2020高考理科数学第五次模拟考试
2020届湖北省襄阳五中高考第五次适应性考试数学(理)试卷(有答案)(加精)
普通高等学校招生全国统一考试（模拟五）数学（理科）试题本试题卷共4页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答，用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。
1、若集合A={y|y=32x }，B={x|y=ln(x+1)}，则(∁R A)∩B= A ．(－1,+∞) B ．(－1,0) C ．Φ D ．[0,+∞)2、已知z=(i i -+11)1902+(ii +-11)2017，其中i 为虚数单位，1902是襄阳五中元年，2017是襄阳五中学生的好运年！！！则复数z 的共轭复数z 的虚部是A ．1B ．－iC ．－1D ．i 3、“所有9的倍数的数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理A ．不是三段论推理，且结论不正确B ．不是三段论推理，但结论正确C ．是三段论推理，但小前提错D ．是三段论推理，但大前提错 4、下列关于命题的说法错误的是 A ．“a =2”是“函数f (x)=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件 B ．命题“若随机变量X~N(1,4)，P(X ≤0)=m ，则P(0<X<2)=1－2m ”为真命题 C ．命题“若x 2－3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2－3x+2≠0” D ．若命题P ：∃n ∈N ，2n >1000，则⌝P ：∀n ∈N ，2n >1000 5、从区域[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，其中两个数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率p 的近似值为 A ．nm2 B ．nm4 C ．mn 2 D ．mn 4 6、某几何体的三视图如图所示，其体积为 A ．32 B ．34 C ．310 D ．387、运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为 A ．－23 B ．0 C ．－1D ．21 8、已知函数f (x)=sin(ωx+6π)+ω (ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是 A ．()()33f x f x ππ-=+ B ．()()13f x f x π+--=C ．7()23f π=D ．||MN π= 9、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接收雨水。
重庆南开中学2020级高三第五次教学质量检测考试理科数学_20200104003434
重庆南开中学2020级高三第五次教学质量检测考试数学（理科）2020.1注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知集合}032|{2<--=x x x A ，}3,2,1,0,1{-=B ，则=B A A.}1,0,1{- B.}0,1{-C.}1,0{ D.}2,1,0{2.已知随机变量X ～),2(2σN )0(>σ，若7.0)4(=<X P ，则=<)0(X P A.2.0 B.3.0C.5.0 D.7.03.已知π2.0log =a ，2.0π=b ，π2.0=c ，则A.c b a << B.a b c <<C.bc a << D.ac b <<4.2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是A.2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B.甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C.两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D.2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业5.已知各项均为正数的等比数列}{n a 的前4项和为45，且4352a a a +=，则=2a A.6 B.9C.12 D.156.若314sin(=-πα，则=α2sin A.92- B.91C.97D.987.42)1)(2(-+-x x x 的展开式中x 项的系数为A.9-B.5-C.7D.88.数列：1,1,2,3,5,8,13,….称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔于繁殖为例而引人，故又称为“兔子数列".该数列前两项均为1，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，某同学设计如图所示的程序框图，当输人正整数)3(≥n n 时，输出结果恰好为“兔子数列”的第n 项，则图中空白处应填入A.b a b +=B.c a b +=C.c b a +=D.ca c +=9.随机变量X 的分布列如右表所示，在0)(>X E 的前提条件下，不等式02>++a x x 对R x ∈∀恒成立的概率为A.121B.41C.31 D.2110.已知双曲线C :12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ，且c AF =||，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.]3,1(B.)2,1(C.)2,2[ D.),2(+∞11.已知定义在区间),1[+∞上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=2),2(2121,2)(x x f x x f x ，若函数x k x f x g -=)()(有无穷多个零点，则实数k 的取值范围是A.)2,1( B.]4,2(C.]8,2( D.]8,4[12.已知椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为)0,(c F -，上顶点为A ，离心率为23，直线FA 与抛物线E :cx y 42=交于M ，N 两点，则=+||||NA MA A.a 32 B.a 5C.a34 D.a10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届黑龙江省哈三中高三第五次模拟考试理科数学试题
2020届黑龙江省哈三中高三第五次模拟考试理科数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知复数i i z i a z (2,321+=-=为虚数单位)，若21z z 是纯虚数，则实数=aA ．23-B ．23C ．3-D ．3 2． 已知集合2{|230,}A x x x x Z =--≤∈，集合{|0}B x x =>，则集合A B I 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3． 已知向量(2,3)=-a ，b (3,)x =，若a //b ，则实数=xA ．2-B ．2C ．29-D ．294． 设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5． 将函数x y 2sin =的图象向左平移6π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为 A ．)3sin(π+=x y B ．)6sin(π+=x y C ．)3sin(π-=x y D ．)34sin(π+=x y6． 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母 亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天 数是A ．27B ．42C ．55D ．210 7． 设公比为3的等比数列}{n a 前n 项和为n S ，且313S =，则567a a a ++= A ．3 B ．9 C ．27 D ．81 8． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是上底为1，下底为2，高为1的直角梯形，俯视图为四 分之一个圆，则该几何体的体积为A ．3π B ．23πC ．πD ．43π9．已知函数())4f x x π=+，1()'()f x f x =，21()'()f x f x =，32()'()f x f x =，…，依此类推，2020()4f π=AB． C ．0 D．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，则平面1AD E 截该正方体所得的截面面积为A． B． C ．4 D ．9211．给出下列命题，其中真命题为① 用数学归纳法证明不等式111112...(2,)23422n n n n N --++++>≥∈时，当1(2,)n k k k N =+≥∈时，不等式左边应在(2,)n k k k N =≥∈的基础上加上12k ；② 若命题p ：2000,220x R x x ∃∈-+<，则2:,220p x R x x ⌝∀∈-+≥；③ 若0,0,4a b a b >>+=，则112ab ≥； ④ 随机变量2~(,)X N μσ，若(2)(0)P X P X >=<，则1μ=． A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．②③12．已知R b a ∈,，则222)21()(b a b a --+-的最小值为正视图 侧视图A ．42B ．81C ．22D ．41第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ．14．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2,3211=+=++a n a a n n ，则11S = ．15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有 种辅导方案．16．设'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导数，当0x >时，()'()ln 0f x f x x x +⋅<，则不等式(1)()0x f x ->的解集为 ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．满足A b a c cos 22+=．（1）求B ；（2）若3,5==+b c a ，求ABC ∆的面积．18．(本小题满分12分)为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房岁的人群产限购年龄政策”的态度，在年龄为2060:中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人．记抽到44岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．