浙江六校联考高三数学文科试题

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【六校联考】2016年浙江省六校高三联考数学试卷

【六校联考】2016年浙江省六校高三联考数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 已知直线与，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知空间两条不同的直线，和平面，则下列命题中正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则4. 将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有A. 种B. 种C. 种D. 种5. 等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和最大的正整数的值是A. B. C. D.6. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径作圆交双曲线的渐近线于，两点（异于原点），若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.7. 设为不小于的正整数，对任意，若（其中，且），则记，如．下列关于该映射的命题中，不正确的是A. 若，则B. 若，且，则C. 若，且，则D. 若，且，则8. 如图，在等腰梯形中，，，，分别为，的中点．如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有个不同的点使得成立，那么的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共7小题；共35分）9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．10. 已知函数，则的最小正周期为，单调递减区间为．11. 设函数，则，若，则实数的取值范围是．12. 动直线过定点，则点的坐标为，若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是．13. 在中，，，若，则的值为．14. 如图，在边长为的正方形中，为正方形边上的动点，现将所在平面沿折起，使点在平面上的射影在直线上，当从点运动到点时，点所形成轨迹的长度为．15. 设，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为．三、解答题（共5小题；共65分）16. 如图，在四边形中，，且，，．（1）求的面积；（2）若，求的长．17. 如图，在等腰梯形中，，是梯形的高，，，现将梯形沿，折起，使且，得一简单组合体，如图所示，已知，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成的锐二面角大小．18. 已知函数，满足，且在上有最大值．（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．19. 如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为．椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别是点，．（1）求椭圆的方程；（2）求面积最大时直线的方程．20. 已知数列满足．（1）若，求的值；（2）若，记，数列的前项和为，求证：．答案第一部分1. C 【解析】由得，又，所以．2. C 【解析】当时，，解得或，经检验当时，直线与重合，所以，所以“”是“”的充要条件．3. A 【解析】当，时，，故A项正确；B 项中；C项中，可以平行、相交、异面；D 项中，可以平行、异面．4. C 【解析】由题意得当白球和黄球分给同一个人时，有种分法；当一个白球和一个红球或一个黄球和一个红球或两个红球分给同一个人时，有种分法，所以一共有种分法．5. B【解析】由题意知的两个根为，，且，所以，得，，当时，；当时，，所以最大．6. D 【解析】因为，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以，即，，所以7. A 【解析】当时，．说以A选项是错的．8. C 【解析】以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则由题意知，，，，，，设点，则由题意知点的位置关于轴对称，所以只考虑时的解的个数即可，当在到的中点上运动，即时，，所以；当在：上运动，即时，，当在到的中点上运动，即时，，，所以的图象如图所示，在曲线上对应着个，而，，要满足有且只有个不同的点使得成立，则．第二部分9. ，【解析】由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面是边长为正方形，底面，．所以棱锥的体积．棱锥的四个侧面均为直角三角形，，所以棱锥的表面积10. ，【解析】因为，所以其最小正周期为；令，，得其单调递减区间为，．11. ，【解析】因为，所以，设，因为当时，，所以由得，解得；当时，，当时，，解得，综上所述．12. ，【解析】由题意知，令，，得，，所以直线过定点．作出不等式组表示的可行域，由直线与不等式组表示的平面区域有公共点得直线的斜率，解得．13.【解析】，由已知，，所以，，所以．14.【解析】因为点在平面上的射影在直线上，所以平面平面，连接，则平面，当点从点运动到点时，点在以为直径的圆弧上，则点所形成轨迹的长度为．15.【解析】设，则，，，解得，，，由题意知，，，当或时，当时，当时，，，所以等号可以取得．第三部分16. （1）因为，，所以．因为，所以．因为，，所以的面积．（2）在中，，所以．因为，所以，又，所以．所以．17. （1）连接，如图．因为四边形是矩形，点为的中点，所以点为的中点．在中，点为的中点，故．因为平面，平面，所以平面．（2）过点作于点，连接．依题意知，，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面，又因为平面平面，，平面，所以平面，所以在平面上的射影是，所以为与平面所成的角，因为，，，，所以，所以，所以，．过点作，交于点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，．设，分别是平面与平面的法向量，则即取，，则，所以平面与平面所成锐二面角的大小为．18. （1）由得，当时，，当且仅当时等号成立，从而，解得或舍，所以．（2）解法一：因为在上恒有意义，所以，则问题为，即对恒成立，即对恒成立．令，对恒成立，由得，整理得，问题转化为求在上的最大值．①当时，，，，时，；时，，所以成立．②当时，，所以，又，综上，实数的取值范围为．解法二：因为在上恒有意义，所以，问题对恒成立，即对恒成立，，．①当时，，即；②当时，，对于在恒成立，等价于，因为，当且仅当时等号成立，所以；对于在恒成立，等价于，令，，则，，，单调递增，所以，即，综上，实数的取值范围为．19. （1）由题意得：，则，所以椭圆方程为：．（2）由题意得：直线，的斜率存在且不为，，不妨设直线的斜率为，则．由：得：或所以：．同理得：，．由得：，所以：．所以：．设，则．当且仅当时取等号，所以．则直线，所以所求直线方程为：．20. （1）因为，所以或．当时，解得或；当时，无解，所以或．（2）因为，，所以，所以，所以为单调递减数列，所以，，，，所以第11页（共11 页）。

