安徽省高一上学期数学段考试卷
安徽省部分重点中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷含答案
姓名______座位号______（在此卷上答题无效）高一数学（答案在最后）（人教版A ）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}250A x x x =-=，则（）A.{}0A∈ B.5A∉ C.{}5A∈ D.0A∈【答案】D 【解析】【分析】用列举法表示出集合A ，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.【详解】依题意，{0,5}A =，所以0A ∈，5A ∈，B 错误，D 正确；显然{}0A ⊆，{}5A ⊆，AC 错误.故选：D2.12+=（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得.【详解】因为1222122log3log3log2==，所以22l11lo3og3g2223622++==⨯=⨯=.故选：B3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）A.01y x=-与0y=B.y=与y=C.y x=与z=D.2y x x=+与32x xyx+=【答案】C【解析】【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得.【详解】对于A，函数01y x=-的定义域为{R|0}x x∈≠，函数0y=的定义域为R，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数y=的定义域为{|2}x x≥，函数y=的定义域为{|2x x≤-或2}x≥，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数y x=的定义域为R，函数z=R，且z y==，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数2y x x=+的定义域为R，函数32x xyx+=的定义域为{R|0}x x∈≠，两个函数定义域不同，D不是.故选：C4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(1,P在角α的终边上，则5πsin(2)6α+=（）A.14 B.14- C.12D.12-【答案】C【分析】根据给定条件，利用正切函数定义求出tan α，再利用二倍角公式结合齐次式法及和角的正弦公式求解即得.【详解】依题意，tan α=，则2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 12ααααααααα====-++，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 12ααααααααα--=-===-++所以5π5π5π111sin(2sin 2cos cos 2sin (66622222ααα+=+=-⨯--⨯=.故选：C5.已知“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A.506a >-B.506a -≥ C.506a -≤ D.506a <-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.【详解】“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则“0x ∃∈R ，20020242024a x x >-”为真命题，而2020012024()506506422022024x x x =≥----，当且仅当012x =时取等号，则506a >-，所以实数a 的取值范围为506a >-.故选：A6.函数()4e xf x x =-在[]3,3-上的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据给定函数的奇偶性，结合(0)1f =-即可判断得解.【详解】依题意，||||()()4||e 4||e x x x f x x f x -=-=---=，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AB ；又(0)1f =-，选项C 不满足，D 符合题意.故选：D7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：22ABl ⨯=+矢弦径.如图，公式中“弦”是指扇形中 AB 所对弦AB 的长，“矢”是指 AB 所在圆O 的半径与圆心O 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O 的直径.若扇形的弦AB =，扇形的圆心角为2π3，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（）A.16π13-B.8π13--C.16π132-D.8π132--【答案】B 【解析】【分析】利用等腰三角形性质求出圆半径及点O 到弦AB 的距离并求出 AB l ，再由弧长公式求出 AB 的实际值即可计算得解.【详解】取弧AB 的中点C ，连接OC 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，且OC AB ⊥，在等腰AOB中，2π3AB AOB =∠=，则π6OAB ∠=，圆O 半径124πcos 6ABR OA ===，122OD R ==，2CD R OD =-=，因此 2212AB CD l AB R=+=，而扇形弧长的实际值为2π8π33R =，所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为8π13-.故选：B8.定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，则不等式()()160x f x +-≤的解集是（）A.(][],11,11-∞-B.(],11-∞C.[]1,11- D.(][),111,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性与单调性得到()f x 在(0,)+∞上单调递增与()50f =，再分类讨论1x +的取值范围，结合偶函数的性质()()fx f x =即可得解.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()()550f f =-=，因为()()160x f x +-≤，当10x +>，即1x >-时，()60f x -≤，即()()65fx f -≤，所以65x -≤，即565x -≤-≤，解得111x ≤≤，故111x ≤≤；当10x +≤，即1x ≤-时，()60f x -≥，即()()65fx f -≥，所以65x -≥，即65x -≤-或65x -≥，解得1x ≤或11x ≥，故1x ≤-；综上：1x ≤-或111x ≤≤.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质()()fx f x =，从而简化运算得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知a b c >>，则下列结论错误的是（）A.33b c >B.22a c > C.> D.a c b->【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A ；举例说明判断BCD.【详解】由b c >及3y x =在R 上单调递增，可得33b c >，A 正确；取1,2a c ==-，满足a c >，而2214a c =<=，B 错误；由a b >，知,a b 是否是非负数不确定，当0b <>C 错误；取3,2,1a b c ===，满足a b c >>，而2a c b -==，D 错误.故选：BCD10.已知集合{}29A x x =<，A B ⊆，则（）A.集合A B B ⋃=B.{}33A B x x ⋂=-<<C.集合A B ⋃可能是{}22x x -<<D.{}44x x -<<可能是B 的子集【答案】ABD 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，由已知结合集合运算逐项判断即得.【详解】集合29{|}{3}3|A x x x x ==<<<-，A B ⊆，则A B B ⋃=，{|33}A B A x x ==-<< ，AB 正确；显然()A A B ⊆ ，即{|33}()x x A B -<<⊆ ，而{}22x x -<<是{|33}-<<x x 的真子集，C 错误；由于{|33}x x B -<<⊆，{}{|33}44x x x x -<<⊆-<<，因此{}44x x -<<可能是B 的子集，D 正确.故选：ABD11.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.1A =B.()g x 的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7π,02⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心D.()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】先利用三角函数的图象求得()f x 的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解.【详解】依题意，由图象可知1A =，3π5π3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故A 正确；因为0ω>，所以2ππω=，则2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+，因为()f x 的图象过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 21π3ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则2ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，则π6ϕ=-，所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到2πsin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，纵坐标变为原来的2倍，得到2π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，向左平移3π4个单位长度，得到函数()23ππ2π2sin 2sin 34633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；因为7π27ππ8π2sin 2sin 023233g ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；令3π2ππ2π2π,Z 2332k x k k -+≤+≤-+∈，解得11π5π3π3π,Z 44k x k k -≤≤-∈，所以()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎣⎦，Z k ∈，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数21,0(),0ax x f x x bx x -≤⎧=⎨+>⎩，则下列结论中正确的是（）A.