计算方法的牛顿法
牛顿法 微分方程
牛顿法微分方程
牛顿法一般是求解函数的极小值，它是通过求解一阶和二阶连续微分
方程组来求解函数的极小值的方法，并且在众多非线性最优化问题中
得到应用。
一、牛顿法求解的原理
牛顿法是一种基于梯度和海森堡矩阵来求解函数的极小值的迭代方法。
它的核心思想是：在原点处对函数求导，形成一个函数曲线，然后根
据函数曲线的梯度下降到函数的极小值处。
牛顿法有助于提高收敛速度，能够较快的发现最优点。
二、牛顿法在微分方程中的应用
（1）牛顿法可以用于求解微分方程，如多元求导法可以用于求解多元
微分方程，有限差分可以用来求解偏微分方程；
（2）牛顿法也可以用来求解反常微分方程，有时候只需要泰勒展开，
然后根据此将方程转化为常规微分方程；
（3）牛顿法还可以用于求解复杂的非线性微分方程，只要能够构造出
适当的函数，形成二阶导数矩阵，即可以应用。
三、牛顿法的优缺点
（1）优点
1）牛顿法可以快速收敛，只要很快就可以收敛到极小值；
2）牛顿法可以计算复杂的系统，适用性强，可以使用在一维函数上也可以用于多维函数；
3）可以求解几乎所有的非线性问题，比较灵活；
（2）缺点
1）牛顿法对函数可导性有较高要求，当函数曲线不够光滑时，会影响收敛效果；
2）由于计算二阶连续微分方程组求解时，需要较大的计算量，当数据量很大的时候就会影响收敛速度；
3）求解线性方程优于求解非线性方程，在解决复杂的非线性方程时，牛顿法的精度较低，甚至可能无法收敛到极小值。
计算方法 3 牛顿插值
2
分析
显然， L2 ( x0 ) y0，L2 ( x1 ) y1；利用插值 条件， L2 ( x2 ) y2 y1 y0 y 2 y0 ( x2 x0 ) a ( x2 x0 )( x2 x1 ) x1 x0 y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 y1 y0 a L2 y0 ( x x0 ) x2 x1 x1 x0 y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 ( x x0 )( x x1 ) x2 x1
计算方法（2016/2017 第一学期） 贾飞 西南科技大学 制造科学与工程学院
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牛顿基本插值公式
其中，线性部分 N 1 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) 满足 N 1 ( x0 ) f ( x 0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) N 1 ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 x0 ) f ( x1 ) x1 x0 N 1 ( x ) 为 f ( x ) 以 x0，x1 为插值结点的 线性插值函数，即： N （ 1 x ) L1 ( x )
西南科技大学
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16
解：构造差商表如下，
xi -2 0 f(xi ) 1阶 17 1 -8 1 17 3 8 1.25 2阶 3阶
1
2
2
19
N 3 ( x ) 17 8( x 2) 3( x 2) x 1.25( x 2) x ( x 1) f 0.9 N 3 (0.9) 1.30375, R3 0.9 1.25 0.9 2 0.9 0.9 1 0.9 2 0.358875
数学优化中的牛顿法和拟牛顿法
数学优化中的牛顿法和拟牛顿法在数学中，优化是一个非常重要的研究领域，其目的是找到使某个函数达到最大或最小值的变量集合。
在实际应用中，很多问题都可以转化为优化问题，如机器学习、经济学、物理学等。
在优化领域中，牛顿法和拟牛顿法是两种常见的方法。
本文将介绍这两种优化方法的基本原理、优缺点以及应用场景。
一、牛顿法牛顿法（Newton's method）是由数学家牛顿发明的非线性优化方法，其思想是利用函数的泰勒级数展开进行逼近。
具体来说，牛顿法先求出目标函数的一阶和二阶导数，然后使用二阶导数来逼近目标函数本身，进而得到近似最优解。
牛顿法的数学公式如下：$$\boldsymbol{x}_{k+1}= \boldsymbol{x}_{k} -{\boldsymbol{\nabla}^2 f(\boldsymbol{x}_k)^{-1}}\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}_k)$$其中，$\boldsymbol{x}_k$ 表示第 $k$ 次迭代的解，$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}_k)$ 和$\boldsymbol{\nabla}^2 f(\boldsymbol{x}_k)$ 分别表示目标函数在$\boldsymbol{x}_k$ 处的一阶和二阶导数。