2021届浙江省嘉兴市六校高三下学期5月联考数学试题解析

2021届浙江省嘉兴市六校高三下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，且复数iia a +-是纯虚数，则实数a =（）． A ．1或1- B ．1C ．1-D ．0答案：A利用复数的除法求出iia a +-，结合其为纯虚数可求a 的值. 解：()2222i i 12i 11a a a ai a a a ++-+==-++，因为复数i i a a +-是纯虚数，故2100a a ⎧-=⎨≠⎩即1a =±，故选：A.2．二项式()62x -的展开式的第3，4，5项之和是（）． A ．460B ．140C ．43260160240x x x ++D ．43260160240x x x -+答案：D根据二项式通项公式即可得到结果.解：二项式()62x -的展开式的通项为()()66166212r rr r r r rr T C x C x --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ∴()224223612240,T C x x =⋅-⋅⋅=()333334612160,T C x x =⋅-⋅⋅=- ()44244561260,T C x x =⋅-⋅⋅=∴第3，4，5项之和是43260160240x x x -+，故选：D3．设集合{}ln ,S x x n n *==∈N ，若,a b S ∈，则a b S ⊗∈，则运算符⊗可能是（）．A ．＋B ．－C ．×D ．÷答案：A根据对数的运算法则进行判断．解：对任意.*m n N ∈，ln ,ln a m S b n S =∈=∈，ln ln ln()m n mn +=，显然*mn N ∈，拟ln()mn S ∈，A 正确；ln 2,ln 4S S ∈∈，1ln 2ln4ln 2-=，而1*2N ∉，所以1ln 2S ∉，B 错误，ln 4ln 4ln 22ln 2÷==，设ln 2k =，则2*k e N =∉，所以ln 4ln 2S ∉，D 错误，又ln ,ln a m b n ==，但ln ln ab m n =⋅不能写成ln x 的形式，C 错误．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则，解题关键是掌握对数的运算法则，对数的表示．解题方法是应用对数运算法则进行判断，4．在平面直角坐标系中，下列不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形的是（）．A ．32022010x y x y x y -+>⎧⎪--<⎨⎪-+>⎩B ．32022010x y x y x y -+>⎧⎪--<⎨⎪+-<⎩C ．320220210x y x y x y -+>⎧⎪--<⎨⎪-->⎩D ．320220310x y x y x y -+>⎧⎪--<⎨⎪+-<⎩答案：B分别作出可行域一一判断即可．解：A 中的区域不是三角形如图所示：B 中的区域是锐角三角形如图所示：C中的区域不是三角形如图所示：D中的区域是钝角三角形如图所示：由320220x yx y-+=⎧⎨--=⎩得6585xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以68,55A⎛⎫--⎪⎝⎭由320310x yx y-+=⎧⎨+-=⎩得1632xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以13,62B⎛⎫-⎪⎝⎭由220310x yx y--=⎧⎨+-=⎩得4757xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以45,77C⎛⎫-⎪⎝⎭因为3131623131313131,,0 4214353521351435 CB CA⨯⨯⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-< ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭所以C∠为钝角．故选：B5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）．A ．1403B ．1603C ．64162+D ．64322+答案：D复原后的几何体如图所示，利用公式可求其表面积.解：根据三视图可得如图所示的几何体，该几何体的表面积为：()()111148448424464324424822222⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯=+⨯⨯. 故答案为：64322+6．已知直线(12y kx a a =+<<与圆221x y +=相切，则2a k ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围是（）．A ．()0,2B ．()1.2C ．()2,+∞D ．()1,+∞答案：C由直线与圆的位置关系，得到221a k =+，变形222221111a a k a a ==+--后，计算22a k的取值范围.1=，即221a k =+，222221111a a k a a ==+--，()21,2a ∈，2111a ∴>-， 222a k∴>. 故选：C7．在ABC 中，“ABC 为钝角三角形”是“cos cos A B +>的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系.解：取2,63A C B ππ===，则121cos cos 22A B -+=<<故“ABC 为钝角三角形”推不出“cos cos A B +>若cos cos A B +>若A 为钝角或直角，则cos cos B A >≥A 为锐角，同理B 为锐角. 若2A B π+≥，则022B A ππ<-≤<，故cos cos sin 2A B B π⎛⎫≤-=⎪⎝⎭，所以sin cos cos cos B B A B +≥+>4B π⎛⎫+> ⎪⎝⎭. 故2A B π+<即C 为钝角.故“cos cos A B +>能推出“ABC 为钝角三角形”，故选：B.【点睛】方法点睛：条件关系的判断，可依据两者之间的推出关系或两者对应集合的包含关系，前者需要给出证明或反例，证明时注意根据问题的特征合理放缩.8．已知()(),00P t t >，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，若C 上存在点Q ，使得四边形PAQB 为平行四边形，则t （）． A ．是定值 B ．有最大值C ．有最小值D ．以上说法均不正确答案：A设直线:1AB x my =+，AB 的中点为M ，()()1122,,,A x y A x y ，联立直线方程和抛物线方程后可用m 表示Q ，从而可得2t =. 解：由抛物线方程可得：()1,0F设直线:1AB x my =+，AB 的中点为M ，()()1122,,,A x y B x y由241y x x my ⎧=⎨=+⎩可得2440y my --=，故1222y y m +=，所以212212x xm +=+，故()221,2M m m +，所以()242,4Q m t m +-，所以()2216442m m t =+-，2t =故选：A.9．数列{}n x 满足()112,n n n x x x n n +-=-≥∈N ，11x =，()2,0x a a a =∈≠R ，n T n x x +=，当T 取最小值时，该数列的前2021项的和是（）． A ．674 B ．673C ．1348D ．1347答案：C就1,2,3T =分类讨论，分析对应的周期数列是否存在，确认后利用周期性可求该数列的前2021项的和.解：若1T =，则{}n x 为常数列，故211x x ==，此时310x x =≠，故1T =舍去. 若2T =，则311x x ==，故11a -=，故2a =或0a =（舍）. 故4121x =-=，但53110x x =-=≠，故2T =舍去.若3T =，则31x a =-，4111x a a x =--==，5211x a x a =--==，若1a ≥，则()11a a --=且()11a a --=，整理得到2a a -=，解得1a =.若01a <<，则()11a a --=且()11a a --=，整理得到211a -=，无解.又当1a =时，有211x x ==，30x =，41x =，51x =，60x =，此时{}n x 确为周期为3的周期数列. 该数列的前2021项的和为2019211=13483⨯++，故选：C.【点睛】思路点睛：对于周期数列的问题，一般可以利用特值法结合给定的周期计算参数的值，根据所得的值再检验是否为周期数列.10．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+> D ．2αβθ+>答案：A如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，可证222sin sin sin αβθ+=，利用三角变换公式可证αβθ+>，从而可得正确的选项.解：如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=. 在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=，故sin sin sin sin sin h hd d αγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=，故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=，整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=，故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=，整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-，若αβθ+≤，由04πθ<<可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥，但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾，故αβθ+>. 故A 正确，B 错误.由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：A.【点睛】思路点睛：空间中不同类型的角的关系，应利用点线面的位置关系构建关于角的等式关系，注意平面几何、三角变换、解三角形等计算中的应用. 二、填空题11．早在宋代，我国著名学者沈括编著的《梦溪笔谈》中，就有对排列组合问题的研究：在一个34⨯的棋盘中，布局4颗相同的棋子，且每一行只有1颗棋子，则不同的棋局总数为______．答案：81利用分步计数原理，计算结果.解：如图所示，下图是一个4行3列的棋盘，若每行只有一个棋子，每颗棋子放在一行，都有3种方法，则共有4381=种方法.故答案为：8112．若正实数a ，b 满足2232b a ab ≥+，则162b aa a b++的最小值是______．答案：315由已知不等式可解得3b a ≥，换元，设b t a =，则所求式变形为16222t t ++-+，利用函数16(0)y x x x =+>的单调性可得1622y t t =+++的最小值，从而得结论．解：因为正实数a ，b 满足2232b a ab ≥+，所以2230b b a a ⎛⎫-⨯-≥ ⎪⎝⎭，解得1b a ≤-或3b a ≥，而,a b 均为正数，所以3b a ≥，设3bt a =≥，则162b aa ab ++16162222t t t t =+=++-++， 0x >时，由不等式168x x +≥，当且仅当4x =时等号成立知1622y t t =+++在[2,)+∞上单调递增，又3t ≥，所以3t =时，1622y t t =+++取得最小值1641555+=，所以162b aa ab ++的最小值是4131255-=．故答案为：315．【点睛】关键点点睛：本题考查用不等式求最小值，解题关键有两点：一是由由不等式得3ba≥，二是换元后利用函数的单调性求得最小值．判断时注意基本不等式的条件．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方13．已知平面单位向量a ，b 满足()()31a b c λλλ+-=∈R ，a c b c ⋅=⋅，记θ为向量2a c -与a 的夹角，则sin cos tan θθθ++的最小值是______．答案：4320设,OA a OB b ==，3,2OFOA OE OA ==，ODOA OB =+，由()31a b c λλ+-=可得C 点在直线BF 上运动，由a c b c ⋅=⋅可得C 点在直线OD 上运动，即C 点是BF 与OD 的交点，然后过点C 作//CM OB 交OA 于点M ，可得34CM =，然后向量2a c CE -=与a OA =的夹角θ为角OEC ∠，在CME △中，由正弦定理可得33sin sin sin 55MC MCE MCE ME θ=∠=∠≤，然后利用三角函数的单调性可求出答案.解：如图所示，设,OA a OB b ==，3,2OFOA OE OA ==，ODOA OB =+因为()31a b c λλ+-=，所以()1OF OB OC λλ+-=所以C 点在直线BF 上运动，又因为a c b c ⋅=⋅，所以C 点在直线OD 上运动，故C 点是BF 与OD 的交点．利用相似可知3314OC OF OC CD BD OD ==⇒=，过点 C 作//CM OB 交OA 于点M 所以34CM =，故点C 的轨迹是以M 为圆心，半径为34的圆．又因为向量2a c CE -=与a OA =的夹角θ为角OEC ∠，在CME △中，35,44MC ME ==，由正弦定理可得sin sin MC MEMCEθ=∠ 所以33sin sin sin 55MC MCE MCE ME θ=∠=∠≤ 因为sin cos θθ+与tan θ都单调递增，所以当3sin 5θ=时sin cos tan θθθ++最大，此时4cos 5θ=，3tan 4θ= 所以sin cos tan θθθ++的最大值为3434355420++=【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的知识找出点C 的位置，然后利用正弦定理定理和三角函数的知识求解. 三、双空题14．过点()1,2P 的直线l 在坐标轴上的截距相等，则l 的方程是______，原点到l 的距离是______．答案：2y x =，3y x =- 0，2根据条件分直线过原点和直线不过原点两种情况，求直线方程，并直接求点到直线的距离. 解：当直线过原点时，y kx =过点()1,2P 时，2k =，即2y x =，此时原点到直线l 的距离为0；当直线不过原点时，设直线1x ya a +=，当直线过点()1,2P 时，121a a+=，得3a =，即直线方程是3x y +=，即3y x =-，此时原点到直线的距离2d ==.故答案为：2y x =，3y x =-；015．