(本小题满分12分)如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，AD //BC ，AD =BC 2=22，3=AB ，90∠=︒ABC ，ADE ∆是等边三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，连接EB ，EC 得如图②的几何体．（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM //平面ABE ；（2）若3=EC ，在棱EB 上是否存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322？若存在，求EBEF的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 是椭圆13422=+y x 的一个焦点． （1） 求抛物线C 的方程；（2） 设,,P M N 为抛物线C 上的不同三点，点(1,2)P ，且PM PN ⊥．求证：直线MN 过定点．21．(本小题满分12分)已知函数()2ln f x x ax =-()a R ∈．（1） 当1a =时，求证：当1x ≥时，()1f x ≤-； （2） 若函数()f x 有两个零点，求a 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数，0απ≤<），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 8)2cos 1(=-．（1） 求曲线C 的直角坐标方程及直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时的直角坐标方程； （2） 若3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点B A ,，点)1,1(P ，求PB PA 11-的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知函数)0,0()(>>++-=b a b x a x x f ，． （1） 当3,1==b a 时，求不等式6)(<x f 的解集； （2） 若)(x f 的最小值为2，求证：11111≥+++b a ．数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13.y = 14.77 15.36 16.(0,1)三、解答题：17. （1）由题知A B A C cos sin 2sin sin 2+=，………………………………….……2分 则A B A B A cos sin 2sin )sin(2+=+，则A B A sin cos sin 2=,在ABC ∆中,0sin ≠A ,所以21cos =B ,…………………………4分则3π=B ……………………………………………………………………………..………6分（2）由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,从而得ac c a ac c a 3)(9222-+=-+=，…………………………….…………………9分又5=+c a ，所以316=ac ，所以ABC ∆的面积为334.……………….……………12分18.（1）由统计数据填22⨯列联表如下:计算观测值20100(3554515)256.25 3.841505080204k ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，..................................4分所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分（2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，..........6分 根据题意，X 的可能取值是0，1，2,..................................................................................7分计算()262815028C P X C ===，()116228317C C P X C ⋅===，()22281228C P X C ===，.....................................................................................................10分可得随机变量X 的分布列为：故数学期望为012287282EX =⨯+⨯+⨯=（）．......................................................12分19.（1）取EA 中点N ,连接MN ,BN ,则MN 是EAD ∆的中位线,1//,.21//,,//.2,,//.MN AD MN AD BC AD BC AD BCMN CM BN CM ABE BN ABE CM ABE ∴==∴∴⊄⊂∴Q 且且四边形是平行四边形，又平面平面平面.................................................................................................................................................5分 （2）取AD 中点O ,连接OE OC ,,易得AD OE ⊥,AD OC ⊥. 在COE ∆中，由已知62223,3,3=⨯====OE AB OC CE . .,222OE OC CE OE OC ⊥∴=+Θ以O 为原点，分别以射线OE OA OC ,,为z y x ,,轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系， 则).6,0,0(),0,2,0(),0,2,3(),0,2,0(E D B A -...................................................7分 则).0,22,0(),6,2,0(),6,2,3(-=-=-= 假设在棱EB 上存在点F 满足题意，设)10(≤≤=λλ,则EF λ=u u u r，)66,2,2,3(λλλ--=+=. 设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 即⎩⎨⎧=-=-+-+,022,0)66()22(3λλλλz y x 令1=z ，得平面ADF 的一个法向量).1,0,)1(2(λλ--=m .......................................9分又平面EAD 的一个法向量)0,0,1(=n ，.........................................................................10分由已知322,cos =n m ，3221)1(2)1(22=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----∴λλλλ， 整理得01232=-+λλ，解得)1(31舍去-==λλ， ∴在棱EB 上存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322，且31=EB EF ...12分 20.（1）依题意，2,12==p p，所以x y C 4:2=………………………..……………4分 （2）设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线联立得0442=--n my y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，由PN PM ⊥得0)2,1()2,1(2211=--⋅--y x y x ………6分 化简得0584622=+---m m n n ，………………………………………….…………8分解得52+=m n 或12+-=m n （舍）…………………………………….……………10分 所以直线MN 过定点)2,5(-………………………………………………..……………12分 21.（1）当1a =时，()()2ln 2ln 1h x x x x f x x x x-'=-==………..………….…….1分 则()221x h x x x-+'=-=，由于2y x =-+在()1,+∞上单调递减，存在唯一零点2x = 知()h x ：..................................................................................................................................................3分 知()1,x ∈+∞时，()()()22ln 210h x h ≤=-<，即()0f x '<恒成立知()f x 为()1,+∞上的减函数，即()()11f x f ≤=-，证毕；....................................5分（2）等价于2ln x a x =有两个零点，设函数()2ln xg x x =..............................................6分 ()()22ln ln 0x x g x x-'=≥，解得()ln 2ln 0x x -≤，即0ln 2x ≤≤知()g x ：..................................................................................................................................................9分 当0x →时，()g x →+∞；极小值为()10g =；极大值为()224g ee=；()g x 在()2,e +∞上单调递减，由于()0g x >，当x →+∞时，()0g x →，故()g x 在()2,e +∞上的值域为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭综上，()g x a =有两个零点，有24a e =，即当24a e=时，()f x 有两个零点…….12分 22.（1）由θθρcos 8)2cos 1(=-得θθρcos 4sin 2=，所以θρθρcos 4sin 22=，由y x ==θρθρsin ,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为x y 42=…………….…….3分当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时,1tan -=α,由,sin 1cos 1⎩⎨⎧+=+=ααt y t x 得1tan 11-==--αx y ，所以2x y +=， 即此时直线l 的直角坐标方程为02=-+y x …………………………………..………5分（2）当3πα=时，直线l的参数方程为112,12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数） 将直线l 的参数方程带入x y 42=，得211412t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232)304t t +-=，12124(243t t t t +=-=-，………..……………...…….8分故12121211112||||3t t PA PB t t t t +--=-==…………………………………...…..10分 23.（1）依题意631<++-x x ，解集为)2,4(-……………………………...………5分 （2）b a b a b x a x b x a x x f +=--=+--≥++-=)()()(，所以2=+b a …7分1)11112(41)1111)(11(411111≥++++++=++++++=+++b a a b b a b a b a ……….……10分。