若函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，则0a >且2b ≤-B.若函数()f x 有2个零点，则a<0且0b <C.若函数()f x 有1个零点，则a<0且0b ≥D.若函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则a<0且32b ≤-【答案】AB 【解析】【分析】分类探讨分段函数()f x 的性质，再结合分段函数单调性、零点及最大值逐项分析判断即得.【详解】当0x ≤时，()1f x ax =-，当a<0时，()f x 单调递增，函数值集合为(,1]-∞，当0a =时，()1f x =，当0a >时，()f x 单调递减，函数值集合为[1,)+∞；当0x >时，2()f x x bx =+，当0b ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0b <时，()f x 在(0,)2b -上单调递减，在[,)2b-+∞上单调递增，对于A ，由函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，得012a b >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得0a >且2b ≤-，A 正确；对于B ，当0x >时，2()f x x bx =+，函数()f x 在(0,)+∞上最多一个零点，由函数()f x 有2个零点，得函数()f x 在(,0]-∞上有一个零点，在(0,)+∞上有一个零点，因此a<0且0b <，B 正确；对于C ，当0a ≤时，()1f x ax =-在(,0]-∞上无零点，当0b <时，()f x 在(0,)+∞上有一个零点，则当0a ≤且0b <时，函数()f x 也只有1个零点，C 错误；对于D ，由于函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则()f x 在(,0]-∞上不能单调递减，即0a ≤，且(0)1f =，当0b ≥时，()f x 在(0,2]上单调递增，(2)424f b =+≥，不符合题意，当0b <时，若22b-≥，即4b ≤-，则()f x 在(0,2]上单调递减，()0f x <，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此4b ≤-，若22b -<，即40b -<<，则()f x 在(0,]2b -上单调递减，在[,2]2b-上单调递增，必有(2)421f b =+≤，解得32b ≤-，则342b -<≤-，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此342b -<≤-，综上所述，函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则0a ≤且32b ≤-，D 错误.故选：AB【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象经过点1(243,)3，那么()f x 的解析式为______；不等式(|)3|f x ≤的解集为______.【答案】①.15()f x x-=②.11(,[,)243243-∞-+∞ 【解析】【分析】利用幂函数过的点求出()f x 的解析式，再利用单调性解不等式即可.【详解】设幂函数()f x x α=，依题意，12433α=，即5133α-=，因此51α=-，解得15α=-，所以函数()f x 的解析式为15()f x x -=；显然函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且1()3243f =，于是不等式(|)3|f x ≤为：2(||)1()43f f x ≤，解得|4|123x ≥，即1243x ≤-或1243x ≥，所以不等式(|)3|f x ≤的解集为11(,][,)243243-∞-+∞ .故答案为：15()f x x -=；11(,][,)243243-∞-+∞ 14.若π02α<<，02βπ<<，()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则cos()4πα+=______.【答案】232130-##【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及和差角的余弦公式计算得解.【详解】由π02α<<，02βπ<<，得0παβ<+<，而()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则4sin()5αβ+==，12sin 13β==，因此3541233cos cos[()]51351365ααββ=+-=-+=，56sin 65α==，所以πππ23356232cos()cos cos sin sin (44426565130ααα+=-=-=-.故答案为：130-15.已知函数())f x x =，若0m >，0n >，且41()(1)(0)f f f m n+-=，则16m n +的最小值为______.【答案】36【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的奇偶性及单调性，由此求出,m n 的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】函数())f x x =中，R x ∀∈||x x >≥，则函数()f x 的定义域为R ，而()()))ln10f x f x x x -+=++-==，则函数()f x 是奇函数，显然函数y y x ==-在(,0]-∞上都单调递减，则函数t x =-在(,0]-∞上单调递减，而函数ln y t =在(0,)+∞上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减，于是函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，因此函数()f x 在R 上单调递减，(0)0f =，由41((1)(0)f f f m n +-=，得411()(1)(1)f f f m n n =--=-，则411m n=-，即411m n +=，于是441616(16)2020236n m m n n m n m n m +++=+=+≥+，当且仅当64n mm n=，即812m n ==时取等号，所以16m n +的最小值为36.故答案为：3616.已知直线y a =与函数()()tan f x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为()1,1-，则函数()y f x =的图象与函数223y x =-（3922x -<<）的图象所有交点的横坐标之和为______.【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，结合正切函数的图象性质求出()f x ，确定函数()y f x =与223y x =-共同具有的性质，再借助图象求解即可.【详解】依题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的最小正周期为2，则π2ω=，解得π2=ω，于是π()tan()2f x x ϕ=+，由π(1)tan()12f ϕ=+=-，得π3ππ,Z 24k k ϕ+=+∈，而π02ϕ<<，取π0,4k ϕ==，因此ππ()tan()24f x x =+，显然33ππ()tan()0244f =+=，则函数()y f x =的图象关于点3(,0)2成中心对称，又函数223y x =-的图象关于点3(,0)2成中心对称，在同一坐标系内作出函数()y f x =和223y x =-的图象，观察图象知，两个函数在39(,)22-的图象共有4个公共点，且关于点3(,0)2成中心对称，所以4个交点的横坐标之和为3462⨯=.故答案为：6【点睛】思路点睛：给定)t )a ()(n(0f x x ωϕω=>＋的性质求解解析式，一般是求出周期定ω，由图象上特殊点求ϕ.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）1105448132()()πlog 816243-++-；（2）2log 33810log log 274lglg303-⋅---.【答案】（1）52；（2）212-.【解析】【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得.（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.【小问1详解】2421111045355448132333335(()πlog 8[(][()]1log 2116243222222-++-=++-=+-=.【小问2详解】2log 3810log log 274lglg303-⋅---2312312log 332232310log 3log 3log 22lg(30)3=-⋅--⨯2log 32232)23321log 3log 2(2lg10013222=-⋅--=---=-.18.已知3πtan()74α-=.（1）求sin 2cos sin 3cos αααα+-的值；（2）若π(π,)2α∈--，求sin 2cos 2αα+的值.【答案】（1）119-；（2）24102510+.【解析】【分析】（1）利用差角的正切公式求出tan α，再利用齐次式法计算即得.（2）利用同角公式求出sin ,cos αα，再利用二倍角公式计算即得.【小问1详解】由3πtan()74α-=，得tan tantan 17n 3π1tan 1ta π4n 3t 4a αααα-+==-+，解得3tan 4α=，所以32sin 2cos tan 21143sin 3cos tan 3934αααααα+++===----.【小问2详解】由π(π,)2α∈--，得ππ(,)224α∈--，则sin 0,cos 0,cos 02ααα<<>，由3tan 4α=，得3sin cos 4αα=，而22sin cos 1αα+=，解得34sin ,cos 55αα=-=-，于是3424sin 22sin cos 2(()5525ααα==⨯-⨯-=，又21cos 1cos 2210αα+==，则cos 210α=，所以0sin 2cos224251αα++=.19.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立.若1x >时，()0f x <.（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求解关于x 的不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，证明见解析（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明；（2）利用赋值法求出164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于x 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】()f x 在()0,∞+上单调递减，证明如下：因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，当1x >时，()0f x <，12,0x x ∀>，且12x x <，则211x x >，则()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.