若函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则A =______，()0f =______．答案：22323由周期确定ω，由零点确定ϕ，再由2f π⎛⎫⎪⎝⎭确定A ．然后计算．解：由题意11722()12123T πππ=-=，所以2323πωπ==，又7312k πϕπ⨯+=，k Z ∈，而02πϕ<<，所以4πϕ=，32()sin()2243f A πππ=+=-，223A =．所以222(0)343f π==． 2223．【点睛】关键点点睛：本题考查由函数图象确定函数解析式，解题关键是掌握“五点法”，一般由五点法确定周期，求得ω，由五点法中的五点确定ϕ，由点的坐标或最值确定A ．16．在1，2．3，…9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是______（用数字作答），记ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2），则()21E ξ+=______．答案：102173（1）由古典概型概率公式计算可得结果；（2）由题意可得ξ的取值为0，1，2，结合变量对应的事件写出概率和分布列，算出期望，进而得到结果．解：（1）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则P （A ）1245391021C C C ==．（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，2ξ=的情况：123、234、345、456、567、678、789，共7种可能，1ξ=的情况：12(49)-，89(16)-，有6212⨯=种；23(59)-，34(1,69)-，78(15)⋯-，有5630⨯=种；总共42种，0ξ=的情况：3974235C --=种，故39355(0)12P C ξ===，39421(1)2P C ξ===，3971(2)12P C ξ===，所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望为012122123E ξ=⨯+⨯+⨯=． ∴()27212133E ξ+=⨯+= 故答案为：1021；73．【点睛】关键点点睛：本题第二问在处理0ξ=的情况时，采用了正难则反的策略，降低了运算量.17．已知0a ≠，函数()01,0x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()f f x 的零点个数是______，若实数a 满足()()f f a a ≥，则a 的取值范围是______．答案：当0a >时，1个零点，当0a <时，0个零点 [)[)2,01,-+∞根据()f x 的解析式讨论()()0,0f x f x >≤分类求解即可，然后分0a >、0a <两种情况解不等式()()ff a a ≥即可．解：令()()0ff x =，当()0f x >时，有0=，因为0a ≠，则x 无解；当()0f x ≤时，有()10f x +=，得()1f x =-，若0,0x a >>，则1=-，x 无解；若0,0x a ><，则1=-，21x a=一个解；若0x ≤时，则11x +=-，x 无解；当0a >时，()0f a =>，所以()()ff a a =≥，解得1a ≥，当0a <时，()10f a a =+≥，若()10f a a =+>，则()()f f a a =，解得20a -≤<且1a ≠-；若1a =-，()10f a a =+=，则()()()011f f a f a ==≥=-成立；所以a 的取值范围是[)[)2,01,-+∞故答案为：当0a >时，1个零点，当0a <时，0个零点；[)[)2,01,-+∞．【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于要分类讨论()()0,0f x f x >≤与0a >、0a <求解．四、解答题18．已知函数()22ππsin sin 124f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x 的极值点；（2）若θ∈R ，()13f θ=，求sin 2θ．答案：（1）()f x 的极大值点为()5ππ12x k k =-+∈Z ，极小值点为()ππ12x k k =+∈Z ；（2）. （1）利用二倍角公式，两角和与差的余弦、正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后求导数，得出极值点．（2）由同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式求值．解：解：（1）()22ππsin sin 124f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππ1cos 21cos 26222x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-1π1π1cos 2cos 2sin 2222264x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1πsin 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴()1ππcos 22cos 2233f x x x ⎛⎫⎛⎫'=-⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()πcos 203f x x ⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π32x k +=+，即()ππ122k x k =+∈Z ，因为()f x 在()5πππ,π1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 上单调递减，()f x 在()π7ππ,π1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 上单调递增，故()f x 的极大值点为()5ππ12x k k =-+∈Z ，极小值点为()ππ12x k k =+∈Z ．（2）∵()1π1sin 2233fθθ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴π2sin 233θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∵θ∈R ，∴π5cos 233θ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， ∴ππ1π3π215sin 2sin 2sin 2cos 233233θθθθ⎡⎤-±⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的极值点，考查两角差的正弦公式求值．解三角函数问题，一般要把化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质可求解．19．等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD CB ==，矩形ACFE 满足：平面ACFE ⊥平面ABCD ，12AE AD AB ==，如图所示．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ：（2）求二面角B EF D --的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）1010. （1）在等腰梯形ABCD 中易证BC AC ⊥，结合面面垂直性质可得线面垂直；（2）以CA ，CB ，CF 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，求出两个半平面的法向量，代入公式可得结果.解：解：（1）在等腰梯形ABCD 中，不妨设1AD CD CB ===，可知BC AC⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，所以BC ⊥平面ACFE ．（2）以CA ，CB ，CF 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系如图，()0,0,0C ，()0,1,0B ，()0,0,1F ，31,022D ⎛⎫-⎪⎝⎭，)3,0,1E ，所以()3,0,0EF =-，()0,1,1BF =-，31,12DF ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭分别设平面BEF 与平面DEF 的法向量为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =，所以()1111111113010,1,101x n EF y n n BF y z z =⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒=⇒=⎨⎨⋅=-+=⎪⎩⎪=⎩，2222222222030110,1,320122x n EF y n y n DF x z z ⎧⎪=⎧⋅=-=⎪⎪⎛⎫⇒=⇒=-⎨⎨ ⎪⎝⎭⋅=-++=⎪⎪⎩⎪=-⎩，设二面角为θ，且为锐角，所以121210cos 10n n n n θ⋅==⋅．【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =，121n n a a n ++=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，1232n S n bb b b =．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）求证：3121234nnS S S S b b b b ++++<．答案：（Ⅰ）n a n =，2nn b =；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅰ）由已知凑配出数列{}n a n -是常数列，从而易得其通项公式，求出n a 后可得n S ，利用相除的求得n b ；（Ⅱ）求出n nS b ，用错位相减法求得和312123nnS S S S b b b b ++++，需两次运用错位相减法求和，再结合不等式的性质可证明．解：（Ⅰ）解：由11a =，121n n a a n ++=+()()()()111110nn n a n a n a +⇒-+=--=--=得n a n =，所以()12n n n S +=，又1232n S n bb b b =，所以1122S b ==，当2n ≥时，1123123122n n S S n nn n b b b b b b b b b ---===，上式对1n =也成立，所以2nn b =．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()112k k k k k S b ++=，所以()312234112311223342222n n n n n n S S S S T b b b b ++⨯⨯⨯=++++=++++， ()()34512111122334222222n n n n n n n T ++-+⨯⨯⨯=+++++，错位相减得()23211123222222n n n n n n T ++=++++- （）记231232222n n n C =++++，则234111*********n n n n nC +-=+++++，错位相减得23111111111122222222n n n n n n nC ++=++++-=--<，所以2n C <代入（）得()()2322111123222222222n n n n n n n n n T ++++=++++-<-<，所以4n T <，即3121234nnS S S S b b b b ++++<．【点睛】关键点点睛：本题考查数列通项公式的求法，考查错位相减法求和．数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．21．如图，已知直线AB 为椭圆221:12x C y +=与抛物线()22:20C y px p =>的公切线，其中点A ，B 分别在1C ，2C 上，线段OB 交1C 于点P ．（Ⅰ）求OP 的取值范围；（Ⅱ）记ABP △的面积为S ，求S 的最小值．答案：（Ⅰ）(；（Ⅱ）min 43S =. （Ⅰ）设()00,P x y，(0x ∈，易得(OP ==；（Ⅱ）设():0AB y kx b k =+≠，与椭圆联立由10∆=可得点A 的横坐标12kx b-=；与抛物线联立由20∆=可得点B 的横坐标2b x k=，由弦长公式求得b AB k =+.由点B 的横坐标2bx k=可得点B 的纵坐标22y b =，进而可得OB 的方程，联立直线OB 与椭圆方程可得()00,P x y ，再由点到直线距离公式求得P 到AB 的距离d ，最后可把△ABP 的面积S 表示为k 的函数，结合均值不等式可求得S 的最小值.解：（Ⅰ）解：设()00,P x y ，220012x y +=，(0x ∈，(OP ===.（Ⅱ）解：由题可知，AB 斜率存在，且不为0，设():0AB y kx b k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()2222221422012y kx b k x kbx x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ()()()222221442122021kb k b b k ∆=-+-=⇒=+，122221kb kx k b--==+，联立()2222202y kx b k x kb p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， ()22224402kb p k b p bk ∆=--=⇒=，222p kb bx k k-==，22y b =，2OB k k =，12b bAB x k k=-==+，联立222201141222x y k x x y kx ⎧+=⎪⎛⎫⇒+=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，0y =，因此，P到AB的距离d=，∴122kS bb=++=，因此1142S kk=+-，∵144kk+≥222121432324k kk+++≤=+，∴1444233S⎛⎫≥-=⎪⎝⎭，当12k=，min43S=．【点睛】思路点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；（4）利用代数基本不等式：代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性.：直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式. 因此，它们的应用价值在于：①通过参数简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式求解.。

