：t=163或685或72 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q运动的轨迹，得出BP的长度．5．D解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103 当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力． 6．E解析：（1）详见解析；（2）52r =，55AC +=；（3）2AG AD CD =+，理由详见解析．【解析】【分析】（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径的长，证FEB ∆∽AOD ∆，求出BF 的长，再证BFE ∆∽BAC ∆，即可求出AC 的长；（3）过点F 作FR AC ⊥于点R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）如图，连接EF ，∵AE 平分BAC ∠，FAE CAE ∴∠=∠，FA FE =，FAE FEA ∴∠=∠，FAE EAC ∴∠=∠，//FE AC ∴，90FEB C ∴∠=∠=︒，又E 为⊙F 上一点，BC ∴是⊙F 的切线；（2）如图，连接FD ，设⊙F 的半径为r ，∵点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，1,2,1OA OD OF r ∴===-，5AD ∴=在Rt FOD ∆中，由勾股定理得，222FD OF OD =+，222(1)2r r ∴=-+， 解得52r =， 即⊙F 的半径为52， 90ODA OAD EBF OAD ∠+∠=∠+∠=︒，ODA EBF ∴∠=∠， 90AOD FEB ∠=∠=︒，∴FEB ∆∽AOD ∆，EF BF OA DA ∴=，即2.515=， 55BF ∴=， 555BA +∴=， //EF AC ，∴BFE ∆∽BAC ∆，EF BF AC BA∴=，即55522555AC =+， 55AC +∴= （3）2AG AD CD =+．理由如下：如图，过点F 作FR AC ⊥于点R ，则∠FRC=90°，∵∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 为矩形，EF RC RD CD ∴==+，FR AD ⊥，AR RD ∴=，12EF RD CD AD CD ∴=+=+， 22AG EF AD CD ∴==+．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．7．(1) CF 2 ；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析【解析】【分析】（1）1AB =，则AD =ABCD 是矩形，得到1,CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则FB FD x ==，在Rt DCF △中，222+=CD CF DF ，可得)2221x x +=即可求解．（2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得BOF DOE ≅，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边形，根据90DOE DAB ∠=∠=︒，得到DOE DAB ，再根据AD =，可得2OE AB OD AD ===，进而得到2OE OD =，2EF BD =，同理可得，2MN AC =，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形ENFM 是矩形，90EMF ∠=，MF OD tan FEM ME OE ∠===MF =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"．【详解】解：()11,AB =则AD AB ==四边形ABCD 是矩形1,CD AB BC AD ∴==-=由折叠得FB FD =设CF x =，则FB FD x ==在Rt DCF △中，222+=CD CF DF)2221x x +=4x =答：CF 长为4 ()2四边形BFDE 是菱形.理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BDOB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=在矩形ABCD 中，//,AD BCOBF ODE ∴∠=∠在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,BOF DOE ∴≅OE OF ∴=OB OD =∴四边形BFDE 是平行四边形EF BD ⊥平行四边形BFDE 是菱形.()3纸片ENFM 是“标准纸”理由如下：由()2可知，,OE OF =同理可知，,OM ON =∴四边形ENFM 是平行四边形90DOE DAB ∠=∠=︒DOE DAB ∴ 2AD =222OE AB OD AD ∴=== 22OE OD ∴=2EF BD ∴=同理可得，2MN AC = 四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EF MN ∴=∴四边形ENFM 是矩形.90EMF ∴∠=.MF OD tan FEM ME OE∴∠===MF ∴=.∴纸片ENFM 是“标准纸".【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．8．D解析：（1）D 点坐标为()2,3，矩形MONC 的最小值为645；（2）交点坐标为（），（3），（1），（）． 【解析】【分析】（1）当△DEB 的面积最大时，直线DN 与抛物线相切，可求出直线DN 的解析式和点D 的坐标，当矩形面积最小时，MG 最小，求出MG 的最小值即可．（2）分两种情况讨论，以DB 为边和以DB 为对角线，分别求出此时ON 的解析式，联立求出交点坐标即可．【详解】解：（1）如图1所示，过点D 作y 轴的平行线交MB 于点H ，过点O 作OQ 垂直MB 于点Q ，令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴E（0，2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，则2, 40,bk b=⎧⎨+=⎩解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BE的解析式为y＝﹣12x+2，∵DN∥BE，∴设直线DN的解析式为y＝﹣12x+b1，S△DEB＝DH12⨯•（x B﹣x E），∴当△DEB面积最大时，即是DH最大的时候，∴﹣12x+b1＝﹣12x2+32x+2，△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，解得b1＝4，点D（2，3），S矩＝2S△MOG+S平形四边形，∴矩形面积最小时就是MG最小，设QG＝m，MQ＝n，∴MG＝m+n，∵m+n≥mn∵△QOG∽△MQO，∴OQ2＝m•n，∵△OEQ ∽△EOB ，∴OQ∴m •n ＝165，∴m +n ．∴MG ＝5，∴S 矩＝2S △MOG +S 平形四边形＝645．