【小问2详解】因为因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，所以()()x f f y f x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()()()f x f y f xy +=，因为132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1116422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭可化为3144x f f x ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎡⎤⎣⎦⎭⎥，所以31440304x x x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，解得1x >.所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为()1,+∞.20.已知函数()22f x x ax =+-.（1）若关于()f x 的不等式()0f x <的解集为(),2b ，求a ，b 的值；（2）已知当[]1,2x ∈-时，()336xxf -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =-，1b =-（2）43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于,a b 的方程组，解之即可得解；（2）利用换元法将问题转化为41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，再利用对勾函数的性质求得max4t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而得解.【小问1详解】因为()22f x x ax =+-，且()0f x <的解集为(),2b ，所以b 和2是方程220x ax +-=的两个不等实根，且2b <，由韦达定理可得222b a b +=-⎧⎨=-⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩，故1a =-，1b =-.【小问2详解】因为()22f x x ax =+-，所以()()23332x xx f a ⋅=+-，则()336xxf -≤可化为()233362x x x a ≤+--⋅，整理可得()()21334xx a +⋅≤-，令3x t =，[]1,2x ∈-，所以1,93t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则上式可化为()241t a t ≤+-⋅在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为44t t +≥=，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立，所以由对勾函数的性质可知4y t t =+在1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,9上单调递增，而当13t =时，7313343y +==⨯；当9t =时，485999y +==；所以max 4373t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3713a -≥，所以343a ≤-，所以实数a 的取值范围为43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.21.某学校校园内有一个扇形空地AOB （πAOB ∠<），该扇形的周长为10π203+，面积为50π3，现要在扇形空地AOB 内部修建一矩形运动场馆CDEF ，如图所示.（1）求扇形空地AOB 的半径和圆心角；（2）取CD 的中点M ，记MOD θ∠=.（i ）写出运动场馆CDEF 的面积S 与角θ的函数关系式；（ii ）求当角θ为何值时，运动场馆CDEF 的面积最大？并求出最大面积.【答案】（1）扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3；（2）（i）π200sin(23S θ=+-π(0,6θ∈；（ii ）π12θ=，200-【解析】【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得.（2）（i ）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii ）利用正弦函数的性质求解最值.【小问1详解】设扇形空地AOB 所在圆半径为r ，扇形弧长为l ，依题意，10π2203150π23r l rl ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩或5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，圆心角12ππl AOB r ∠==>，不符合题意，当1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩时，圆心角ππ3l AOB r ∠==<，符合题意，所以扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3.【小问2详解】（i ）由（1）知，π3AOB ∠=，则π(0,6θ∈，在Rt MOD △中，10cos ,10sin OM DM θθ==，则10sin EN DM θ==，在Rt EON △中，π6EON ∠=，tan ENON EONθ==∠，于是10cos MN OM ON θθ=-=-，所以220sin (10cos )S EN MN θθθ=⋅=-2200sin cos 100sin 2cos 2)θθθθθ=-=--π100(sin 22)200sin(23θθθ=+-=+-，π(0,)6θ∈.（ii ）由（i ）知，当π(0,)6θ∈时，ππ2π2(,)333θ+∈，则当ππ232θ+=，即π12θ=时，max 200S =-所以当π12θ=时，运动场馆CDEF 的面积最大，最大面积为200-【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.22.已知函数4(2)4log af x x xb -=+（0a >，1a ≠，2b ≠-）是定义在(2,2)-上的奇函数.（1）求(0)f 和实数b 的值；（2）若()f x 满足2(2)(32)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围；（3）若01a <<，问是否存在实数m ，使得对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立？【答案】（1）(0)0f =，2b =；（2）当01a <<时，01t <<，当1a >时，413<<t ；（3）存在，116m =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合奇函数的定义求解即得.（2）按01,1a a <<>分类，利用单调性解不等式即得.（3）利用奇函数及意识性脱去法则，转化为恒成立的不等式组，再借助二次函数分类求解.【小问1详解】依题意，420(0)log log 1004aa fb -⨯===⨯+，又()f x 是(2,2)-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即42()42log log ()44a a x xb x bx ---=--++，亦即424log log 442aa x bx bx x++=-+-，整理得22216416x b x -=-，于是24b =，而2b ≠-，所以2b =.【小问2详解】由（1）知，424288()log log log (1)(0,1)242424a a a x x f x a a x x x ---+===->≠+++，显然函数8124y x =-+在(2,2)-上单调递减，由奇函数性质及2(2)(32)0f t f t -+-<，得2(2)(32)(23)f t f t f t -<--=-，当01a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，则()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为222232t t -<-<-<，解得01t <<，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(2,2)-上单调递减，不等式化为222322t t -<-<-<，解得413t <<，所以当01a <<时，01t <<；当1a >时，413<<t .【小问3详解】假定存在实数m ，对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立，即2(1(2)()2)f mt f t f t +>-+=--恒成立，当01a <<时，由（2）知函数()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为2212212222mt t mt t ⎧+>--⎪-<+<⎨⎪-<--<⎩，整理得22303140mt t mt t ⎧++>⎪-<<⎨⎪-<<⎩，于是有231mt -<<对任意40t -<<恒成立，则2231m t t-<<，当40t -<<时，223311(,),(,)1616t t -∈-∞-∈+∞，因此311616m -≤≤；有230mt t ++>对任意40t -<<恒成立，设2()3g t mt t =++，①当0m >时，函数2()3g t mt t =++的图象开口向上，对称轴102t m=-<，（i ）当1120m ∆=->，即112m <时，必有(4)1610142g m m-=-≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，则111612m ≤<；（ii ）当1120m ∆=-=，即112m =时，2211()3(6)01212g t t t t =++=+>在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m =；（iii ）当1120m ∆=-<，即112m >时，()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m >；②当0m ≤时，(4)16110g m -=-≤-<，不满足()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，综上得311616m -≤≤且116m ≥，所以存在116m =使得对定义域内的一切t ，都有()2(2)10f t f mt +++>恒成立.。
安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
意交换”.