2020届高三六校联盟第四次联考文科数学答案(新)

∴ 曲线 C2 的直角坐标方程是 x2 ( y 2)2 4 ……5 分（2）设点 P(4 cos , 2 sin ) ，则
| PC2 | 16 cos2 (2 sin 2)2 12 sin2 8sin 20 ……7 分
∴
当 sin 1 3
时，
|
PC2
|max
8
3 3
……8 分
ab 5 ab 5 a b 5
5
∴
2 a
1 b
的最小值是
8 5
……6 分 ……9 分 ……10 分
文科数学参考答案第 6页 / 共 6页
∴ m2
……12 分
22．解：（1）由
x
y
4 cos 2 sin
，得
x 4 y 2
cos sin
∴ ( x)2 ( y)2 1 即 x2 y2 1
42
16 4
∴
曲线
C1
的普通方程是
x2 16
y2 4
1
又由 4sin ，得 2 4sin
……1 分
……3 分 ……4 分
∴ x2 y2 4y 即 x2 ( y 2)2 4
∴
PQ
max
| PC2
|max
2
83 3
2
……9 分
故 PQ 的最大值是 8 3 2 3
……10 分
23．解：（1）当 x 1 时， f (x) 2x 1 2(x 2) 5 2
……1 分
文科数学参考答案第 5页 / 共 6页
当 1 x 2 时， f (x) 2x 1 2(x 2) 4x 3 (5,5) 2
m
m
∴ 函数 f (x) 的最小值为 f ( 1 ) m m ln 1

2021-2022年高三第三次六校联考文科数学试题

2021年高三第三次六校联考文科数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回.第I卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1、已知为虚数单位，则A. B. C. D.2、若变量满足则的最大值等于A. 1B. 2C. 3D. 4 3A. 10B. 9C. 8D. 74、已知集合,则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度第(3)题C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度 6、设函数与的图像的交点为，则所在的区间是 A. B. C. D. 7、过双曲线的右焦点作圆的切线(切点为), 交轴于点，若为线段的中点, 则双曲线的离心率是 A. B.C.D.8、已知都是定义在上的函数，且满足以下条件：；②；③．若，则等于 A.B. C.D. 2或第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二、填空题：（每题5分，共30分）9、如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径 10、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体表面积为11、已知等差数列若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为12、已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称,直线与圆相交于两点,且,则圆的标准方程为 13、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是 14、已知函数, 若存在，当时，，则的取值范围是三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15、（本题13分）正视图侧视图俯视图第10题第9题△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为且满足 (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求的最大值，并求取得最大值时A,B 的大小.16、（本题13分）已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按 1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(Ⅰ)若第1组抽出的号码为2，写出所有被抽出职工的号码；(Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，从体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工中抽取2人，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.17、（本题13分）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC=,AD=AC=1, O 为AC 中点，PO 平面ABCD,PO=2，M 为PD 中点 (Ⅰ)求证： PB ∥平面ACM ； (Ⅱ)求证：AD 平面PAC ； (Ⅲ)求二面角的正切值.18、（本题13分）已知函数R b a R a x b xax x f ∈≠∈≠++=,0),0()(且其中 (Ⅰ) 若曲线在点处的切线方程为,求函数解析式; (Ⅱ) 求函数的单调区间;(Ⅲ) 若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.MOCABDP19、（本题14分）已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.20、（本题14分）数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.(Ⅰ) 求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.（Ⅲ）已知数列，，，求证：.六校数学(文科)答案一、选择题DCBA ABDA二、填空题（9）4 （10）28 （11）-11 （12）（13）18 （14）三、解答题15、(Ⅰ)…………………………………………………..4分)6sin(2)cos 21sin 23(2cos sin 3)cos(sin 34-cos sin 3)4cos(sin 3)(πππππ+=+=+=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+-A A A A A A A C A A B A ）（1252326)1211,6(6)43,0(ππππππππ===+∴∈+∴∈B A A A A ，时取得最大值，即，，16、(Ⅰ)抽出的10名职工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.……4分 (Ⅱ)因为10名职工的平均体重为x －＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71所以样本方差为：s 2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.…8分(Ⅲ)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．故所求概率为P (A )＝410＝25……13分17、证明(Ⅰ)连接OM,BD∴OM ∥PB ∵∴PB ∥平面ACM ……………………………….4分 (Ⅱ) ∵ PO 平面ABCD∴POAD……..13分∵∠ADC=,AD=AC=1 ∴ACAD ∵∴AD 平面PAC ………………………..8分 (Ⅲ)取DO 中点N,连结MN 易知MN ∥PO ∴MN 平面ABCD 过点N 作NEAC=E易知E 为AO 中点,连结ME,由三垂线定理可知∠MEN 即为所求 MN=1，NE=∴tan ∠MEN=2………………………………………..13分18、 (Ⅰ) ,由导数的几何意义得于是由切点在直线上可得解得,函数解析式为……………………………4分 (Ⅱ)当时,显然,这时在内是增函数. 当时,显然,解得.在区间和内是增函数,在和内是减函数. …………………………………………………….9分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)知, 在上的最大值为的较大者, 对于任意的,不等式在上恒成立,当节仅当即对任意的成立.从而得所以满足条件的取值范围是………………………….13分 19、解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长：，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：；故椭圆的方程为：……………4分（Ⅱ）（1）若与轴重合时，显然与原点重合，；（2）若直线的斜率，则可设，设则：22222(1)2(21)20220y k x x k x x x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩ 所以化简得：；的中点横坐标为：，代入可得：的中点为，由于得到所以：综合（1）（2）得到： ……14分20、解：(Ⅰ)由题意可得： ① 时, ② ①─②得，是首项为，公比为的等比数列， ……………… 4分（Ⅱ）().2122221221n nn nn n n n S -++=++-=++∴-λλλλλλ 欲使成等差数列,只须即便可.故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分（Ⅲ）又函数在上为增函数，，，． ……… 14分。

2022年浙江省杭州二中高三六校第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（） A ．i -B ．iC ．1-D ．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>3．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-4．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞5．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 26．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -7．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（）A B C ．2D8．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（）A ．2B ．0C ．1-D ．19．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．10．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（） A ．23+B ．15+C ．25+D ．612．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届浙江省台州市六校高三上学期期中联考数学试题(解析版)