2020届湖北省四地七校联盟高三第五次模拟考试数学(理)试题
2020届湖北省四地七校联盟高三第五次模拟考试高三理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知552sin 24=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈αππα，，，则=α2tanA. 2-B. 2 C ．21D ． 21-（2）函数292)(23-+=x x x f 在[]2,4-上的最大值和最小值分别是A. 225-，B. 1450，C. 250-，D. 1450-， （3） 在ABC ∆中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足NM AN 21=，则=BN A.AB AC 6561- B. AB AC 6165-C.AB AC 6561+ D. AB AC 6165+ （4） 曲线)0(2ln >-=a x a y 在1=x 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为4，则实数a 的值为A.2 B. 2 C. 4 D. 8（5）记k =︒-)80cos(，那么=︒280tanA.k k 21- B. kk 21-- C. 21kk - D. 21kk --（6） 曲线x x y 22+=与直线x y =所围成的封闭图形的面积为A.61 B. 31 C. 65 D. 32 （7）若函数)(x f 的导函数的图像关于y 轴对称，则)(x f 的解析式可能为A. x x f cos 3)(=B. 23)(x x x f +=C. x x f 2sin 1)(+=D. x e x f x +=)(（8）若31)4sin(=+πα，则=α2sinA. 98B. 97C. 97-D. 98-（9）已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的最小正周期是π，则函数)(x f 的图像A. 关于直线12π=x 对称 B. 关于直线125π=x 对称 C. 关于点），（012π对称 D. 关于点），（0125π对称 （10）已知曲线)(x f y =在点())5(5f ，处的切线方程为05=-+y x ，则)5(f 与）（5'f 分别是A . 1,5- B. 01，- C. 51，- D. 1,0-（11）0>ω函数()sinsin22xxf x ωπω+=在]3,4[ππ-上单调递增，则ω的范围是 A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]0,2D. [)2,+∞（12）若P 是函数)1ln()1()(++=x x x f 图像上的动点，已知点）（1,1--A ，则直线AP 的斜率的取值范围是A. [)∞+，1B. []1,0C. (]e e ,1-D. (]1,-∞-e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届高考理科数学模拟黄金卷(全国卷)(五)+答案详解+评分标准
2020届高考理科数学模拟黄金卷（全国卷）（五）1、设全集为R ，集合2{20}A x x x =-<，{10}B x x =-≥，则()R A C B =I （ ） A ．{01}x x <≤ B ．{01}x x << C ．{12}x x <≤ D ．{02}x x <<2、i 是虚数单位，复数z ，则（ ）A ．12z -=B ．z =C ． 32z = D ．34z = 3、设随机变量,X Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ～，若()519P X ≥=，则()D Y =( ) A ．4 B ．5C ．6D ．74、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()(12a f f ->，则a 的取值范围是( )A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC. 13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5、若,,a b c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()0-≤⋅-a c b c ，则+-a b c 的最大值为( )1B.1D.26、已知正项数列{}n a ，其任意连续三项12n n n a a a ++,,满足:若n 为奇数，则这三个数为等差数列；若n 为偶数，则这三个数为等比数列.若151,6a a ==，则10a =( ) A.15B.18C.21D.4927、61()(1)x x x +-的二项展开式中2x 的系数为( )A.14B.-14C.26D.-268、我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其意思为:一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图就是根据该规律设计的，其中S 为每天截取后剩余木棍的长度(单位:尺)，则①处应填入的结果及执行程序框图后输出的结果分别为( )A.1232S S =；B.1264S S =；C.1132S S i =-；D.1164S S i =-；9、设函数()2sin(),R f x x x ωϕ=+∈,其中0,πωϕ><.若5π11π()2,()088f f ==且()f x 的最小正周期大于2π,则( ) A.2π,312ωϕ==B.211π,312ωϕ==-C.111π,324ωϕ==-D.17π,324ωϕ==10、如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中, 1AA ⊥底面1,,90ABC AB BC AA ABC ==∠=o ,点,E F 分别是棱1,AB BB 的中点,则直线EF 和1BC 的夹角是( )A. 45oB. 60oC. 90oD. 120o11、已知定义在(0)+∞,上的函数()f x 满足()()xf x f x '>恒成立(其中()f x '为函数()f x 的导函数)，对于任意实数10x >，20x >，下列不等式一定正确的是( ) A.()()()1212f x x x f x f ≥⋅ B.()()()1212f x x x f x f ≤⋅ C.()()()1212f x x x f f x +>+D.()()()1212f x x x f f x +<+12、已知椭圆()2212:139x y C a a +=>，双曲线2222:19x y C a -=，分别以椭圆的左、右焦点为圆心，以椭圆左焦点与双曲线左焦点间的距离为半径作圆，两圆恰好过原点，且两圆与双曲线的渐近线分别交于点A BC D ,,,，如图，则四边形ABCD 的面积为( )A.95B.95C.1515D.151513、叶子标本模型是一类常见的图形绘制叶子标本模型的过程一般分为两步:首先取正方形ABCD 的两个顶点A C ,，分别以A C ,为圆心，线段AB 的长度为半径作圆，得到图(1)所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏就可以得到图(2)所示的叶子标本模型.若往正方形ABCD 中任意投掷一点，则该点落在叶子上(图(2)中阴影区域)的概率为 .14、已知直线2:l y ,圆22:()1(0)C x a y a -+=>,若直线l 与圆C 相切于点A,则a =__________,点A 的坐标为________.15、已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为_______. 16、已知数列{}n a 的前n 项和n S *1(12)n n S S n n -≥∈N ,，11a =，若不等式11223127111log n n n a a a a a a λ+++⋯+≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的最大值为 .17、已知ABC △中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,cos cos sin a C c A b B +=,2b c =. (1)求C ;(2)若点D 与点B 在AC 两侧,且满足2,3AD CD ==,求四边形ABCD 面积的最大值.18、如图,四棱锥P ABCD -中, PA ⊥底面ABCD ,//AD BC ,3AB AD AC ===,4,PA BC M ==为线段AD 上一点, 2,AM MD N =为PC 的中点.(1)证明//MN 平面PAB ;(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.19、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点,斜率为22的直线交抛物线于112212(,),(,)()A x y B x y x x <两点,且9AB =.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r,求λ的值.20、某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位:h)的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(1216,］内的人数为92.(1)求n 的值.(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数精确到0.01).(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(1624,］内的党员干部给予奖励，且在16,20,20((,24］］内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.21、已知函数2()ln ()2a f x x bx R x ab =-+∈，． （1）若1a b ==，求()f x 点()1(1)f ，处的切线方程； （2） 设0a ≤，求()f x 的单调区间；（3） 设0a <，且对任意的0x >， ()(2)f x f ≤，试比较ln()a -与2b -的大小．22、在极坐标系中，曲线1C 的方程为22123sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线2C的参数方程为142x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数). (1)求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程. (2)求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的取值范围.23、已知函数()1(1)f x x m x m m=-++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥-．答案以及解析1答案及解析：答案：B 解析：{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，{}{}{}()02101R A C B x x x x x x =<<<=<<I I ，答案为B2答案及解析：答案：D解析：34z =.3答案及解析： 答案：A解析：由题意可得： ()()()225110119P X P X C p ≥=-==--=， 解得： 13p =，则： ()()()()212412,34339D X np p D Y D X =-=⨯⨯===.本题选择A 选项.4答案及解析： 答案：C解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(),0-∞上单调递增， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减。
