分数乘分数微课教学设计

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分数乘分数教学设计(优秀3篇)

分数乘分数教学设计(优秀3篇)

分数乘分数教学设计(优秀3篇)六年级数学《分数乘分数》教案篇一教学目标:1、经历动手操作、画图表示、推导、归纳等探索分数乘分数计算方法的过程。

2、掌握分数乘分数的计算方法,会正确进行分数乘分数的计算。

3、体验分数乘分数计算方法的探索性,感受画图分析问题、研究问题的直观性。

教学准备:教学课件、长方形彩纸。

一、折纸教师说明折纸要求,让学生动手操作,折出这张纸的二分之一和四分之一。

课件演示折纸过程,帮助学生理解四分之一是二分之一的二分之一。

二、种地问题1、课件出示问题,根据题意出示图示。

2、提出问题(1),继续出示图,使学生明白求西红柿地占整块地的几分之几就是求1/3的1/2是多少,用乘法计算。

列出算式,并结合图得出:1/31/2=(11)/(32)=1/6.3、提出问题(2),方法和过程同问题(1)。

三、总结计算方法师生共同总结出计算方法:分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。

完成试一试的四道题。

四、课堂练习1、练一练第1题。

2、练一练第2题。

3、练一练第3题。

4、练一练第4题。

5、练一练第5题。

由折纸引入学习活动,既调动学生学习的兴趣,又是分数乘法问题的准备。

结合课件直观演示,帮助学生弄清题意。

结合课件演示,使学生理解题意,明白求西红柿地占整块地的几分之几就是求1/3的1/2是多少,用乘法计算。

为总结计算方法作铺垫。

先让学生观察两个算式,自己总结方法,教师指导归纳,培养学生的概括、归纳能力。

让学生独立尝试计算。

再交流。

分数乘分数问题的抽象描述,培养学生逻辑思维能力。

其中的指谁的?理解这个问题,学生就知道了是求1/4的2/5是多少。

通过面积计算,巩固分数乘法计算方法。

关注比较方法,进一步理解分数乘法的抽象描述。

在已有知识基础上,学生独立完成。

师:请同学们拿出一张长方形纸,对折一次,再对折,折出的纸片面积是原来长方形纸面积的几分之几?生:折出的纸片面积是原来长方形纸面积的1/4.师:折出的纸片面积是原来长方形纸的一半的几分之几?生:折出的纸片面积是原来长方形纸的一半的1/2.师:也就是说四分之一是二分之一的二分之一。

2023年人教版数学六年级上册分数乘分数公开课教案(优选3篇)

2023年人教版数学六年级上册分数乘分数公开课教案(优选3篇)

人教版数学六年级上册分数乘分数公开课教案(优选3篇)〖人教版数学六年级上册分数乘分数公开课教案第【1】篇〗六年级数学上册:分数乘分数教案【教学内容】教材第3页例3及做一做,第5页例4以及“做一做”,练习二中的4~13题。

【教学目标】1.掌握分数乘分数的意义,并能正确地进行计算。

2.使学生掌握分数乘分数,应该先约分再乘,这样使计算简单,并掌握怎样先约分。

【重难点、关键】重难点:分数乘分数的意义。

关键:应该先约分再乘,这样使计算简单,怎样先约分。

【教学准备】实物投影或者电脑课件。

【旧知铺垫】1.计算下面各题。

2.说一说,分数乘法的计算方法、步骤。

(1)整数与分子相乘的乘积作分子,分母不变。

(2)能约分的要先约分,再计算。

3.根据题意列出算式。

(1)一袋大米,每天用去kg,3天用去多少千克?(2)某修路队,每天修路km,5天修多少千米?(3)一辆汽车,每小时行驶全程的,4小时行驶全程的几分之几?【探索新知】1.教学例3。

