步步高导学设计高中数学人教A版选修2-1配套练习1.1.1命题(含答案详析)
【步步高学案导学设计】高中数学(人教a版,选修2-1)课时作业：第一章常用逻辑用语1.1.2word版含答案
1.1.2四种命题【课时目标】 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的命题结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：__________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A?B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A?BB．若A∩B≠A，则A BC．若A B，则A∩B≠AD．若A?B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数题号123456答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【能力提升】13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数14．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1.1.2四种命题知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3?a>－6，但由a>－6a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选 B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．11．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．12．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．13．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选 B.] 14．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0. 逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。
《步步高 学案导学设计》2020—2021学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 -
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《步步高 学案导学设计 》2020—2021学年 高中 数学 人教A版选修2-2【 配套备课资源】第一章 -
2020/9/7
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高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章1.1.1-1.1.2
§1.1 命题及其关系1.1.1 命 题1.1.2 四种命题 学习目标 1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式,能将命题改写为“若p ,则q ”的形式.4.了解命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.知识点一 命题的概念及分类思考 下列语句有什么共同特征？(1)空集是任何集合的子集.(2)单位向量的模为1.(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.【参考答案】共同特征是：都是陈述句,都可以判断真假.梳理 (1)命题的概念：在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题.(3)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧ 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点二 命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ,则q ”.其中p 叫做命题的条件,q 叫做命题的结论.(2)确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p ,则q ”的形式.知识点三 四种命题思考 初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫做命题的逆命题？【参考答案】在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题.梳理 四种命题的定义如下表所示(1)命题均能判断其真假.(√)(2)我们所学习过的定理均为命题.(√)(3)命题：若函数f (x )为区间D 上的奇函数,则f (0)＝0,为真命题.(×)(4)命题：若sin A ＞sin B ,则A ＞B ,其逆命题为真命题.(×)类型一 命题的概念及真假判断命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题,并说明理由.(1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x ∈R ,则x 2＋4x ＋5≥0；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a 与b 是无理数,则ab 是无理数.【试题考点】命题的定义及分类题点 命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题. (2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假,所以它不是命题.(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句,所以它不是命题.(4)“若x ∈R ,则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句,并且它是真的,所以它是命题.(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.(6)“若a 与b 是无理数,则ab 是无理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.(3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题；否则就不是命题.跟踪训练1 下列语句是命题的是( )①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤【试题考点】命题的定义及分类题点 命题的定义【参考答案】A解析 依据命题定义,得①②③为命题.命题角度2 命题真假的判断例2 给定下列命题：①若a >b ,则2a >2b ；②命题“若a ,b 是无理数,则a ＋b 是无理数”是真命题；③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴； ④在△ABC 中,若AB →·BC →>0,则△ABC 是钝角三角形.其中为真命题的是________.【试题考点】命题的真假判断题点 命题真假的判断【参考答案】①③④解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性,知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π,k ∈Z ,故③为真命题；又因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0,故得cos B <0,从而得B 为钝角,所以④为真命题.引申探究1.本例中命题④变为：若AB →·BC →<0,则△ABC 是锐角三角形,该命题还是真命题吗？解 不是真命题,AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角,其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角,才可以判定三角形为锐角三角形.2.本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0,则△ABC 是________三角形.【参考答案】直角解析 由AB →·BC →＝0,得∠B ＝90°,故该三角形为直角三角形.反思与感悟 一个命题要么为真命题,要么为假命题,且必居其一.欲判断一个命题为真命题,需进行论证,而要判断一个命题为假命题,只需举出一个反例即可.跟踪训练2 (1)下列命题中假命题的个数为( )①多边形的外角和与边数有关；②如果数量积a ·b ＝0,那么向量a ＝0或b ＝0；③二次方程a 2x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实根；④函数f (x )在区间[a ,b ]内有零点,则f (a )·f (b )<0.A.1B.2C.3D.4【试题考点】命题的真假判断题点 命题真假的判断【参考答案】C解析 因为Δ＝4＋4a 2>0,故③正确,而①②④都错误,均可举出反例.(2)下列命题中为真命题的是( )A.若x ＜e,则ln x ＜1B.若向量a ,b ,c 满足a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC.已知数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0,则该数列为等比数列D.在△ABC 中,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若满足a cos B ＝b cos A ,则该三角形为等腰三角形【试题考点】命题的真假判断题点 命题真假的判断【参考答案】D解析对于A,需满足x＞0；对于B,若b＝0,其结论不成立；对于C,若a n＝0,则结论不成立. 类型二命题的结构形式例3将下列命题写成“若p,则q”的形式.(1)末位数是0或5的整数,能被5整除；(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根.【试题考点】命题的结构形式题点改写成标准的若p则q形式解(1)若一个整数的末位数字是0或5,则这个数能被5整除.(2)若一个方程是x2－x＋1＝0,则它有两个实数根.反思与感悟将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则跟踪训练3将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x,y为正整数,当y＝x－5时,y＝－3,x＝2.【试题考点】命题的结构形式题点改写成标准的若p则q形式解(1)若一个多边形是正n边形,则这个正n边形的n个内角全相等,是真命题.(2)若一个数是负数,则这个数的立方是负数,是真命题.(3)已知x,y为正整数,若y＝x－5,则y＝－3,x＝2,是假命题.类型三四种命题的概念及真假判断命题角度1四种命题的概念例4(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下,则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题.【试题考点】四种命题的概念题点四种命题定义的应用【参考答案】(1)A(2)解逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅,则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下.否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上,则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅.逆否命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅,则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上.反思与感悟四种命题的转换方法(1)逆命题：交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.【试题考点】四种命题的概念题点四种命题定义的应用解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.逆否命题：若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.(2)逆命题：若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.命题角度2四种命题的真假判断例5写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)若a>b,则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形.【试题考点】四种命题的概念题点判断四种命题的真假解(1)逆命题：若ac2>bc2,则a>b.真命题.否命题：若a≤b,则ac2≤bc2.真命题.逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b.假命题.(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补.真命题.否命题：若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形,则该四边形的对角不互补.真命题.反思与感悟 若原命题为真命题,则它的逆命题、否命题可能为真命题,也可能为假命题.原命题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数要么是0,要么是2,要么是4.跟踪训练5 已知命题“若2m －1＜x ＜3m ＋2,则1＜x ＜3”的逆命题为真命题,则m 的取值范围是________.【试题考点】四种命题的概念题点 判断四种命题的真假【参考答案】⎣⎡⎦⎤13，1解析 其逆命题为若1＜x ＜3,则2m －1＜x ＜3m ＋2.该命题为真命题,需满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤1，3m ＋2≥3，解得13≤m ≤1, 故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，1.1.下列语句为命题的是( )A.2x ＋5≥0B.求证对顶角相等C.0不是偶数D.今天心情真好啊【试题考点】命题的定义及分类题点 命题的定义【参考答案】C解析 结合命题的定义知C 为命题.2.命题“若a ∉A ,则b ∈B ”的否命题是( )A.若a ∉A ,则b ∉BB.若a ∈A ,则b ∉BC.若b ∈B ,则a ∉AD.若b ∉B ,则a ∉A 【试题考点】四种命题题点 四种命题概念的理解【参考答案】B解析 命题“若p ,则q ”的否命题是“若非p ,则非q ”,“∈”与“∉”互为否定形式.3.命题“若a≥b,则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题是()A.若a＋b≤2 017且a≤－b,则a＜bB.若a＋b≤2 017且a≤－b,则a＞bC.若a＋b≤2 017或a≤－b,则a＜bD.若a＋b≤2 017或a≤－b,则a≤b【试题考点】四种命题的概念题点按要求写命题【参考答案】C解析将原命题的条件与结论互换的同时,对条件和结论进行否定即得逆否命题.“若a≥b,则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2 017或a≤－b,则a＜b”.故选C.4.命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题,则实数m的取值范围为_________. 【试题考点】命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围【参考答案】(－∞,－4]∪[4,＋∞)解析由题意可知,满足条件时,需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0,即(－m)2－4×4≥0,解得m≤－4或m≥4.5.命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题,求实数m的取值范围.【试题考点】命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围解“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题,需对m进行分类讨论.当m＝0时,1>0恒成立,所以m＝0满足题意；当m>0,且Δ＝m2－12m<0,即0<m<12时,3mx2＋mx＋1>0恒成立,所以0<m<12满足题意.综上所述,实数m的取值范围是0≤m<12.1.根据命题的定义,可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题需要给出证明,假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p,则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,且不写在条件p中.一、选择题1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线【试题考点】命题的结构形式题点区分命题的条件和结论【参考答案】D解析所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线,那么它们互相平行”,故选D.2.下列命题为假命题的是()A.若a·b＝0(a≠0,b≠0),则a⊥bB.若|a|＝|b|,则a＝bC.0是偶数D.5＞3【试题考点】命题的真假判断题点命题真假的判断【参考答案】B解析结合向量的有关知识知A为真命题,B为假命题.C、D显然是真命题.3.命题“若x2＞1,则x＜－1或x＞1”的逆否命题是()A.若x2＞1,则－1≤x≤1B.若－1≤x≤1,则x2≤1C.若－1＜x＜1,则x2＜1D.若x＜－1或x＞1,则x2＞1【试题考点】四种命题的概念题点按要求写命题【参考答案】B解析结合逆否命题的定义知B正确.4.下列命题是真命题的是()A.若ab＝0,则a2＋b2＝0B.若a>b,则ac>bcC.若M∩N＝M,则N⊆MD.若M⊆N,则M∩N＝M【试题考点】命题的真假判断题点命题真假的判断【参考答案】D解析A中,a＝0,b≠0时,a2＋b2＝0不成立；B中,c≤0时不成立；C中,M∩N＝M说明M⊆N.故A,B,C均错误.5.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是()A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥bC.若a,b相交,则α,β相交D.