牛顿法的优点是收敛速度非常快，通常只需要很少的迭代次数即可达到最优解。
另外，牛顿法适用于连续可微、二阶可导的函数，因此适用范围广。
然而，牛顿法也存在一些缺点，例如无法处理不可导或一阶可导但二阶不可导的函数。
此外，牛顿法需要计算目标函数的二阶导数，因此在大规模问题上计算成本很高。
二、拟牛顿法拟牛顿法（quasi-Newton method）是一类基于牛顿法的优化算法，它通过逼近目标函数的海森矩阵来求解。
拟牛顿法没有计算海森矩阵的显式表达式，而是通过估计海森矩阵的变化来逼近。
最简单和最流行的拟牛顿法是BFGS算法和L-BFGS算法。
计算方法-牛顿求根
1 3 1 3 ( 4) x k 1 x , ( x ) x , k 2 xk 2 x 3 1.7320508 1 3 ( x ) 1 2 , ( x ) ( 3 ) 0. 2 x 取x0=2, 对上式4种迭代法, 计算三步所得结果入下表. k xk 迭代法(1) 迭代法(2) 迭代法(3) 迭代法(4) 0 x0 2 2 2 2 1 x1 3 1.5 1.75 1.75 2 x2 9 2 1.73475 1.732143 3 x3 87 1.5 1.732361 1.732051 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆
( x ) ( 3 ) 2 3 1 1 . 3 3 3 ( 2 ) x k 1 , ( x ) , ( x ) 2 , ( x ) 1. xk x x 1 2 1 2 ( 3) x k 1 x k ( x k 3), ( x ) x ( x 3), 4 4 1 3 ( x ) 1 x , ( x ) 1 0.134 1. 2 2
f ( xk ) xk 1 =xk f ( xk )
(k 0,1,2)
局部收敛于 ，且为平方收敛。
牛顿迭代法的收敛性
牛顿迭代法的迭代函数为
f ( x) ( x) x f ( x )
设α是f(x)的一个单根，即f(α)=0有
f ( x ) f ( x ) ( x ) 0, * 2 [ f ( x )] f ( x ) (x ) 0. f ( x )
(2) 按公式 xk 1 得新的近似值xk+1 (3) 对于给定的允许精度，如果 | xk 1 xk | 则终止迭代，取 x* xk 1;否则k=k+1，再转 步骤(2)计算 允许精度
牛顿法原理
牛顿法原理
牛顿法是一种可以将非线性收敛到最小值的迭代法，是以传统意义上的函数最小值求解和极值求解具有重要意义的数值解法之一。
牛顿法（Newton's Method）或称牛顿迭代法，由英国数学家牛顿提出。
它是一种以逐步逼近的方式来求解极值，也就是最优求解法。
它可以帮助求解数学中连续函数极值及根的值，是近代数值分析的重要组成部分，也是当今最重要的最优方法之一。
牛顿法的基本思想是，如果一个连续函数的图像在某一点处有极值，那么该点处函数的导数为零，它即为函数的极值点。
根据这一思想，牛顿法寻找极值点，即就是不断从起点开始，计算梯度并根据梯度计算新的点，然后继续重复上面的步骤，直到收敛为止。
牛顿法的具体步骤有：
（1）确定变量的初始值，使用方程组求解；
（2）计算变量的一阶偏导数；
（3）根据一阶偏导数的函数值更新变量的值；
（4）用新值计算梯度，若精度满足要求，则可结束；若未满足要求，则重复步骤2和3。
在求解函数极值时，牛顿法优于迭代法。
牛顿法不仅使函数值逐渐收敛到极值，而且保持精度高。
其收敛速度快，收敛精度高，且稳定性好，而迭代法则收敛缓慢，而且收敛精度也不高。
总之，牛顿法是通过不断迭代计算求取函数极值的一种简便有效的求解方法，利用它求解特定类型函数的极值及其根可以弥补非线性方程其他求解方法的盲点，大大的提高了求解的效率。
牛顿法、拟牛顿法、高斯-牛顿法、共轭梯度法推导总结
牛顿法、拟牛顿法、高斯-牛顿法、共轭梯度
法推导总结
一、牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代方法。
牛顿法的基本思想是：在当前点附近，用一次泰勒展开式近似原函数，然后求解近似函数的极值点。
牛顿法每次迭代所需要的计算量较大，但其收敛速度较快。
二、拟牛顿法
拟牛顿法是一种求解无约束极值问题的优化算法。
拟牛顿法是将牛顿法中Hessian矩阵用近似Hessian矩阵Bk表示的算法。
拟牛顿法的计算量比牛顿法小，但是收敛速度较牛顿法慢。
三、高斯-牛顿法
高斯-牛顿法是求解非线性最小二乘问题的一种迭代算法。
该算法假设误差服从高斯分布，利用牛顿法求解目标函数的局部极小值，以最小化残差平方和。
高斯-牛顿法在处理非线性最小二乘问题时具有很好的收敛性。
四、共轭梯度法
共轭梯度法是解决对称正定线性方程组的迭代算法。
该算法通过对一个对称正定矩阵进行迭代求解，寻找线性方程组的解。
共轭梯度法的优点是可以使用较少的内存和计算量实现高效的求解。
以上算法都是数值优化中比较常用的算法，它们各自具有不同的优缺点，可根据实际问题的特点来选择合适的算法。
牛顿法