出示题目:李伯伯家有一块公顷的地。

①种土豆的面积是多少公顷?②种玉米的面积是多少公顷?(1)理解题意,找出已知条件和未知问题。

已知条件:李伯伯家有一块公顷的地。

未知问题:①种土豆的面积是多少公顷?②种玉米的面积是多少公顷?(2)怎样列算式?为什么?求公顷的是多少?用乘法计算。

算式可以用×表示。

(3)合作探究×的意义。

①分小组合作探究,每小组拿出一张纸表示1公顷,折一折。

②学生展示交流。

③教师讲解意义。

求公顷的,就是把公顷平均分成5份,取其中的1份。

也就是把1公顷平均分成(2×5)份,取其中的1份,即从图中可以看出,求种土豆的面积是多少公顷,就是求的是多少。

所以×表示的意义是的是多少。

(4)分数乘分数的计算方法。

×==(公顷)(5)种玉米的面积是多少公顷?①算式怎么列?为什么?②讨论交流。

怎样理解的意义。

把平均分成5份,也就是把1公顷平均分成10份(2×5=10),1份是,3份是,即。

2023年人教版数学六年级上册分数乘分数优秀教案(精推3篇)

2023年人教版数学六年级上册分数乘分数优秀教案(精推3篇)

人教版数学六年级上册分数乘分数优秀教案(精推3篇)〖人教版数学六年级上册分数乘分数优秀教案第【1】篇〗《分数乘分数》教学设计教学内容:教科书第3~5页的例3及“做一做”。

教学目标:1.通过操作活动,使学生理解分数乘分数的算理,掌握分数乘分数的计算方法,能正确进行分数乘分数的计算。

2.使学生经历探索分数乘分数的计算过程,通过观察、猜测、操作、验证、交流、抽象概括等丰富的数学活动,运用数形结合、归纳推理的思想总结计算法则,并能用字母表示一般的法则。

3.使学生通过学习体会数学知识间的内在联系,增强自主探索与合作交流的意识,感受数学学习的乐趣。

教学重点:掌握分数乘分数的计算方法并能正确进行计算。

教学难点:理解分数乘分数的算理。

教学准备:多媒体课件,投影仪,一张长方形纸,水彩笔等。

教学过程:(一)温故知新,迁移导入1.温故。

(多媒体呈现)李伯伯家有一块5公顷的地,种土豆和玉米的面积各占这块地的和,___?(补充一个问题并解答)学生口答:种土豆和玉米的面积各有多少公顷?5×=1(公顷) 5×=3(公顷)反馈交流:大家同意吗?谁来说说列式依据和计算方法?归纳小结:求一个数的几分之几是多少用乘法计算。

而整数与分数相乘的计算方法是:整数与分子相乘的积作分子,分母不变,能约分的要先约分,再计算。

2.引新。

教师:看来同学们对分数乘法的意义和计算方法掌握得很好,为了考验大家,老师把刚才练习中的“5公顷”换成公顷,那么种土豆和玉米的面积又各是多少公顷呢?学生尝试,教师有选择地请多位学生代表板演,先独立思考、同桌互动,再全班交流。

(1)全班裁判:先来看看他们的列式×和×,你同意吗?(2)说一说:谁愿意来说说为什么这样列式?列式依据是什么?(3)比一比:与刚才的算式5×和5×比一比,它们的意义相同吗?(4)类比揭示:它们的意义完全相同,都是求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。