(1)判断函数 g ( x) = 2x +1与 h ( x) = x -1是否关于 f ( x) = x2 “ n 维交换”，并说明理由；
【详解】由
x
x
3
£
0
，得
ì í î
x x
(x-
¹0
3)
£
0
，解得
0
<
x
£
3
，
所以 M = {x 0 < x £ 3} ，
由 y = x2 +1 ³ 1，所以 N = [1, +¥) ，
图中阴影部分表示的集合为 M Ç (ðU N ) = (0,1) .
故选：A. 7．B
【分析】对
A，判断
f
(x)
的奇偶性可判断；对
C．若方程
f
(
x)
=
1 4
没有实数根，则
a
<
-1
) ( D．若函数 f ( x) 在 0,+∞ 上单调递增，则 a >0
( ) 8．已知函数
f
(x)
=
2x 图象与函数 2x-1 +1
g
(x)
=
x3
- 3x2
+
3x
图象有三个交点，分别为
x1, y1
、
( ) x 2, y 2 、 ( x3, y3 ) ，则 x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 = （ ）
树人高级中学2020_2021学年高一数学上学期第一次阶段考试试题
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一数学上学期第一次阶段考试试题时间：120分钟 满分：150分一．单选题（每题5分，共8题）1.若0a b >>,则下面不等式中成立的是( ） A 。
2a ba b ab +>>> B.2a ba ab b +>>> C.2a ba b ab +>>>D 。
2a ba ab b +>>> 2.下面关于集合的表示正确的个数是；; ；． A 。
0B. 1C. 2D 。
33。
已知1(0,)4x ∈，则(14)x x -取最大值时x 的值是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．1104。
命题“所有能被2整除的整数都偶数"的否定（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B 。
所有能被2整除的整数都不是偶数 C 。
存在一个不能被2整除的整数是偶数 D 。
存在一个能被2整除的整数不是偶数5。
已知0,0,22x y x y >>+=，则x y 的最大值为（ ） A.2B 。
1 C.12D.146.给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt>;③22x y >;④110x y<<.其中能成为x y >的充分条件的是（ ）A 。
①②B 。
②③C 。
③④D 。
①④7。
函数的最小值是A. 4B. 6C. 8D 。
108.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5302R ⎛⎫- ⎪⎝⎭万件,要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A.[]4,8B.[]6,10C 。
[]4%,8%D.[]6%,100%二、不定项选择题（本题共4小题，每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期段一考试数学试卷 PDF版
即 A = 3, +) ，
则 U A = (− ， 3），
故选：B．
11.【解答】解：根据题意， 1 + 2 5 3x − 4 − 5 0 5x2 − 27x + 26 0
x −1 x − 2 4 ( x −1)( x − 2) 4
(x −1)(x − 2)
解得 x 1 或 x 1 ， 2
第4页（共9页）
所以不等式的解集为 (− ， 1) (1 ， +) ． 2
故答案为： (− ， 1) (1 ， +) ． 2
16.【解答】解：观察发现 2 m + 1和 n + 3 的平方的和为定值，故平方。
令 y= 2 m + 1 + n + 3 ，
y2 = 4m + 4 + n + 3 + 4 (m + 1)(n + 3)=16 + 4 (m +1)(n + 3) ，
命题 p 的否定是：“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
故答案为：真，“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
15.【解答】解：关于 x 的不等式 ax + b x + c 0 的解集为 (1, 4) ，令 x = y ，
则关于 y 的不等式 ay2 + by + c 0 的解集为 (1, 2) ，
x
x
第5页（共9页）
当造价写为 200 60 + (x + 200) 2 400 + 100x x
= 12000 + 900x + 160000 12000 + 2 900x 160000 = 36000（元 ) ，当且仅当 900x = 160000 ，
安徽省高一上学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，，则（ ） {}1,2,3,4,5,6U ={}25A x x =∈<≤Z {}1,5B =()U A B = ðA ．B ．C ．D ．{}2{}3,4{}1,4,6{}2,3,4【答案】B【分析】化简集合A ，根据补集的定义求出，再求出即可．U B ðU A B ð【详解】解：，{}{}253,4,5A x x =∈<≤=Z ， {}2,3,4,6U B =ð故，(){}3,4U A B = ð故选：B ．2．设，则“”是“”的（ ）R a ∈1a >21a >A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由得或，因此“若，则”是真命题，“若，则”是假命21a >1a >1a <-1a >21a >21a >1a >题，所以“”是“”的充分不必要条件.1a >21a >故选：A3．命题“，”的否定是（ ）()0,1x ∃∈20x x -<A ．，B ．， ()0,1x ∃∉20x x -≥()0,1x ∃∈20x x -≥C ．，D ．， ()0,1x ∀∉20x x -<()0,1x ∀∈20x x -≥【答案】D【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定方法判断作答.【详解】命题“，”为存在量词命题，其否定是全称量词命题，()0,1x ∃∈20x x -<所以命题“，”的否定为：，．()0,1x ∃∈20x x -<()0,1x ∀∈20x x -≥故选：D4．若函数，且，则（ ）(1)f x x +=()8f a ==a A ．11 B ．10 C ．9 D ．8【答案】C【分析】运用换元法求出函数的解析式，再利用代入法进行求解即可.()f x 【详解】令，1x t +=由，可得，即，(1)f x x +=()1f t t =-()1f x x =-由，可得，()8f a =()189f a a a =-=⇒=故选：C5．如果函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）()224(1)1f x x a x =--+[2,)+∞a A ．B ．C ．D ．(,1]-∞-(,4]-∞[1,)-+∞[4,)+∞【答案】C 【分析】求得函数的对称轴的方程，结合二次函数的图象与性质，得到，即可求解.()f x 12a -≤【详解】由题意，函数，可得其图像开口向上，对称轴为，()224(1)1f x x a x =--+1x a =-要使得函数在区间上是增函数，则满足，解得，()f x [2,)+∞12a -≤1a ≥-即实数的取值范围是.a [1,)-+∞故选：C.6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．B ． 1()|1|f x x =-1()1f x x =-C ． D ． 21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得()01f =-正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ，()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ，0x =()01f =-()01f =故选：B.7．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量与死亡年数之间的函数关系式P t 为（其中为常数）.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，12t aP ⎛⎫= ⎪⎝⎭a 则可推断该文物属于（ ）参考数据：2log 0.850.23=-参考时间轴：A ．宋代B ．唐代C ．汉代D ．战国时期 【答案】B 【分析】根据半衰期的定义可求，进而结合对数的公式即可求解.573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】由题意可知：经过5730年衰减为原来的一半，所以， 573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，因此，由此解得，5730=0.8512t ⎛⎫ ⎪⎝⎭122lo g 0.85log 0.855730t ==-1317.91318t =≈，由此可推断该文物属于唐代，20221318=704-故选：B8．若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（ ） ()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,8πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭θA ． B ． 4π78πC ． D ． 58π38π【答案】B【分析】根据所给角的范围及正弦函数的性质可确定的范围即可得解.24+πθ【详解】由， ,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πθ则 2(,2).424x +∈+πππθ若使在开区间上取得最小值则必须， ()f x 3242ππθ+>解得， 58πθ>故选：B二、多选题9．