2021届浙江省台州市六校高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，{}2,3,4B =，则A B =（）A ．{}2B ．{}0,1,2,3,4C ．{}0,1,2,2,3,4D ．[]0,4【答案】B【分析】利用并集的定义可求得集合A B .【详解】{}0,1,2A =，{}2,3,4B =，故{}0,1,2,3,4A B =.故选：B. 2．已知复数20202iz i-=，则（） A ．z 的虚部为i B ．z 的实部为2C ．2z <D ．2z <【答案】B【分析】根据虚数单位的性质及复数的概念即可求解. 【详解】因为202045055052222()1i i iz i i i ---====-，z =所以复数z 的实部为2，故选：B3．若实数x ，y 满足约束条件204020x x y x y +≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．4-B ．6-C ．7-D ．8-【答案】C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件204020x x y x y +⎧⎪++⎨⎪-+⎩作可行域如图，联立2040x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得(3,1)A --，化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时，2z x y =+有最小值为2(3)17⨯--=-．故选：C4．如图：某四棱锥的三视图(单位：cm )如图所示，则该四棱锥的体积(单位：3cm )为（）A ．2B ．22C ．423D ．223【答案】D【分析】本题可通过三视图绘出几何体，然后通过三视图得出底面积和高，最后根据棱锥的体积计算公式即可得出结果. 【详解】如图，结合三视图绘出几何体，该几何体是四棱锥，高2ED cm ，底面ABCD 是正方形，2ACBD cm ，则该几何体的体积为1122222323(单位：3cm )，故选：D.5．设P 为空间一点，l 、m 为空间中两条不同的直线，α、β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若P l ∈，P β∈，l α⊂，则l αβ=B ．若P α∈，P l ∈，//l m ，则m 与α必有公共点C ．若l α⊥，m β⊥，//αβ，则//l mD ．若l 与m 异面，l α⊂，m β⊂，则//αβ 【答案】C【分析】根据A 选项中的条件，作出图形，可判断A 选项的正误；取l α⊂，判断出m 与α的位置关系，可判断B 选项的正误；利用线面垂直的性质可判断C 选项的正误；根据D 选项中的条件作出图形，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，如下图所示：设m αβ=，l m P =，l α⊂，则P l ∈，P β∈满足，但l αβ≠，A 选项错误；对于B 选项，若l α⊂，P l ∈，则P α∈满足条件，若//l m ，则m α⊂或//m α，B选项错误；对于C 选项，l α⊥，//αβ，可知l β⊥，又m β⊥，//l m ∴，C 选项正确；对于D 选项，如下图所示，l 与m 异面，l α⊂，m β⊂，但α与β相交，D 选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：解答空间中点、线、面位置关系的判定问题常见解题策略：（1）对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；（2）对于空间中的垂直关系中确定线面垂直是关键，证明线线垂直则需借助线面垂直的性质，垂直关系的判定定理和性质定理合理转化是证明垂直关系的基本思想.6．函数223()1112x f x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】化简函数()f x ，令()0f x =，得33+12x x-=可得选项. 【详解】因为22223333()111+3+2+122222x x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭--⎭，所以令()0f x =，得23+123x x ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，所以33+12x x -=±当3+123x x -=(33+1+02x x -=，所以(211++3230x x -=，其中(2143232>021+3∆=-⨯⨯=，所以3+123x x-=当3+12x x -=(3+102x x -=，所以(211+302x x -=，其中(21432021∆=-⨯⨯=-<，所以3+12x x-=所以函数()f x 有两个零点，故选：B.【点睛】方法点睛：求函数的零点的个数，可以运用函数与方程的关系将问题转化为方程的根的个数.7．把标号为①，②，③，④的4个小球随机放入甲､乙､丙三个盒子中，则①号球不在甲盒子中的概率为（） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】A【分析】分别求出基本事件总数及①号球在甲盒子中的事件个数，利用古典概型公式计算得解【详解】标号为①，②，③，④的4个小球随机放入甲､乙､丙三个盒子中,基本事件总数为4381n ==①号球在甲盒子中的事件个数为3327m ==，则①号球不在甲盒子中的概率为27211813m p n =-=-= 故选：A【点睛】具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．8．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关【答案】C【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数.【详解】设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=，即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 9．已知(),0,αβπ∈，αβ≠，若cos 2cos e e αβαβ-=-，则下列结论一定成立的是（） A ．cos cos αβ> B ．cos cos αβ< C ．sin sin αβ> D ．sin sin αβ<【答案】D 【分析】由02πβ<<时，cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=-<-，构造函数()cos x f x e x =-，可判断()f x 在(0,)π上单调递增，从而有2παβ<<，当2πβ=时，可得2παβ==，不合题意，由2πβπ<<时，则cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=->-，可得2παβ>>，从而可得sin sin αβ<【详解】解：当02πβ<<时，则cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=-<-，所以cos cos e e αβαβ-<-，令()cos x f x e x =-，则'()sin 0xf x e x =+>，所以()f x 在(0,)π上单调递增，所以2παβ<<，所以sin sin αβ<；当2πβ=时，则cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=-=-，所以2παβ==，不合题意；当2πβπ<<时，则cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=->-，所以cos cos e e αβαβ->-，所以2παβ>>，所以sin sin αβ<，综上可得sin sin αβ<，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查由函数的单调性的应用，考查三角函数的应用，解题的关键是分02πβ<<和2πβπ<<，利用放缩法对cos 2cos e e αβαβ-=-变形，然后构造函数()cos x f x e x =-，利用导数判断其在(0,)π上单调递增，考查转化思想和计算能力，属于较难题10．数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N+=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的个数（）①10n n a a +<<；②22221231n a a a a a ++++<；③对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a ++++>----成立； ④11n a n <+. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】利用二次函数的性质及递推关系得0n a >，然后作差1n n a a +-，可判断①，已知等式变形为21n n n a a a +=-，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得12111111nn a a a +++>---，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．【详解】22111()24n n n n a a a a +=-+=--+，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴210n n n a a a +-=-<，∴10n n a a +<<，①正确；由已知21n n n a a a +=-，∴2221212231111()()()n n n n a a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=-<，②正确；由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及①得1112na <-<，1121na <<-， ∴12111111nn a a a +++>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时12311111111mb a a a a ++++>----成立，③正确； (i)已知112a <成立， (ii)假设11n a n <+，则222111112411n n n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又2211110(1)12(2)(1)n n n n n -+-=-<+++++，即2111(1)12n n n -+<+++，∴112n a n +<+，由数学归纳法思想得④正确． ∴4个命题都正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查由数列的递推关系确定数列的性质．解题方法一是利用函数的知识求解，二是利用不等式的放缩法进行放缩证明，三与正整数有关的命题也可利用数学归纳法证明．二、双空题11．设等差数列{}n a 的公差为非零常数d ，且11a =，若1a ，2a ，4a 成等比数列，则公差d =________﹔数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和100S =________.【答案】1100101【分析】利用等差、等比数列的性质列出关于d 的方程，解之可得，然后得出通项公式n a ，用裂项相消法求和．【详解】∵1a ，2a ，4a 成等比数列，∴2214a a a =，即2(1)1(13)d d +=⨯+，又0d ≠，解得1d =．∴n a n =，11111(1)1+==-++n n a a n n n n ， ∴10011111100(1)()()223100101101S =-+-++-=．故答案为：1；100101．【点睛】本题考查求等差数列的基本量运算，等比数列的性质，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 12．已知()()442x a x +-的展开式中各项系数之和等于0，则a =________﹔其展开式中含7x 项的系数为_________. 【答案】1- 12-【分析】令1x =求出1a =-，分别得出()41x -， ()42x -的展开式，进而得出()()442x a x +-的展开式，再令87m n --=，求出含7x 项的系数.【详解】令1x =，则()()441120a +-=，解得1a =-()41x -的展开式的通项为44(1)m mm C x--，()42x -的展开式的通项为44(2)n nn C x --则()()442x a x +-的展开式的通项为844(1)(2),0,1,2,,3,4mnmnm nC C xm n --⋅⋅⋅-⋅-=令87m n --=，即1m n +=，即0,1m n ==或1,0==m n 即()()442x a x +-展开式中含7x 项的系数为010104444110(1)(2)(1)(2)8412C C C C =--+----=-故答案为：1-；12-13．锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且sin sin sin a b C Bc A B-=+，则角A 的大小为________；若2b =，则ABC 面积S 的取值范围是_________. 【答案】4π()1,2 【分析】用正弦定理化角为边后，应用余弦定理可求得A ，把三角形面积表示为C 的函数，由三角函数性质求得范围．【详解】∵sin sin sin a b C B c A B -=+，∴a b c c a b-=+，整理得222b c a +-，∴222cos 22b c a A bc +-==，又A是三角形内角，∴4A π=， ABC 是锐角三角形，则2A C π+>，∴42C ππ<<．由正弦定理sin sin sin b c a B C A==得2sin sin sin 4c aB Cπ==，2sin 2sin 2sin sin sin()sin()C C Cc B A C A C π===--+，∴1sin 2sin()ABCC S bc A A C ==+△21sin cos cos sin 1tan CA C A C C==++， ∵42C ππ<<，∴tan 1C >，∴12ABC S <<△．故答案为：4π；(1,2)．【点睛】方法点睛：在解三角形中，出现边角混合等式时，常常利用正弦定理进行边角互化．而三角形面积或周长范围时，一般把面积或周长表示一个内角的函数，利用三角函数的恒等变换，结合三角函数性质求得结论，解题时注意角的范围的确定． 14．如图：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点，则二面角1B MN B --的余弦值为__________；若点P 为线段1B N 上的动点(不包括端点)，设异面直线1C P 与MN 所成角为θ，则cos θ的取值范围是________.【答案】13102,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】设二面角1B MN B --为α，利用面积投影法1cos BMNB MNS S α=，即可得解；连接11A C ，1A P ，易知11AC P θ=∠或其补角，设115B P B N λλ==，(0,1)λ∈，在△11AC P中，由余弦定理可列得cos θ关于λ的函数关系式，从而得解．【详解】由正方体的性质知，1BB ⊥平面ABCD ，设二面角1B MN B --为α，则111112cos 133222BMN B MNSSα⨯⨯===⨯⨯，∴二面角1B MN B --的余弦值为13．连接11A C ，1A P ， 11////MN AC AC ， 11AC P θ∴=∠或其补角，设115B P B N λλ==，(0,1)λ∈，在△11AC P 中，1122AC =2154A P λ=+21544C P λλ=-+ 由余弦定理知，22211112111cos 22544A C C P A P A C C P θλλ+-=⋅⋅-+，令2t λ=-，则(1,2)t ∈，cos θ∴=，在(1,2)t ∈上单调递增，cos θ<<，cos θ∴∈．故答案为：13；，．【点睛】关键点点睛：二面角的求法中有面积法，一个面积为S 的半平面在另一个半平面上投影面积为S ',则cos S Sθ'=，θ是二面角的平面角.三、填空题15．若函数()2()5xf x x x e =--+⋅在区间(),2a a +上有极大值，则a 的取值范围是________.【答案】11a -<<【分析】求导，得出导函数取得正负的区间，从而得出原函数的单调性，从而得出当1x = 时，函数()f x 取得极大值()1f ，再由已知得出不等式组，解之可求得范围. 【详解】由()2()5xf x x x e =--+⋅得()()()()'22()534+41x x x f x x x e x x e x x e =--+⋅=--+⋅=--⋅，所以在()4，-∞-和()1+∞，上，()'0f x <，在()41-，上，()'>0f x ，所以函数()f x 在()4，-∞-和()1+∞，上单调递减，在()41-，上单调递增，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值()1f ，若函数()2()5xf x x x e =--+⋅在区间(),2a a +上有极大值，则a <1且a +2>1，解得-1<a <1，则a 的取值范围是11a -<<，故答案为：11a -<< .16．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：22221(0,0)x y m n m n-=>>的焦点相同，1F ，2F 分别为左､右焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，PM x ⊥轴，M 为垂足，若223OM OF =(O 为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为________.【答案】32【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，根据223OM OF =，得到P 的横坐标为23c ，设12,PF s PF t ==，分别利用椭圆和双曲线的定义求得,s t ，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解.【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，所以22233OM OF c ==，即P 的横坐标为23c ，设12,PF s PF t ==，由椭圆的定义得：2s t a +=，由双曲线的定义得：2s t m -=，联立解得,s a m t a m =+=-，设椭圆和双曲线的离心率分别为：12,e e ，由椭圆的第二定义得22223pPF t c a a a x c cc ==--，解得123t a e c =-，由双曲线的第二定义得：22223p PF t cm m m x c c c==--，解得223t e c m =-，又t a m =-，则223a e c =，1232e e =，所以12232c e e e a ==，故答案为：3217．