2020届高三阶段5考试数学(理科)答案
高考数学三模试卷理科考后试卷讲解和试卷分析有差距呀！怎么办？苦学加巧学呗！！！还能怎样！为了胜利，拼了吧！！！不拼搏一把，不知自己能那么优秀！！！试卷讲解开始啦！！一、选择题（本大题共12小题，共60分）1已知集合{|A x y==和集合22{log(1)}B y y x==+，则A B=U（）A．[1,)-+∞ B．(0,1] C．[1,0]- D．[0,1]本题考查仔细审题能力和最基础的集合运算，要知道本体再求什么！是求A BU！！！解答：[{11}[1,1],{0}0,)A x xB y y=-≤≤=-=≥=+∞，[1,)A B=-+∞U选A 2.欧拉公式cos sinixe x i x=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”, 复数341ieπ表示的点位于复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限本题考查套公式能力和复数除法，复数对应的点的坐标解答：34112233122cos sin44i ieπππ-====--+，对应点⎛⎝⎭在第三象限。
选C3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )高考要求的能力水平你们考后显现出的能力水平A.01B.02C.07 D .04本题考察随机数表使用方法！08（12个）； 02 （第2个）； 14（第3个） ； 07（第4个）；02 （重复了不要）； 01（第5个）； 04（第6个） 选 D.4．有6个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有两人相邻的不同坐法有( ) A. 36种 B. 48种 C ．72种 D ．96种考察排列组合问题的通用解法，优先特殊元素排列法！---“定死一个看一个”只有三类做法 1. aa-a-a 2. a-aa-a 3.a-a-aa （a 代表人，-代表空座位） 计算得 44372A =5.已知G 是△ABC 的重心，若GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，x ，y ∈R ，则 x +y = ( ） A. 1 B . -1 C.13 D. 13- 考察重心性质和响亮基底表示： 解：如图GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x −y =−16. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点 为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．2 5 B. 2 C. 217 D. 3本题考查三视图还原直观图：本题还原后的直观图为：弧线AB 最短侧面展开图：ABCGBA B4257.古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物 线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图 直线2x =交抛物线24y x =于,A B 两点，点,A B 在y 轴上的射影分别为C ，D ，从长方形ABCD 中任取一点，则该点位于阴影部分的概率为( )A.12 B . 13C.23 D. 25考察最基本的面积比例和简单的几何概型解：由题意知：直线和抛物线所包围的弓形面积是△OAB 面积的三分之四，而△OAB 面积是矩形ABCD 面积的二分之一，所以弓形面积是矩形ABCD 面积的三分之二。
2020年云南高考第五次调研数学(理)试题含答案
数学（理）试卷考试时间：120分钟, 满分：150分注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息,请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若集合[1,2]A =，2{|320}B x x x =-+=，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．[1,2] C ．(1,2) D ．φ 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3.函数()()log a f x x b =+的大致图象如右图所示，则函数()xg x a b =-的图象可能是( )4.若向量,a b r r 的夹角为3π，且||2a =r ，||1b =r ，则向量2a b +r r 与向量a r 的夹角为（ ）A.3πB.6πC.23πD.56π 5.已知0a >，0b >，若不等式414ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．106.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( ) A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%{}3541311,22n a a a a a =7.已知正项等比数列满足与的等差中项为，则的值为（ ）A ．4B ．2C ．12D ．148.()1tan sin()0,,41tan παααπα-+=∈=+已知则( )B.D.9.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，AB=BC=4,AA 1=6，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．68π B ．32πC ．17πD ．164π10.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（ ） A ．38 B ．49 C ．916 D ．93211.设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12B C. D12.设'()f x 为函数()f x 的导函数，且满足321()3,'()'(6)3f x x ax bx f x f x =-++=-+，若()6ln 3f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[)66ln 6,++∞B ．[)4ln 2,++∞C ．[)5ln 5,++∞D ．)6⎡++∞⎣第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.6(-的展开式中2x 的系数是 ．14.在平面四边形ABCD 中，90=120D BAD ∠=∠o o ，，CD = 2,AC =3AB =,则BC= ．15.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为 ．16.已知函数2()log 1f x x =-，若()2f x =的四个根为1234,,,x x x x ，且1234k x x x x =+++,则()1f k += ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22、23题为选考题） 17.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22n n n S a a =+()n N *∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0n a >，令4(2)n n n b a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若n T m <恒成立，m Z ∈,求m 的最小值．18.某市在2018年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120，25)．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974.19.如图所示，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面 ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面 EAC ⊥平面 PBC ； （Ⅱ）若二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．20.已知抛物线x 2＝2py ，准线方程为y ＋2＝0，直线过定点T(0，t)(t>0)，且与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)OA →·OB →是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当t ＝1时，设AT →＝λTB →，记|AB|＝f(λ)，求f(λ)的最小值及取最小值时对应的λ．21.已知函数2()x f x e x x =--.(1)判断函数()f x 在区间(),ln 2-∞上的单调性；(2)若12ln 2,ln 2,x x <>且()()12f x f x ''=，证明：124x xe +<.选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卡选答区域指定位置答题) 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,2sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标方程为y =． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0ρθ+=，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与1C 在第一象限的交点为B,求AB ．23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|3||2|f x x x =-+-. （1）求不等式()3f x <的解集M ； （2）证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+.