理论力学第7章习题

7-1以汽车A 为动点，动参考系建立在汽车B 上11140v v km s v -==⋅==1v v i牵连运动是平动22122122cos 45sin 4545454040cos sin cos 45sin 45cos sin cos 45cos 0sin 45sin 4040cos 040sin 40,0,40r r r r r r r r r v v v v v v v v v v v v v v v v v km hααααααααα-==-=-=-=+=+=-++=+=-+=+=-+===⋅e 2r e rr v v i j i j i j v i j v v v i i j i j v i17-2以船为对象，动系建立在河上，牵连运动是平动 （a ）0.5,0.50.5,10.5,1000,1000500x y v v x t y t y m t s x ===+=+=======e r e r v i v j v v v i j(b)1cos sin 0.5cos sin 0.5sin 0.50,cos 30,22,10001155e v v vv s x vt t sααααααα-==+==+++===-=⋅==⨯=r r ev iv i j v j v =v +v i i j j7-3以种子为动点，以地面为静系，动系建立在播种机上，并忽略重力加速度的影响。

牵连运动是平动。

()()12222112121,01cos60,sin602211122222222.65cos,,arccos405336.22ex eyrx ryx ex rxy ey ryv v vv v v v vv v v v v m sv v v v sv m sx x---=======+=+=+⨯=⋅=+===⋅====⋅'''===v v0.25,20.29yxyy m tvx v t m=====⨯=7-4以砂石为动点，动系建立在传送带B上，牵连运动为平动1122,sin304sin302cos304cos30 3.464cos152cos15 1.932sin152sin150.5182 1.9320.0683.4640.518 3.9823.983xyexeyrx x exry y eyrv vv vv vv vv v vv v vv m s============-=-=-=-==-=+====⋅e21v=v v=v()13.982,arccos1172.153.983ry-'''==v当相对速度与牵连速度垂直时1cos754cos75 1.035ev v m s-===⋅7-5AB为平动，以A为动点，动系建立在三角块上，牵连运动为平动()()cos0,sintan tantaneAr e A rA eB Av vv v v vv v vv v vααααα==-====↑==↑e rv v+v以滑块A 为动点，动系建立在BC 上，牵连运动为平动()sin ,cos ,cos 60,sin 60,,0,,sin cos 60cos sin 60cos 60sin cos cos 60sin 60sin 600,cos 60sin 60A A x A y rx r ry r exBC ey A x ex rx A y ey ry r B C r B CB C v r v r v r v v v v v v v v v v v v v r v v r v r v r r v ωωϕωϕωϕωϕωωϕϕϕωϕ========+=+=+=⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭==-=330,cos 900sin 6060,cos 120sin 603B C B C r r v r v r ωωϕωϕω-==-===-=7-7AB 平动，以A 点为动点，动系建立在摇杆上，牵连运动是定轴转动00.4sin 6030.5330.8sin 60,sin 603e e C e C O C v O C v v v v ω====⨯====AB 为平动，1110.0510.8 5.330.050.053O A B CC O v v v rad sωω-====⨯=⋅7-8以套筒A 为动点，动系建立在O 1D 上，牵连运动是定轴转动00111100011,2sin 302sin 30,2,224A e e A O A v O A l O A lv O A l l l v v l ωωωωωωωωω==========以套筒B 为动点，动系建立在O 1D 上，牵连运动是定轴转动，BC 为平动111004, 1.155cos 301.155e e B BC B v v O B l l v l v v l ωωωωω========BC 平动，以B 为动点，动系建立在凸轮上，牵连运动为平动1sin 30,cos 30cos 30 1.039sin 30r A e A r B B A A v v v v v v v v m s-=======⋅112222sin 30,cos 30cos 30 1.039sin 3020.6 1.2sin 301.24.80.3cos 60cos 30cos 3022 4.80.88.214cos 60r A e A r B B A A A r r rn B A rn rn A B rn A v v v v v v v v m sv v m sv a m sra a a a a a a m s----=======⋅==⨯=⋅===⋅+=-==-=⨯-=⋅7-10以套筒C 为动点，动系建立在AB 上，CD 、AB 都是平动1221212,,0.10.2,0.10.4,0cos cos 0.2cos 600.1sin 600.4sin 600.3460.1,0.346e A e A A A n A t C e A C A n C D C C D C v m s a m s a v v v m sa a m s v v m s a a m sωωϕϕ------====⋅==⋅=====⋅====⋅==⋅==⋅v v a a7-11以套筒A 为动点，动系建立在CD 上，牵连运动是平动()()2122222,cos cos ,sin sin ,sin 2sin 20.14sin 30 1.26,0,cos 2cos cos 21cos 2cos cos cos 20.A A A n A r r A A e r e C D A r A n A t rrn A n e rn A n rne C D v R a a R v v v v R v v v v v v v R m sa R a v a R Ra a a R a a a a R ωωϕϕωϕϕϕωϕπωωϕϕωϕϕϕϕωϕ-=======-==+==⨯⨯=⋅=====-++=====⨯()2214cos 3027.35m sπ-⨯=⋅以销钉为动点，静系建立在地面上，动系建立在CD 上，牵连运动是平动122122111111121112,,,,e e r r r r r e r r e r v a v a v v a a =======+=+=+=+v v j a a j v i a i v v v i j a a a i j以销钉为动点，静系建立在地面上，动系建立在AB 上，牵连运动是平动211122222222122212121212121111111121112,,,,,,100,ee r r rr r e r r e r r r r r r rr e r e v a v av v a a v v v v a a a a v v a a v v v m m sa a a -=======+=+=+=++=++=+===+=+===⋅=+=+==v v i a a i v j a j v v v i j a a a i j i j i j i j i j v v v i j a a a i j 222.36m m s-=⋅7-13以水点为动点，静系建立在地面上，动系建立在水枪上，牵连运动是定轴转动()()1122111221111,,,0,,,22222r r e en et r e e r cr e en c r e r c v v a a v r a r a v a r v v r a v a r v a ωωωωωωωωω=====⊥===++===-=⨯=⨯==++=-++=-+==v v a a a a a i a a i a ωv k i ja a a a i i j i j7-14以M 为动点，静系建立在地面上，动系建立在圆盘上，牵连运动是定轴转动()()()22222222,,2222,e r e r c e r e e et en r r rt rn rn c r rt rt rt r rt rn r r r r r v a a a r rr r r r a r r r a a r a a r r a ωωαωωωωωαωωωαααω=+==++===-=-=+=+=+===⨯=⨯-=-=+++-=+==-=+=-+==v v v 0a a a a 0v i v v ia a a i j a i j a ωv k i j a i j i j j 0i 0a i j i j7-15以M 为动点，静系建立在地面上，动系建立在圆盘上，牵连运动是定轴转动()122,sin 45cos 45sin 45cos 45894,,sin 45cos 45r r e r e r r r r rt rn r et en v A M A M r r v r r v r r v m m sv v rrr r ωωωωωωωωωωαααα-==-=-=-=+=+-=+-===⋅==-=-=+=-+=v i v i j i j i jv v v i i j i j a 0a j a ja i j i j a()()()2222222222222cos 45sin 452222240020042002200420022240016002400200c r r r r r e c r r r r r v v v r r r r v rv r r r r v r a ωωωωωωααωωωαωαωω+=-+=⨯=⨯==++=--+-++⎛⎫=--+-+++ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯-⨯+-+⨯+⨯+⨯⨯=-+ ⎪⎝⎭=i j i ja ωv k i j a a a a j i j i j ji ji j i j22884m m s-=⋅7-16以M 为动点，静系建立在地面上，动系建立在AB 上 （1）sin 2cos 2cos sin 2cos sin 2cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos sin 2cos cos sin 2cos 2cos sin cos 2sin 2cos cos r er r r e r r r r v v v v R R v v v v R R v v R v v R θθθθωθθωθθθθθθωθθωθθθθωθθθθωθθ=-=+=--=++-=+-=-v i j v i jv i ji j i j i j代入数值，联立求解得()211sin 2cos 2cos sin cos 2sin 2cos sin 2cos sin 22sin 220.5222sin 20.52sin 301r r r r r v v R v v R v v R v v R v R m sv R m sθθωθθθθωθθθωθωθωωθ--=+-=-=+=-==⨯⨯=⋅==⨯⨯⨯=⋅()()22222cos 3020.52cos 302cos 3020.52cos 30280.522cos 30sin 3024r e cen et n c r r r c a R a R va Rv v a ωαω=++==⨯⨯===⨯⨯======-⨯+=-+==a a a a a ω×v k i j i向n a 方向投影()()())cos 30sin 308cos 304sin 301n en r et c r r a a a a a a a =-++=-+=-向t a 方向投影()()((2cos 30sin 304cos 301sin 3028.246t c et r en a a a a a a m s-=++-=++--====⋅7-17动系建立在OA 