牛顿法牛顿法（英语：Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（英语：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
起源：牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿去世后的1736年公开发表）中提出。
约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。
原理：二阶逼近牛顿法对局部凸函数找到极小值，对局部凹函数找到极大值，对局部不凸不凹函数可能找到鞍点牛顿法要求估计二阶导数。
牛顿法据称比直接计算要快了4 倍。
其中的两次迭代（第二步迭代被注释掉了）就是用的牛顿法来求解方程，也就是的根。
牛顿法的思想其实很简单，给定一个初始点，使用在该点处的切线来近似函数，然后寻找切线的根作为一次迭代。
比如对于这个例子，令，给定初始点，在该点处的导数是，由此可以得到该处的切线为，求解得到正是代码中的迭代。
当然代码的重点其实不在这里，而在0x5f3759df这个奇怪的magic number，用于得到一个好的初始点。
这个神奇的数字到底是谁发现的，根据wikipedia 上的说法似乎至今还没有定论。
xkcd 还为此画了一条漫画，讽刺说每次我们惊奇地发现工业界里不知道哪个无名人士写出了0x5f3759df之类的神奇数字，背后都有成千上万的其他无名人士我们无从知晓，说不定他们中的某一个人已经解决了P=NP 的问题，但是那人却还在调某个自动打蛋器的代码所以我们至今仍无知晓。
:D回到我们今天的话题，从这段代码中我们可以看到两点：牛顿法收敛非常快，对于精度要求不是特别高的情况，比如上面的图形学相关的计算中，甚至只用了一次计算迭代。
另一方面，初始值的选取非常重要，我们接下去将会看到，初始值选得不好有可能会直接导致算法不收敛。
牛顿法程序
牛顿法程序牛顿法是一种常用的数值计算方法，常被用于求解方程的根。
它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到找到满足精度要求的解。
下面将介绍牛顿法的原理和实现过程。
一、原理牛顿法的核心思想是利用函数的局部线性逼近来寻找方程的根。
具体来说，假设我们要求解方程f(x)=0的根，首先选取一个初始点x0，然后通过函数的切线来逼近方程的根。
根据切线的定义，切线的斜率等于函数在该点的导数。
因此，我们可以用切线的方程来表示初始点x0和方程根之间的关系：f(x0)+f'(x0)(x-x0)=0将上述方程解出x，即可得到一个新的逼近点x1。
重复此过程，直到找到满足精度要求的解。
二、实现过程下面是一个使用牛顿法求解方程根的Python程序示例：```pythondef newton_method(f, df, x0, epsilon, max_iter):x = x0iter_count = 0while abs(f(x)) > epsilon and iter_count < max_iter: x = x - f(x) / df(x)iter_count += 1if abs(f(x)) <= epsilon:return xelse:return None# 测试函数def f(x):return x**2 - 2# 测试函数的导数def df(x):return 2*x# 初始点x0 = 1# 精度要求epsilon = 1e-6# 最大迭代次数max_iter = 100# 调用牛顿法求解方程的根root = newton_method(f, df, x0, epsilon, max_iter)if root is not None:print("方程的根为：", root)else:print("未找到方程的根")```在上述程序中，我们首先定义了一个`newton_method`函数，接受一个函数`f`、其导数函数`df`、初始点`x0`、精度要求`epsilon`和最大迭代次数`max_iter`作为参数。
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| xk1 xk | 则终止迭代，取 x* ;否x则k k1=k+1，再转
步骤(2)计算
允许精度
最迭大次代迭数信代息
例题1
用Newton法求方程x ex 2 的0根,要求
迭代格式一： xk1 ln(2 xk )
迭代格式二： xk1
xk
xk exk 2 1 exk
取初值x0＝0.0,计算如下：
g(x) x f (x) f (x)
g(x*)
f (x*) f (x*) 01
[ f (x*)]2
在x*的附近收敛
由Taylor 展开：
0
f (x*)
f (xk )
f (xk )(x * xk )
f
(k
2!
)
(
x
*
xxk ) (xk )
f (k )
2 f (xk )
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(
2!