《分数乘分数》教案设计

《分数乘分数》教案设计

《分数乘分数》教案设计第一章:教学目标1.1 知识与技能理解分数乘分数的概念和意义。

掌握分数乘分数的计算方法。

能够运用分数乘分数解决实际问题。

1.2 过程与方法通过观察、操作、交流等活动,探索分数乘分数的计算方法。

培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

1.3 情感态度与价值观激发学生对数学的兴趣和好奇心。

培养学生的合作意识和团队精神。

第二章:教学内容2.1 教学重点分数乘分数的概念和计算方法。

运用分数乘分数解决实际问题。

2.2 教学难点理解分数乘分数的意义和计算过程。

灵活运用分数乘分数解决不同问题。

第三章:教学准备3.1 教具准备分数乘分数的计算器。

分数乘分数的示例题目和练习题。

3.2 学生准备学生应具备基本的分数知识。

学生应具备基本的乘法运算能力。

第四章:教学过程4.1 导入通过引入实际例子,激发学生对分数乘分数的兴趣。

引导学生思考如何计算两个分数相乘。

4.2 讲解与演示使用教具和示例题目,讲解分数乘分数的计算方法。

引导学生观察和理解分数乘分数的计算过程。

4.3 练习与讨论分组进行练习,让学生互相讨论和交流分数乘分数的计算方法。

鼓励学生提出问题和解决问题。

4.4 总结与拓展对分数乘分数的概念和计算方法进行总结。

引导学生思考如何运用分数乘分数解决实际问题。

第五章:教学评价5.1 课堂问答通过提问,检查学生对分数乘分数的理解和掌握程度。

5.2 练习题布置一些分数乘分数的练习题,让学生独立完成。

5.3 实际问题解决给学生一些实际问题,让他们运用分数乘分数的方法解决。

第六章:教学反思6.1 教师自评反思教学过程中的有效性和学生的参与程度。

思考如何改进教学方法,以提高学生的理解和掌握程度。

6.2 学生反馈收集学生的反馈意见,了解他们对分数乘分数的理解和困惑。

根据学生的反馈,调整教学内容和教学方法。

第七章:教学延伸7.1 拓展活动设计一些拓展活动,让学生进一步巩固分数乘分数的知识。

例如,让学生创作一些分数乘分数的数学题,并互相交换解答。

分数乘分数教学设计通用人教版分数乘分数教学设计(七篇)

分数乘分数教学设计通用人教版分数乘分数教学设计(七篇)

分数乘分数教学设计通用人教版分数乘分数教学设计(七篇)2023年分数乘分数教学设计通用一1、以学生进展为本,着力强化个人主体意识,同时关注学生学习动机、兴趣等情感态度。

2、从学生已有的认知进展水平和学问阅历动身,为学生带给充分从事数学活动的时机和充分的练习空间。

3、致力于转变学生的学习方式,关注过程,让学生经受学问的构成过程,感受验证、转化,以及“用数学学数学”等数学思想方法。

1、教学资料《分数的根本性质》一课是五年级下册第四单元的一个资料。

这局部资料是在学生学习了分数的好处、分数与除法的关系、商不变性质等学问的根底上进展教学的,它是以后学习约分、通分的依据。

因此,分数的根本性质是本单元的教学重点之一。

在讲解这一学问点时,应留意加强整数商不变性质的回忆,这样既帮助学生理解了分数的根本性质,又沟通了新旧学问的内在联系。

2、学情分析学生在三年级上学期已经初步熟悉了分数,明白分数各个局部的名称,会读、写简洁的分数,会比拟分子是1的分数,以及同分母分数的大小。

还学习了简洁的同分母分数的加、减法。

在本学期又学习了因数、倍数等概念,把握了2、3、5的倍数的特征,为学习本单元学问打下了根底。

另外,本单元的学问资料概念较多,比拟抽象,学生的抽象规律思维在很大程度上还需要直观形象思维的支撑。

在数学教学中,化抽象为详细、直观,对于顺当开展教学是非常必要的。

3、教学目标:(1)透过教学使学生理解和把握分数的根本性质,能运用分数的根本性质,把一个分数化成指定分母(或分子)而大小不变的分数,再应用这一规律解决简洁的实际问题。

(2)引导学生在参加观看、比拟、猜测、验证等学习活动过程中,有条件、有依据的思索、探究问题,培育学生的抽象概括潜力。

(3)渗透初步的辨证唯物主义思想教育,使学生受到数学思想方法的熏陶,培育乐于探究的学习态度。

教学重点:理解和把握分数的根本性质教学难点:学习自主探究,发觉和归纳分数根本性质,以及应用它解决相应的问题。

《分数乘分数》教学设计优秀7篇

《分数乘分数》教学设计优秀7篇

[人教版《分数乘分数》教学设计]《分数乘分数》教学设计优秀7篇分数乘整数教学设计篇一分数乘整数教学设计我在去年暑假听了数学特级教师刘德武老师的《分数乘整数》这节课,很有感受,把刘老师的思路加以整理,创新的教学设计为:一、引入,明确今后主要的学习内容。

鼓励学生相信自己能学好。

二、口算,感受分数乘整数的含义1、读出算式,并口算出结果:1/5+2/5= 1/4+1/4= 2/6+3/6+1/6= 1/16+3/16= 2/9+2/9= 2/9+2/9+2/9+2/9+2/9+2/9= 2/9+2/9......2/9(30个)2、感受分数乘整数的意义30个2/9相加读起来太麻烦了,(让学生读时,很多学生都笑了。