已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952-【分析】求出-c a ，-c b ，再利用向量的数量积展开，根据二次函数配方即可求解.【详解】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=，原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-四、解答题 18．如图，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，点P 是半径为1的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，按逆时针方向以角速度rad/s 6π作圆周运动，点P 的纵坐标y 关于时间t (单位：秒)的函数，记作：()y f t =.（1）若点034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求()2f ；（2）若将函数()y f t =的图象向右平移2个单位长度后，得到的曲线关于原点对称；当[]0,3t ∈时，求函数()y f t =的值域.【答案】（1334+；（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】(1)设0OP 的初始角为ϕ，由034,55P ⎛⎫⎪⎝⎭可得ϕ的正余弦值，由()sin 6f t t πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两角和的正弦公式即可计算(2)f .(2）利用三角函数的平移变换可得(2)sin 6f t t π-=±，由()3k k Z πϕπ-+=∈，结合范围02πϕ<<，求出ϕ得解析式即可求值域.【详解】（1）设0OP 的初始角为ϕ，则由034,55P ⎛⎫⎪⎝⎭得3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=， ()sin 6f t t πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴(2)sin 2sin sin cos cos sin 6333f ππππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314525=+⨯=（2）∵()sin 062f t t ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴(2)sin (2)sin sin 6636f t t t t ππππϕϕ⎡⎤⎛⎫-=-+=-+=± ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()3k k Z πϕπ-+=∈，则3k πϕπ=+，k Z ∈，由02πϕ<<得3πϕ=，∴()sin 63f t t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又[]0,3t ∈，∴5,6336t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()1,12f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()f t 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19．如图：三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且222AD AB CD ===，BC =BM AC ⊥，BN AD ⊥，垂足分别为M ，N .（1）求证：AMN 为直角三角形；（2）求直线BC 与平面BMN 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）先证明CD ⊥平面ABC ，可得CD BM ⊥，则可得BM ⊥平面ACD ，即可得出BM AD ⊥，进而AD ⊥平面BMN ，即得出AD MN ⊥可说明；（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】解：（1）AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，1,2AB AD ==，3BD ∴=，2,1BC CD ==，∴222BC CD BD +=，BC CD ∴⊥，AB BC B ⋂=，CD 平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，CD BM ∴⊥，BM AC ⊥，AC CD C =，BM ∴⊥平面ACD ， AD ⊂平面ACD ，BM AD ∴⊥，BN AD ⊥，BN BM B ⋂=，AD ∴⊥平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，AD MN ∴⊥，∴AMN 为直角三角形；（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,0,1A，()C，()D -，()0,BC =，()1AD =--.由（1）得AD ⊥平面BMN ，∴AD 为平面BMN 的法向量， ∴2sin cos ,AD BC AD BC AD BCθ⋅===⋅， ∴直线BC 与平面BMN 所成角大小为4π. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，1241n n a S n +=++，令22n n na b a +=，*n N ∈.（1）求证：数列{}2n a +为等比数列，并求n a ；（2）记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32n n T +<. 【答案】（1）证明见解析，32nn a =-；（2）证明见解析.【分析】（1）求出2a 的值，利用n a 与n S 的关系可得出134n n a a +=+，证明出1232n n a a ++=+结合21232a a +=+，可证明出数列{}2n a +为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列{}2n a +的通项公式，进而可求得n a ；（2）利用放缩法得出11123n n b -≤+，利用分组求和法结合等比数列的求和公式可证得32n n T +<. 【详解】（1）当1n =时，21257a S =+=；当2n ≥且n *∈N ，由1241n n a S n +=++，可得124(1)1n n a S n -=+-+，上述两式作差得124n n n a a a +-=+，即134n n a a +=+，所以，()1232n n a a ++=+，11a =，27a =，()21232a a ∴+=+，所以，等式()1232n n a a ++=+对任意的n *∈N 恒成立，由1230a +=≠，20n a ∴+≠，所以{}2n a +为等比数列，且该数列的首项为123a +=，公比为3q =，12333n n n a -∴+=⨯=，所以，32n n a =-；（2）先证明以下结论：若0x y ≥>，0c >，则y y cx x c+≤+. 当0x y ≥>，0c >时，()()()()()0y x c x y c c y x y y c x x c x x c x x c +-+-+-==≤+++，所以，当0x y ≥>，0c >，则y y cx x c+≤+. 本题中，()23112232232n n n nn n a b a +===+--， 1112313232233n n n n -+≤==--+，则11123n n b -≤+， 21111113131112333222313nnn n n n n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴≤+++++=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，013n⎛⎫ ⎪⎝⎭>，1113n⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，32n n T +∴<. 【点睛】方法点睛：本题考查利用放缩法证明数列不等式，常见的放缩公式如下：（1）()()21111211n n n n n n <=-≥--；（2）()2111111n n n n n >=-++；（3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭；（4）()()()11!111112!!!11rr n r r n T C r n r n r n r r r r r+=⋅=⋅<<=-≥---；（5）()1111111312231nn n n ⎛⎫+<+++++< ⎪⨯⨯-⎝⎭；（6(()22n=<=≥；（7(2=>=；（8）=<==；（9）()()()()()()()12112222112121 21212122212121n n n nn n n n n n n nn---=<==----------()2n≥；（10=<=2⎡⎤==()22n<≥；（11=<=()22n-==≥；（12）()()01211122221111111nnn n nC C C n n n n=<==--++-+++-；（13）()()()111121122121212121nn n nn nn---<=-≥-----.21．如图：已知抛物线1C：24x y=与椭圆2C：()222210y xa ba b+=>>有相同焦点F，Q为抛物线1C与椭圆2C在第一象限的公共点，且53QF=，过焦点F的直线l交抛物线1C于A，B两点､交椭圆2C于C，D两点，直线PA，PB与抛物线1C分别相切于A ，B 两点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）求PCD 的面积S 的最小值.【答案】（1）22143y x +=；（2）最小值为3. 【分析】（1）由抛物线的定义可得点Q 的纵坐标，再代入抛物线方程可得Q 的横坐标，然后把点Q 的坐标代入椭圆方程，再结合焦点坐标即可求解；（2）经分析直线l 的斜率存在，可设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理的关系式，然后求出弦长CD ，再求出P 到直线l 的距离，即可求出PCD 的面积的表达式，再利用函数的性质求出最小值即可. 【详解】解：（1）∵53QF =，∴513Q y +=，∴23Q y =，283Q x =. ∵Q 为抛物线1C 与椭圆2C 在第一象限的公共点， ∴2248193a b+=且221a b -=， ∴2243a b ⎧=⎨=⎩，∴2C ：22143y x +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由已知得直线l 斜率存在，设为1y kx =+，PA ：2111124y x x x =-，PB ：2221124y x x x =-，∴12012024x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭.214y kx x y=+⎧⎨=⎩，即2440x kx --=，124x x =-，124x x k += ∵22121212121244x x y y x x k x x x x --+===--，124x x =-，∴()2,1P k -，第 21 页共 23 页设()33,C x y ，()44,D x y()()222221346903644431y x k x kx k y kx ⎧+=⎪⇒++-=⇒∆=+⎨⎪=+⎩， 342634k x x k +=-+，342934x x k -=+ ∴D C ==，()2212134k k +==+∴P l h →=，∴()22121112234PCD P l k S CD h k →+==⋅+△()322212134k k +=+. 令21(1)k t t +=≥，∴3212()31tg t t =+，∴12218(1)'()0(31)t t g t t +=>+，∴当1t =，即0k =时，PCDS的面积最小，PCDS的最小值为3.【点睛】关键点点睛：本题第二问涉及弦长，切线，交点，面积最值的综合问题，属于中档题型，本题的关键是利用导数的几何意义表示在点,A B 处切线的方程，以及根据过焦点的直线与抛物线相交的性质，得到点P 的坐标，后面再表示面积就容易了.22．设函数1()ln 2f x x ax a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2211()22g x f x a x b a ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭.（1）若()0f x <对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的取值范围；（2）若a >()()122g x g x b +=时，求证：()122a x x +>.【答案】（1）,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论，确定()f x 的单调性，最大值，解相应的不等式可得；（2）()()122g x g x b +=变形为222211122211ln 2ln 222x a x ax x a x ax ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，在证的不等式中若12x a ≥或22x a ≥，不等式已经成立，因此只要证122,0,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不等第 22 页共 23 页式成立，首先引入函数221()ln 22h x x a x ax =+-，20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12()()h x h x =-，由导数确定出()h x 的单调性，要证的不等式为212x x a >-转化为证()212h x h x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，()112h x h x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，即证：()1120h x h x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，为此再引入新函数()221122()ln ln 22F x h x h x x x a x ax a a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数可证．【详解】（1）解：12112'()211a x a f x a x a x x a a⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-=>- ⎪⎝⎭++，当0a >时，112a a -<-，令'()0f x >得：112x a a-<<-， ∴()f x 在区间11,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴max 1()1ln(2)2f x f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()1ln 20a -<，得：2e a >，当0a <时，112a a ->-，则'()0f x >对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立， ∴()f x 在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且13202f e ae a ⎛⎫-+=-> ⎪⎝⎭，所以不符合. 故：a 的取值范围为,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）∵221()ln 2(0)2g x x a x ax b x =+-+>， ∴()()122g x g x b +=，得：222211122211ln 2ln 222x a x ax x a x ax ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，若12x a ≥或22x a≥，则结论显然成立. 当122,0,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()122a x x +>⇔212x x a>-，第 23 页共 23 页令221()ln 22h x x a x ax =+-，20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，221(1)'()20ax h x a x a x x-=+-=≥，所以()h x 为单调递增函数，则，证：212x x a >-⇔证：()212h x h x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，而()()21h x h x =-，所以等价于证：()112h x h x a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，即证：()1120h x h x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，()2211111122ln ln 22h x h x x x a x ax a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令：222()ln ln 22F x x x a x ax a ⎛⎫=+-+--⎪⎝⎭， 3221211'()2222a x a F x a x a x x x a a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，得：()F x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减， ∴211()ln 3F x F a a ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，因为a >321e a <，所以()0<F x ，故原不等式得证.【点睛】关键点点睛：本题考查考查不等式恒成立问题，考查与方程根的不等式的证明．证明不等式时第一个关键点是利用两个变量之间的关系，把问题转化为一个变量，第二个关键点在于等价转化，通过引入函数，利用函数的单调性进行转化．最终转化为研究函数的性质即可证．同时注意问题的转化，如本题中12x a ≥或22x a≥时，不等式已经成立，只要证明122,0,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时即可．。