（2）分两种情况讨论，情况一：当GN ∥DB 时，直线DB 的解析式为：y ＝﹣32x +6，则直线NG 的解析式为y ＝﹣32x ， ∴﹣32x ＝﹣12x 2+32x +2，解得x 1＝x 2＝3∴交点坐标为（），（3），情况二：DB 为对角线时，此时NG 必过DB 的中点（3，32），设直线ON 的解析式为y ＝k 1x ，则k 1＝12，∴直线OD 的解析式为y ＝12x ，12＝﹣12x 2+32x +2，解得x 1＝1x 2＝∴交点坐标为（1），（），综上所述：交点坐标为（），（3），（1﹣12），（12）．【点睛】此题考查了二次函数的性质以及二次函数与几何相结合的问题，转化矩形面积最小和三角形面积最大为某条线段的最值为解题关键．9．C解析：（1）①32，3，32CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【解析】【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03，∴OD=1，3OE =∴3OE tan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，3•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小， 当点P 与E 重合时，OP 3当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，3332CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b ≥2（1-b ），解得13b ≥， ∴b 的取值范围为131b ≤＜． 当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系，当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为121b -，最大距离为b+1， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴11212b b ⎛⎫+≥-⎪⎝⎭， 而11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭总成立， ∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b ≥． （3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r ≤3，故r 的取值范围为0＜r ≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．10．F解析：（1）16；（2）不变，证明见解析；（3）214322S xx =-+，当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．【解析】【分析】（1）如图1中，在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理构建方程求出x ，再根据△AEF ∽△DFM ，可得3124FDMAE DF C ∆==，由此即可解决问题； （2）△FDM 的周长与（1）中结论相同．证明方法与（1）类似；（3）作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．由△AFB ≌△KEG ，可得FB=GE ，由（2）可知：AE=21416x -，设AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -+，根据S=82AE DG +⨯，构建二次函数即可解决问题； 【详解】解：（1）在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，由勾股定理，得：42﹢x 2=(8-x)2，∴x=3，∴AE=3，EF=5．∴△AEF 的周长为12，如图，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF ，∴△AEF ∽△DFM ，∴AE DF =34=12FDMC ， ∴△FDM 的周长为16；（2）△FDM 的周长不会发生变化；理由：如下图，设AF=x ，EF=8-AE ，x 2+AE 2=（8-AE ）2，∴AE=21416x-， ∵△AEF ∽△DFM ，∴8FDMAE x DF C ∆+=， ∴△FMD 的周长：2(8)(8)161416FDM x x C x ∆-+==-． （3）如图，作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．∵B 、F 关于GE 对称，∴BF ⊥EG ，∴∠FBE=∠KGE ，在正方形ABCD 中，GK=BC=AB ，∠A=∠EKG=90°，∴△AFB ≌△KEG ，∴FB=GE ，由（2）可知：AE=21416x -， ∴AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -+， ∴梯形AEGD 的面积为：22211184(44)432216162AE DG x x x x x +⨯=⨯-+-+=-++，∴221188(432)43222S x x x x =⨯--++=-+， 当S=26时，有 21432262x x -+=， 解得：x=2或x=6，∴当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数，理由方程解决问题，属于中考压轴题．11．A解析：（1）A （4，0）；（2）2144S t =-；（3）(4,8)E - 【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．（2）证明△CEA 和△COD 是等腰直角三角形，由EN ⊥AC ，推出42t CN NE NA +===，AC=4+t ，根据S=S △AEC -S △ABC 计算即可．（3）过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）求出点F 的坐标为(1,3)44t t -+，从而得到 1144t t OM =-=-，34t FM =+，由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，得出∠FOB=∠BDA ，进而得出∠MFO=∠ODA ，tan ∠MFO =tan ∠ODA ，故而OA OM OD MF =， 即14434t t t -=+，解出t 的值，再求点E 的坐标即可. 【详解】（1）由题意可得：211•••822AOB S OA OB OA ==＝， ∴OA 2=16，∵OA ＞0，∴OA=OB=4，∴A （4，0），B （0，4）．（2）如图，过点E 作EN ⊥AC 于点N ．∵∠AOB=90°，OA=OB ，∴∠OAB=45°，∵AB ⊥CD ，∴∠CEA=90°，∴∠ECA=45°，∴△CEA 是等腰直角三角形，∵∠ECA=45°，∠COD=90°，∴∠CDO=45°，∴△CDO 是等腰直角三角形.∵点D 纵坐标为t ，∴CO=DO=t.∵OA=OB=4,∴AC=t+4. ∴42t CN NE NA +===， ∴()()2141144442224AEC ABC t S S S t t t +⎛⎫=-=⨯+⨯-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭； ∴S 与t 的函数关系是：2144S t =-. （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）可知，42t CN NE +==，。