上，牵连运动和相对运动都是定轴转动 M 点2111222222222212121333100410066001006360010044003300448003300390022410064800r e rn rt en et c r v r v r r m m s a r m ms a r m m sa r m m s a r m m sav m m s a ωωωωαωαω------==-=⨯⨯-⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅==⨯⨯⨯=⋅==23635m m s-=⋅N 点2112222222221182510063600100440043r e rn rt en et v r v v m m sa r mm s a r m m s a m s a ωωωαωα----======⋅==⨯=⋅==⨯=⋅===⋅==2212224100648003448c r m sa v m m sa m m sω---=⋅==⨯⨯⨯=⋅====⋅7-18以滑块D 为动点，动系建立在CE 上，ABD 平动，牵连运动是定轴转动111222220.250.2520.5,cos600.250.5sin600.520.5sin600.8660.250.25210.5220.250.4332cos600.50.433re C Ee C EC Ennet C Ec C E rn et cC Ev m s v v m svv vrad sa m saa v m sa a am sωωωωωαωα------==⨯=⋅==⋅====⨯=⋅===⨯=⋅==⨯=⨯⨯=⋅=+=⋅-a a2220.50.0670.134C Em s m srad sα---⋅=-⋅=-⋅7-19以M为动点，动系建立在ACB上，牵连运动是平动1111111111100120eeM r e r rM r e r rv va av v va a a===+=+=+=+=+=+v v v i j i ja a a i j i j以M为动点，动系建立在板上，牵连运动是定轴转动20222222222222202100100cos60sin6022100cos60100sin6050502250100,10021001001100100sin60100cos6050 er rr r rer rrre e nevvv vvvva aωω===+=+=+=+⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=====⨯==-+=-+v i j i jv i j iv i ja i j j2222222222222222sin60cos60cos60sin60 22221001005022r r n r n r t r tr t r n r n r trrr nr t r tra a a aa avaa=-+++⎛⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛=-++⎪⎪⎝⎝⎭a i j i j a i ja i j()02222 2cos60sin60100100505022c r rr t r t Mv vaω=⨯+=-+⎛⎫⎛=-+-++-++⎪⎪⎝⎝⎭a k i j ja j j i j22122 122210050221201005050221202240932.82938r rrr t r t rr tr trvvaaaaaa⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛+=-+-++-++⎪⎪⎝⎝⎭=-+-=+=====i j i ji j j j i j1015=联立求解得7-20用运动方程解()()()()122122112212222222cos sincos sin3,410,64,82,2cos sin sin cos364cos2sin82sin2cos364cos2234sin28MMxx x x yy y y xdx dy dx dy dt t tdt dt dt dt dtdx dx dyd dv x ydt dt dt dt dtt x t yt t t t t tϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+-=++==-=+=-==+---=++----=++-+-()() ()()2222sin2242cos2 38104cos26162sin2t t t t t t t t t t---=----+-()()()()()()122222222cos sin sin cos41082cos2242sin264sin2234cos2 4106162cos28104sin2ydy dy dxd dv y xdt dt dt dt dtt t t t t t t t t t tt t t t t t tϕϕϕϕϕϕ=+-++=-+---++++=-++-+-++用点的合成运动的方法解决静系为oxy，动系为111o x y，牵连运动是平动M点的相对坐标是2222cos sinsin cosrrx x yy x yϕϕϕϕ=-=+()()()()()()()()()()()2222112222228104cos 6162sin 8104sin 6162cos 341034108104cos 6162sin 8104sin 6162cos 38104cos 616r e t t t t t t t t dx dy t dtdtt t t t t t t t t t t t t ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤=-++-+-⎣⎦⎡⎤+-++++-⎣⎦=+=+-=+-⎡⎤+-++-+-⎣⎦⎡⎤+-++++-⎣⎦=+-++-+v ij v i j i jv i ji j ()()()()()()()()()()()22222222222sin 4108104sin 6162cos 38104cos 6162sin 38104cos 