参考答案13、192 14、 15、 3 16、 2 三、解答题17、（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+，1(1)n n a -∴=-或n a n=（2）由0n a >，n a n ∴=，()411222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭()()11111114621333243521+2n n T n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ，又min , 3.m Z m ∈∴=18、(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112. (2)由于1310 000＝0.001 3，根据正态分布得P(120－3×5<X<120＋3×5)＝0.997 4.故P(X≥135)＝1－0.997 42＝0.001 3，即0.001 3×10 000＝13.所以前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10.所以X 的取值为0，1，2，3.所以P(X ＝0)＝C 63C 103＝16，P(X ＝1)＝C 62C 41C 103＝12， P(X ＝2)＝C 61C 42C 103＝310，P(X ＝3)＝C 43C 103＝130.所以X 的分布列为E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.19、（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ， ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ， 又BC∩PC=C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．（Ⅱ）如图，以C 为原点，取AB 中点F ，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，﹣1，0）． 设P （0，0，a ）（a ＞0），则E （，﹣，）， =（1，1，0），=（0，0，a ），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC 的法向量．设=（x ，y ，z ）为面EAC 的法向量，则•=•=0，即取x=a ，y=﹣a ，z=﹣2，则=（a ，﹣a ，﹣2），依题意，|cos ＜，＞|===，则a=2．于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|==，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为．20、（1）22,4,8.2pp x y -=-∴=∴=Q ……①（2）设()()1122,,,A x y B x y ，据题意知直线的斜率存在，设():0l y kx t t =+>L L②联立①②得2880x kx t --=，12128,8.x x k x x t ∴+==-()()()2212121212y y kx t kx t k x x kt x x t ∴=++=+++212128OA OB x x y y t t ∴⋅=+=-u u u r u u u r .由于T （0，t ）为定点，故t 为定值，OA OB ∴⋅u u u r u u u r为定值.(3)()0,1T ,()11,1AT x y =--u u u r ,()22,1TB x y =-u u r,,AT TB λ=u u u r u u rQ ()1212,11x x y y λλ∴-=-=-,12x x λ∴=-由（2）知128x x t =-，222288,x t x λλ∴-=-∴=，且0λ>，又()12218x x x k λ+=-=，()22164k λ∴-=当0k ≠时，1λ≠，()2222641k x λ∴=-，()226481k λλ∴=-，()2218k λλ-∴=；当0k =时，1λ=，符合上式. AB ∴====，令1t λλ=+，则2t ≥，AB =，当min 2=1t AB λ==即时，21、（1）()21x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，当ln 2x <时，()()()0,-ln 2f x f x '''<∴∞在，单调递减.又()ln 2ln 22ln 2112ln 20f e '=--=-<，令()0f x '=，得()()000ln 2,x x x x ==∈+∞或.()()()-00ln 2f x ∴∞在，单调递增，在，单调递减.（2）要证124,x x e+<即证122ln 2x x +<成立当ln 2x >时，2ln 2ln 2x -<.()()2ln 242ln 222ln 2124ln 21x x f x e x x e -'-=---=+--Q .令()()()42ln 244ln 2x x g x f x f x e x e ''=--=--+()ln 2x >()440,ln 2=x x g x e e x -'∴=+-≥=当且仅当时取“”.()()()2ln 2g x f x f x ''∴=--在()ln 2,+∞单调递增又()()()ln 20,ln 2ln 20g x g x g =∴>>=Q 当时，即()()2ln 2f x f x ''>-()()222ln 2,2ln 2x f x f x ''>∴>-Q ，()()()()1212,2ln 2f x f x f x f x ''''=∴>-Q而由2ln 2x >知22ln 2ln 2x -<，1ln 2x <Q 由（1）知()f x '在(),ln 2-∞单调递减.122ln 2x x ∴<- 122ln 2x x ∴+<即124x x e +<.22、（1）2221sin cos 4θθρ=+ （2）2:8cos ,:3C l πρθθ=-==-8cos43A πρ=-，222117cos sin 34316B ππρ=+=B ρ⇒=4AB =23、（1）()25,31,23,25,2x x f x x x x -≥⎧⎪=<<⎨⎪-+≤⎩{}14M x x ⇒=<<（2）()()()()2222111a b ab a b +-+=--(),1,4a b ∈Q ，2210,10b a ∴-<-> ()()221a b ab ∴+<+ 1a b ab∴+<+。
2020年陕西省西安市高考第五次模拟考试(理科)数学试卷-含答案与解析
2020年陕西省西安市高考第五次模拟考试（理科）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若，则＝（）A﹣1 B1 C﹣3 D32设集合A＝{x|x＞a2}，B＝{x|x＜3a﹣2}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A（1，2）B（﹣∞，1）∪（2，+∞）C[1，2] D（﹣∞，1]∪[2，+∞）3若曲线y＝sin（4x+φ）（0＜φ＜2π）关于点对称，则φ＝（）A B C D4若x＞0，y＜0，则下列不等式一定成立的是（）A2x﹣2y＞x2BC2y﹣2x＞x2D5如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝（）A B C D617世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，根据这些信息，可得sin234°＝（）A B C D7若函数，在（﹣∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为（）A[0，17] B（﹣∞，17] C[1，17] D[1，+∞）8如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点A（2，15），则圆C的半径为（）A B8 C D109函数f（x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|的图象大致为（）A BC D102019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为（）A20.5元B21元C21.5元D22元11在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，BC，C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG其中所有正确结论的编号是（）A①B②③C①②D①③12函数在区间[﹣3，2）∪（2，3]上的零点个数为（）A2 B3 C4 D5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13随着互联网的发展，网购早已融人人们的日常生活网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为14设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边已知a sin A＝2b cos A cos C+2c cos A cos B，则tan A＝15以椭圆在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为；该双曲线的渐近线方程为16已知直线y＝a与双曲线的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2|，若，则双曲线C的离心率为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d （1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n18（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，，，且AB＝B1C（1）证明：CD⊥平面ABB1A1（2）求CD与平面A1BC所成角的正弦值19（12分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为80分及以上的产品为一等品（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望20（12分）已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线M：y2＝2px（p＞0）的准线经过C的左焦点F（1）求C与M的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与M交于P，Q两点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明：直线DE的斜率为定值21（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线l：θ＝β（ρ∈R）与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B，若，求l的直角坐标方程23已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝3（1）证明：（2）证明：9ab+bc+4ac≥12abc参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若，则＝（）A﹣1 B1 C﹣3 