已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）a b c d ,,,A ．若则.,a b c d >>a d b c ->-B ．若则.,a b c d >>ac bd >C ．若，则 ,0a b c d >>>a b d c>D ．若，则0,0ab bc ad >->c d a b>【答案】AD 【分析】由不等式的性质，逐个判断选项.【详解】若，则，又，则，A 选项正确；c d >d c ->-a b >a d b c ->-若，满足，但，不成立，B 选项错误； 2,1,1,2a b c d ===-=-,a b c d >>2ac bd ==-ac bd >若，，满足，但，不成立，C 选项错误； 1,2a b =-=-2,1c d ==,0a b c d >>>1a b d c ==-a b d c>，则，又，∴，即，D 选项正确. 0bc ad ->bc ad >0ab >bc ad ab ab>c d a b >故选：AD 10．已知函数的图象经过点则（ ） ()a f x x =1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．的图象经过点B ．的图象关于y 轴对称 ()f x (3,9)()f xC ．在上单调递减D ．在内的值域为()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞(0,)+∞【答案】CD【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案. 1a =-【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭()a f x x =1a =-1(),()=f x f x x ()3,9A 错误；在上单调递减，C 正确；根据反比例函数的图象与性质可得B 错误，D 正确． ()f x (0,)+∞故选：CD.11．（多选）已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在()f x [],a b ()()0f a f b ⋅<区间上（ ）[],a b A ．方程没有实数根()0f x =B ．方程至多有一个实数根()0f x =C ．若函数单调，则必有唯一的实数根()f x ()0f x =D ．若函数不单调，则至少有一个实数根()f x ()0f x =【答案】CD【分析】根据零点存在定理可得答案.【详解】由函数零点存在定理，知函数在区间上至少有一个零点，()f x [],a b 所以若函数不单调，则至少有一个实数根，()f x ()0f x =若函数单调，则函数有唯一的零点，即必有唯一的实数根，()f x ()f x ()0f x =故选：CD ．12．已知函数，则下列结论中错误的是（ ） ()2π32sin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x 2πB ．的图象关于点中心对称 ()f x 2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的图象关于直线对称 ()f x π=6x D ．在上单调递增 ()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABC【分析】根据给定的函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断作答.【详解】函数的周期，A 不正确； ()2π32sin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22T ππ==当时，，点不是图象的对称中心，B 不正23x π=222sin 2033π3f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 确；当时，，直线不是图象的对称轴，C 不正确； 6x π=π32sin 2266f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π=6x ()f x 当时，，因函数在上单调递增， 5ππ1212x -≤≤ππ2232x π-≤+≤sin y x =[,]22ππ-因此在上单调递增，D 正确. ()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：ABC三、填空题13．已知是一次函数，，，则的解析式为()f x 2(2)3(1)5f f -=2(0)(1)1f f --=()f x 【答案】()32f x x =-【分析】设f （x ）=kx+b ，k≠0，由已知得(4k+2b)-(3k+3b)=52b-(-k+b)=1，由此能求出f （x ）=3x-2．【详解】∵f (x )是一次函数,2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，∴设f (x )=kx +b ，k ≠0，则f (2)=2k +b ,f (1)=k +b ,f (0)=b ,f (−1)=−k +b ，因为，， 2(2)3(1)5f f -=2(0)(1)1f f --=， (42)(33)52()1k b k b b k b +-+=⎧∴⎨--+=⎩解得k =3，b =−2，∴f (x )=3x −2.故答案为：3x −2.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求一次函数的解析式，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.14．函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则()()log 1039a f x x =-+A A ()g x ()7g =_______【答案】49【分析】令真数等于，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标．1x ()f x ()f x 【详解】解：对于函数，令，求得，，()log (103)9a f x x =-+1031x -=3x =()9f x =可得它的的图象恒过定点．(3,9)A 点在幂函数 的图象上，，，，A ()g x x α=39α∴=2α∴=2()g x x =则，()27749g ==故答案为．49【点睛】本题主要考查对数函数图象的性质及幂函数的定义，属于基础题．15．若角的终边经过点，则___________． α(P -cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【分析】根据定义求得. sin α=【详解】角的终边经过点, α(P -则sin α==所以. cos()sin 2παα-==16．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件()2cos()f x x ωϕ=+的最小正整数x 为________． 74()()043f x f f x fππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可()f x 7(),()43f f π4π-得最小正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知，即，所以； 313341234T πππ=-=2T ππω==2ω=由五点法可得，即；232ππϕ⨯+=6πϕ=-所以. ()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，； 7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭所以由可得或； 74(()())(()(043f x f f x f ππ--->()1f x >()0f x <因为，所以， ()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， ()0f x <cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭解得，令，可得， ,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z 0k =536x <<ππ可得的最小正整数为2.x 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可()0f x <(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭得的最小正整数为2.x 故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点ω求解.ϕ四、解答题17．已知集合，集合. {}2340A x x x =+-≥20x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭（1）若，且，求实数的取值范围.{}21C x a x a =<<+()C A B ⊆⋂a （2），若是的必要不充分条件，判断实数2112022D x x m x m m ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-+++≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭x A B ∈ x D ∈m 是否存在，若存在求的范围.m 【答案】（1）；（2）存在，. 1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭31,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）解一元二次不等式以及分式不等式，求出，讨论或，利用集合的A B ⋂C =∅C ≠∅包含关系即可求解（2）由题意可得且，由集合的包含关系可得且等号不同时取，()D A B ⊆ ()D A B ≠ 1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩解不等式即可求解.