若α,β相交,则a,b相交【试题考点】命题的真假判断题点命题真假的判断【参考答案】D解析D中如果α,β相交,a和b可以相交,也可以异面.6.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2【试题考点】命题的真假判断题点命题真假的判断【参考答案】B解析设向量a,b的夹角为θ,因为a·b＝|a||b|cos θ,所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|,A成立；由向量的运算律易知C,D成立.故选B.7.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题：①若m⊥α,n∥α,则m⊥n；②若α∥β,β⊥γ,则α∥γ；③若m⊥α,n⊥α,则m∥n；④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中为真命题的是()A.①②B.②③C.③④D.①③【试题考点】命题的真假判断题点命题真假的判断【参考答案】D解析结合线面位置关系易知①③为真命题.8.对于原命题“正弦函数不是分段函数”,下列说法正确的是()A.否命题是“正弦函数是分段函数”B.逆否命题是“分段函数不是正弦函数”C.逆否命题是“分段函数是正弦函数”D.以上都不正确【试题考点】四种命题题点四种命题的判断【参考答案】B解析否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”,所以A错误；B正确；C不正确,故选B.二、填空题9.有下列命题：①22 340能被5整除；②不存在x∈R,使得x2＋x＋1＜0；③对任意的实数x,均有x＋1＞x；④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根.其中假命题有________.(只填序号)【试题考点】命题的真假判断题点命题真假的判断【参考答案】④解析易知①②③为真命题,④中Δ＝4－12＜0,方程x2－2x＋3＝0无实根,因而④为假命题.10.命题“当a＞0,a≠1时,若函数f(x)＝log a x在其定义域内是减函数,则log a 2＜0”的逆否命题是__________________________.【试题考点】四种命题的概念题点按要求写命题【参考答案】当a＞0,a≠1时,若log a 2≥0,则函数f(x)＝log a x在其定义域内不是减函数. 11.已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立,q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数,若p,q中有且只有一个是真命题,则实数a的取值范围是________.【试题考点】命题的真假判断题点由命题的真假求参数的取值范围【参考答案】(－∞,－2]解析p为真命题时,Δ＝4a2－16＜0,解得－2＜a＜2.q 为真命题时,5－2a ＞1,解得a ＜2.当p 真q 假时,⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜a ＜2，a ≥2，a ∈∅. 当p 假q 真时,⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，即a ≤－2. 故实数a 的取值范围为(－∞,－2].三、解答题12.把下列命题改写成“若p ,则q ”的形式,并判断命题的真假.(1)当ac >bc 时,a >b ；(2)当m >14时,mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时,a ＝0或b ＝0.【试题考点】命题的结构形式题点 改写成标准的若p 则q 形式,并判断命题的真假解 (1)若ac >bc ,则a >b .∵ac >bc ,c <0时,a <b ,∴该命题是假命题.(2)若m >14,则mx 2－x ＋1＝0无实根. ∵Δ＝1－4m <0,∴该命题是真命题.(3)若ab ＝0,则a ＝0或b ＝0,∴该命题是真命题.13.判断命题“已知a ,x 为实数,若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空,则a ≥1”的逆否命题的真假.【试题考点】四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 其逆否命题：已知a ,x 为实数,若a ＜1,则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集.∵a ＜1,∴Δ＝(2a ＋1)2－4×(a 2＋2)＝4a ＋1－8＝4a －7＜0,即不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集,∴原命题的逆否命题是真命题.四、探究与拓展14.命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( )A.a <0或a ≥3B.a ≤0或a ≥3C.a <0或a >3D.0<a <3【试题考点】命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围【参考答案】A解析 若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题,当a ＝0时,3>0符合题意,当a ≠0时,则a >0且Δ<0,解得0<a <3,综上可知,当0≤a <3时,命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题,故当a <0或a ≥3时,命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题.15.写出命题“当2m ＋1＞0时,如果m ＋32m －1＞0,那么m 2－5m ＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题,并分别指出四种命题的真假.【试题考点】四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 由2m ＋1＞0,得m ＞－12. 由m ＋32m －1＞0,得m ＜－3或m ＞12, 又m ＞－12,所以m ＞12. 由m 2－5m ＋6＜0,得2＜m ＜3,又m ＞－12,所以2＜m ＜3. 由此可知,原命题可变为“如果m ＞12,那么2＜m ＜3”, 显然原命题是假命题.逆命题为“当2m ＋1＞0时,如果m 2－5m ＋6＜0,那么m ＋32m －1＞0”, 即“如果2＜m ＜3,那么m ＞12”,它是真命题. 否命题为“当2m ＋1＞0时,如果m ＋32m －1≤0, 那么m 2－5m ＋6≥0”,因为⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m ＋32m －1≤0，所以⎩⎨⎧m ＞－12，－3≤m ＜12， 所以－12＜m ＜12, 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m 2－5m ＋6≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－12，m ≤2或m ≥3，即－12＜m ≤2或m ≥3, 所以否命题可表述为“如果－12＜m ＜12, 那么－12＜m ≤2或m ≥3”,它是真命题. 逆否命题为“当2m ＋1＞0时,如果m 2－5m ＋6≥0,那么m ＋32m －1≤0”, 则逆否命题可表述为“如果－12＜m ≤2或m ≥3, 那么－12＜m ＜12”,它是假命题.。
人教a版高中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案
⼈教a版⾼中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～1 全册章节同步检测试题⽬录1.1.1课时同步练习1.2课时同步练习1.3课时同步练习1.4.1、2课时同步练习1.4.3课时同步练习第1章单元过关试卷同步练习2.1.1课时同步练习2.1.2课时同步练习2.2.1课时同步练习2.2.2（第1课时）同步练习2.2.2（第2课时）同步练习2.3.1课时同步练习2.3.2（第1课时）同步练习2.3.2（第2课时）同步练习2.4.1课时同步练习2.4.2（第1课时）同步练习2.4.2（第2课时）同步练习第2章单元过关试卷同步练习3.1.1课时同步练习3.1.2课时同步练习3.1.3课时同步练习3.1.4课时同步练习3.1.5课时同步练习3.2第3课时同步练习3.2第4课时同步练习3.2（第1课时）同步练习3.2（第2课时）同步练习第3章单元过关试卷同步练习模块质量检测A卷同步练习模块质量检测B卷同步练习第1章 1.1.1⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③⼤边所对的⾓⼤于⼩边所对的⾓；④2是⽆理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直⾓相等”的条件和结论分别是“直⾓”和“相等”B．语句“最⾼⽓温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对⾓线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，⽅程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个⾓是直⾓，则这两个⾓相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“⽤边长为3的等边三⾓形与底边为3，腰为2的等腰三⾓形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正⽅形}是{x|x是平⾏四边形}的⼦集吗？