26162sin 24108104sin 6162cos 4108104sin 26162cos 2x y t t t t t v t t t t t t t t t tv t t t t t t t t t t t tϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤-⎣⎦⎡⎤+-+-++++-⎣⎦=+-++-+-=+-++-+-=-+-++++-=-+-++++-i j两种方法做的结果是一样的 7-21以M 为动点，静系建立在地面上，动系建立在板上，相对运动和牵连运动都是定轴转动 速度分析()505015021,33100310035050cos sin cossin26.1845.34333352.36sin 100100sin 0.5100100sin 0.5213.43313.4r r r r r e e e ds s t v dt r v v v v r r t v ππππϕππππϕϕππϕω⨯====⨯=⨯==-+=-+=-+==⎛⎫⎛⎫=-=-⨯=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-v i j i j i jvk 45.3426.185054.04r e v =+=-+-==kv v v i j k加速度分析222222252.360,27.4110027.41sin27.41cos23.7413.7133sin 13.40.5 6.7313.413.413.46.713.40.526.1845.342226.1rr rt rn r et een e r c r v v d s a a dtrd a r r dt v a t ρπππωρω=======+=+⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭====--====-+=⨯=⨯-a i j i ja k i ωj j j v i ja ωv j ()845.3452.3623.7413.71 6.713.452.3610.3413.7145.6648.78r e ca +==++=+--+=++==i j k a a a a i j k i k i j k7-22以M 为动点，静系建立在地面上，动系建立在AB 上，相对动和牵连运动都是定轴转动222sin 30cos 30220,cos 30sin 3022r r r rt rn r rn rn v vv v v v va a rrv va a rr==-+=-+====--=-+v i j i ja i j i j()22222222250,2sin 30252222252225222et en e en c r r e c a a r r r a r v vvr rrvv r rr a ωωωωωωωωωω==+==-=-=⎛⎫=⨯=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭=++=-+-+⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭==a j jωia ωv i i j a a a a j j i j7-23以A 为动点，静系建立在地面上，动系建立在杆上()()()()1115000.5785.4,cos sin 5000.5cos 30sin 30680.17392.7sin 30505000.50.5150150471.24680.17392.7471.24915.92r r e e r e rt v l l v e l v a l ωπωθθπωπππα==⨯==-=⨯-=-=+=+⨯⨯====+=-+===v j +k j +k j +k v i iv v v j +k i()()()()()()()()()22125000.42005000.51233.7cos 30sin 30sin 30cos 30200cos 30sin 301233.7sin 30cos 30443.641168.42sin 3050500sin 301300sin 3050500sin 300rn r rt rn et en a l a a a e l a e l ωπαω=⨯===⨯==-+=-+==+=+⨯==+=+⨯a j +k j +k j +k j +k j +k()()2.5740.22300740.220.5220.5680.17392.72136.82443.641168.42300740.222136.822436.821183.861168.422950.39e et en c r r e c a a a πωππ==+=+===⨯=⨯⨯-==++=+++=+==a i j i j ωk ka ωv k j +k i a a a a j +k i j i i j +k7-24以M 为动点，静系建立在地面上，动系建立在杆上，相对运动是平动，牵连运动是定轴转动()230200sin 100cos 022100cos 50sin 493.4822,493.48sin 30493.48cos 30246.74427.372260sin 3030200sin 302115722.57606072r r r r r e e dx d v t t dt dt dv d a t t dtdt n v x ππππππππππ'⎛⎫==+== ⎪⎝⎭⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭=--=--⨯'==+=⨯==-v =0a j k j k v()()2222.57722.57722.5702260sin 3030200sin 3021154540606045400246.74427.3745404786.74427.374805.78e et enen c v a n a x a a πππ==-==⨯⎛⎫⎛⎫'==+=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-==---=--==j v v j a j a j k j j k。