D3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，作和得答案【解答】解：∵＝，∴，则＝故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2设集合A＝{x|x＞a2}，B＝{x|x＜3a﹣2}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A（1，2）B（﹣∞，1）∪（2，+∞）C[1，2] D（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】根据A∩B＝∅即可得出a2≥3a﹣2，求出a的取值范围即可【解答】解：∵A∩B＝∅，∴a2≥3a﹣2，解得a≤1或a≥2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，1]∪[2，+∞）故选：D【点评】考查交集的定义及运算，描述法的定义，空集的定义3若曲线y＝sin（4x+φ）（0＜φ＜2π）关于点对称，则φ＝（）A B C D【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求出φ的值【解答】解：∵曲线y＝sin（4x+φ）（0＜φ＜2π）关于点对称，∴4•+φ＝π或 4•+φ 2＝π，求得φ＝或φ＝，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题4若x＞0，y＜0，则下列不等式一定成立的是（）A2x﹣2y＞x2BC2y﹣2x＞x2D【分析】由已知可得2x﹣2y＞0，，则答案可求【解答】解：∵x＞0，y＜0，∴2x＞2y，∴2x﹣2y＞0，∵x＞0，∴，则2x﹣2y＞故选：B【点评】本题考查指数、对数函数与不等式的交汇，考查逻辑推理能力，是基础题5如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝（）A B C D【分析】根据条件可得出CD∥AB，AB＝2CD，从而得出【解答】解：∵C，D是半圆弧的两个三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD，∴故选：D【点评】考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算617世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，根据这些信息，可得sin234°＝（）A B C D【分析】由已知求得∠ACB＝72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°【解答】解：由图可知，∠ACB＝72°，且cos72°＝∴cos144°＝则sin234°＝sin（144°+90°）＝cos144°＝故选：C【点评】本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题7若函数，在（﹣∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为（）A[0，17] B（﹣∞，17] C[1，17] D[1，+∞）【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可【解答】解：函数，x∈（﹣∞，1]时，函数是增函数；x∈（1，+∞）函数是增函数，因为f（1）＝4，f（17）＝4，所以a的取值范围为：[1，17]故选：C【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，是基本知识的考查8如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点A（2，15），则圆C的半径为（）A B8 C D10【分析】由题意利用直线和圆相切的性质，先求出圆心的坐标，从而求得半径【解答】解：∵圆C经过点（2，1）和点（2，15），故圆心在直线y＝8上又过点（2，1）的圆的切线为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0，故圆心在直线y﹣1＝x ﹣2上，即圆心在直线x﹣y﹣1＝0上由可得圆心为（9，8），故圆的半径为＝7，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，圆的标准方程，属于基础题9函数f（x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|的图象大致为（）A BC D【分析】根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|＝f（x），则函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x＞1时，f（x）＞0，排除A，当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键102019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为（）A20.5元B21元C21.5元D22元【分析】由排列组合中的相邻问题捆绑法运算可得解【解答】解：由排列组合中的相邻问题捆绑法可得：照片的总数为＝144，则每名老党员需要支付的照片费为＝21，故选：B【点评】本题考查了排列组合的应用，考查应用意识与解决实际问题的能力，属中档题11在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，BC，C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG其中所有正确结论的编号是（）A①B②③C①②D①③【分析】画出图形，判断三角形的形状即可判断①的正误；判断三角形的形状即可判断②的正误；利用直线与平面平行的判断定理即可判断③的正误；【解答】解：设正方体的棱长为：2，①由题意可知EG＝EF＝GF＝，所以△EFG为正三角形；所以①正确；②取AC的中点H，连接GH，A1H，可知GH∥C1F，∠A1GH就是异面直线A1G与C1F所成角，三角形A1GH是等腰三角形，A1G≠A1H＝GH，所以异面直线A1G与C1F所成角不是60°；所以②不正确；③△EGF是正六边形EKFMGN所在平面内的三角形，AC∥KF，可知AC∥平面EFG所以③正确；故选：D【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，空间直线与直线，直线与平面的位置关系的综合应用，属难题12函数在区间[﹣3，2）∪（2，3]上的零点个数为（）A2 B3 C4 D5【分析】将函数化简为（x2﹣2x）e x＝，转换成两函数g （x）＝（x2﹣2x）e x，h（x）＝相交的个数即为零点个数，利用g（x）的导函数，分类讨论x范围，判断其单调性和函数的最值，数形结合可知两函数的交点的个数，可得答案；【解答】解：求函数在区间[﹣3，2）∪（2，3]上的零点，令函数＝0，化简得（x2﹣2x）e x＝，设g（x）＝（x2﹣2x）e x，h（x）＝，则g′（x）＝（x2﹣2）e x当﹣3≤x＜﹣时，g′（x）＞0，当﹣＜x＜时，g′（x）＜0，当＜x≤3时，g′（x）＞0所以g（x）的极小值为g（）＝（2﹣2）＜h（），极大值为g（﹣）＝（2+2）＞h（﹣），又g（﹣3）＝＞＝h（﹣3），g（3）＞h（3），且h（x）在[﹣3，﹣），（﹣，0）上单调递增，在（0，），（，3]上单调递减，结合这两个函数的图象：可知这两个函数的图象共有4个交点，从而f（x）在区间[﹣3，2）∪（2，3]上的零点个数为4个零点；故选：C【点评】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13随着互联网的发展，网购早已融人人们的日常生活网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为0.42【分析】由题意利用相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得结果【解答】解：在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为•0.7•（1﹣0.7）＝0.42，故答案为：0.42【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题14设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边已知a sin A＝2b cos A cos C+2c cos A cos B，则tan A＝ 2【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知即可求解【解答】解：因为a sin A＝2b cos A cos C+2c cos A cos B，所以sin2A＝2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝2cos A sin（B+C）＝2sin A cos A，又sin A＞0，所以sin A＝2cos A，即tan A＝2故答案为：2【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了运算运算求解能力，属于基础题15以椭圆在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为x2＝1 ；该双曲线的渐近线方程为y＝±2x【分析】求得椭圆的焦点和顶点坐标，设双曲线的方程为（a，b＞0），可得a，c，进而得到b的值，可得双曲线的方程然后求解渐近线方程【解答】解：椭圆在x轴上的顶点（，0）和焦点（±1，0），设双曲线的方程为（a，b＞0），可得a＝1，c＝，b＝2，可得x2﹣＝1双曲线的渐近线方程为：y＝±2x故答案为：x2﹣＝1；y＝±2x【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题16已知直线y＝a与双曲线的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2|，若，则双曲线C的离心率为或【分析】设出双曲线的焦点，利用一条渐近线方程可得P的坐标，结合已知条件列出方程，然后求解离心率【解答】解：双曲线的一条渐近线：y＝，则P（，a），因为，所以，可得，所以，从而e＝＝，然后双曲线的渐近线为：y＝﹣，则p（﹣，a），同理可得e＝故答案为：或【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d （1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n【分析】（1）由题意可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求a n，求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和可得所求和【解答】解：（1）公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d，可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；或a n＝6+n﹣1＝n+5，n∈N*；（2）a1，a4，a13成等比数列，可得a1a13＝a42，即a1（a1+12d）＝（a1+3d）2，化为d＝0或2a1＝3d，由（1）可得a1＝3，d＝2，则a