浙江省高三六校联考文科综合能力试题参考答案

2012届浙江省高三六校联考文科综合能力试题参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 /B A A A BC CD D B D /12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23B DC C C BD B B C A A24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35B A D BC A BD A C C D 36．（32分）（1）东非大裂谷由板块张裂而形成；（2分）雅鲁藏布江大峡谷由地壳缓慢抬升，河流不断侵蚀下切而形成。

（4分）（2）图1所示季节为夏季，（2分）西太平洋副热带高压脊影响我国东南部地区（2分）；图2所示季节为夏季，（2分）赤道以南的非洲大陆形成低压中心，说明气温较高。

（2分）（3）该铁路穿越坦赞高原、高山和裂谷带，地形复杂，技术难度大，施工条件异常困难。

（4分）为坦赞两国提供了一条新的出海通道；（2分）促进了坦赞两国经济发展和城乡物资交流，形成新经济增长带。

（2分）（4）安哥拉获得了能源投资的多元化，有利于促进初级产品的出口；有利于安哥拉将资源优势转化为经济优势，促进经济发展；有利于促进安哥拉基础设施的建设，以及农业、工业等产业的发展，将大大加快安哥拉经济、社会的发展。

有利于改善我国石油进口来源单一的局面，有利于保障我国的能源安全；有利于缓解我国石油资源短缺的矛盾，促进我国经济持续、稳定的发展。

（10分）37．（24分）（1）生态足迹主要由耕地足迹、草地足迹、林地足迹、渔业用地足迹和碳足迹组成的。

（4分）（2）从20世纪70年代中期开始，中国开始出现生态赤字（从盈余到赤字）（2分）并且赤字规模有扩大的趋势（2分）；原因：人口的增长，人均资源拥有量减少（3分）；经济的发展，自然资源的消耗量增加（3分）。

（3）碳足迹，（2分）推广节能新技术、新工艺，提高资源利用率；优化能源结构，减少化石燃料的使用，开发新能源；主动减少碳排放；倡导低碳经济；加强国际全作；植树造林，提高植被覆盖率；（答4点即可，每点2分，共8分）38．（26分）（1）意思：夏商周时期的选官制是“世官制”，官职原则上代代相袭，而担任王室或诸侯国官职的大小贵族，在继承权位之前必须经过国学的教育。