)有没有简单的表示方法?(学生会想到用乘法表示成2/9×30)然后让学生说一说2/9×30表示的含义。

让学生再说一些分数乘整数的算式,教师板书,然后从中选则一些让学生说一说意义。

三、尝试计算,归纳方法1、尝试计算。

让学生试着计算2/9×4=、说一说计算方法,允许有不同的方法。

(这是课的一个重点)再计算2/9×5=,然后让学生自己思考分数乘整数的计算方法。

2、自己选择练习自己选则的内容,学生计算的积极性会更高,让学生从上面学生说出的算式中选择两道题进行计算。

3、概括分数成整数的计算方法让学生自己归纳计算方法,并尝试用字母表示这个计算方法如:b/a×c=b×c/a。

总之,给学生发现的机会,他们能自己做的我们不告诉他们。

如1、他们会发现几个相同分数相加用乘法比较简便,能发现分数乘整数的意义。

2、他们能自己计算分数乘整数的式题。

3、他们会自己概括出分数乘整数的计算方法。

这些方面我们都要给学生机会。

同时我感觉到,这节课是六年级数学的第一课,在教学时还要注意以下几点:一、给孩子鼓劲儿,让孩子看到希望告诉他们“我们这一学期数学课主要学习的都是有关分数的。

《分数乘分数》教学设计优秀3篇

《分数乘分数》教学设计优秀3篇《分数乘分数》教学设计篇一教学内容:苏教版义务教育教科书《数学》六年级上册第3435页例45、试一试和练一练,第37页练习六第15题。

教学目的与要求:1、使学生知道分数乘分数的计算法则也适用于整数和分数相乘,把分数乘法统一成一个法则。

进一步巩固分数乘法的计算法则。

2、使学生经历解决问题的探索过程,进一步培养观察、比较、分析、推理的能力,体验数学学习的乐趣。

教学重点与难点:整数乘分数的计算法则。

教具:长方形纸、水彩笔。

教学过程:一、创设情境以前我们学习了分数的意义,下面请同学们看黑板上贴的长方形纸,涂色部分分别表示这张纸的几分之几?随着学生的回答,教师继续对它们进行操作,并引出新课二、组织探究1、教学例4出现教材中的图形然后问:画斜线部分是的几分之几?又是这个长方形的几分之几?由此明确:的是,的是。

启发学生进一步思考:求的是多少,可以怎样列式?求的呢?师问:你能列算式并看图填写出书中的结果吗?打开书P34完成提示:根据填的结果各自想想怎样计算分数与分数相乘?学生进行讨论得出:分数与分数相乘,分子相乘做分子,分母相乘做分母2、教学例5(1)让学生说说×和×分别表示的几分之几?你能用前面得出的结论计算这两道题吗?学生试做订正完后问:你能用什么方法来验证你的计算结果呢?(2)验证比较让学生在自己准备的长方形纸上先涂色表示。

再画斜线表示的和的。

学生动手操作,教师巡视对学困生进行指导。

看看操作的结果与你计算的结果是否一致?学生观察比较3、归纳总结比较刚才计算的每个积的分子、分母与它的因数的分子分母,讨论有什么发现?得出分数乘分数的计算方法:分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。

三、练习1、完成的试一试提醒学生注意:计算分数与分数相乘时,能约分的要先约分在计算通过交流进一步明确计算分数与分数相乘的计算方法四、分数与分数相乘的计算方法的推广同学们,下面着几道题你回计算吗?出示:请同学们先完成P35的填空,提醒学生把整数看作分母是1的分数来计算讨论:分数与分数相乘的计算方法适用于分数和整数相乘吗?为什么?学生分组讨论明确:(1)整数可以看作分母是1的分数,所以分数与分数相乘的计算方法也适用于分数和整数相乘(2)实际计算时可以直接按以前学过的方法计算分数和整数相乘,而不必把整数改写成分母是1的分数,这样比较简便(3)也可以整数与分数直接进行约分后再计算。