n＝2n+1，＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题18（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，，，且AB＝B1C（1）证明：CD⊥平面ABB1A1（2）求CD与平面A1BC所成角的正弦值【分析】（1）推导出CD⊥AB，连结B1D，设AB＝2a，推导出CD⊥B1D，由此能证明CD⊥平面ABB1A1（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出CD与平面A1BC 所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：∵D为AB的中点，AC＝BC，∴CD⊥AB，连结B1D，设AB＝2a，∵四边形ABB1A1是菱形，D为AB中点，∠ABB1＝，∴B1D＝，又△ABC为等腰直角三角形，，∴CD＝a，∴＝B1C2，∴CD⊥B1D，∵AB∩B1D＝D，∴CD⊥平面ABB1A1（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AB＝2a，则D（0，0，0），A1（0，2a，a），B（0，﹣a，0），C（a，0，0），∴＝（0，3a，），＝（0，a，0），＝（﹣a，0，0），设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣1，1，﹣），设CD与平面A1BC所成角为θ，则sinθ＝＝＝∴CD与平面A1BC所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为80分及以上的产品为一等品（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，能求出a，由频率分布直方图能求出综合评分的中位数（2）设所抽取的产品为一等品的个数为X，则X～B（3，），由此能求出X的分布列和所抽取的产品为一等品的数学期望E（X）【解答】解：（1）由（0.005+0.010+0.025+a+0.020）×10＝1，解得a＝0.040，令中位数为x，则（0.005+0.010+0.025）×10+0.040×（x﹣80）＝0.5，解得x＝82.5，∴综合评分的中位数为82.5（2）由（1）与频率分布直方图知：一等品的频率为（0.040+0.020）×10＝0.6，设所抽取的产品为一等品的个数为X，则X～B（3，），∴P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝∴X的分布列为：X 0 1 2 3P所抽取的产品为一等品的数学期望E（X）＝3×＝【点评】本题考查概率、中位数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线M：y2＝2px（p＞0）的准线经过C的左焦点F（1）求C与M的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与M交于P，Q两点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明：直线DE的斜率为定值【分析】（1）由题意可得a，c的值，运用b2＝a2﹣c2，求得b，可得椭圆C的方程，由M的准线经过点F，求得p，即可得解M的方程；（2）设直线l的方程为y＝kx+1，可得y2﹣y+1＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，又由，可得y D＝，可得D，E的坐标，计算k DE即可得证【解答】解：（1）由题意，可得2a＝2，2c＝2，所以a＝，c＝1，所以b＝＝1，所以C的方程为+y2＝1，所以F（﹣1，0），由于M的准线经过点F，所以﹣＝﹣1，所以p＝2，故M的方程为y2＝4x（2）证明：由题意可知，l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx+1，由，可得y2﹣y+1＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△＝1﹣k＞0，即k＜1，且k≠0，y1+y2＝，y1y2＝，又直线FP的方程为y＝（x+1），由，得y2﹣+4＝0，所以y1y D＝4，所以y D＝，从而D的坐标为（，），同理可得E的坐标为（，），所以k DE＝＝＝1为定值【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的顶点和焦点坐标，考查直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出，（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，对a分类讨论，利用单调性即可得出a的取值范围【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，设g（x）＝8x﹣sin﹣15，则g′（x）＝8﹣cos＞0，则g（x）单调递增，∵g（2）＝0，∴a＞2，当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1），∴a＞2，从而a＝e满足题意，当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，∴，∴，（*），设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，则h′（x）＝4e﹣cos＞0，则h（x）单调递增，∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），∴2＜a＜e，综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a 的取值范围为（2，e]【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线l：θ＝β（ρ∈R）与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B，若，求l的直角坐标方程【分析】（1）直接利用转换关系式的应用求出结果（2）利用极径的应用建立等量关系进一步求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4转换为极坐标方程为ρ＝4sinθ（2）曲线M的极坐标方程为所以将θ＝β代入，由于曲线C的极坐标方程ρ＝4sinθ，所以|OA|＝4sin θ，所以|OA||OB|＝，所以tanβ＝2，所以直线l的方程为y＝2x【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型23已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝3（1）证明：（2）证明：9ab+bc+4ac≥12abc【分析】（1）根据基本不等式，借助综合法即可证明，（2）方法一：利用分析法，根据基本不等式即可证明，方法一：利用分析法，根据柯西不等式即可证明【解答】证明：（1）∵a，b，c为正数，∴a+b≥2，a+c≥2，b+c≥2，∴2（a+b+c）≥2+2+2，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，∴（2）方法一：要证9ab+bc+4ac≥12abc，只需证++≥12，即证（++）（a+b+c）≥36，即证1+4+9++++++≥36，即证+++++≥22，因为+≥2＝4，+≥2＝6，+≥2＝12，∴+++++≥22，当且仅当a＝，b＝1，c＝取等号，从而9ab+bc+4ac≥12abc方法二：要证9ab+bc+4ac≥12abc，只需证++≥12，即证（++）（a+b+c）≥36，根据柯西不等式可得（++）（a+b+c）≥（×+×+×）2＝（1+2+3）2＝36，当且仅当a＝，b＝1，c＝取等号从而9ab+bc+4ac≥12abc【点评】本题考查了不等式的证明，考查了转化思想，属于中档题。
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xx 届高考数学第五次模拟考试数学试卷（理科）A 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1． 计算：=+-ii i 1)1( （ ）A ．i -B ．iC ．1D ．-12．已知集合{}{}=>-=≤+-=B A x x B x x x A I 则集合,312,0652（ ）A ．{}32≤≤x xB ．{}32<≤x xC ．{}31<<-x xD ．{}32≤<x x 3．设随机变量服从正态分布,)1(),1,0(p p N =>ξ则=<<-)11(ξP（ ）A ．P 21B ．P -1C ．P 21-D ．P -214．01)12(1=+-+-=y m mx m 是直线和直线033=++my x 垂直的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．地球半径为R ，在北纬30°的圆上，A 点经度为东经120°，B 点的经度为西经60°， 则A 、B 两点的球面距离为 （ ）A ．R 3πB ．R π23C ．R π21D ．R π326．函数)2)(1ln(>-=x x y 的反函数是（ ）A ．)0(>+=x e y xB ．)0(1>-=x e y xC ．)(1R x e y x ∈+=D ．)(1R x e y x∈-=7．直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 上的点的最近距离是 （ ）A ．22B ．12-C ．122-D ．18．将函数∈+=x x y )(6sin(πR ）的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ）A ．))(1252sin(R x x y ∈+=πB ．))(1252sin(R x x y ∈+=πC ．))(122sin(R x x y ∈-=πD ．))(2452sin(R x x y ∈+=π9．若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．34≥a B ．10≤<aC ．341≤≤a D ．3410≥≤<a a 或 10．以知函数)32(log )(22--=x x x f ，则使)(x f 为减函数的区间是（ ）A ．（1,∞-）B ．)0,1(-C ．（1，2）D ．（1,3--）11．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有 （ ）A ．168个B ．174个C ．232个D ．238个 12．已知向量)sin 2,cos 2(θθ=a ，)1,0(),,2(-=∈b ππθ，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．θπ-23 B ．θπ+2 C ．2πθ- D ．θB 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．10)2(y x -的展开式中，含46y x 项的系数 .14．抛物线2ax y =的准线方程是1=y ，则a 的值为 .15．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21,632==S a 则公比=q . 16．关于正四棱锥ABCD P -，给出下列命题：○1异面直线PA 与BD 所成的角为直角； ○2侧面为锐角三角形； ○3侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角； ○4相邻两侧面所成的二面角为钝角。