④3⼩于2；⑤矩形的对⾓线相等；⑥9的平⽅根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是⾃然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选⼀个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数⼜是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ⾄多有⼀个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ?2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析：①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ?2x ＋π2的图象．答案：①②③6．命题“⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此⽅程有两个不相等的实数根假三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果⼀个函数的图象是⼀条直线，那么这个函数为⼀次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：⼀个函数的图象是⼀条直线，结论q ：这个函数为⼀次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满⾜的条件．⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1ax 2，求a 满⾜的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，⽅程有解x ＝－1b . 当a ≠0时，⽅程为⼀元⼆次⽅程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1a x 2为假命题，∴应有当x 1即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.第1章 1.2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |?x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ?|x |＝|y |.故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成⽴的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，⽽tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成⽴的充分不必要条件．故选A. 答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；⽽x 2＋y 2≥4不⼀定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成⽴，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分⼜不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件(2)A ∩B ≠?是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形解析： (1)因x >2且y >3?x ＋y >5， x ＋y >5?/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．(2)因A ∩B ≠??/ A B, A B ?A ∩B ≠?.故A ∩B ≠?是A B 的必要不充分条件．(3)因b 2－4ac <0?/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ?a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝x |x x －1<0，B ＝{x |0x |x x －1<0＝{x |0∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ?q 但q ?/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满⾜条件的a 的取值范围为0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．证明：充分性：∵0，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．⽽当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴，∴a ＝0或 a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45. 故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ?B ，从⽽有 a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或 a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A ．p 为真命题，p 且q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．q 为假命题，p 或q 为真命题D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：∵綈p ∨綈q 是假命题∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是() A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝? ????12x在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－? ????12x在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.答案： C⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞36．在下列命题中：①不等式|x＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A?A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“⾮p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的⼀个解，所以p是真命题，所以⾮p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“⾮p”的形式，其中p：A?A∪B.因为p为真命题，所以“⾮p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8?{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：⽅程x2－x＋1＝0有实根；(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；(3)p ：??A ；(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是?.解析：题号判断p 的真假綈p 的形式判断綈p 的真假 (1)假⽅程x 2－x ＋1＝0⽆实数根真 (2)真函数y ＝tan x 不是周期函数假 (3)真 ? A 假 (4)真不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是? 假尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满⾜x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满⾜ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.⼜a >0，所以a当a ＝1时，1即p 为真命题时实数x 的取值范围是1由 x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2所以q 为真时实数x 的取值范围是2若p ∧q 为真，则 1所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ?綈q 且綈q ?/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以03，即1所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章 1.4.1、2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列命题中的假命题是( )A ．?x ∈R ，lg x ＝0B ．?x ∈R ，tan x ＝1C ．?x ∈R ，x 2>0D ．?x ∈R,2x>0 解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题． C 中当x ＝0时，x 2＝0不⼤于0，是假命题．