分数乘分数》教案设计

《分数乘分数》教案设计第一章:教学目标1.1 知识与技能理解分数乘分数的概念和意义掌握分数乘分数的运算方法和步骤能够正确计算分数乘分数的运算1.2 过程与方法通过实际例子和练习题,培养学生的运算能力和逻辑思维能力运用图形和直观工具,帮助学生形象地理解分数乘分数的概念和运算方法1.3 情感态度与价值观激发学生对数学的兴趣和好奇心,培养学生的学习积极性和自信心培养学生的合作意识和团队精神,通过小组讨论和合作完成练习题第二章:教学内容2.1 分数乘分数的概念和意义解释分数乘分数的定义和规则,例如:a/b ×c/d = (ac)/(bd)举例说明分数乘分数的应用场景,如计算面积、比例等2.2 分数乘分数的运算方法和步骤演示分数乘分数的运算过程和步骤,如先约分再相乘等提供练习题,让学生通过实际操作和练习掌握分数乘分数的运算方法第三章:教学方法3.1 讲授法通过讲解和示范,向学生解释分数乘分数的概念和运算方法使用图形和直观工具,帮助学生形象地理解分数乘分数的运算过程3.2 实践操作法提供分数乘分数的练习题,让学生亲自动手进行计算和验证鼓励学生相互交流和讨论,共同解决问题和提高解题能力第四章:教学评估4.1 课堂练习设计一些分数乘分数的练习题,让学生在课堂上完成对学生的答案进行及时反馈和指导,帮助学生纠正错误和提高解题能力4.2 课后作业布置一些分数乘分数的作业题,让学生回家后巩固所学知识对学生的作业进行批改和评价,及时了解学生的学习情况和进展第五章:教学资源5.1 教材和教辅使用符合课程标准的教材和教辅,提供系统的分数乘分数的学习内容和方法参考一些优秀的教案和教学资源,丰富教学内容和提高教学质量5.2 图形和直观工具使用图形和直观工具,如分数乘分数的示例图、计算器等,帮助学生形象地理解分数乘分数的概念和运算方法利用多媒体和电子白板等教学辅助工具,增加教学的互动性和趣味性第六章:教学活动6.1 引入新课通过一个实际问题或生活场景,引入分数乘分数的概念和意义激发学生的兴趣和好奇心,引发学生对分数乘分数的思考和探索6.2 讲解和示范使用图形和直观工具,讲解和示范分数乘分数的运算过程和步骤引导学生跟进行为,让学生积极参与和理解分数乘分数的概念和方法6.3 小组讨论和合作将学生分成小组,让学生进行讨论和合作,共同解决分数乘分数的问题鼓励学生互相交流和分享,培养学生的合作意识和团队精神第七章:教学拓展7.1 应用拓展提供一些实际问题或应用场景,让学生运用分数乘分数的知识进行解决引导学生思考分数乘分数在实际生活中的应用和意义7.2 知识拓展引导学生思考和探究分数乘分数的其他相关知识,如分数除法、分数乘法等提供一些相关的习题和练习题,让学生进行拓展训练和提高第八章:教学总结8.1 知识点回顾与学生一起总结和回顾本节课所学的分数乘分数的概念和运算方法强调和巩固分数乘分数的重要性和应用场景8.2 学生反馈询问学生对分数乘分数的理解和掌握情况,了解学生的学习效果和反馈根据学生的反馈进行及时的调整和指导,帮助学生解决问题和提高解题能力第九章:教学反思9.1 教学效果评价对本节课的教学进行反思和评价,了解教学的效果和不足之处根据学生的学习情况和反馈,调整教学方法和策略,提高教学质量和效果9.2 教学改进措施根据教学反思的结果,提出相应的教学改进措施和建议持续学习和研究分数乘分数的教学方法和策略,提高自己的教学水平和专业素养第十章:教学计划10.1 课后作业布置布置一些分数乘分数的作业题,让学生回家后巩固所学知识鼓励学生进行自主学习和思考,培养学生的学习习惯和能力10.2 下节课内容预告预告下节课的内容和主题,让学生提前了解和准备激发学生的学习兴趣和好奇心,引导学生主动参与和探索学习的知识重点和难点解析一、教学目标1.1 知识与技能:理解分数乘分数的概念和意义,掌握分数乘分数的运算方法和步骤,能够正确计算分数乘分数的运算。