【详解】（1）由题意可得或，， {4A x x =≤-}1x ≥{}02B x x =<≤∴.{}12A B x x ⋂=≤≤当时，有，即；C =∅12a a +≤1a ≥当时，有，解得. C ≠∅12112a a a <⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩112a ≤<综上所述，. 1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭（2）由题意可得，且，()D A B ⊆ ()D A B ≠∵， ()11022D x x m x m x m x m ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎧⎫=--+≤=≤≤+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎩⎭⎣⎦⎩⎭∴且等号不同时取，解得，∴. 1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩312m ≤≤31,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）xm ﹣2在（0，+∞）上单调递减.(1)求f （x ）的解析式；(2)若正数a ，b 满足2a +3b ＝4m ，若不等式≥n 恒成立，求实数n 的最大值. 32a b+【答案】(1)1()f x x -=(2)6【分析】（1）利用幂函数的性质即可求解m 的值；（2）利用基本不等式求出的最小值，即可求解n 的最大值. 32a b+【详解】（1）幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）xm ﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以，解得m ＝1， 244120m m m ⎧-+=⎨-<⎩所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）正数a ，b 满足2a +3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a +3b ＝4，， 所以＝（）（2a +3b ）＝（12+）≥6，当且仅当＝，即a ＝1，b ＝时32a b +1432a b +1449a b b a +4a b 9b a 23等号成立，故的最小值为6， 32a b+又不等式≥n 恒成立， 32a b+所以n ≤6，即实数n 的最大值6.19．已知是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >2()2f x x x =-+（1）求函数在上的解析式；()f x R （2）作出函数的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间；()f x （3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.()f x [1,2]a --a 【答案】（1）；（2）图象见解析，；（3）. ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩(,1],[1,)-∞-+∞(]1,3【解析】（1）先分析时，，即可求解出的解析式，然后由奇函数的性质运算即可0x <0x ->()f x -得解；（2）作出图象，数形结合即可得函数的单调递减区间；（3）根据函数的单调性，数形结合即可得关于的不等式，由此可求解出的取值范围.a a 【详解】（1）∵是定义在R 上的奇函数，∴，()f x (0)0f =又当时，，0x >2()2f x x x =-+当时， ∴0x <()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦∵满足，； ()0f ()22f x x x =+()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>∴=⎨+≤⎩（2）作出函数的图象如图所示：()f x由图象可知，函数的单调递减区间为；(,1],[1,)-∞-+∞（3）在区间上单调递增()f x [1,2]a --由函数的图象可得，解得∴121a -<-≤(]1,3a ∈的取值范围为.a ∴(]1,3【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析()f x 0x >式）：（1）先设，则，根据的解析式求解出；0x <0x ->0x >()f x -（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式； ()f x ()f x ()f x -0x <()f x （3）结合（1）（2）可求解出的解析式. ()f x20．已知函数. ()4,0e 3,0+<⎧=⎨+≥⎩x x x f x a x (1)若在上单调递增，求的取值范围；()f x R a (2)讨论函数的零点个数.()()3g x f x =-【答案】(1)1a ≥(2)当时，有一个零点；当时，且当时，有两个零点，当时，0x <()g x 0x ≥23a ≤()g x 23a >()g x 有一个零点．【分析】（1）由、都是单调递增函数可得的单调性，利用单调性可()4f x x =+()3x f x e a =+()f x 得答案；（2）时有一个零点；0x <()0g x =当时，利用单独单调性求得，分和讨论可得答案.0x ≥()g x min ()g x min 0()≤g x min ()0g x >【详解】（1）当时，单调递增，0x <()4f x x =+当时，单调递增，0x ≥()e 3=+x f x a 若在上单调递增，只需，()f x R 04e 3a ≤+.1a ∴≥（2）当时，，此时，即，有一个零点；0x <()1g x x =+()0g x ==1x -当时，，此时在上单调递增，0x ≥()e 33=+-x g x a ()g x [)0,∞+，()min ()013332g x g a a ==+-=-若，即，此时有一个零点； 320a -≤23a ≤()g x 若，即，此时无零点， 320a ->23a >()g x 故当时，有两个零点，当时，有一个零点． 23a ≤()g x 23a >()g x 21．已知的最小正周期为． ()()π2sin 206f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π（1）求的值，并求的单调递增区间；ω()f x （2）求在区间上的值域． ()f x 70,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；单调递增区间为；（2）． =1ω()ππππZ 63k k k ⎡⎤⎢⎥∈⎣⎦-+，，[]1,2-【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求的值，再由正弦函数的单调增区间即可求的单调ω()f x 递增区间；（2）由的范围求得范围，再由正弦函数的性质即可求值域.x π26x -【详解】（1）因为的最小正周期为， ()()π2sin 206f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π所以，则，则， 2π=π2ω=1ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，解得， ()πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈()ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈所以函数的单调递增区间为 ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()ππππZ 63k k k ⎡⎤⎢⎥∈⎣⎦-+，，（2）由得， 70,π12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2,π66x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以， π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以．()[]1,2f x ∈-22．已知函数的部分图象如图所示. ()πsin()0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭(1)求的解析式及对称中心坐标：()f x (2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当()f x π6()g x 时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围. ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ()210g x a +-=a【答案】(1)， π()2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππ,126k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()k ∈Z (2) 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最A B 7ππ21212T =-2πT ω=ω高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；ϕ()f x ()f x （2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值()g x ()g x 12a -为的值域，解不等式即可求解.()g x 【详解】（1）由题意可得：，可得，所以， 13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩21A B =⎧⎨=-⎩()2sin()1f x x ωϕ=+-因为，所以，可得， 7πππ212122T =-=2ππT ω==2ω=所以，()2sin(2)1f x x ϕ=+-由可得， ()ππ22πZ 122k k ϕ⨯+=+∈()π2πZ 3k k ϕ=+∈因为，所以，，所以. π2ϕ<0k =π3ϕ=()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令可得，所以对称中心为. ()π2π3x k k +=∈Z ()ππZ 26k x k =-∈()ππ,1Z 26k k ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭（2）由题意可得：， ()ππ2π2sin 2112sin 2633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，，， ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2ππ2,π36x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]2πsin 20,13x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()[]0,2g x ∈若关于的方程有实数根，则有实根，x ()210g x a +-=()12a g x -=所以，可得：. 0122a ≤-≤1122a -≤≤所以实数的取值范围为. a 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学题