高三数学六校联考试题文试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三六校联考数学〔文科〕试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部，一共6页．时量120分钟．总分值是150分．一、选择题：本大题一一共9小题，每一小题5分，一共45分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的 1．全集{}{}2,3,4,|(1)(4)0,U U A x x x x Z A ==--<∈=集合则()A ．{}4 B ．{}2,3,4C ．{}2,3D.{}1,42.i 为虚数单位,那么212ii+=-+()D ．-ID.2355i + 3.“m=2”是2"3)m x -函数f(x)=(m为幂函数"的()4．向量a,b 满足a ⊥b,|a|=2,|b|=1,那么|a-2b|=()B.5．函数f (x )=1n x 2-2的零点个数是() A.0B.16．一工厂消费某原料的消费本钱y (万元)为产量x (千吨)之间的关系为y=x+400x+1,那么消费本钱最少时该工厂的产量x 为()7.假设执行下面的程序框图,那么输出的s=()C,144D.300mx+ny=16和圆x 2+y 2=64没有交点,那么过点(m,n)的直线与椭圆22194y x +=的交点个数为 A.0个B.2个C.1个D.不确定x ,y ∈R,记max{},x y =,,x x y y x y≥⎧⎨<⎩,方程max {},x x -=a x +1仅有一负根,那么a 的取值范围是 A.a<1 B.a≤1 C.a>1D.a≥1答题卡．．．中对应题号后的横线上.(一)选做题(请考生在第10,11两题中任选一题答题,假设全做,那么按前一题记分)10.(极坐标与参数方程选做题)极坐标系的原点和极轴分别与直角坐标系的原点和x 轴正半轴重合,圆C 的参数方程为cos (1sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数),直线l的极坐标方程为sin()4πρθ⋅+=,那么l被圆C 所截得的弦所对应的(小于π)的圆心角为.11.(优选法选做题)白油膏是消费擦字橡皮的主要原料,对产品质量起着决定作用,它是蓖麻油、胚芽油、 7JHJ 机油、重体C a CO 3、S 2Cl 2和H 2O 在一定温度下反响而成的，根据经历和分析，可以确定油类、重体C a CO 3的配比，如今需要对S 2Cl 2T 和H 2O 的用量进展优选，那么以下方法不适宜选用的是〔填序号〕.①0.618法;②从好点出发法;③平行线法;④盲人爬山法⑤纵横对折法. (二)必做题(12～16题)12.某几何体的三视图如下,那么该几何的体积. 13.3cos ,(0,)52πθθ=∈,那么tan(π-2θ)=.14.x,y 满足不等式组22040240x x x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩,z=2x y +,那么z 取最大值的最优解是.15.221(0)()(3)(60)x x x f x f x x ⎧-+≥=⎨+-≤<⎩,那么()1f x >的解集是. 16.如图,将菱形ABCD 的每条边1,2,3,…,n,…等分,并按图1,图2,图3,;图4,…的方式连结等分点 ,将每个点依图示规律填上1,2,3,4,5,6,,…,例如图3中菱形ABCD 的四个顶点上所填数字之和为 34.(1)图5中,菱形ABCD 的四个顶点上所填数字之和是; (2)图n 中,菱形ABCD 的四个顶点上所填数字之和是.三.解答题:本大题一一共6小题,一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.(本小题总分值是12分) (1)角θ的终边过点(4,－3),{}n a θθ是以sin 为首项,si n 为公差的等差数列，试求{}n a 的前n项和n S ；〔2〕假设31(cos (,sin )2m x n x ωω==-，函数()f x m n =⋅的最小正周期为π，将()f x 的；图像向左平移12π个单位，得()y g x =的图象，求()y g x =的对称轴方程及单调增区间. 18.(本小题总分值是12分)某同学做了五次试验,其试验结果分别为－1,－2,2,4,7. (1)求五次试验结果的平均数与方差;(2)从五次试验结果中任取两个不同的数分别作为点的横坐标与纵坐标,试求这些点落在区域0040x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≥⎩的概率.19.(本小题总分值是12分)如图,△BCD 中，∠BCD=900，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=600，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AFAC ADλλ==<<〔1〕求证：不管λ为何值，总有EF⊥平面ABC ；〔2〕假设12λ=，求三棱锥A －BEF 的体积. 20．〔本小题总分值是13分〕某校学生社团心理研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间是t 之间的∈〔0，14〕时，曲线是二次函数图象的一局部，当[14,40]t ∈时，曲线是函数1(5)83(01)a p og T a a =-+>≠且图象的一局部。

浙江省2022学年高中数学竞赛六校第一次联考加试试题

2022学年第二学期数学竞赛六校第一次联考加试试题一．（本题满分40分）如图，在ABC D 中，90C Ð=o ，过点C 作CH AB ^于点H ，A 与CH 的中点M 所在的直线交BC 于点K ，L 是BC 的中点，线段AB 上一点T 满足ATK BTL Ð=Ð．若1BC =，求KTL D 的周长．注：答题时请将图画在答卷纸上．二．（本题满分40分）对于每个正整数k ，设k a 是最大的且不能被3整除的k 的约数，数列{}n S 满足12n n S a a a =+++L （例如：6121452S =+++++）．证明：n S 被3整除当且仅当n 的三进制表示中，1的个数能被3整除．三．（本题满分50分）已知n 为正整数，对于1,2,,i n = ，正整数i a 和正偶数i b 满足01i ia b <<，且对于任意正整数1212,(1)i i i i n £<£，12i i a a ¹与12i i b b ¹中至少有一个成立．若对于每个正整数n 及所有满足上述条件的正整数i a 和正偶数(1,2,,)i b i n =L ，均有321n i i b c n =≥⋅∑，求实数c 的最大值．四．（本题满分50分）设(200)⨯≥n n n 的方格表中每个格被染成三种颜色之一，每个格中有一个箭头指向上、下、左、右四个相邻格之一（或指向表格外），且指向的格（若存在）与箭头所在格不同色．已知一只甲虫从任意一格开始，每次沿箭头方向移到相邻的格（或移到表格外），最终总能移到表格外．设三种颜色的格分别有,,A B C 个，证明：22240.64A B C n ++<．注：如果证明了比40.64n 弱的估计4n a ，会根据0.64a >的值，适当给分．。

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1,0,0isumS

是
1ii

1sumsum

1/SSsumi

否
输出S
结束

考生须知：1．本试题卷满分150分，考试时间为120分钟。
2．本卷不得使用计算器，答案用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效。

浙江省2012届六校联考高三数学（文科）试题
命题人:孙明辉（安吉县高级中学）审核人：梁卫宏（安吉县高级中学）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项，只有一项符合题
目要求）

1．若全集为实数集R,集合A=}4|{2xx，B=}12|{xx，则（∁RBA)（）

A．}21|{xxx或 B．}20|{xx C．}20|{xx D．

2．)2()20(ln1)(2xxxxxf若，若2)(mf，则m的值为( )
A．e B．2 C．e1 D．2或e1
3．设i为虚数单位，若ibiia1（),Rba，则ba,的值为（）
A．1,0ba B．0,1ba
C．1,1ba D．1,21ba
4．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是45，则判断框中
应填入的条件是（）
A．5i B．6i C．7i D．8i

5．若}{na为首项为1的等比数列，nS为其前n项和，已知2,,2432aSa三个数成等差数列，则

数列}{2na的前5项和为（）
A．341 B．31000 C．1023 D．1024
6．一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5，从袋中取出两个球，每次只取出
一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为（）

A．21 B．103 C．207 D．107

7．若10aa且，则“0logba”是“0)1)(1(ba”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

8．已知点),(yx满足2211yxyxyx，目标函数yaxz2仅在点（1,0）处取得最小值，则a的范围为（）

A．)2,1( B．)2,4( C．)1,2( D．)4,2(
第12题

9．]2,2[,cos)(2xxxxf若，设21|)(|)(xfxg，则函数)(xg的零点个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1

10．已知点P为双曲线)0,0(12222babyax右支上一点，21,FF分别为双曲线的左右焦点，

且abFF221||，I为三角形21FPF的内心，若2121FIFIPFIPFSSS成立，则的值为（）
A．2221 B．132 C．12 D．12
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，

并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为
了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要
从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步
调查，其中低于1500元的称为低收入者，高于3000元的
称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中抽取的人数
一共是____________．

12．若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的表
面积是．

13．已知函数,1)(22xxxf
则)51()41()31()21()5()4()3()2()1(fffffffff=_____．
14．不共线的两个向量ba,，且ba2与ba2垂直，aba与垂直，a与b的夹角的余弦值为____．
15. 函数xxxfcossin)(，设]3,6[x，若axf)(2恒成立，则实数a的取值范围为_______．
16．如图正四面体ABCD，E为棱BC上的动点，则
异面直线．．．．BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______．

17．设集合A=]1,21[),21,0[B, 函

数BxxAxxxf),2(log,21)(2，
若0xA, 且0[()]ffxA,则0x的取值范围是_________．

第11题
B
D
C

E
第16题
三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本题满分14分）

等比数列}{na为递增数列，且,324a92053aa，数列2log3nnab(n∈N※)

（1）求数列}{nb的前n项和nS；
（2）122221nbbbbTn，求使0nT成立的最小值n．

19．（本题满分14分）
在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为cba,,，且AACAaccabcossin)cos(222
（1）求角A；
（2）若2a，求bc的取值范围．

20．（本题满分14分）
如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使

得二面角P-AB-D为60的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如
下图（图2）的一个几何体．
（1）求证：平面PAB平面PCD；
（2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．

B
C

P
D

图1
A

B
C

E
图2
21．（本题满分15分）
已知函数)(ln21)(2Raxaxxf

（1）求)(xf的单调区间；
（2）设xxfxg2)()(，若)(xg在],1[e上不单调且仅在ex处取得最大值，求a的取值范围．

22．（本题满分15分）
设抛物线M方程为)0(22ppxy，其焦点为F，P（),ba（)0a为直线xy与抛物线M的

一个交点，5||PF
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得QAB
为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．

A
x
B
Q

O
F