D 中?x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )．∴f (x )是偶函数⼜∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.答案： A3．下列4个命题： p 1：?x ∈(0，＋∞)，? ????12xx ； p 2：?x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，? ????12x >log 12x ； p 4：?x ∈? ????0，13，? ????12xx . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有? ????12x >? ??13x 成⽴．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平⾯直⾓坐标系中作出函数y ＝? ??12x 与函数 y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝? ????12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x 图象的上⽅，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：?x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3或a >2B ．a ≥2C ．a >－2D ．－2即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成⽴，所以有： a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0 a >－2，a 2＋a －6≥0?a ≥2.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题“有些负数满⾜不等式(1＋x )(1－9x )>0”⽤“?”或“?”可表述为________．答案： ?x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：?x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0恒成⽴，∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)?x0∈R，使x20＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成⽴，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的⼀个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前⾯，使其成为⼀个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是⽆理数，则x2是⽆理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表⽰)解析：(1)?x∈R，x>2.(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．(3)?x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是⽆理数，则x2是⽆理数．(如42)(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，⼆次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成⽴，即4m2＋4am＋1≥0恒成⽴．⼜4m2＋4am＋1≥0是⼀个关于m的⼆次不等式，恒成⽴的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章 1.4.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：?m 0∈R ，使⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．?m 0∈R ，使得⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0⽆实根B ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根C ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．⾄多有⼀个实数m ，使得⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根”．故选B.答案： B3．“?x 0?M ，p (x 0)”的否定是( )A ．?x ∈M ，綈p (x )B ．?x ?M ，p (x )C ．?x ?M ，綈p (x )D ．?x ∈M ，p (x )答案： C 4．已知命题p ：?x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧?q ”是假命题；③命题“?p ∨q ”是真命题；④命题“?p ∨?q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1∴p ∧q 为真，p ∧?q 为假，?p ∨q 为真，?p ∨?q 为假．答案： D⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成⽴，所以命题p是假命题．答案：特称命题假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每⼩题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正⽅形都是矩形；(2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正⽅形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在⼀个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，并说明理由．(2)若存在⼀个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成⽴，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成⽴，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等⽐数列．。
【步步高学案导学设计】高中数学(人教a版,选修2-1)课时作业：第一章常用逻辑用语 1.1.2 word版含答案
1.1.2四种命题【课时目标】 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的命题结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：__________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【能力提升】13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数14．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1.1.2四种命题知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．11．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．12．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．13．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.] 14．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0. 逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。
人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答
高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ； （2） (0,2) ； （3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21； （ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。
步步高导学设计高中数学人教A版选修2-1配套练习1.2.2充要条件(含答案详析)
1.2.2
充要条件一、基础过关
1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的
() A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．一次函数y ＝－m n x ＋1
n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是
() A ．m>1，且n<1
B ．mn<0
C ．m>0，且n<0
D ．m<0，且n<0
4．平面α∥平面β的一个充分条件是