安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学题一、单选题1．已知R x ∈，R y ∈，则“1x >且1y >”是“2x y +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}210A x x =-≥，集合102B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，则()A B =R U ð（）A ．1{2x x ≤或≥1B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．{1}∣<xx 3．已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则y =）.A ．[]1,4-B ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎣⎦D ．(]1,94．设a ，b ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）.A ．11a b <B ．22ac bc >C ．a b >D ．33a b >5．不等式10ax x b+>+的解集为{|1x x <-或}4x >，则()()10x a bx +-≥的解集为（）A ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,[1,4∞∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦ ）C ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．(]1,1,4∞∞⎡⎫---+⎪⎢⎣⎭6．已知0a >，0b >，3a b ab +=-，若不等式2212a b m +≥-恒成立，则m 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．77．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()11,A x y ，()22,B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，若点()2,1M ，点P 是直线3y x =+上的动点，则(),d M P 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭C ．5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的是（）A．y =与y =B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．若命题0p x ∃≥：，23x =，则0p x ⌝∃<：，23x ≠D ．若命题q ：对于任意R x ∈，220x x a +->为真命题，则1a <-10．下列选项正确的有（）A ．当()1,x ∈+∞时，函数2221x x y x -+=-的最小值为2B ．(),1x ∈-∞，函数31y x x =+-的最大值为-C．函数2y 的最小值为2D ．当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b的最小值为3211．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足()103431x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪-⎩，，下列叙述正确的是（）A ．函数()f x 的值域为[]22-,B ．关于x 的方程()12f x =的所有实数根之和为11C ．关于x 的方程()0f x =有且只有两个不等的实根D ．当[)3,0x ∈-时，()f x 的解析式为()1=-+f x x三、填空题12．已知a ，b ∈R ，{}21,3,A a =，{}1,2,B a b =+，若A B =，则a b +=13．已知)=fx ()f x 的解析式为.14．已知方程2620x x a -+=的两根分别为1x ，2x ，12x x ≠，若对于[]2,3t ∀∈，都有22121t x x t-≥+恒成立，则实数a 的取值范围是四、解答题15．已知集合{}121A xa x a =+≤≤-∣，{}16B x x =-≤≤∣.(1)当4a =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．已知幂函数()()222433mm f x m m x+-=-+为定义域上的偶函数.(1)求实数m 的值；(2)求使不等式()()21f t f t -<成立的实数t 的取值范围.17．已知函数()21f x ax bx =++.(1)若21a b =+，且0a <，求不等式()3f x >的解集（结果用a 表示）；(2)若()13f =，且a ，b 都是正实数，求111a b ++的最小值.18．已知函数()21x f x ax b+=+是其定义域上的奇函数，且()12f =.(1)求a ，b 的值；(2)令函数()()()2212R h x x mf x m x=+-∈，当[]1,3x ∈时，()h x 的最小值为8-，求m 的值.19．一般地，若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],ka kb 为()f x 的“k 倍跟随区间”，若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.(1)写出二次函数()212f x x =的一个“跟随区间”；(2)求证：函数()11g x x=-不存在“跟随区间”；(3)已知函数()()()221R 0aa x h x a a a x+-=∈≠，有“4倍跟随区间”[]4,4m n ，当n m -取得最大值时，求a的值.。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。
2023-2024学年安徽省高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，集合N ＝{x ∈R |x 2＝2x }，则M ∩N ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0}C ．{0}D ．∅2．已知命题p ：∃x ∈R ，4x ＞x 4，则¬p 是（ ） A ．∃x ∈R ，4x ≤x 4 B ．∀x ∈R ，4x ＜x 4C ．∀x ∈R ，4x ＞x 4D ．∀x ∈R ，4x ≤x 43．若α是β的必要不充分条件，γ是β的充要条件，则γ是α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x α（α∈Z ），具有如下性质：f 2（1）+f 2（﹣1）＝2[f （1）+f （﹣1）﹣1]，则f （x ）是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，且f （a ﹣3）＝f （a +2）（a ∈R ），则f （a ）＝（ ）A ．2B ．1C ．√2D ．06．已知实数a ，b ，c 满足3×2a ﹣2b +1＝0，且a ＝c +x 2﹣x +1（x ∈R ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a7．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出的速度如图甲乙所示．某天零点到六点该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下三个论断：①零点到三点只进水不出水；②三点到四点不进水只出水；③四点到六点不进水也不出水．其中正确论断的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①8．设函数f(x)=√ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ，且a ＜0）的定义域为D ，若所有点（s ，f （t ））（s ，t ∈D ）构成一个正方形区域，则a ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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安徽省高一上学期数学段考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2019 高一上·浙江期中) 已知集合
，则
（）
A . {3}
B.