其中正确命题的序号是 . 三、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．（本小题满分10分）已知函数b x xa x f ++=)sin 2cos2()(2。
（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 的单调递增区间：（Ⅱ）当0>a ，且[]π,0∈x 时，)(x f 的值域是[]4,3，求b a ,的值。
18．（本小题满分12分）袋中装有大小相等的3个白球，2个红球和n 个黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球0分，用ξ表示所得分数，已知得0分的概率为61。
（Ⅰ）袋中黑球的个数n ；（Ⅱ）ξ的概率分布列及数学期望ξE 。
19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111C B A ABC -中，D 是BC 的中点，11==AB AA （Ⅰ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅱ）求二面角D AB B --1的大小。
20．（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆的1422=+y x 左，右焦点。
（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且4521=⋅PF PF ， 求点P 的坐标。
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线与椭圆交于不同的两点B A ,，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。
21．（本小题满分12分）已知：K K 3,2,1,)1()1(,)(221=⋅-=-+++=n n f x a x a x a x f nn n n n（Ⅰ）求;,,321a a a（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求证：1)31(<n f22．（本小题满分12分）已知函数)0()(,ln )(<==a xax g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。
（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值。
（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)12(2-++=m x ag y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。
参考答案一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分1.C2.D3.C4.A5.D6.A7.C8.B9.D 10.D 11.B 12.A 二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．840 14．－41 15．2或2116．○1○2○3○4 三、解答题 （本大题共6小题，共计70分）17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）1)4sin(2sin cos 1)(+++=+++=b x b x x x f πΘ，）（，递增区间为Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∴κπκππκπ42432 ……………………4分 （Ⅱ）b a x a b a x x a x f +++=+++=)4sin(2)cos (sin )(πΘ…………6分而[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∈1,22)4sin(,45,44,,0πππππx x x 则 …………8分 故⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++,3)22(242b a a b a a ⎩⎨⎧=-=∴.312b a ………………………………10分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）61)0(252===+n n C C p ξΘ， …………………………………………3分4)(1,0432=-==--∴n n n n 或舍去解得即袋中有4个黑球。
…………5分（Ⅱ）可能的取值ξ0， 1， 2， 3， 4。
61)0(==ξp Θ，,3611)2(,31)1(29121423291314=⋅+=====C C C C P C C C P ξξ 61)3(291213=+==C C C P ξ， 361)4(2922===C C P ξ ……………………8分 的概率分布列为ξ∴ξ 01234P6131 3611 61 361 9364633623160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………………………12分19．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）证明：连接。
，连接设DE E AB B A B A =111,I ABC Θ ，是正三棱柱，且AB AA C B A =1111 是正方形，四边形11ABB A ∴的中点，是的中点，又是BC D B A E 1∴DE ∴∥C A 1。
……………………3分，平面，平面D AB C A D AB DE 111⊄⊂Θ C A 1∴∥平面D AB 1 …………………………5分（Ⅱ）解：在平面内作，在面于点内作11ABB A F AB DF ABC ⊥。
，连接于DG G AB FG 1⊥，平面，平面平面1111ABB A DF ABC ABB A ⊥∴⊥Θ1111AB DG AB FG ABB A DG FG ⊥∴⊥，上的射影，在平面是ΘΘB FGD 是二面角∠∴—1AB —的平面角D ……………………8分设43,11=∆==DF ABC AB A A 中，在正。
在36tan 82343==∆=⋅=∆FG DF FGD DFG Rt BE FG ABE 中，，在中， 所以，二面角B —1AB —D 的大小为36arctan。
………………12分 解法二：建立空间直角坐标系D —xyz ，如图，（Ⅰ）证明：连接，设E AB B A B A =111,I 连接DE 。
设11==AB A A则），，，（），，，（12300001A D ），，（），，，（0021214341C E -），，（），，，（214341123211-=--=∴DE C AC A DE C A 112∴-=∴∥DE 。
…………………………3分C AD AB C A D AB DE 1111∴⊄⊂，平面，平面Θ∥平面D AB 1…………5分（Ⅱ）解：)1,0,21()0,23,0(),1,0,21(),0,23,0(11-==∴-D B AD B A Θ 设0,0),,(11111=⋅=⋅=D B n AD n D AB r q p n 且的法向量，则是平面 故 );1,0,2(,1.021,0231===-=-n r r p q 得取 同理，可求得平面)0,1,3(21-=n B AB 的法向量是。
………………9分 设二面角B —1AB —D 的大小为θ515cos 2121=⋅=n n n n θΘ B 二面角∴ 1AB D 的大小为515arccos。
……………………12分解：（Ⅰ）易知3,1,2===c b a 。
则设).0,0)(,().0,3(),0,3(21>>-∴y x y x p F F14,453),3(,322221=+-=-+=-----=⋅y x y x y x y x PF PF 又）（，………………………………3分联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14472222y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==43122y x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒231y x ，)23,1(p ………………5分 （Ⅱ）显然不满足题设条件0=x …………………………………………6分 可设).,(),,(,22211y x B y x A kx y l 设的方程为+=联立01216)41(4)2(4214222222=+++⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k kx x kx y y x2212214116,4112kkx x k x x +-=++=∴ ……………………………………7分 由012)41(4)16(22>⋅+⋅-=∆k k 034,0)41(316222>->+-k k k得432>k ○1 …………………………………………8分 又00cos >⋅⇔>∠⇔∠OB OA AOB AOB 为锐角，02121>+=⋅∴y y x x ………………………………………………9分又4)(2)2)(2(212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y4)(2)1(212122121++++=+∴x x k x x k y y x x44116241)1(124)4116(24112)1(222222++⋅-++=++-++⋅+=k kk k k k k k k.441,041)4(4222<<-∴>+-=k kk ○2 ……………………………………11分 综○1○2可知），（），的取值范围是（223232,4432Y --∴<<k k …………12分解：（Ⅰ）由已知1,1)1(111=-=-=-a a f 所以……………………………………1分3)1(,32)1(32132212-=-+-=-==+-=-a a a f a a a f 所以，所以，53=a ……3分（Ⅱ）n n f f a n n n n n n ⋅--+⋅-=---=⋅-++++)1()1()1()1()1()1(1111Θ12)1(11+=++=∴++n a n n a n n ，即所以对于任意的12,..........3,2,1-==n a n n …………………………7分（Ⅲ）nn x n x x x x f )12(....53)(32-++++=n n n f )21)(12(....)31(5)31(331)31(3-++++=∴ ○1 1432)31)(12(...)31(5)31(3)31()31(31+-++++=⋅n n n f ○2 ○1—○2，得 132)31)(12()31(2...)31(2)31(231)31(32+--++++=n n n n f …………9分 n n n n n )31(32232)31)(12(311)31(1923111+-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-n n n f 311)31(+-=∴…………11分 又1)31(..,.........3,2,1<=n f n 故…………12分22．（本小题满分12分）解.(Ⅰ) F 0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('22>-=-=x xax x a x x F ）上单调递增。