() A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β
B ．存在一条直线a ，a?α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a 、b ，a?α，b?β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a 、b ，a?α，b?β，a ∥β，b ∥α
5．设p ：|x|>1，q ：x<－2或x>1，则綈p 是綈q 的
() A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的
() A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件。
高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章1.1.1-1.1.2
高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章1.1.1-1.1.21.1.1 集合的基本概念1.集合的定义集合是指一些确定的个体的总体。
这些个体叫做集合的元素。
用大写字母A、B、C……表示集合，用小写字母a、b、c……表示集合的元素。
2.集合的表示方法集合可以通过3种方式表示： - 列举法：直接列出集合的所有元素。
- 描述法：用一个性质或一个条件来描述集合的元素。
- 公式法：利用一个公式来表示集合的元素。
3.集合的关系•包含关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。
•相等关系：两个集合含有的元素完全相同，则这两个集合是相等的。
4.空集、全集和个体集•空集：不含任何元素的集合，用符号∅表示。
•全集：包含研究的一切元素的集合，用符号ξ表示。
•个体集：只含有一个元素的集合，用符号{x}表示。
1.1.2 集合间的关系和运算1.集合间的关系•包含关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前一个集合被包含在后一个集合中，用符号⊆表示。
•不相交关系：如果两个集合没有公共元素，则这两个集合是不相交的，用符号∩表示。
•相交关系：两个集合有公共元素，则这两个集合是相交的，用符号∪表示。
2.集合的运算•并集：将两个集合中的所有元素放在一起形成的一个新集合，用符号∪表示。
•交集：两个集合中共同存在的元素所组成的集合，用符号∩表示。
•差集：从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合，用符号－表示。
•补集：在全集中减去一个集合中的元素所得到的集合，用符号’表示。
3.集合的运算律•交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A•结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)•分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)•吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A4.集合的运算性质•并集的性质：A∪全集 = 全集，A∪∅ = A，A∪A’ = ξ•交集的性质：A∩全集 = A，A∩∅ = ∅，A∩A’ = ∅•差集的性质：A－∅ = A，A－A = ∅，A－A’ = A•补集的性质：A∪A’ = 全集，A∩A’ = ∅，(A’)’ = A以上是高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章1.1.1-1.1.2的内容，希望对你的学习有所帮助！。
【步步高 学案导学设计】学年 高中数学 人教A版选修21全册综合检测题(含答案).doc
综合检测一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为( )A ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14≤0B ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0C ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥02．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关3．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于 ( ) A.532B.212C.372D.3524．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设F 1，F 2是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.456．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面7．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3B ．－1≤a ≤3C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤1 8．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.929.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32B ．2C.10－24D.9410．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log12b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．411．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( )A.24B.23C.33D.3212．过M (－2,0)的直线m 与椭圆x22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1 (k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2C .12D ．－12二、填空题(每小题4分，共16分)13.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)14．命题p ：若a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“a ＝0”的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有________． 15．设F 1、F 2是椭圆x23＋y24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF2＝________.16.如图，已知A (－3p,0) (p >0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足AB →·BQ →＝0，BC →＝12CQ →，则动点Q 的轨迹方程为____________．三、解答题17．已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m(m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标和顶点坐标． 19．已知椭圆x2b2＋y2a2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．20.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角 三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝ PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .21.如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥ 底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC . (1)证明AD ⊥CE ；(2)设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C —AD —E 的余 弦值． 22．已知椭圆x22＋y24＝1与射线y ＝2x(x ≥0)交于点A ，过A 作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一交点为点B 和点C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值，并求出这个定值； (2)求△ABC 面积的最大值．答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．B 11．C 12．D 13.12a ＋14b ＋14c 14．p ∨q ，綈p 15.3516．y 2＝4px (p >0)17．解 由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎪⎨⎪⎧ m<1，m≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎪⎨⎪⎧m≥1，m<2， 1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2. 