六年级上册数学分数乘分数教案6篇

六年级上册数学分数乘分数教案6篇(最新版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

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《分数乘分数》教学设计(通用6篇)

《分数乘分数》教学设计《分数乘分数》教学设计(通用6篇)作为一位杰出的老师,时常要开展教学设计的准备工作,教学设计是连接基础理论与实践的桥梁,对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。

那么问题来了,教学设计应该怎么写?以下是小编为大家整理的《分数乘分数》教学设计(通用6篇),欢迎大家分享。

《分数乘分数》教学设计篇1[教学内容]教科书第45-46页的例4、例5及相应的试一试,完成随后的练一练和练习九第1-5题。

[教材分析]这部分内容先教学分数与分数相乘的计算方法,再通过比较,引导学生把分数与分数相乘的计算方法推及分数与整数相乘,帮助学生形成对分数乘法相对完整的认识。

例4先让学生借助直观图形,初步理解的、的的含义;再让学生联系示意图所显示的结果和分数乘法的意义,列出相应的乘法算式,算出两个分数相乘的积,建立分数与分数相乘的计算方法的初步猜想。

例5让学生验证猜想,在操作探究中进一步理解分数乘分数的意义,启发学生以直观的方式探索分数乘分数的计算结果。

然后组织学生观察例4、例5中几道题目的计算过程和结果,比较分析,归纳出分数和分数相乘的计算方法。

其后,通过填空形式启发学生用分数与分数相乘的计算方法计算整数与分数相乘,把计算方法推及分数与整数相乘,促使学生从整体上把握分数乘法的计算方法,建立合理的认知结构。

最后,教材举例介绍了计算分数乘法时更为简单的一种约分方法,简化计算过程。

[教学目标]1、通过例题的直观操作,理解分数与分数相乘的意义,初步掌握分数乘分数的计算方法。

2、在探究活动中,让学生运用已有知识和经验,主动进行分析、观察、猜想验证、比较、归纳的过程,进一步发展学生初步的演绎推理和合情推理能力。

3、使学生通过学习进一步体会数学知识间的内在联系,感受数学知识和方法的应用价值,提高学好数学的信心。

[教学过程]一、口算,说说分数和整数相乘的方法。

(设计意图:抓住学生的认知起点,为学生进一步学习分数乘法的意义和计算方法作好铺垫。

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1、出示例题1:李伯伯家有一块 公顷的地。种土豆的面积占这块地的 。种土豆的面积是多少公顷?
(1)理解题意:这块地共有 公顷,种土豆的面积占这块地的 ,应把这块地的面积看作单位“1”。求种土豆的面积就是求 公顷的 是多少?用乘法计算,列式为 × 。
(2)探究算理:(课件演示涂色过程)我们用一个长方形代表面积是1公顷菜地。先把这个长方形平均分成2份,1份是这个长方形的 ,又把这 平均分成5份,也就是把这个长方形平均分成了2×5=10份,1份是这个长方形的 。由此可以得到:
分数乘分数教学设计
教学内容:课本第3、4页例3。
教学目标:通过演示使学生理解分数乘分数的算理,从而掌握计算方法。
难点:归纳分数乘分数的计算法则。
教学过程
一、复习导入
(1)计算下面各题
×3=66× = ×6=
学生计算后,总结:分数乘整数的计算方法。
二、新课教学。
× = = (板书算式)
(3)观察这两个算式,你能说一说分数乘分数的计算方法吗?
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
三、巩固练习。
1、计算下列各题。
× × ×
× = = (板书算式)
2、出示例题2:李伯伯家有一块 公顷的地。种玉米的面积占 ,种玉米的面积是多少公顷?
(1)理解题意:与例题1的方法相同,种玉米的面积占这块地( 公顷)的 ,也是把这块地的面积看作单位“1”。求种玉米的面积就是求 公顷的 是多少,用乘法计算,列式为 × 。
(2)探究算理:(课件演示涂色过程)我们用一个长方形代表面积是1公顷菜地。先把这个长方形平均分成2份,1份是这个长方形的 ,又把这 平均分成5份,也就是把这个长方形平均分成了2×5=10份,3份是这个长方形的 。由此可以得到:
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