) (Nxewtxon0 )2
迭代公式
0 f (x*) f (x0) f (x0)(x * x0)
x*
x0
f (x0 ) f (x0 )
x1 x0
f ( x0 ) f ( x0 )
重复上述过程
作为第一次近似值
xk1 xk
例题2
求函数 f x x3 10x2 19的.6正8x实1根0.944
精度要求： 106
用Matlab画图，查看根的分布情形
从图形中我们可 以看出：
➢ 在x=7和x=8 之 间有一单根；
➢ 在x=1和x=2 之 间有一重根。
取初值x0＝8.0,用牛顿迭代公式计算如下：
取初值x0＝1.0,用牛顿迭代公式计算如下：
在[a, b]上的根,且 f (x*) 0，则存在 x* 的邻域 U (x*)
使得任取初始值 x0 U (x*)，Newton 法产生的序列 { xk } 收敛到 x*，且满足
| lim k |
xk1 x* | xk x* |2
| 2
f |
(x*) | f (x*) |
至少平方收敛
证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法
| xk1 xk | 105
➢ 对迭代格式一: the iterative number is 27, the numerical solution is 0.442852706
➢ 对迭代格式二: the iterative number is 3, the numerical solution is 0.442854401
全局收敛性定理(定理3.3.1)：设 f (x)C2[a, b]，若
(1) f (a) f (b) < 0； (2) 在整个[a, b]上 f (x) 0；
有根
(3) f (x)在 [a, b]上不变号 根唯一
(4) 选取初始值x0 [a, b] 使得 f (x0) f (x0) > 0； 则由Newton法产生的序列{ xk } 单调地收敛到 f (x)=0 在 [a, b] 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的
数值分析
非线性方程的牛顿法
(Newton Method of Nonlinear Equations )
内容提纲（Outline)
➢ 牛顿法及其几何意义 ➢ 收敛性及其收敛速度 ➢ 计算实例及其程序演示
一、牛顿法及其几何意义
基本思路：将非线性方程f(x)=0 线性化
取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:
x *
* f(
)
k
x x x x k1
k
f '( )
xk
(
x
k
x*)
(m 1)q(xk) (xk mq(xk) (xk
x*)q '(x x*)q '(xk)
k
)
x x k1
k 1
*
m 1
lim lim k
k
*
m
x x k
k
Answer2: 线性收敛
x0 x0 x✓0
x*
结论：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。
对迭代公式两边取极限，得 f ( )
f '( )
三、计算实例及其程序演示
辅助工具: ➢VC程序设计语言 ➢Matlab数学软件
计算步骤
(1) 选定初值x0 ,计算f (x0) , f (x0)
(2) 按公式 xk1 xk 得新的近似值xk+1
迭ff代((xxkk
) )
(3) 对于给定的允许精度，如果
(
x
*
xk
)2
x * xk1 (x * xk )2
f (k )
2 f (xk )
令k ，由 f (x*) 0，
即可得结论。
思考题1 若 f (x*) ，0 Newton法是否仍收敛？
设 x* 是 f 的 m 重根，则令： f (x) (x x*)m q(x)
且 q(x*) 0
g(x) f (x) f (x) [ f (x)]2
保证Newton迭 代函数将[a,b]映
射于自身
保证产生的序列
{xk}单调有界
证明：以
f '( x) 0, f "( x) 0, f ( x ) 0 0
为例证明
将f(x*)在 xk 处作Taylor展开
0=f (x*)
f
(x
)
f
'(x
)(x*
x
)
f
"( k
)
(
x*
x
)2
k
k
k
x* x
f (x ) k
f (xk ) f (xk )
牛顿法的几何意义
Tangent line : y f (x0) f (x0)(x x0)
y
x1 x0
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x2
x1 x0
牛顿法也称为切线法
x
x2
x1
f ( x1) f ( x1)
二、牛顿法的收敛性与收敛速度
（局部收敛性定理） 设 f (x)C2[a, b]，若 x* 为 f (x)
q(x)[m(m 1)q(x) 2m(x x*)q(x) (x x*)2 q(x)]
[mq(x) (x x*)q(x)]2
| g(x*) | 1 1 1 m
Answer1: 有局部收敛性
思考题2 当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？
f '(x) m(x x*) q( m1 x) (x x*)mq '(x)
f
"( k
)
(x*
x
)2
2!
k
k f '(x ) 2 f '(x )
k
k
k
xk 1
f "( k
2 f '(x
) )
( x*
x k
)2
xk 1
k
*
说明数列{xk}有下界 x
又
x1
x 0
f f
(x ) 0
'(x )
x 0
0
x
f (x ) x k x
？
k1 k f '(x ) k
k
故{xk}单调递减, 从而{xk}收敛.令 x lim k k