C.
D.
2. （2 分） 三个数 70.2 ， 0.27 ， ln0.2 从大到小的顺序是（ ）
A.
，
， ln0.2
B.
， ln0.2，
C . ， ln0.2，
D . ln0.2， ,
3. （2 分） (2019 高三上·平遥月考) 设
，
A.
B.
C.
D.
4. （2 分） (2019 高一上·淄博期中) 若集合 合为（ ）
，
，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
，
，则图中阴影部分表示的集
第 1 页 共 17 页
A.
B.
C.
D.
或
5. （2 分） 函数 f(x)=ex- 的零点所在的区间是 （ ）
A . （0， ）
B . （ ， 1）
C . （1， ）
D . （ ， 2）
6. （2 分） (2019·汉中模拟) 函数
的部分图象大致为（ ）
A. B.
第 2 页 共 17 页
C.
D.
7. （2 分） (2020 高二下·吉林月考) 已知函数 A.1
，则
的值为（ ）
B.2
C.3
D . –3
8. （2 分） (2020 高三上·北京月考) 在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位
mol/L，记作
）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作
）的乘积等于常数
．已知
pH 值的定义为 以为（参考数据：
，健康人体血液的 pH 值保持在 7．35～7．45 之间，那么健康人体血液中的
可
，
）（ ）
A. B.
C. D. 9. （2 分） (2020 高一上·柳州期末) 函数
的零点所在的区间为（ ）
第 3 页 共 17 页
A.
B.
C.
D. 10. （2 分） (2016 高一上·铜仁期中) 函数 f（x）=3 的值域为（ ） A . [0，+∞） B . （﹣∞，0] C . [1，+∞） D . （﹣∞，+∞）
11. （2 分） (2019 高一上·深圳期中) 已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A.
是偶函数，递增区间是
B.
是偶函数，递减区间是
C.
是奇函数，递减区间是
D.
是奇函数，递增区间是
12. （2 分） (2019 高二下·玉林期末) 已知定函数 A.
B. C. D.
第 4 页 共 17 页
，则
（）
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2019 高三上·盐城月考) 若幂函数 ________．
的图象经过点
，则其单调递减区间为
14. （1 分） (2017 高二下·中原期末) 已知函数 f（x）是 R 上的偶函数，g（x）是 R 上的奇函数，且 g（x） =f（x﹣1），若 f（﹣2）=2，则 f（2018）=________．
15. （1 分） (2020 高一上·宁波期末) 已知
,定义运算“ ”:
,
,则
________;
的值域为________.
,设函数
16. （1 分） (2019 高一上·成都月考) 已知函数 成立，则实数 的取值范围为________．
三、 解答题 (共 6 题；共 75 分)
17. （10 分） (2020 高一上·上海期中)
（1） 已知 （2） 已知
，且
，求实数 的值；
，
，试用 、 表示
，
18. （10 分） (2019 高三上·扬州月考) 已知集合
（1） 若
，求集合
；
（2） 若
，求实数 的取值范围.
19. （10 分） (2020 高一上·天水月考) 已知定义域为 都有
（1） 求证:
是奇函数；
（2） 设
，且当
时，
，求不等式
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，若存在唯一的整数 ，使得
. .
的函数
满足对任意 ，
的解集.
20. （15 分） 要建造一个容积为 1 600 立方米，深为 4 米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米 200 元，池底的造价为每平方米 100 元．
（1） 把总造价 y 元表示为池底的一边长 x 米的函数；
（2） 由于场地原因，蓄水池的一边长不能超过 20 米，问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价 最低是多少？
21. （15 分） (2016 高一上·临川期中) 已知函数 （1） 求 a 的值；
是偶函数，g（x）=t•2x+4，
（2） 当 t=﹣2 时，求 f（x）＜g（x）的解集；
（3） 若函数 f（x）的图象总在 g（x）的图象上方，求实数 t 的取值范围．
22. （15 分） (2016 高一上·景德镇期中) 已知函数 f（x）=4x+a•2x+3，a∈R．
（1） 当 a=﹣4 时，且 x∈[0，2]，求函数 f（x）的值域；
（2） 若关于 x 的方程 f（x）=0 在（0，+∞）上有两个不同实根，求实数 a 的取值范围．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
答案：1-1、 考点：
参考答案
解析： 答案：2-1、 考点：
解析： 答案：3-1、 考点：
解析： 答案：4-1、 考点：
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解析： 答案：5-1、 考点： 解析：
答案：6-1、 考点：
解析： 答案：7-1、 考点：
解析：
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答案：8-1、 考点： 解析：
答案：9-1、 考点：
解析： 答案：10-1、 考点：
解析： 答案：11-1、
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考点： 解析：
答案：12-1、 考点： 解析：
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二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共75分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、
答案：21-3、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。