18．解 椭圆的方程可化为x2m ＋y2mm ＋3＝1. ∵m －mm ＋3＝错误!>0，∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a2－b2＝错误!. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 19．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2＝2b ，b2＝a2－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 联立直线与椭圆的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以x 0＝x1＋x22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3， 又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m32＝5， 解得m ＝±3.20．证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)． 因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·OB →＝8x ＝0，n·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的一个法向量为 n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0， 又直线FG 不在平面BOE 内， 所以FG ∥平面BOE .21．(1)证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图(1)所示 的空间直角坐标系Oxyz . 设A (0,0，t )． 由已知条件有图(1)C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )， 所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)解 作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图(2)所示．设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)， CF →·BE →＝0. 故CF ⊥BE . 又AB ∩BE ＝B ， 所以CF ⊥平面ABE ，图(2)故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°， 由CE ＝6，得CF ＝ 3. 又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°， 所以△ABC 为等边三角形， 因此A (0,0，3)．作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE . 在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |.故G ⎝⎛⎭⎫23，223，33， GC →＝⎝⎛⎭⎫13，－223，－33， GE →＝⎝⎛⎭⎫－53，23，－33.又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0， GE →·AD →＝0，所以GC →与GE →的夹角等于二面角C —AD —E 的平面角． 由cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.得二面角C —AD —E 的余弦值为1010. 22．(1)证明 由错误!得A (1，2)．设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为－k . 直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2，① 直线AC 的方程为y ＝－k (x －1)＋2，② 将①代入椭圆方程并化简得(k 2＋2)x 2－2(k －2)kx ＋k 2－22k －2＝0. ∵1和x B 是它的两个根， ∴x B ＝k2－22k －2k2＋2，y B ＝kx B ＋2－k ＝－2k2－4k ＋22k2＋2.同理可得x C ＝k2＋22k －2k2＋2，y C ＝－2k2＋4k ＋22k2＋2.∴k BC ＝yB －yCxB －xC＝ 2.(2)解 设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ， 代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， |BC |＝3|x 1－x 2|＝316－2m22.∵A 到BC 的距离为d ＝|m|3， ∴S △ABC ＝错误!≤错误!·错误!＝错误!，当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时，上式“＝”成立．故△ABC 面积的最大值为 2.。
《步步高学案导学设计》2020—2021学年高中数学人教A版选修1-2【配套备课资源】第1章
2020/9/7
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§1.1命题及其关系
1．1.1命题
一、基础过关
1．下列语句中是命题的是() A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．梯形是不是平面图形呢？
2．下列语句中是命题的为()
①空集是任何集合的子集；
②若x>1，则x>2；
③3比1大吗？
④若平面上两条直线不相交，则它们平行；
⑤(－2)2＝－2；
⑥x>15.
A．①②⑥
B．①②④
C．①④⑤
D．①②④⑤
3．下列说法正确的是() A．“正数的对数都是负数”是真命题
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．“四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
4．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是() A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a、b相交，则α、β相交
D．若α、β相交，则a、b相交
5．下列命题：
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
7．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是() A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
二、能力提升
8．下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②对角线垂直的平行四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________．
9．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是______________，q是________________．
10．给出下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不
垂直．
其中，是真命题的是________．(填序号)
11．判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．
(2)一条直线l与平面α不是平行就是相交．
(3)x2＋2x－3<0.
12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形的两个底角相等．
(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；
(3)正方形是矩形又是菱形；
(4)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．
三、探究与拓展
13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形).
答案
1．B 2.D 3.D 4.D 5.A 6.B7.B8.①④
9．一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
10．②④
11．解(1)当x＝2，y＝－2时，x＋y是有理数．为假，是命题．
(2)直线l与平面α的位置有三种：平行、相交和在平面内．为假，是命题．
(3)在x未赋值之前，不能判断其真假．不是命题．
12．解(1)若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题．
(2)若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0，真命题．
(3)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．
(4)若一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．
13．x轴，－3－log2x(y轴，3＋log2(－x)或原点，－3－log2(－x)或直线y＝x,2x－3；答案不唯一．)。